高中数学必修四基础精品讲义

第01讲 任意角和弧度制
温故知新
角度
?

30





45


60

sin
?

cos
?



tan
?


智慧乐园



一个生病的小男孩得知自己的体温是“102”时 ，十分忧伤地独自一个人躺在床上“等
死”，而他的爸爸对此一无所知，他以为儿子是想休息，所以才没 陪伴他 ，等他从外边打
猎回来，发现儿子不见好转时，才发现儿子没有吃药。一问才知道，儿子在学校 里听同学说
一个人的体温是“44”度时就不能活，当他爸爸告诉他就像米和厘米一样，有2种不同的体
温测量标准，一种是37度正常，另一种是98度正常时，他才一下子放松下来，委屈的泪水
哗 哗地流了下来。今天我们所学的弧度制和度数一样，是两种不同的度数大小的测量标准。



知识要

点一
任意角的概念
1、任意角的概念
（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形.
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

2.终边相同的角、象限角
终边相同的角为
?
?
?
?
|
?
?360k?
?
，k?Z?

角的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合.那么，角的 终边(除端点外)在
第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
3．常用的象限角
角的终边所在位置
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
坐标轴
角的集合
?
?
|
?
?k?360?,k?Z
?

k?Z
?

k?Z
?

k?Z
?

?
?
|
?
?k?360??90?,
?
?
|
?
?k?360??180?,
?
?
|
?
?k? 360??270?,
?
?
|
?
?k?180?,k?Z
?

k?Z
?

?
?
|
?
?k?1 80??90?,
?
?
|
?
?k?90?,k?Z
?

?
是第一象限角，所以
?
|k?360?
?
?k?36 0?90,
?
k?Z
?

?
是第二象限角，所以
?
|k?360?90?
?
?k?360?180,
?
k?Z
?

?
是第三象限角，所以
?
|k?360?180?
?< br>?k?360?270,
?
k?Z
?

?
是第四象限 角，所以
?
|k?360?270?
?
?k?360?360,
?< br>k?Z
?


? 典例分析
例1、在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。




??
??
??
??

例2、已知
?
、
?
的终边有下列关系，分别求
?
、
?
间的关系式 。
（1）
?
、
?
的终边关于原点对称；
（2）
?
、
?
的终边关于x轴对称；
（3）
?
、
?
的终边关于y轴对称。









学霸说
把任意 角化为
?
+k·360°（k∈Z且0°≤
?
＜360°）的形式，关键是确 定k。可以
用观察法（
?
的绝对值较小），也可用竖式除法。

? 举一反三
1、已知
?
=－1910°。
（1）把
?
写成
?
?k?360?
（k∈Z，0°≤
?
＜360°）的形式，指出它 是第几象限的角。




（2）求
?
，使?
与
?
的终边相同，且－720°≤
?
≤0°。

2、已知
?
是任意角， 则
?
与
?
?
的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于
x
轴对称
C．关于
y
轴对称 D．关于直线
y?x
对称


知识要

点
弧度制
二
1．弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆 心角叫做1弧度角，记作1
rad
，或1弧度，或1(单位
可以省略不写).
2．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
180?
?
rad

?
?
?
180
?
1rad=
?
≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad )
?
180
?
?
?
3．弧长公式：
l?|
?
|r
(
?
是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：
S?

? 典例分析
例1、用弧度表示顶点在原点 ，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的
集合，如图所示（不包括边界）。
0
11
lr?|
?
|r
2
.
22

例2、设角
?
1
??570?
，
?
2
?750?
，
?
1
?
37
?
，
?
2
??
?
。
53
（1）将
?
1
，
?
2
用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2 ）将
?
1
，
?
2
用角度制表示出来，并在－720°～0° 之间找出与它们有相同终边的所有角。




例3、已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最
大？最大面积是多少？




学霸说：
① 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πr ad=180°，
1??
?
180
rad
这一关系。
②用 弧度作为单位时，常出现π，如果题目没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成
小数。
③角度制与弧度制不得混用，如
?
?2k
?
?30?
，k∈Z；?
?k?360??
确的写法。
? 举一反三
1、【变式1】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合：
(1) 与
?
终边相同的角
(2) 终边在y轴正半轴上的角的集合
(3) 终边在y轴负半轴上的角的集合
(4) 终边在y轴上的角的集合




3
?
，k∈Z都是不正
2

2、如图，扇形AOB的面积是4 cm
2
，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角
?
的弧度数及弦
AB的长。







课堂闯关

? 初出茅庐
建议用时：10分钟
1、下列说法正确的个数是（ ）
①小于90°的角是锐角 ②钝角一定大于第一象限角 ③第二象限的角一定大于第一象
限的角 ④始边与终边重合的角为0°
A．0 B．1 C．2 D．3
2、已知
?
为第三象限角，则
?
所在的象限是（ ）
2
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
3、610°是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4、若角
?
与
?
终边相同，则一定有（ ）
A．
?
?
?
?180?
B．
?
?
?
?0?

C．
?
?
?
?k?360?
，k∈Z D．
?
?
?
?k?360?
，k∈Z
5、1920°转化为弧度数为（ ）
A．
16
3216
?
32
?
B． C． D．
3
333

? 优学学霸
建议用时：15分钟
1、半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）
A．
22
?
55
?
cm B．cm C．cm D．cm
3366
?
?
k
2、设集合
A?
?x|x?k
?
?
?
?1
?
?
与B之间的关系为 （ ）
?
?
???
,k?z
?
，
B??
x|x?2k
?
?,k?z
?
，则集合A
22
???
A．A?B B．A?B C．A=B D．
A
3、扇形圆心角为
B??

?
，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比为（ ）
3
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
4、与
?2002
终边相同的最大负角是_______________．
5、一个半径为
R
的扇形中，弦长为
R
的扇形的圆心角的弧度数是 ．







0
考场直播



1、【2015翠园中学期中（文）】

2、【2015罗湖外语学校期中】把
?885
?
化为
k?360
?
?
?

(0?
?
?360,k?Z)
的形式应
是（ ）
??
π弧度= 度．
5
?360
?
?15
?
B.
?2?360
?
?165
?

2
C.
?3?360
?
?195
?
D.
?2?360
?
?195
?

A.
?
3、【2015罗湖外语学校期中】若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm,则这个圆心角所夹的扇
形的面积是（ ）

A．4 cm
2
B.2 cm
2
C.4π cm
2
D.1 cm
2



套路揭密 ：任意角与弧度制比较简单的内容，考试通常会对弧度制和角度之间的互化，弧
长，周长，面积之间的计 算等方面进行考察。贴别要提出的是同学们一定要对弧度制与角
度之间的互化记熟练，后面的课程中会运 用很多。





自我挑战

建议用时：30分钟

1、下列命题中正确的是（ ）
A. 第一象限角必是锐角 B.终边相同的角必相等
C. 相等的角终边位置必定相同 D.不相等的角终边位置必定不相同
2、角
?
与角
?
终边互为反向延长线，则（ ）
A．
?
??
?
B．
?
?180??
?

C．
?
?k?360??
?
(k?Z)
D．
?
?k?360??180??
?
(k?Z)

3、将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为（ ）
A．
?
2
?
?
2
?
?
B． C．
?
D．
33
33
22
?
55
?
cm B．cm C．cm D．cm
3366
4、半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）
A．
5、与
60
角终边相同的角的集合是（ ）
?
?
?
??
?k?360?,k?Z
??
??
?2k
?
?60,k?Z
3
??
A、 B、
??
?
?
?
??
?2k
?
?,k?Z
????
?2k?360?60,k?Z
3
??
C、 D、
??

6、若
?
是第四象限角，则
?
?
?
一定在( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
7、 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 。

8、将下列各角写成
?
?2k
?
(0?
?< br>?2
?
,k?z)
的形式：
（1）
?

9 、已知扇形
AOB
的周长是6
cm
，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面 积 。

10、直径为20
cm
的圆中
（1）圆心角为


（2）圆心角为
165
时，所对的弧长为 。


49
37
?
?
= ；（2）= ．
6
5
4
?
时，所对的弧长为 ；
3

第02讲 任意角的三角函数
温故知新
1、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
180
?
?
?
rad

?
?
18 0
?
1rad=
?
≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745 (rad)
?
180
?
?
?
2、弧长公式：
l? |
?
|r
(
?
是圆心角的弧度数)，
0
扇形面积 公式：
S?
11
lr?|
?
|r
2
.
22
智慧乐园



锐角三角函数就是以锐角为自变量， 以比值为函数值的函数。但我们现在所学习的角
已不在局限于锐角，已经推广到了0-360，以至到任 意角，如果现在要求sin225的值，
怎么办？还能不能用直角三角形来求？
显然，不能再 用初中的定义，因为，这里没有直角三角形，也就没有什么对边、邻边和
斜边。那么，我们应该如何对初 中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？

00
知

识要点一
三角函数定义
1、三角函数定义
设
?
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:
(1)
y
叫做
?
的正弦,记做
sin
?
, 即
sin
?
?y
；
(2)
x
叫做
?的余弦,记做
cos
?
,即
cos
?
?x
；

(3)叫做
?
的正切,记做
tan< br>?
,即
tan
?
?
y
x
y
(x?0 )
.
x
? 典例分析
例1、（1）已知角
?
的终边经过 点P（－4a，3a）（a≠0），求sin
?
，cos
?
，tan
?
的值；




（2）已知角
?
的终 边在直线
y?3x
上，求sin
?
，cos
?
，tan?
的值。





学霸说：

三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意
把函数
y??
3x
的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于 利用三
4
角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
? 举一反三
1、已 知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
，且
sin
?
?


