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三角函数的积化和差与和差化积
一、课标要求:
二、知识提要:
三角函数的积化和差公式:
利用两角和与差的正弦、余弦公式推导导出积化和差、和差化积公式,但不要求记忆.
积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减 运算推导而得.其中前两
个公式可合并为一个:
三角函数的和差化积公式:
和差化积公式是积化和差公式的逆用形式,要注意的是:
①其中前两个公式可合并为一个:sin+ sin=2 sincos
②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思
想.
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果一
个正弦与一个
余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.
④合一变形也是一种和差化积.
⑤三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数中起什
么作用,和差化
积公式在三角中就起什么作用.
积化和差与积差化积是一种孪生兄弟,不可分离, 在解题过程中,要切实注意两者的交
替使用.如在一般情况下,遇有正、余弦函数的平方,要先考虑降幂 公式,然后应用和差化
积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于:当和 、积互化
时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.
三、典型例题:
解:
1.把下列各式化为和或差的形式:
2.求值:sin6°sin42°sin66°sin78°.
解:[法一] sin6°sin42°sin66°sin78°
[法二] sin6°sin42°sin66°sin78°
3.
解:
4.求值:cos24°﹣sin6°﹣cos72°
解:原式=(sin66°-sin6°)-cos72°=2cos36°sin30°-cos72°
=cos36°-cos72°=2sin54°sin18°=2cos36°cos72°
=
=
5.求tan20°+4sin20°的值.
6.求值:
解:原式=
=
=
=
7.已知sin(A+B)=,sin(A-B)=﹣,求值:
解:原式=1﹣sin2A﹣sinB﹣
22
=1﹣sin2A﹣sinB﹣
22
﹣﹣=﹣sinB﹣
2
=
22
=sin(A+B)sin(A﹣B)=×(﹣)=
8.求sin20°+cos80°+sin20°cos80°的值.
解:原式=
=1+(cos160°-cos40°)+sin100°-
=
关.
-sin100°sin60°+
22
sin100°=
)cos(B-)的值与无9.试证:cos(A-
22
)+cos(B﹣)-2cos(A-B)cos(A-
证明:cos(A-)+cos(B﹣)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)
=-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)
=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)
=1+cos(A-B)[cos(A+B-2)-2cos(A-)cos(B-)]
=1+cos(A-B)[cos(A+B-2)-cos(A+B-2)-cos(A-B)]
=1- cos(A-B)= sin(A-B)
∴原式的值只与A- B的值有关,而与的值无关.
参考答案:
一、单选题
1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.B 8.C 9.B
二、填充题
22
1. 2. 3. 4.-1 5.1 6.115° 7.135°
8. 9. 10.
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本文更新与2020-09-15 15:47,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/397391.html
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