高一数学必修四五测试题

高一数学必修四五测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在 每一小题的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.下列命题中正确的是
A.第一象限角一定不是负角 B.小于
90
的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限角 D.终边相同的角一定相等
2.若
a,b?R
，且
a?b
，则
A.
a?b
B.
22
b11
?1
C.
lg(a?b)?0
D.
()
a
?()
b

22
a
3.在平行 四边形
ABCD
中，若
BC?BA?BC?AB
，则必有
A.
ABCD
是菱形 B.
ABCD
是矩形
C.
ABCD
是正方形 D.以上都错
4.若
?
为第二象限角，则
sin
?
si n
?
?
cos
?
?

cos
?
A.1 B.0 C.2 D.-2
5.不等式
ax?bx?2?0
的解集是
?
?
2
?
11
?
,
?
，则
a?b
等于
23
??
A.-10 B.10 C.14 D.-4
6.设< br>f(x)?cosx?sinx
，把
f(x)
的图像按向量
?
m,0
??
m?0
?
平移后，图像恰好为函数
y?sinx?cos x
的图像，则
m
的值可以为
A.
?
3
?
?
B. C.
?
D.
4
42
7.在
?ABC
中，若
sinA?sinB?cosA?cosB
，则
?ABC< br>一定为
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
8.函数
y?2sin(2x?
?
3
)
的图象
A.关于原点对称； B.关于点
?
?
?
?
?
,0
?
对称； C .关于
y
轴对称；D.
?
6
?
关于直线
x?
?
6
对称.
9.在
?ABC
中，
sinA:sinB: sinC?3:2:4
，那么
cosC
的值为
A.
?
1122
B. C.
?
D.
4433
10.已知
?< br>、
?
以及
?
?
?
?
?
均为锐角，< br>x?sin
?
?
?
?
?
，
y?sin
?
?sin
?
，
z?cos
?
?cos
?
，

那么
x
、
y
、
z
的大小关系是
A.
x?z?y
B.
y?x?z
C.
x?y?z
D.
y?z?x

11.已知向量P?
ab
?
，其中
a
、
b
均为非零向量，则< br>P
的取值范围是
ab
A. [0,
2
] B.[0，1] C.(0，2) D.[0，2]
12.点
O
是
? ABC
所在平面内一点，满足
OA?OB?OB?OC?OC?OA
,则点
O
是
?ABC
的
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填写在题中横线上）
13.若实 数
a
、
b
满足
a?b?2
，则
3?3
的最 小值是__________.
14.已知
sin
ab
?
22cosx
15.函数
y?
的值域是__________.
2cosx ?1
?cos
?
?
1
，则
cos2
?
?< br>__________.
2
16.在
?ABC
中，
AB?< br>?
1,2
?
，
AC?
?
4x,3x
?
(x?0)
，
?ABC
的面积为
三、解答题（本大题共6小题，满分74分 ）
17. (本大题满分12分)
已知
a?1
，
b?
5
，则
x
的值为 .
4
2
，
（Ⅰ）若
a
、
b
的夹角为
60
，求
a?b
；
（Ⅱ）若
a?b?a
，求
a
与
b
的夹角.









18.(本大题满分12分)
已知
f(x)?1?x
2
, a?b
，求证
f(a)?f(b)?a?b
.





??

19. (本大题满分12分)
x
2
(k?1)x?k
?
设
k?1
，解关于
x
的不等式
2?x2?x









20. (本大题满分12分)
如图，在平面四边形
ABCD
中，
?BCD
是正三角形，
AB?AD?1
，
?BAD?
?
.
（Ⅰ）将四边形
ABCD
的面积
S
表示成关于
?
的函数；
（Ⅱ）求
S
的最大值及此时
?
的值.







21.(本大题满分12分)
已知向量
a
?(cos
?
x,sin
?
x)
，
b
?(cos
?
x,3cos
?
x)
，其中
0?
?
?2
，设函数
f(x)?a?b
.
（Ⅰ）若函数
f
?
x
?
的周期是
2
?
，求函数
f
?
x
?
的单调增区间；

（Ⅱ）若函数
f
?
x
?
的图象的一条对称轴为
x?







22.(本大题满分14分)
?
6
，求
?
的值.
在平面直角坐标系中，
O为坐标原点，
A
、
B
、
C
三点满足
OC?（Ⅰ）求证：
A
、
B
、
C
三点共线；
（Ⅱ）求
12
OA?OB
.
33
AC
CB
的值;
(Ⅲ)已知
A
?
1 ,cosx
?
、
B
?
1?cosx,cosx
?
?
x?
?
0,
?
?
?
?
?
?
，
?
?
?
2
?
?
3
2
??< br>f(x)?OA?OC?
?
2m?
?
?AB
的最小值为
?
，求实数
m
的值.
2
3
??