.
2、已知角
?
的终边落在y=|2x|上，求
cos
?
值。





2m
，求
cos
?
,tan
?
的值.
4

知识要

点二
单位圆与三角函数线
22
x?y?1时，有三角函数
P(x,y)
1、三角函数线的定义：当角的终边上一点的坐标满足
正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
2、有向线段：带有方向的线段。
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3、三角函数线的定义：
设任意角
?
的顶点在原点
O
，始边与
x
轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交与点
P
(x,y)
，过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
；过点
A(1,0)
作单位圆的切线，它与角
?
的终
边或其反向延长线交与点
T
.








（Ⅰ）
（Ⅱ）
y

P

M

y

P

A

T

A


o

x

T

o

M

x
y





（Ⅲ）
T

A


y

M

A

x

P

T

M

o

x
o

P

（Ⅳ）

由四个图看 出：当角
?
的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM?x,MP?y
，于是有
sin
?
?
yyxxyMPAT
??y?MP
，
cos
?
???x?OM
，
tan
?
????AT

r1r1xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦 线、正切线。
4、三角函数在各象限符号：


在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，
四余弦。

? 典例分析
例1、确定下列三角函数值的符号
（1）
cos250
o
； （2）
sin(?

例2、已知角
?
终边上一点
P
与
x
轴的距离和与
y
轴的距离之比为
3
:
4
(且均不为零)，
求
2sin
?
?cos
?
的值.





?
11
?
)
； （3）
tan(?672
o
)
； （4）
tan
.
43

学霸说：

第一 象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为
正；第四象限角，只有余 弦角为正。

? 举一反三
1、（1）判断
tan
?
?
?
17
?
?
?
的符号；
6
??
（2）若sin
?
=―2cos
?
，确定tan
?
的符号；
（3）已知
?
为第二象限角，判断3sin
?
cos
?+2tan
?
的符号；
（4）若sin
?
＜0，cos
?
＞0，则
?
是第几象限角？



2、设角
?
的终边过点
P(?5a,12a) (a?0)
，求sin
?
、
cos
?
和
tan
?
的值 .

知识要

点三
同角三角函数的基本关系
1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：
2、说明：
22< br>（1）注意“同角”，至于角的形式无关重要，如
sin4
?
?cos4
?
?1
等；
sin
?
?tan
?
（ 2）平方关系：
sin
2
?
?con
2
?
?1
cos
?
（2）对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、 变形用），
22
如：
sin
?
?1?cos
?
，
cos
?
?
sin
?
2
，
1?2sin< br>?
?cos
?
?(sin
?
?cos
?
)< br>等。
tan
?

? 典例分析
例1、已知
sin
?
?
4
?
，
?
?(,
?
)
，求
cos
?
、
tan
?
的值．
52





例2、已知tan
?
=3，求下列各式的值。
4sin
?
?cos
?
3
2
1
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
?cos
2
?
2
s in
?
?cos
?
。（1）；（2）；（3）
22
4co s
?
?3sin
?
3sin
?
?5cos
?
42





? 举一反三
1、已知
cos
?
?


2、（1）已知tan< br>?
=3，求sin
2
?
－3sin
?
cos
?
+1的值；
（2）已知









1
?
，
?
?(?,0)
，求
sin
?
、
tan
?
.
42
4si n
?
?2cos
?
6
?
，求
cos
4?
?sin
4
?
的值。
5cos
?
?3sin
?
11

课堂闯关

? 初出茅庐
建议用时：10分钟
1、 若角
420
0
的终边上有一点
?
?4,a
?
，则< br>a
的值是（ ）
A．
43
B．
?43
C．
?43
D．
3

2、下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C．
tan
?
?
?
2
?
??
9
?
sin
D．
??
?
?
3
??
4
?
?
< br>?
3、已知角
?
的终边经过点
P(2sin30,?2cos30)< br>，则
cos
?
?
。
4、已知角< br>?
的终边在直线
y?2x
上，则
sin
?
?
。
5、若
sin
?
?cos
?
?
2
1? sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
，则的值是________．
4
1?sin
?
?cos
?
? 优学学霸
建议用时：15分钟
1?cos
2
?
?
1、若角
?
的终边落在直线
x?y?0
上，则的值等于（ ）．
2
cos
?
1?sin
?
sin
?
A．
2
B．
?2
C．
?2
或
2
D．
0

2、已知tan α＝－2，则
1
2
2
sin
?
? cos
2
?
的值为
45
A.
1725725
B. C. D.
2572517

3、设角A是第三象限角，且
sin
AA
A
??sin< br>，则在（ ）
22
2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、已知
sin
?
?cos
?
?


5、已知
sin
?
?cos
?
?





2
11
?
，求的值.
22
2
sin
?
cos
?
1
，
?
?(0,< br>?
)
，求
sin
2
?
?cos
2
?
的值．
5
考场直播



1、【2014宝安区期中】已知sinθ=﹣



1
2 ．【2015罗湖外国语期中】设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝
5
x，
则tan α＝( )
4334
A. B. C．－ D．－
3443
3、【2015罗湖外国语期中】已知
?
?
?
0,
?
?
，
sin
?
?c os
?
?




，θ∈（﹣，0）．求cosθ和tanθ的值；
7
求
tan
?
的值。
13

4、【2015高级中学期中】已知
tan
?
??,则

1
3
1
?
．
2sin
?< br>cos
?
?cos
2
?
5、【2015翠园中学期中】已知< br>tan
?
?2,那么
sin
?
?cos
?
的 值为（ ）
3sin
?
?5cos
?
D.

A. －2 B. 2 C. -
1

11
1

11
套路揭密：套路揭密：由已知可以求出 ，进而代入得解，但过程繁琐。在关于 “齐次”
式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan 的式子，然后利用已知求解.


自我挑战


建议用时：30分钟
cosα
1、若sinαtanα<0，且
tanα
<0，则角α是( )
A．第一象限角
C．第三角限角
B．第二象限角
D．第四象限角
sinα＋cosα
2、已知点P(－3,4)在角α的终边上，则的值为( )
3sinα＋2cosα
1
A．－
6
7
C.
18
1
B.
6
D．－1
3、已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( )
4
A．
5
3
C．－
5
3
B．
5
4
D．－
5
4
4、已知角α的终边经过点P(－b,4)，且sinα＝，则b等于( )
5
A．3
C．±3
B．－3
D．5
5、设△ABC的三个内角为A、B、C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tanA与cosB
C．sinC与tanA
B．cosB与sinC
A
D．tan与sinC
2

6、点A(sin2014°，cos2014°)在直角坐标平面上位于( )
A．第一象限
C．第三象限

θ
7、已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在( )
2
A．第二、四象限
C．第一、三象限或x轴上

8、使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第__________象限角．

9、函数y＝tanx＋lgsinx的定义域为________．

10、若点 P(3a－9，a＋2)在角α的终边上，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围
是__________．
B．第一、三象限
D．第二、四象限或x轴上
B．第二象限
D．第四象限
11、已知
tan
?
?3< br>，
?
?
?
?
3
?
，那么
cos?
?sin
?
的值是 ．
2
12、< br>1?2sin10?cos10?
sin10??1?sin10?
2
?
________．
sin
?
?cos
?
13、已知
?
为锐角若
tan
?
?2
，
求的值；
sin
?
?cos
?


14、已知角
?
终边上一点
P(?3,y)(y?0)
，且
sin
?
?



15、求下列三角函数的定义域：
（1）
y?

2
2cosx?1
；（2）
y?lg(3?4sinx)
．
2
y
。求
cos
?
和
tan
?
的值。
4

第03讲 三角函数的诱导公式
温故知新
三角函数在各象限符号：


在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，
四余弦。

开心一刻

大学同学发朋友圈：“一本好的书，情节总能发人深省、令人落泪。”
下面室友神回复：“你是在说‘高数’吧？我也看一次，哭一次。”








知识要

点一
诱导公式 < br>(?k2
?
?)
?
?2k
?
)?cos
?< br>
tan
?
诱导公式一:
sin(
?
?2k< br>?
)?sin
?
cos(
（
k?Z
）


ta
?

n

诱导公式二:
sin(?
?
）?-sin
?

cos(?
?
）?cos
?

tan(?
?
）??tan
?


