高中数学必修四三角函数的图像与性质第6讲

第六讲 三角函数的图像与性质
【开心自测】
1.
.函数
y?2sin2x
的奇偶数性为（ ）.
A. 奇函数 B. 偶函数
C．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
π
2．y=sin(x- )的单调增区间是（ ）
3
π5ππ5π
A. [kπ- ,kπ+ ] (k∈Z) B. [2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)
6666
7ππ7ππ
C. [kπ- , kπ- ] (k∈Z) D. [2kπ- ,2kπ- ] (k∈Z)
6666
3.函数
y?tan(
(A)
{x|x?
?
4
?x)
的定义域为 ( )
?
4
,x?R}
(B)
{x|x??
?
4
,x?R}

3
?
,x?R,k?Z}

4
(C)
{x|x ?k
?
?
?
4
【教学重难点及考点占比】
重点：理解并掌握 作正弦函数图象的方法，会用五点法作正余弦函
,x?R,k?Z}
(D)
{x| x?k
?
?
数简图，理解图像变换，并根据图像掌握正余弦函数的性质。会求函数的定 义域、值域、单调区间、会
判断三角函数的奇偶性、会找对称轴对称中心。
【知识梳理】
（一）图像

1.“五点法”作
y?Asin(wx?
?
) (A?0,w?0)
的简图，五点的取法是：先设
u?wx?
?

然 后
令u为0,
期，
f?
?
2
,
?
,
2
?
3
?
,2
?
求相应的
x
值、
y
值，再描点作图，其中A叫做振幅，
T?
叫做周
w
2
1
叫做频率，
wx?
?
叫做相位，
?
叫做初相．
T
振幅变换
平移变换
周期变换
平移变换
2．三角函 数
y?sinx
的图象交换到
Asin(wx?
?
)
+k
的图象的过程如下：
y?sinx

y?Asinx

y?Asin(x?
?
)

y?Asin(wx?
?
)


y?
Asin(wx?
?
)?k

3．函数
Asin(wx?
?
)
的图象：
作图法：
a
：“五点法”作图
b
：利用图象变换法则
4．相位变换：
y?sinx
图象

5．周期变换：
y?sinx
图象

向左（
?
>0）或向右（
?
<0）
平移
?
个单位

y?sin(x?
?
)图象

横坐标伸长（0<
w
<1）或缩短（
w
>1）
1
到原来的的倍（纵坐标不变）
w
1
y?sinwx的图象

6．振幅变换
y?sinx
图象

7．函数
y?Asin (wx?
?
)
的图象关于直线
x?x
k
，（其中
w x
k
?
?
?k
?
?
纵坐标伸长（A>1）或缩短（ 0到原来的A倍（横坐标不变）
y?Asinx的图象

?< br>2
,k?z)
成轴对称图形，
函数
y?Asin(wx?
?< br>)
的图象关于
(x
j
,0)
（其中
wx
j< br>?
?
?k
?
,k?z)
成中心对称图形．
（二）性质
1．正弦函数、余弦函数的定义域都是R，值域为
?
?1,1
?
，
正切函数的定义域为
?
xx?R且x?k
?
?
?
?
?
2
,k?Z
?
，值域为
R

2．函数
y?sinx
在
x?2k
?
?
?
2
(k? Z)
时，
y
取最大值1，当
x?2k
?
?
?
2
(k?Z)
，
y
取最小值
-1，函数
y?tanx无最大值和最小值.
3. 周期性：正弦、余弦函数都是周期函数且最小正周期都是
2
?
，正切函数为周期函数，其周期为
?