高一数学必修四五测试题参考答案及评分标准

一、选择题
1～5 CDBCA；6～10 DAB AC； 11～
二、填空题
13.6；14.
?
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵
a?b?a? b
2
1
1
??
；15.
?
??,
?
8
3
??
2
?
1,??
?
；16.
x?
2
.
…………………………………………………………1分
1
??
2

?a?2a?b?b
…………………………………………………………4分
∴
a?b
?3?2
……………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵
a?b?a?0
……………………………………………………………7分
∴
a?b?1
…………………………………………………………………9分
故
cos
?
?
2
??
a?b
a?b
……… …………………………………………………10分

?
2
……………………………………………………………12分
2
18.证明：要证
f(a)?f(b)?a?b
……………………………………………………… 1分
即证
1?a
2
?1?b
2
?a?b
…………………………………………………3分
即证
1?ab?< br>?
1?a
??
1?b
?
…………………………………………… ……5分
22
2
若
1?ab?0
，上式显然成立……………………………………………………6分
若
1?ab?0
则只要证
(1?ab)?[
22
?
1?a< br>??
1?b
?
]
………………………7分
222
即 证
2ab?a?b
………………………………………………………………9分
即< br>?
a?b
?
?0
……………………………………………………………… …10分
∵
a?b
，∴
?
a?b
?
?0
成立…………………………………………………11分
故
f(a)?f(b)?a?b
成立……………………………………………………12分
2
2

证法 二：
f(a)?f(b)?1?a
2
?1?b
2
……………………… …………1分
…………………………………………………3分
?
a
2
?b
2
1?a?1?b
22

?
a?b
1?a?1?b
a?b
1?a?1?b
22
22
?a?b
…………………………………………5分

??a?b
……………………………………………87分

?
a?b
a?b
a?b
…………………………………………………………10 分

?a?b
………………………………………………………………11分
∴
f(a)?f(b)?a?b
……………………………………………12分
x2
?(k?1)x?k
?0
…………………………………………3分 19.解：原不等式化为：
2?x
即：
?
x?2
??< br>x?1
??
x?k
?
?0
………………………………………… …………6分
①当
1?k?2
时，解集为
?
1,k
?
②当
k?2
时，解集为
?
1,2
?
③当
k?2
时，解集为
?
1,2
?
20.解：（Ⅰ）
?ABD
的面积< br>S
1
?
22
?
2,??
?
…………………… …………………8分
?
2,??
?
…………………………………………10分
?
k,??
?
…………………………………………12分
11AB?AD?sin
?
?sin
?
…………………………2分
22
2

?ABD
中，
BD?AB?AD?2AB ?ADcos
?
?2?2cos
?
…………………4分
∵
?BCD
是正三角形．
∴
?BCD
的面积
S
2
?
333
?BD
2
?
?
2?2cos< br>?
?
?
?
1?cos
?
?
…………6分 < br>442
∴
S?S
1
?S
2
?
13
s in
?
?
?
1?cos
?
?
………………………… ……………………7分
22
?
3133
?
?sin
??cos
?
??sin(
?
?)
…………………………………… …8分
22223

∴
S?f
（Ⅱ）当
?
?
?
?
?
?
?
3
?
3
?
? sin(
?
?)(0?
?
?
?
)
…………………… ……………………9分
23
，即
?
?
?
2
?2
?
?
3
?
5
?
时……………………………… ……………11分
6
S
取得最大值
3
?1
………………… ……………………………………………12分
2
21.解：（Ⅰ）
f(x)?a?b
?(cos
?
x,sin
?
x)?(cos
?
x, 3cos
?
x)

13
?cos
2
?
x? 3sin
?
xcos
?
x?(1?cos2
?
x)?sin 2
?
x
…1分
22
?
1
?sin(2
?
x?)?
…………………………………………………2分
62
∵ 周期T?2
?
，∴
1
2
?
?2
?
，又0?
?
?2
，故
?
?
……………………4分
2
2
?
?
1
f
?
x
?
?sin( x?)?
…………………………………………………………5分
62
???
2
??
?x?2k
?
?
……………6分 令
2k
?
??x??2k
?
?

?2k
?
?
26233
2
??
,2k
?
?]
(k? Z)
……………………8分 ∴函数
f
?
x
?
的单调增区间 为
[2k
?
?
33
（Ⅱ）函数
f
?
x?
的图象的一条对称轴为
x?
∴
2
?
?
?6

?
6
?
?
6
?k
?
?
?
2
?
?
?3k?1,k?Z
………………………………… ……10分
又
0?
?
?2
，∴
k?0时，
??1
…………………………………………………12分
22.解：(Ⅰ)由已知得
OC?OA?
即
AC?
2
OB?OA
……………………………………………1分
3
??
2
AB
………… ……………………………………………………………2分
3
∴
AC
∥
AB
……………………………………………………………………………3分
又∵
AC
、
AB
有公共点
A

∴
A
、
B
、
C
三点共线……………………………………………………… …………4分
22
AB?AC?CB

33
12
∴
AC?CB
……………………………………………………………………5分
33
（Ⅱ） ∵
AC?
??

∴
AC
CB
?2
…………………………………………………………………………6分
（Ⅲ） ∵
C
分
AB
的比
?
?2
……………………………… …………………………7分
∴
C
?
1?
?
?
2< br>?
cosx,cosx
?
………………………………………………………8分
3
?
?
?
2
?
?
?AB

3
?
∵
AB?
?
cosx,0
?
，∴< br>f(x)?OA?OC?
?
2m?
22
??
?1?cosx? cos
2
x?
?
2m?
?
cosx
………………… ………………9分
33
??
?
?
cosx?m
?
?1?m
2
……………………………………………………10分
∵
x?< br>?
0,
2
?
?
?
，∴
cosx?
?
0,1
?

?
?
2
?
①当
m?0
，当且仅当
cosx?0
时，
f(x)
取得最小值为1（舍去）……………………………………………11分
②当
0?m?1
时，当且仅当
cosx?m
时，
f(x)
取得最 小值为
1?m
，
2

m??

10
（舍去）……………………………………………………12分
2
③当< br>m?1
时，当且仅当
cosx?1
时，
f(x)
取得最小值为
2?2m
，

2?2m??



综上
m?
37
?m?
………………………………………………13分
24
7
……………………………………………………………14分
4