诱导二 诱导三 诱导四
诱导公式三:
sin(
?
?
?
）?sin
?

cos(
?
?
?
）?-cos
?

tan
?
(?
?
）??tan
?
（
诱导公式四:
sin(
?
?
?
）?-sin
?

cos
?
(?
?
）?-co
?
s

tan
?
(?
?
）?tan
?

诱导 公式五：
sin
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?

cos?
?
in

??
?s
?
?
2
??
2
?
??
??
?
?
?
?
in
?
?
?
?cos
?

cos

??
??s
?
2
2
??
??
诱导公式六：
sin
?
作 用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
（二）诱导公式口决：奇变偶不变，符号看象限．
奇偶指的是中k的奇偶性；
2
符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)


? 典例分析
考点一：利用诱导公式求值
例1、求下列各三角函数的值：
（1）
sin
?
?






?
k
31
?
10
?
?
?
；（2）
cos
?
；（3）tan（ －855°）．
6
?
3
?

（4）
sin
25
?
25
?
25
?
（5）
co s?585?tan?300

?cos?tan(?)
；
634
????












学霸说：
对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向。


? 举一反三
1、求sin(―1200°)·cos1290°+c os(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值．




考点二：利用诱导公式化简求值
? 典例分析
?
?
?
sin
?
?
?
?
cos(3
?
?
?
)tan(
?
?
?
)
1?2sin290?cos430 ?
?
2
?
例1、化简（1）； （2）；
sin250??co s790?
?
?
?
cos
?
?
?
?
cos(?
?
?
?
)
?
2
?

1
例2、已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值．
2
(1)




? 举一反三
2cos?π－α?－3sin?π＋α?
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
4cos?α－2π?＋sin?4π－α?
1
、（
1
）
sin(1440??
?
)?cos(
?
?1080?)
?

。

cos(?180??
?
)?sin(?
?
?180?)
（
2
）

2
、若
sin(3
?
?
?
)?cos(
?
?4
?
)
?
。

cos(?
?
?5
?
)? sin(?
?
?
?
)
，则

3< br>、已知
tan
α
=
﹣，则
4、设A、B、C为
?AB C
的三个内角，求证：
=______
．

（1）
sin
?
A?B
?
?sinC
； （2）
sin








? 典例分析
考点三：诱导公式的综合应用
AB?C
；
?cos
22

3
?
?
sin(
?
?3
?
)cos(2
?
?
?
)sin
?
?
?
?
2
?
例1、已知f(
?
)?
cos(?
?
?
?
)sin(?< br>?
?
?
)
（1）化简
f(
?
)
；
?
?
?
．
（2）若
?
是第三象限的角，且
cos
?
?
?
（3）若
?
??
?
?3
?
2
?
1
?
?
，求
f(
?
)
的值．
?
5
31
?
，求
f(
?
)
的值．
3



? 举一反三
1、已知
?
为第三象限角，且
f(
?
)?
（1）化简
f(
?
)
；
（2）若
cos(
?
?
sin(
?
?
?
)cos(2
?
?< br>?
)tan(?
?
?
?
)
.
sin(?< br>?
?
?
)tan(
?
?
?
)
3?
1
)?
，求
f(
?
)
的值；
25
o
（3）若
?
??1860
，求
f(
?
)
的值.

课堂闯关



? 初出茅庐
建议用时：10分钟

1、（1）
sin(?


16
?
)
； （2）
cos(?945
o
)
.（3）
cos?585?tan?3 00

3
????
)
2
?sin(
?
?< br>?
)?cos(2
?
?
?
)
. 2、化简
5
?
sin(?
?
)
2


? 优学学霸
建议用时：15分钟
cos(
?
?
?
3
?
?
?
???
2sin
?
?
?cos
?
?
???
?1
tan(9
?
?
?
)?1
2
?
2
???
?
1、求证：．
2
1?2sin(
?
?
?
)tan(
?
?
?
)?1







考场直播



1、【2014宝安中学期末】若
A．


，则等于（ ）
B． C． D．

2、【2016翠园中学期中】已知tanθ=，θ∈（0，
A．

B．﹣ C． D．
），则cos（﹣θ）=（ ）
3、【2016罗湖外国语期中】已知角?
的顶点在坐标原点，始边与
x
轴正半轴重合终边在直
3
??
?
)?cos(
?
?
?
)
2
线2x?y?0
上，则
?
( )
?
sin(?
?
)?sin(
?
?
?
)
2
sin(
A ．-2

4、【2014宝安中学期末】已知角α的终边经过点P（1，
（1）求s in（π﹣α）﹣sin（
（2）写出角α的集合S．



< br>5、【2016罗湖外国语期中】已知
?
为第二象限角，化简
cos
?






+α）的值；
）
B．2 C．0 D．
2

3
1?sin
?
1?cos
?
。
?sin
?
1?sin
?
1?cos
?
自我挑战

建议用时：30分钟

π
?
π
1
1、已知sin( α－)＝，则cos
?
?
6
＋α
?
的值为( )
33
1
A．
3
23
C．
3
1
B．－
3
23
D．－
3

2、已知sin110°＝a，则cos20°的值为( )
A．a
C．1－a
2

B．－a
D．－1－a
2

3π
3、已知点P(sin(π＋θ)，sin(－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是( )
2
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
π
?
sin
?
?
2
＋θ
?
－co s?π－θ?
4、已知tanθ＝2，则＝( )
π
?
sin
?
?
2
－θ
?
－sin?π－θ?
A．2
C．0
B．－2
2
D．
3
sin?α－3π?＋cos?π－α?5、若tan(7π＋α)＝a，则的值为( )
sin?－α?－cos?π＋α?
a－1
A．
a＋1
C．－1
4π25π5π
6、计算sin·cos·tan的值是( )
364
3
A．－
4
C．－
3

4
3
B．
4
D．
3

4
a＋1
B．
a－1
D．1
7、
1?2sin (
?
?2)cos(
?
?2)
等于（ ）
A．sin2－cos2
二、填空题
1
8、已知cos(π＋α)＝－，则tan(α－9π)＝________.
2
9、已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°－α)＝________ .
B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2
10、tan2010°的值为 ．
11、已知
sin
?
??
3
，且
?
是第四象限的角，则
cos(2
?
?
?
)
的值是 ．
5

12、sin315°―cos135°+2sin570°的值是________。
三.解答题
tan(
?
?4
?
)?cos(
?< br>?
?
)?sin
2
(
?
?3
?
)1
13、若
??
，求tan
?
的值。
2
?
5
?
?
tan(3
?
?
?
)?cos
2< br>?
?
?
?
?
2
?

第04讲 三角函数的图像及性质
温故知新
(?k2
?
?)< br>诱导公式一:
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
cos
?
(?2k
?
)?co
?
s

tan
?
（
k?Z
）
诱导公式二:
sin(?
?
）?-sin
?

cos(?
?
）?cos
?

tan(?
?
）??tan
?

诱导公式三:
sin(
?
?
?
）?sin
?

cos(
?
?
?
）?-cos
?

tan
?
(?
?
）??tan
?

诱导公式四:
sin(
?
?
?
）?-sin
?

cos
?
(?
?
）?-co
?
s

tan
?
(?
?
）?tan
?

ta
?

n
诱导公式五：
sin
?
??
??
?
?
?
?
?
?cos
?

cos?
?
in

??
?s
?22
????
?
?
??
?
?
?
?in
?
?
?
?cos
?

cos

??
??s
?
?
2
?
?
2
?诱导公式六：
sin
?

开心一刻



家里来了个亲戚，十七八岁的大男孩，文静的坐在那，听说已经上高中了。
我上前问道：“高几？”
他脸一红说：“不，不，不搞。”

知
一、三角函数的图像：
识要点一
三角函数图像和性质
A、正弦函数y=sinx的图像
1．正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足
为M，则有
sin
?
?


2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：





把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的
距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线
1
-6
?-5?
-4
?
-3
?
-2
?
-
?
-1
y
0
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
x
y
?MP
，向线段MP叫做角α的正 弦线，
r



f?x? = sin?x?
3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

< br>正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0),(
B 、余弦函数y=cosx的图像
1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： ?
3
,1),(
?
,0),(
?
,?1),(2
?
,0)

22
为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都
为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形
状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

2、余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是：(0,1) (

现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离
为2π，就得到y=cosx，x∈R的图象，
y
0
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
x
?
3
?
,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
22
1
-6
?-5
?
-4
?
-3
?
-2?
-
?
-1
f?x? = cos?x?
C、正切函数
y?tanx
的图象

我们可选择?
?
?
??
?
,
?
的区间作出它的图象
22
??