周期函数：对于函 数
f(x)
如果存在一个非零的常数T，使得当
x
取定义域内的任一一个值时 ，都
有
(x?T)?f(x)
，那么函数
f(x)
就叫做周期函数， 非零常数T较周期函数
f(x)
的周
期.
最小正周期：对于周期函数
f(x)
的所有周期中，如果存在已个最小正数，则称其为最小正周期，
三角函数的最小正周期通常仍称为周期.
理解周期函数的定义应注意以下几点：
（1）存在一个常数
T?0

（2）对其定义域内的每一个
x
值，
x?T
也属于定义域
（3）当
x
取定义域内每一个值时，
f(x?T)?f(x)
恒成立，函数< br>y?Asin(
?
x?
?
),x?R
和函数
y?Ac os(
?
x?
?
)x?R
（其中
A,
?
,
?
为常数，且
A?0,
?
?0
）的周期
T?
则
T?
2
?
?
（注意若
?
?0,
2?
.
|
?
|
4. 函数的奇偶性：
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称．
（2）正弦、正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数．


2

【金题精讲】
例1．（1）需要得到函数
y?sinx< br>的图象，需把函数
y?
原来的 倍， 坐标不变．
（2）把函数
y?sin(x?
1
sinx
的图象上的所有点的 坐标 到
2
?
4
)
的图象上所有的点向 平移 个长度单位，可得到函数
y?sin(x?
（3）函数
y?
?
8)
的图象．
1
?
sin(2x?)
的振幅为 ，周期为 ，频率为 ，初相是 ．
29
（4）将函数
y?sin(2x?
?
6
)
的图象向左平移
?
个单 位，所得函数的解析式为 ．
6
例2．用五点法作出函数
y?3cos(2x?

?
4< br>)
的图象，这个图象可以由
y?cosx
的图象怎样变化而得到？



例3．函数
y?Asin(wx?
?
)(A?0,w? 0,0?
?
?
?
）的图象如图所示，求
f(x)
的解析式．
y







例4．函数
y?3sin(2x?
A、
x??
M
-1
O
3
2
?
N
x

-2
?
5
?
)
的图象的一条对称轴方程为（ ）
2
B、
x??
?
6

?
2
C、
x?
?
8
D、
x?
3
?

8
例5．函数
y?sin(3x?
A、
(?
?
4
)
的图象的一个对称中心的坐标是（ ）
B、
(?
7
?
11
?
,0)

,0)
D、
(
12
1212
2
?
例6． 函数
y?Asin(wx?
?
)
的最小值为-2，周期为，且图象经过点（0 ，
?2
），则此函数的一
3
?
,0)

7
?
,0)

12
C、
(
个解析式是 ．
例7.求
y?sin(

?
3
?2x)
的单调减区间
3

【达标训练】
1．函数
y?3sin(2x?
A、
x??
5
?
)
的图象的一条对称轴方程为（ ）
2
B、
x??
?
6

?
2
C、
x?
?
8
D、
x?
3
?

8
2. 函数
y?sin(3x?
A、
(?
?
4
)
的图象有一个对称 中心的坐标是（ ）
B、
(?
?
12
,0)

7
?
,0)

12
C、
(
7
?
,0)

12
D、
(
11
?
,0)

12
3．要得到函数
y?cos(
A、向左平移
x
?
x
?)的图象，只需将
y?sin
的图象
242
?
?
个单位 B、向右平移个单位
22
?
?
C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
44
??
4．已知
f(x)?sin(x?),g(x)?cos(x?)
，则
f(x)
的图象是（ ）
22
A、与
g(x)
的图象相同 B、与
g(x)
的图象关于
y
轴对称
?
个单位，得到
g(x)
的图象
2
?
D、向右平移个单位，得到
g(x)
的图象
2
4
5．把函数
y?cos(x?
?
)
的图象向 右平移
?
个单位，所得的图象正好关于
y
轴对称，则
?
的最 小值
3
C、向左平移
为
多少？





?
6．右图是函数
y?Asin(wx?
?
)
的一个周期内的图象，试确定函数的解析式．
3
2
?
?

?

1
?
y







4
6
O
-1
?
-2
?
-3
?
?

3
5
?

6

7、求下列函数
y?sinx?cosx
的最小正周期




?
8、求函数y=sin(2x+
3



) 的单调增区间．


5