根据正切函数的周期性， 把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y?tanx
且
x?
x?R
，
?
2
?k
?
?
k?z
?
的图象，称“正 切曲线”




二、三角函数的性质:
函
数
性

质
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象


定义域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??

值域
当
?
?1,1
?

x?2k
?
?
?
?1,1
?

时，
当
x?2k
?
时，
R

?
2
y
max
?1
；
最值
当
y
max
?1
；
x?2k
?
?
?
2
时，
当
x?2k
?
?
?

时，
y
min
??1
．
既无最大值也无最小值
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
2
?

奇函数
在
?
2k
?
?
2
?

偶函数
?

奇函数
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?

?
2
?
在
?
2 k
?
?
?
,2k
?
?
上
是增函数；
在
?
k
?
?
上是增函数；
单调性
在< br>?
2k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
?
?
2
,2k
?
?
3
?
?

2?
?
在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
上
是减函数．
上是增函数．
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
?

对称性
对称轴
x?k
?
?
对称中心
?
k
?
?< br>
对称轴
x?k
?

?
2
?
?
?
?
,0
?

2
?
对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
,0
?

?
2
?



三：正弦型函数
y?Asi n(
?
x?
?
)
和余弦型函数
y?Acos(
?< br>x?
?
)(A,
?
?0)
的性质
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
与函数
y?Acos(
?
x?
?
)
可看作是由正弦函数
y?sinx
，
余弦函数
y?cosx
复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数
y?sin x
，余弦函
数
y?cosx
类似地得到：
（1）定义域：
R

（2）值域：
?
?A,A
?

（3）单调区间：求形如y?Asin(
?
x?
?
)
与函数
y?Acos(?
x?
?
)(A,
?
?0)
的函数
的单调区间 可以通过解不等式的方法去解答，即把
?
x?
?
视为一个“整体”，分别与正 弦函

数
y?sinx
，余弦函数
y? cosx
的单调递增（减）区间对应解出
x
，即为所求的单调递增
（减）区间 。比如：由
2k
?
?
区间，由
2k
?
?
?
2
?
?
x?
?
?2k
?
?
?2
(k?Z)
解出
x
的范围所得区间即为增
?
2
?
?
x?
?
?2k
?
?
3
?
( k?Z)
解出
x
的范围，所得区间即为减区间。
2
（4）奇偶性： 正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
和余弦型函数
y?Acos(
?
x?
?
)(A,
?
?0)
不一 定具备奇偶性。对于函数
y?Asin(
?
x?
?
)
，当< br>?
?k
?
(k?z)
时为奇函数，
当
?
? k
?
?
?
2
(k?z)
时为偶函数；对于函数
y? Acos(
?
x?
?
)
，当
?
?k
?(k?z)
时为
偶函数，当
?
?k
?
?
（5）周期
?
2
(k?z)
时为奇函数。
一般地对于函数f(x)，如果存在 一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x )就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，
把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
对函数周期性概念的理解：周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每
一个 x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)
＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期. < br>2π
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为
|ω|
，y＝tan(ωx＋φ)的最小正
π
周期为
|ω|
。

（6）对称轴和对称中心
与正弦函数
y?sinx
比较可知，当
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?z )
时，函数
y?Asin(
?
x?
?
)
取得最大值 （或最小值），因此函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称 轴由
?
x?
?
?k
?
?
解出，其对称中心的横坐标
?
x?
?
?k
?
(k?z)
，即对称中心为
?
?
2
(k?z)
?
k
?
?
?
?
,0
?
(k?z)
。同理，
?
?
?
y? Acos(
?
x?
?
)
的对称轴由
?
x?
?
?k
?
(k?z)
解出，对称中心的横坐标由
?
x?
?
?k
?
?

?
2
(k?z)
解出。

考点一：“五点法”作图及其运用
? 典例分析
例1、
y?cos(x?










考点二：定义域与值域
? 典例分析
?
?
?
11
?
?
)，x?
?
?,

?
6
?
66
?
例1、已知
x?
?
?







3< br>?
?
3
?
,
?
?
，解不等式
sin x??
。
2
?
22
?
例2、求下列函数的值域：
（1）y=3―2sin x
（2）
y?2sin
?
2x?
?
?
?
?
3
?
?
，
x?
??
?
??
?
,
?
；
?
66
?

? 举一反三
1、利用正切函数的图象解不等式
tanx?



2、求y=cos
2
x+4sin x―2的值域．



考点三：三角函数基本性质
? 典例分析
3
． < br>3
例
1
、求
y?2sin
?
?
?
?
?x
?
的单调区间．

?
4
?


例2、指出下列函数的对称轴与对称中心，
y?sin(x?



例3、求下列函数的周期：
（1）
y?sin




?
4
)

1
x

2
（2）
y?2sin(?
x
?
)

36

例4、下列各式中正确的为( )
54
?
>sin
?

77
15
?
C.
cos
?
>cos(?)

87
A.
sin


B.
sin(?
?
56
39
D.
cos(?
?
)>cos(?
?
)

54
)>sin(?
?
)

例5、判断下列函数的奇偶性：
f(x)?sin
?




? 举一反三
?
3x3
?
?
42
?
?
?
；
?
1、求函数
y?sin
?



?
?
?
?2x
?
的递减区间．
?
3?
2、指出下列函数的对称轴与对称中心
y?cos(2x?



?
3
)
.
3、判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）
y?| sinx|
；（2）
y?sin|x|
；（3）
y?sin(2x?



4、比较下列各组数的大小
(1)sin(－


?
3
)
.
??
23
?
17
?
)、sin(－)； (2)cos(－)、cos(－)．
181054

课堂闯关



? 初出茅庐
建议用时：10分钟
2
π
?
1、函数y＝5sin
?
?< br>5
x＋
6
?
的最小正周期是( )
2
A．
π
5
C．5π
π
2、曲线y＝sin(2x＋)的一条对称轴是( )
6
5π
A．－
12
7π
C．x＝－
6
5π
B．x＝
12
7π
D．x＝
6
5
B．π
2
π
D．
6
1
3、下列表示最值是，周期是6π的三角函数的表达式是( )
2
1x
π
A．y＝sin(＋)
236
x
π
C．y＝2sin(－)
36
? 优学学霸
建议用时：15分钟
π
1、下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x＝对称的是( )
3
x
π
A．y＝sin(＋)
26
π
C．y＝sin(2x－)
3
π
B．y＝sin(2x＋)
6
π
D．y＝sin(2x－)
6
1
π
B．y＝sin(3x＋)
26
1
π
D．y＝sin(x＋)
26
π
2x＋
?
在区间[0，π]内的一个单调递减区间是( ) 2、函数y＝sin
?
3
??
5π
0，
?
A．< br>?
?
12
?
5π11π
?
C．
?
?
12
，
12
?


π7π
?
B．
?
?
12
，
12
?

ππ
?D．
?
?
6
，
2
?

3、设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距
π
离的最小值是，则f(x)的最小正周期是( )
4
A．2π
π
C．
2

B．π
π
D．
4
考场直播



1、【2015龙岗区期末】为了得到函数y=3cos（2x+
的图象（ ）
A．向左平行移动
C．向左平行移动
个单位长度
个单位长度
B．向右平行移动
D．向右平行移动
个单位长度
个单位长度
上为减函数的是（ ）

），x∈R，
D．
），x∈R的图 象，只需把函数y=3cos2x
2、【2016高级中学期中】下列函数中，周期为π，且在
A． B． C．
3、【2015春龙岗区期末】已知函数f（x）=2sin（2x﹣
（1） 求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调区间．

自我挑战


建议用时：30分钟
1、函数< br>y?sin(2x?
?
?
?
?
)
在区间
?< br>?,
?
?
的简图是（ ）
3
?
2
?

2、下列函数是以π为周期的函数的是（ ）
A．
y?sin
1
x
B．y=cos2x C．y=1+sin3x D．y=cos3x
2
3、下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y=sin2x B．y=－sin x C．y=sin |x| D．y=sin x+1
4、已知函数
f(x)?sin(2x?
?
)的图象关于直线
x?
A.
?
8
对称，则
?
可能 是( )
?
3
?
??
B.
?
C. D.
44
24
??
5、设函数
f(x)?sin
?
2x?
?
?
?
，x∈R，则
f(x)
是（ ）
2
?
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为
??
的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
22
x＋φ
6、若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
3
π
A．
2
3π
C．
2
2π
B．
3
5π
D．
3
7、函数< br>y?sin(2x?
?
)(0?
?
?
?
)
是
R
上的偶函数，则
?
的值是( )
A.
0
B.


??
C. D.
?

42

5
8、函数
y?s in(x?
?
)
的图象的一条对称轴方程是( )
2
A.
x??
?
2
B.
x?
?
2
C.
x?
?
D.
x?
3
?

2
7
9、函数y＝＋sinx－sin
2
x的最大值是( )
4
7
A．
4
C．2
1
B．－
4
D．不存在
?
10、已知函数
f(x)?sin(
?< br>x?
)
(
?
?0)
的最小正周期为
?
，则该 函数的图象（ ）.
?
??
0)
对称 A. 关于点
(，
B. 关于直线
x?
对称
??
??
0)
对称 C. 关于点
(，
D. 关于直线
x?
对称
??

π
－x＋
?
的单调递减区间为________． 11、函数y＝sin
?
4
??

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第05讲--- 函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与性质
T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
①了解
A,
?
,
?
对函数图象变化的影响，并会由
y?sinx
的图象得到
y?Asin(?
x?
?
)
的图象；
教学目标
②明确函数
y?Asin(
?
x?
?
)
（
A
、
?、
?
为常数，
A?0,
?
?0
）中常数
A、
?
、
?
的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念。
授课日期及时段

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

体系搭建


(一)用五点 法作函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
用“ 五点法”作
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图，主要是通过 变量代换，设
z?
?
x?
?
，由z取
0,
?
3
,
?
,
?
,2
?
来求出相应的x，通过列表， 计算得出五点坐标，描点后得出图象.
22
用“五点法”作
y?Asin(
?
x?
?
)
图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为
T
.
4
(二)函数
y?Asin(
?
x?
?)
中有关概念
y?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0
?
表示一个振动量时，A叫做振幅，
T?< br>叫做频率，
?
x?
?
叫做相位，x=0时的相位
?
称 为初相.
(三)由
y?sinx
得图象通过变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
2
?
?
叫做周期，
f?
1
?
?
T2
?
振幅变换：
y?Asi nx，x?R
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或

缩短(0作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称 轴翻折.A称为振幅.
周期变换：函数
y?sin
?
x，x?R
?
?
?0且
?
?1
?
的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横 坐标缩短
?
?
?1
?
或伸长
?
0?
??1
?
到原来的
图.
?
决定了函数的周期.
1
倍(纵坐标不变).若
?
?0
则可用诱导公式将符号“提出”再作
?
相位变换：函数
y?sin
?
x?
?
?
，x?R
(其中
?
?0
)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当
?
＞ 0
时)或向右(当
?
＜0时)平行移动
?
个单位长度而得到.(用平 移法注意讲清方向：“左加右减”).
一般地，函数
y?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0
?
，x?R
的图象可以看作是用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(
?
>0)或右(
?
<0)平行移动
?
个单位；
(2) 再 把所得各点的横坐标缩短
?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
?1
?
到原来的
1
倍(纵坐标不变)；
?
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0典例分析

考点一:三角函数的图象
y?Asin(
?
x?
?)

例1、 画出函数y=sin(x+


?
)，x∈R的简图.
3
例2、已知函数
y?
3
?
x
?
?
sin
?
?
?
，
2< br>?
26
?
?
x
?
?
?
?
的 图象间的关系。
?
26
?
（1） 用五点法画出函数图象；（2）指出它的图象与函数
y?sin
?

例3、已知函数
y?2sin< br>?
?
x
?
?
?
?
．
?
23
?
（1）作出函数的简图；（2）指出其振幅、周期、初相、值域．




例4、如何由函数y=sin x的图象得到函数
y?3sin
?
2x?


考点二:三角 函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式
?
?
?
?
?
的图象？
3
?
例1 、已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)?k
（
A?0
，
?
?0
，
|
?
|?
低点为(8,?4)
，求
f
(
x
)的解析式．




例2、已知函数
y?Asin(
?
x?
?)
（A＞0，ω＞0，
|
?
|?
?
2
），在同 一周期内的最高点是
(2,2)
，最
?
2
）的图象的一个最高点为< br>(2,22)
，由这个最
高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的 解析式．

例3、函数
y?Asin(
?
x??
)
的图象如下图，确定A、ω、
?
的值，确定其一个函数
解析 。





例4、如下图为正弦函数
y?As in(
?
x?
?
)
?
|
?
|?






考点三:函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质的综合运用
例1、函数
f(x)?As in(
?
x?
?
)
的图象如图所示，试依图推出：
（1）
f(x)
的最小正周期；
（2）
f(x)?0
时x的取值集合；
（3）使
f(x)?0
的x的取值集合；
（4）
f(x)
的单调递增区间和递减区间；
（5）使
f(x)
取最小值时的x的取值集合；
（6）图象的对称轴方程；
（7）图象的对称中心；
（8）要使
f(x)
成为偶函数，应对
f (x)
的图象作怎样的平移变换？





?
?
?
?
?
的一个周期的图象，写出函数的解析式．
2
?

例2、设函数
f(x)?Asin (
?
x?
?
)
（A≠0，ω＞0，
|
?
| ?
π，则（ ）
A．
f(x)
的图象过点
?
0,
?
B．
f(x)
在
?
?
2
）的图象关于直线
x?2
?
对称，它的周期是
3
?
?
1
?
2
?
?
5
?
2
?
?
,
上是减函数
?
123
??
C．
f(x)
的一个对称中心是
?< br>

?
5
?
?
,0
?
D．
f(x)
的最大值是A
?
12
?
P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击 < br>1、已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
在一个周期 内，当
x?
那么( )

?
12
时，取得最大值2 ，当
x?
7
?
时取得最小值-2，
12
1
??sin(x?) B.y?2sin(2x?)
233

?
x
?
C.y?2sin(2x?) D.y?2sin(?)
626
A.y?


2、把函数
y ?sin
?
x?
?
?
?
?
6
?
?
的图象向右平移
?
个单位得到的函数解析式为（ ）
6
?
?
A．y=sin x B．y=cos x C．
y?sin
?
x?

?
?
3
?
?
D．
y?cos< br>?
x?
?
?
?
?
?

3
?

3、已知函数
f(x )?sin
?
?
x?
?
?
?
?
?
(x?R,
?
?0)
的最小正周期为π，将
y?f(x)
的图象向左 平移|
?
|个
4
?
单位长度，所得图象关于y轴对称，则
?
的一个值是（ ）
A．
3
?
?
??
B． C． D．
8
248



?
x
?
?
4、
函数f(x)＝2sin
?
?
?
，当f(x)取得最小值时， x的取值集合为( )
?
26
?
A．{x|x＝4kπ－
22
π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
33
C．{x|x＝4kπ－


?
?
，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z} 33
5、
f(x)?cos(
?
x?)
的最小正周期为，其中< br>?
?0
，则
?
?
．
6
5



?
?
6、
有下列四种变换方式：
11
?
?
，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来
22
48< br>11
?
?
的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的．
22
48
①向左平移
其中能将正弦曲线y=sin x的图象变为
y?sin
?
2x?




?
?
?
?
?
的图象的是________．
4
?

7、
函数
y?Asin (
?
x?
?
)?k
时，y有最小值
?




?
A?0,
?
?0
?
在同一周期内， 当
x?
5
?
711
?
时，y有最大值为，当
x?< br>333
2
，求此函数的解析式.
3
8、
已知函数
f (x)?2cos(
?
x?
?
3
)(
?
?0)的最小正周期为
?
．
（1）求
?
的值；
?
??
?
（2）求
f(x)
在
?
?,
?
上的 取值范围．
?
44
?



? 课后反击 1、如图，已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象 (部分)，则函数的表达式为( )
10
?
10
?
x?
) B.y=2sin(
x?
)
116116
??
C.y=2sin(2x+) D.y=2sin(2x-)
66
A.y=2sin(



2、函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（ ）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的
1
倍
2
1
倍 < br>2
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2 倍
D．纵坐标变为原来的

1
倍，横坐标变为原来的2倍
2

3、为得到函数
y?cos
?x?
A．向左平移
?
?
?
?
?
的图象，只需将 函数y=sin x的图象（ ）
3
?
?
?
个单位长度 B．向右平移个单位长度
66
5
?
5
?
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
66

4、函数
f(x)?3sin
?< br>2x?
?
?
?
?
3
?
?
的图象为C ，①图象C关于直线
x?
11
?
对称；②函数
f(x)
在区 间
12
?
?
?
5
?
?
?,
内是增 函数；③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
??
1212
3
??
以上三个结论中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3


5、将函数y=sin x的图象向左平移



6、如图是函数
y?Asin(
?
x?
?
)?
A?0,
?
?0,|
?
|?
?
个单位，再向 上平移1个单位，得到的图象的函数解析式是________．
3
?
?
?
?
?
的图象的一部分，则A=________，
?
=______ __，
2
?
?
=________．

7、设函数
f(x)?sin(2x?
?
) (?
?
?< br>?
?0),y?f(x)
图象的一条对称轴是直线
x?
(Ⅰ)求
?
；
(Ⅱ)求函数
y?f(x)
的单调增区间.




?
8
.
π
8、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示
2
(1)求函数f(x)的解析式；
2
??
(2)当x∈
?
－6，－
?
时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的 值．
3
??




战术指导

1、给出图象求y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的难点在于ω，φ的确定，本质为待定系数法， 基本方法是：
①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式；
②图象变换法，即考查已知图象 可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T，
进而确定ω.
2、 由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质，例如
单调 性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点。

直击高考

的最小正周1、【2011?新课标?理】设函数f（x）=sin（ ωx+φ）+cos（ωx+φ）
期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）
A．f（x）在
C．f（x）在（0，

单调递减 B．f（x）在（
）单调递增 D．f（x）在（
，
，
）单调递减
）单调递增
2、【2009?全国Ⅰ卷?理】如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（
值为（ ）
A．

3、【2008?全国Ⅰ卷?理】为得到函数
B． C．
，0）中心对称，那么|φ|的最小
D．
的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移
C．向左平移
个长度单位
个长度单位
B．向右平移
D．向右平移
个长度单位
个长度单位

4、【2016?全国Ⅰ卷?文】将函数y=2sin（2x+
A．y=2sin（ 2x+

5、【2014?全国Ⅰ卷?文】在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨 ，③y=cos（2x+
中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．① ② ③ B．① ③ ④ C．② ④ D．① ③




）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
） C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣） ） B．y=2sin（2x+
）④y=tan（2x﹣）

6、【201 3?全国Ⅰ卷?文】设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．


7、【2012?全国Ⅰ卷?文】已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=
象 的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A．




B． C． D．
和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图
S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一:三角函数的图象
y?Asin(
?
x?
?
)
考点二:三角函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式
考点三:函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质的 综合运用
名师点拨

由y=sinx的图象变换出
y?sin(
?
x?
?
)
的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活
进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象 向左(
?
＞0)或向右(
?
＜0)平移
?
个单位，再将图象 上各点的横坐标变为原来的
1
倍
?
?
?0
?
，便得
y?sin(
?
x?
?
)
的图象.
?

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为 原来的
平移
1
倍
?
?
?0
?
，再沿x轴向 左(
?
＞0)或向右(
?
＜0)
?
|
?
|
?
个单位，便得
y?sin(
?
x?
?
)
的图象.
? 本节课我学到了



? 我需要努力的地方是

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第06讲--- 三角函数的综合应用
P实战演练 S归纳总结
①理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；
②掌握任意角的正弦、 余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握
正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小 正周期的意义；
③能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；
教学目标
④会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图，理解
A、
?
、
?
的物理意义；
⑤掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用；
⑥熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移
变换、伸缩变换的意 义，并会用这两种变换研究函数图象的变化。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建
(一) 知识框架

（二）终边相同的角
终边相同的角：凡是与
?
终边相同的角，都可以表示成
k?360??
?
的形式.
(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(3)终边相同的角有无数多个，它们相差
360?
的整数倍.
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.
弧度和角度的换算：
(1)角度制与弧度制的互化：
?
弧度
?18 0
?
，
1
?
?
?
180
弧度，
1
弧度
?(
180
?
)?5718
'

(2 )弧长公式：
l?|
?
|r
(
?
是圆心角的弧度数)，扇形 面积公式：
S?
11
lr?|
?
|r
2
.
22
（三）任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关 系式、
诱导公式
三角函数定义：角
?
终边上任意一点
P
为
(x,y)
，设
|OP|?r
则：
sin
?
?三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；
yxy
,cos
?
?,tan
?
?

rr x
同角三角函数的基本关系：
sin
?
?cos
?
?1;< br>22
sin
?
?tan
?

cos
?

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意 ”一个角(使得函数有意义的前提下)关系
式都成立；

(2)
sin
?
是
(sin
?
)
的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“
?
” 的选取．
诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):
sin(
?
?
?
)=sin
?
，cos(
?
?
?
)=-cos< br>?
，tan(
?
?
?
)=-tan
?
sin(
?
?
?
)=-sin
?
，cos(
?
?
?
)=-cos
?
，tan(
?
?
?< br>)=tan
?

sin(
?
?
)=-sin
?
，cos(
?
?
)=cos
?
，tan(
??
)=-tan
?

sin(
2
?
?
?
)=-sin
?
，cos(
2
?
?
?
) =cos
?
，tan(
2
?
?
?
)=-tan?

sin(
2k
?
?
?
)=sin
?
，cos(
2k
?
?
?
)=cos
?
， tan(
2k
?
?
?
)=tan
?
，
(k ?Z)

sin(
2
2
?
2
?
?
)=cos
?
，cos(
?
2
?
?
)=sin?
sin(
?
2
?
?
)=cos
?，cos(
?
2
?
?
)=-sin
?

（四）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
三角函数
y?sinx，y?cosx
的图象与性质：

定义域
值域
奇偶性
增区间
单调性
y=sinx
(-∞，+∞)
[-1，1]
奇函数
减区间
y=cosx
(-∞，+∞)
[-1，1]
偶函数
增区间 减区间
??< br>?
3
?
[2k
?
?,2k
?
?],[2k< br>?
?,2k
?
?],
2222
k?Zk?Z

最小正周期
T?2
?

当
x?2k
?
?< br>2k
?
??
2k
?
?
?
，

k?Z
2k
?
?
?
??
2k
?
，

k?Z
周期性
最小正周期
T?2
?

当x?2k
?
?
?
(k?Z)
时，
y
min??1

当
x?2k
?
(k?Z)
时，
ymax
?1

对称轴对称中心
?
2
(k?Z)
时，
y
min
??1

(k?Z)
时，
y
max
?1

对称中心
最值
当
x?2k
?
?
对称轴
对称性
?
2
?
x?k
?
?(k?Z)
2

0
?
(k?Z)

?
k
?
，
x?k
?
(k?Z)

(k
?
?
?
2
,0)(k?Z)

注：y=cosx的图象是由y=sinx的图象左移
?
得到的.
2
三角函数
y?tanx
的图象与性质：
y=tanx

定义域
值域
奇偶性
单调性
周期性
最值
对称性
x?k
?
?
?
2
,k?Z

R
奇函数
增区间
(k
?
?
?
2
,k
?
?
?
2
),k?Z

T?
?

无最大值和最小值
对称中心
(
k
?
,0)(k?Z)

2
（五）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
“五点法”作简图：用“五点 法”作
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图，主要是通过变量 代换，设
z?
?
x?
?
，
由z取
0,
?< br>3
,
?
,
?
,2
?
来求出相应的x，通过列 表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
22
三角函数的值域问题：三角函数的值域问题， 实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方
法有：化为代数函数的值域或化为关于
sinx(cosx)
的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函
数在限定区间上 的值域.
三角函数的单调性：函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的单调区间的确定，基本思想是把
?
x?< br>?
看作
一个整体，比如：由
2k
?
?
?
2< br>?
?
x?
?
?2k
?
?
?
2
(k?Z)
解出
x
的范围所得区间即为增区间，由
2k
?
?
?
2
?
?
x?
?
?2k
?
?< br>3
?
(k?Z)
解出
x
的范围，所得区间即为减区间； 2
确定
y?Asinx(
?
x?
?
)
的解析式 的步骤：
①首先确定振幅和周期，从而得到
A，
?
；
②确定?
值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点
(?
找准第一个零点的位置，同时要 利用好最值点.
（六）正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象变换方法
先平移后伸缩
向左(
?
>0)或向右(?
?0)
????????

y?sinx
的图象
平移
?
个单位长度
?
,0)
作为突破口，要注意从图象的升降情况
?

横坐标伸长(0<
?
<1)或缩短(?
>1)
??????????
1

y?sin(x?
?
)
的图象
到原来的(纵坐标不变)
?
纵坐标伸长(A?1)或缩短 (0??????????

y?sin(
?
x?
?
)
的图象
为原来的A倍(横坐标不变)
向上(k?0)或向下(k?0)
????????
y?Asin(x?
?
)?k
的图象.
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
平移k个单位长度
先伸缩后平移
纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)
??????????

y?sinx
的图象
为原来的A倍(横坐标不变)
横坐标伸长(0?
?
?1)或缩短(
?
?1)
??????????

1y?Asinx
的图象
到原来的(纵坐标不变)
?
y?Asin(
?
x)
的图象
向左(
?
?0)或向右(
?
?0)
????????
?
平移
?
个单位

向上(k?0 )或向下(k?0)
????????
y?Asin(
?
x?
?)
的图象
平移k个单位长度
y?Asin(
?
x?
?< br>)?k
的图象.
典例分析

考点一：三角函数的概念
例 1、已知角
?
的终边过点
(a,2a)(a?0)
，求
?
的 三个三角函数值.


例2、已知角
?
的终边上一点
P( ?3,m)
，且
sin
?
?


例3、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－

2m
，求
cos
?
,tan
?
的值.
4
4
，则m的值为( )
5
D. A．－

11
B.
22
C．－
3

2
3

2

例4、已知角
?
?45?
；
(1)在区间
[?720?,0?]
内找出所有与角
?
有相同终边的角
?
；
(2)集合
M



考点二：扇形的弧长与面积的计算
例1、已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长 的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多
少度？扇形的面积是多少？


k
??
k
?
?
?
x|x??180??45?,k?Z< br>?
，
N?
?
?
x|x??180??45?,k?Z
?
，那么两集合的关系是什么？
2
4
??
??
考点三：同角三角函数的基本关系式
例1、已知
sinA?cosA?



例2、已知cosθ－sinθ= －



例3、证明：
sin


考点四：三角函数的诱导公式

2
1
,A?(0,
?
),
，求
tanA
的 值.
5
3
， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．
2
?
?cot
2
?
?
tan
2
?
?sin
2
?
?
.

cos
?< br>?
?
?
?
1
例1、已知sin(3π＋θ)＝，求
?
3
cos
?
?
cos
?
?
?
?1
?
?
??
?






例2、（1）sin 585°的值为( )
A．－
cos(
?
?2
?
)
3
?
?
sin
?
?
?< br>2
?
??
3
?
?
cos
?
?
?
?sin?
?
??
???
??
2
?
的 值．
2

2
B.
2

2
C．－
3

2
D.
3

2
（2）已知sin(2π－α)＝
4sin
?
?cos
?
?
3
?
，α∈
?
?
,2?
?
，则等于( )
2
5sin
?
?cos
?
??
1

7
C．－7 D．7 A.


1

7
B．－
例3、已知cos
?< br>?
?
5
?
?
1
?
?
?
?< br>?
?
?
，且－π<α<－，则cos
?
?
?
?
等于
2
?
12
?
3
?
12
?
( )
A.
2322
11
B. C．－ D．－
33
33

考点五：三角函数的图象和性质
例1、函数y＝-xcosx的部分图象是( )


例2、把函数
y?sinx(x?R)
的图象上所有的点向左平 行移动
?
个单位长度，再把所得图象上所有点的
3

横坐标缩短到原来的
1
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
2
?
??
x?
?
，x?Ry?sin
B.
??
?
?
，x?R

3
??
26
?
?
?
?
，x?R

3
?
D.
y?sin
?
2x?
A.
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
C.
y?sin
?
2x?



?
?
??
?
?
，x?R

3
?< br>例3、函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
6
)?1
(
A?0,
?
?0
)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为
?
．
2
(1)求函数
f(x)
的解析式;(2)设
?
?(0,


例4、已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
),x?R
（其中
A?0,
?
?0,0?
?
?
最低点为
M(
?
)
,则
f()?2
,求
?
的值.
22
?
?
2
）的周期为
?
，且图象上一个
2?
,?2)
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3
(Ⅰ)求
f(x)
的解析式；（Ⅱ）当
x?[0,

?
12
]
，求
f(x)
的最值.
P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、在下列各组角中，终边不相同的一组是( )
A.
60?
与
?300?
B.
230?
与
950?
C.
1050?
与
?300?
D.
?1000?
与
80?

2、函数
y?sin(2x?
?
)(0?
?
?
?
)
是
R
上的偶函数，则
?
的值是（ ）
A．
0
B．
?
?
C. D.
?

42

3、若点
P(sin
?
? cos
?
,tan
?
)
在第一象限,则在
[0,2
?
)
内
?
的取值范围是（ ）
5
?
??
5
?
)
B.
(,)(
?
,)

244424
?
3
?
5
?
3
?
?
3
?
3
?
C.
(,)(,)
D.
(,)(,
?
)

2442244
A．
(?
3
?
,)(
?
,
2
?
4
、 函数
y?3cos(x?)
的最小正周期是（ ）
56
2
?
5
?
B． C．
2
?
D．
5
?

52
A．

5、
计算：
sin(?


17
?
)
=
3
6、
函数
y?

3
的定义域为___________________．
1?2sinx
sin(540
0
?x)1cos(360
0
?x)
7、
化 简：
??
sin(?x)
tan(900
0
?x)tan(450
0
?x)tan(810
0
?x)
8、已知函数
f(x)? 2cos(
?
x?
（1）求
?
的值；
?
3
)(
?
?0)
的最小正周期为
?
．
?
??
?
（2）求
f(x)
在
?
?,?
上的取值范围．
?
44
?
? 课后反击
1、如果
1
弧度的圆心角所对的弦长为
2
，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A.
1
B.
sin0.5
C.
2sin0.5
D.
tan0.5

sin0.5

2、将函数
y?sin(x?
左平移
?
3
，再将所得的图象 向
)
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
?
个单位，得 到的图象对应的僻析式是（ ）
3
11
?
A．
y?sinx
B．
y?sin(x?)

222
1
?
?
C.
y?sin(x?)
D.
y?sin(2x?)

266


3、
若< br>?
4
?
?
?
?
2
,
则（ ）
A．
sin
?
?cos
?
?tan
?
B．
cos
?
?tan
?
?sin
?

C．
sin
?
?tan
?
?cos
?
D．
tan
?
?sin
?
?cos
?


2
?
2
?
)
、
y?cos(2x?)
中， 最小正周期为
?
的函数的
33
4、
在函数
y?sinx、
y?sinx
、
y?sin(2x?
个数为（ ）
A．
1
个 B．
2
个 C．
3
个 D．
4
个

5、若函数
f(x)?2tan(kx?
?
3
)
的最小正周 期
T
满足
1?T?2
,则自然数
k
的值为 .

6、若
f(x)?2sin
?
x(0?
?
?1)
在区间
[0,
?
3
]
上的最大值是
2，则
?
=________．


7、已知
tanx?2
，求
cosx?2sinx
的值．
3cosx?sinx

8、已知函数
f(x)
的图像是由函数
g( x)=cosx
的图像经如下变换得到：先将
g(x)
图像上所有点的纵坐标
伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移
(Ⅰ)求函数
f(x)
的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于
x
的方程
f(x)+ g(x)=m
在
[0,2p)
内有两个不同的解
a,b
．
（1)求实数m的取值范围；
p
个单位长度.
2
2m
2
（2)证明：
cos(a-b)=-1.

5


战术指导

1、角有正负零角之分，它的弧度 数也应该有正负零之分，如
?
?
，?2
?
等等，一般地, 正角的弧 度数是一
个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定；
2、三角函数的值与点
P
在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到 原点的距离
r?x
2
?y
2
,那么
sin
?
?
y
x
2
?y
2
,
cos
?
?
x
x
2
?y
2
,
tan
?
?y
；
x
3、当角
?
的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根 据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论。

直击高考

1、【2015?新课标1?理】
sin20
o
cos10o
?cos160
o
sin10
o
=( )
A．
?

33
11
B. C.
?
D.
22
22
2、【 2015?山东?理】要得到函数
y?sin
?
4x?
?
?
?
?
?
的图象，只需要将函数
y?sin4x
的图象（ ）
3
?
A.向左平移
?
12
个单位 B.向右平移
?
12
个单位
C.向左平移

?
?
个单位 D.向右平移个单位
33
3、【2015?四川?理】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A.y?cos(2x?)

B.y?sin(2x?)

C.y?sin2x?cos2x

D.y?sinx?cosx

22


4、【2015?陕西?理】如图，某港口一天6时到18时的水深 变化曲线近似满足函数
y?3sin(
据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
?
?
?
6
x?
?
)?k
，


5、【2015?湖南?理】将函数
f(x)?sin2x
的图像向右平移
?
(0?
?
?
若对满足
f(x
1
)?g( x
2
)?2
的
x
1
，
x
2
，有< br>x
1
?x
2
A.
?
2
)
个单位后得 到函数
g(x)
的图像，
min
?
?
3
，则
?
?
（ ）
5
?
???
B. C. D.
12346

6、【201 5?四川?理】
sin15
?
?sin75
?
?
.

7、【2015?浙江?理】函数
f(x)?sinx?sinxcosx?1
的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．


2
S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：三角函数的概念
考点二：扇形的弧长与面积的计算
考点三：同角三角函数的基本关系式
考点四：三角函数的诱导公式
考点五：三角函数的图象和性质
名师点拨

诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”
与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin
?
与cos
?
对偶，“ 奇”、“偶”是对诱导公式中
k?
的整数k来讲的，象限指
k?
?
2
?
?
?
2
?
?
中，将
?
看作锐角 时，
k?
?
?
3
?
?
?
?
?写
?
?
所在象限，如将
cos
?
2
?
2
?
成
cos
?
3?
?
?
?
3< br>?
?
?
?
?
，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号 “sin”
?
?
看作第四象限角，，又
2
2
?

?
3
?
??
3
?
?cos
?
?
?
?
为“+”
?
?
??sin
?
. ，所以有
cos
?
?
2
??
2
?
? 本节课我学到了
? 我需要努力的地方是

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第07讲--- 平面向量的概念及线性运算

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标
① 了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
② 掌握向量、向量的相等、共线向量等概念；
③ 熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则。


授课日期及时段
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理


*创设情境 兴趣导入
如图7－1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
①

图7－1
一、平面向量的概念：

1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质 量、
时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．
平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以
A为起点，B为终点的向量记作
AB
．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体
表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作
a
．

A
a


B

图7－2

2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,
AB
的模依次记作
a
，
AB
．
3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
5、平行向量：方向相同或相反 的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量
都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 7、相反向量：与向量
a
长度相等且方向相反的向量叫做
a
的相反向量． 规定零向量的相反向量仍是零
向量．
二、平面向量的基本运算：
一般地，
?
a＋
?
b叫做a, b的一个线性组合（其中
?
,
?
均为系数）．如果l ＝
?
a＋
?
b，则称l可以
用a，b线性表示
．

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算
．

1、三角形法则：
位移
AC
叫做位移
AB
与位移
BC
的和， 记作
AC
=
AB
+
BC
．
B
a

b

b

a
A


a+b

C



图7－3

一 般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－3)，依次作
AB
=a,
BC
=b，则向量
AC
叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即
a＋b =
AB
＋
BC
=
AC
（7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．
2、平行四边形法则：如图7－4所示， ABCD为平行四边形，由于
AD
=
BC
，
D
C
根据三角形法则得

A
图7－4

B

AB
＋
AD
=
AB
＋
B C
=
AC


这说明，在平行四边形ABCD中，
AC< br>所表示的向量就是
AB
与
AD
的和．这种求和方法叫做向量加
法的平行四边形法则
．

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0；
（2）a＋b=b＋a；
（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
3、平面向量减法法则：
与数 的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差
．
即
a ?b = a＋(?b)．
设a
=OA
，b
?OB
，则
OA?OB?OA?(?OB)= OA?BO?BO?OA?BA
．
即
OA?OB
=
BA
（7．2）
观察图7－5可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向
量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．
a-b
B

b

a
A


图7－5

O


一般地，实数
?
与向量a的积是一个向量，记作
?
a，它的模为

|?a|?|?||a|
（7．3）
若
|
?
a|?
0，则当
?
＞0时，< br>?
a的方向与a的方向相同，当
?
＜0时，
?
a的方向与a的 方向相反
．

由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当
?
?0
时，有

a∥b?a?
?
b
（7．4）
一般地，有

0a= 0,
?
0 = 0 ．
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数
?
、
?
，向量数乘
运算满足如下的法则：
1a?a，

?
2
?
　　

?
1
?
　　
?
?1
?
a??a　；
?< br>??
?
a?
?
?
?
a
?
?
?
?
?
a
?
；

?
４

?
　
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b．
?
3
?
　　
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a；典例分析

考点一：平面向量的基本概念
例1、给出下列六个命题：
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
② 若|a|＝|b|，则a＝b；
→→
③ 若AB＝DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形；
④ 在
→→
中，一定有AB＝DC；
⑤ 若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥ 若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的命题有________．(填序号)

例2、在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点
．

（1）找出与向量
DA
相等的向量；
（2）找出向量
DC
的负向量；
A
D
O
B
C
（3）找出与向量
AB
平行的向量
．


考点二：平面向量的线性表示
图7－5

例1、一艘船以12 kmh的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 kmh，求该船的实际航行速度
．

例2、 用两条同 样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为
?
，求物< br>体受到沿两条绳子的方向的拉力
F
1
与
F
2
的大小．






例3、已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b．
k

图7－11
F
2

?

F
1
a

b



（1）
图7－14

例4、在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，
AB
＝a ，
AD
＝b，试用a, b表示向量
AO
、
OD
．





→
1
→→
1
→→→→< br>例5、平行四边形OADB的对角线交点为C，BM＝BC，CN＝CD，OA＝a，OB＝b，用a、b 表示OM、
33
→→
ON、MN.



图7－16

考点三：共线向量
例1、设两个非零向量a与b不共线．
→→→
(1) 若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．



→→
例2、已 知a、b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时λ、μ满 足
的条件为________．


考点四：向量共线的应用
→ →→
例1、如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面 积之比为________．




11
例2、如图， △ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝AB；在BN
331
→→→→
的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λ CM时，AP＝QA，试确定λ的
2
值．

P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③
C．①②⑤

→→→→→
2．向量(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于( )
→
A．BC
→
C．AC

3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是( )
A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同

→→→→→→→→→→ →
4．已知下列各式：①AM＋MB＋BA；②AB＋CA＋BD＋DC；③OA＋OC＋BO＋CO. 其中结果为零向量的个
数为( )
A．0
C．2

→→
5．等腰梯形ABCD两腰上的向量AB与DC的关系是________．



B．②③④
D．①③⑤
→
B．AB
→
D．AM
B．1
D．3

→→→< br>6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则OA＋AB＋BC＝________.

7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示 的向量中：
→→
(1)分别写出AO，BO相等的向量；
→
(2)写出与AO共线的向量；
→
(3)写出与AO的模相等的向量；
→→
(4)向量AO与CO是否相等？



8．梯形A BCD中，AB∥CD，AB=2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若
AB
=a，
AD
=b，试用a、b表
示
BC
和
MN
，则
BC
=________，
MN
=______.

? 课后反击
1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( )
A．一条线段
C．两个孤立的点

2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( )
A．同一个圆上
C．同一条直线上

3．有下列说法：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④共线向量一定在同一直线上．

B．一段圆弧
D．一个圆
B．同一个点上
D．以上都有可能

其中，正确说法的个数是( )
A．0
C．2
4．下列说法错误的是( )
A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量
B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向

→→→
5．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量BO、OC、OA是( )
A．有相同起点的相等向量 B．单位向量
C．模相等的向量 D．相等的向量

6．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则( )
A．a＝b
C．|a|＝|b|

7．△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是( )
B．a⊥b
D．以上都不对
B．1
D．3

→→→
A．AE＝AD＋FA
→→→
C．AB＋BC＋CA
≠0

→→→
8．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形
C．正方形

→→
9．某人从A点出发，向东走到 B点，然后，再向正北方向走了60m到达C点．已知|AC|＝120m，求AC的
方向和A、B的距 离．

→→
B．DE＋AF＝0
→→→
D．AB
＋BC＋AC
≠0
B．菱形
D．平行四边形

10．两个力F
1
和F
2
同时作用在一个物体上，其中F
1
＝40N，方向向东，F< br>2
＝403N，方向向北，求它们的
合力．


直击高考

1．【2015高考新课标2，理13】设向量
a
，
b
不平行，向量
?
a?b
与
a?2b
平行，则实数
?
?
_________．

2．【2015高考新课标1，理7】设
D< br>为
?ABC
所在平面内一点
BC?3CD
，则（ ）
A．
AD??
1414
AB?AC
B．
AD?AB?AC

3333
C．
AD?
41
41
AB?AC
D．
AD?AB?AC

33
33
3．【2015高考北京，理1 3】在
△ABC
中，点
M
，
N
满足
AM?2MC< br>，
BN?NC
．若
MN?xAB?yAC
，
则
x?
；
y?
．
S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

1． 向量的线性运算
（1）在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图 形进行向量的计算，将数和形有机结合，并
能利用向量运算完成简单的几何证明；
（2）向量 的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则
应记住：连接 两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数)．记清法则是灵活运用的前提．

2． 共线向量与三点共线问题
向量共线的充要条件实质上是由实 数与向量的积得到的．通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平
行．该定理主要用于证明点共线、求 系数、证直线平行等题型问题．
（1）用向量证明几何问题的一般思路：
先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向
量的运算来证明．
（2）向量在几何中的应用：
①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
?
ab?a ?
?
b(b?0)
?
(x
1
，y
1
)=< br>?
(x
2
，y
2
)
?????
学霸经验

? 本节课我学到了








? 我需要努力的地方是

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第08讲--- 平面向量基本定理与坐标表示

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
③ 掌握平面向量的基本定理；
④ 掌握向量的坐标表示、坐标运算；

授课日期及时段
T
（Textbook- Based）
——同步课堂

体系搭建
一、 知识框架


二、知识概念
1、平面向量基本定理：如果
e
1
,e< br>2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于任意这一平面内的任意一向
量
a< br>，有且只有一对实数
?
1
，
?
2
使
a??
1
e
1
?
?
2
e
2
。（我 们把不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示平面内所有向量
的一 组基底）
2、平面向量的坐标表示
把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．