高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、 重点、难点
教学重点：以两角和与差的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余
弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
二、课堂教学
首先回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式，
cos(
?
?
?< br>)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?

ta n(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?tan
?
?tan
?

tan(
?
?
?
)?

1?tan
?tan
?
1?tan
?
tan
?
由此能否得到
sin2
?
,cos2
?
,tan2
?
的公式呢？（把上述 公式中
?
看成
?
即可），
sin2
?
?sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
?2sin
?
cos
?
；
cos2
?
?cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?cos
2
?
?sin
2
?
；
变型：
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?sin
2
?
?sin
2
?
? 1?2sin
2
?
；
cos2
?
?cos
2?
?sin
2
?
?cos
2
?
?(1?cos
2
?
)?2cos
2
?
?1
．
tan2
?
?tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
2tan
?
．
?
2
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
2
?k?
,
?
?
注意：
2
?
?

三、例题讲解
例1、已知
sin2
?
?
解：由
? ?
2
?k
?

?
k?z
?
。
5
??
,?
?
?,
求
sin4
?
,cos 4
?
,tan4
?
的值．
1342
?
4
?
?
?
?
2
,
得
?
2
?2
?
?
?
．
１ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
12
5
?
5
?
又因为
sin2
?
?,
cos2
?
??1?sin
2
2
?
??1?
??
??
．
13
13
?
13
?
2
于是
sin4
?
?2sin2
?
cos2
?
?2?
5
?
12
?
120
?
?
?
?
??
；
13
?
13
?
169
2
120
sin4< br>?
120
?
5
?
119
；
tan4
?
?
．
?
169
??
cos4
?
?1? 2sin
2
2
?
?1?2?
??
?
119
cos4
?
119
?
13
?
169
169
?
例2、 在△ABC中,cosA=
解：在△ABC中,由cosA=
4
, tanB=2,求tan(2A+2B)的值.
5
43
4
,01?cos
2
A?1?()
2
?.

55
5
3
sinA353
2tanA
4
?
24 所以tanA==×=,tan2A=
?
3
cosA544
7
1?tan
2
A
1?()
2
4
2?
又tanB=2 ,
所以tan2B=
2tanB2?24
???.

3
1 ?tan
2
B1?2
2
244
?
tan2A?tan2B4 4
73
??.
于是tan(2A+2B)=
244
1?tan2A tan2B177
1??(?)
73
例3、求cos36°cos72°.的值． < br>2sin36
?
cos36
?
?cos72
?
2si n72
?
cos72
?
1
?
解：原式==.
2s in36
?
4sin36
?
4
113
?
例4.已知 cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,
714
2
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
143
1
?
.
解:(1)由cosα=,0<α<,得sinα=
1?cos
2
a
=
1?()
2
?
777
2
∴tanα=
2tana2?4383
sina
437?
=4
3
.于是tan2α=
???.
=
22
71
47
1?tana1?tana
cosa
２ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(2)由0<α<β<
??
,得0<α-β<.
22
1333
13
.
,∴sin(α-β)=
1?cos
2
(a?
?
)?1?()
2
?
1414
1 4
又∵cos(α-β)=
由β=α-(α-β),得
cosβ=cos［α-( α-β)］
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=
∴β=
113
4333
1
?
×+=.
714
7142
?
.
3
例5 化简
3cosx?sinx

解：原式=
2(
31
???< br>cosx?sinx)?2(sincosx?cossinx)?2sin(?x)

22333
或解：原式=
2(coscosx?sinsinx)?2cos(?x)

666
???
?
5
?
?
?
y?cos(? x)?cos(?x)
的值域 例6 已知
x?
?
，求函数
0,??
?
2
?
1212
解：
y?cos(
?< br>2
?
?
12
?x)?cos(
5
??
?x) ?2cos(?x)

123
633
?
?
???
0,
∵
x?
?
??
∴
???x?

?
,1
∴
cos(?x)?
?
?
2
?
∴函数y的值域是
?
2
,2
?

3
??
? ?
??
?
1
?
2
?
例7 已知
sin(?x)?
4
?
?
cos2x
5
，
0?x?
求的值
?
4
13
cos(?x)
4
解：∵
sin(?x)?
4
?
???
5
5
?
?(?x)?sin(?x)?

cos
?

?
2
?
4413
13
??
即：
cos(? x)?
4
?
5

13
∵
0?x?
?
4
?
4
∴
12

13
?
4
?x?
?
4
?
?
2

从而
si(?x)?
?
(?x )?cos(?x)
而
cos2x?cos
?
?
4
?
?
13
?
13
?
13
?
13
?
169

4
??
??
125125120
３ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
120
cos2x24
?
169
?
∴
?
5
13
cos(?x)
413
例8已知
sin(2
?
?
?
)?2sin
?
?0
求证tan=3tan(+)
证：由题设：
sin[(
?
?
?
)?
?
]?2s in[
?
?(
?
?
?
)]

即
s in(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
?2sin
?
cos(
?
?
?
)?2cos
?
sin(
?
?
?
)
∴
3sin(
?
?
?
)cos
?
? sin
?
cos(
?
?
?
)

∴tan=3tan(
?
2
+)
3
?
4
例9 已知
?
?
?
?
?
，
cos(
?
?
?
)?
123
，
sin(
?
?
?
)??
，求sin2
135
的值
解：∵
cos(
?
?
?
)?
∴
0?
?
?
?
?
∴
?
?
?
?
?
?
3
5
?
3
?
12

?0

?
?
?
?
?
24
13
?
4
∴
sin(
?
?
?
)?

4
5
5

13
3
?
2
又
sin(
?
?
?
)??
∴
cos(
?
?
?
)??

∴sin2=
sin[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?s in(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?c0 s(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)

3124556
=
??????

51351365
例10求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1
选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用
证明：左端＝
3
(tan 20??tan40?)?tan40??tan20?

3
3
tan60? (1?tan20?tan40?)?tan40?tan20?

3
?1?tan2 0?tan40??tan40?tan20??1?右端
?
说明：可在△
ABC中证明
tan
A
2
tan
B
2
?tan
B
2
tan
C
2
?tan
C
2
tan< br>A
2
?1


４ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式



课时对点练
一、选择题
1．函数y＝2cos
2
?
?< br>π
?
?
x－
4
?
?
－1是
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为
π
2
的奇函数
５ 11
) (

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
D．最小正周期为
π
的偶函数
2
( ) 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50°＝
A.3
3
B.
3
3
C．－
3
D．－3
3．若3sin x－3cos x＝23sin(x－φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝

π
A．－
6

π
B.
6

5π
C.
6

5π
D．－
6

( )
?
π
?
3
4．(2010·烟台调研)已知si n
?
－x
?
＝，则sin 2x的值为
?
4
?
5

7
A.
25
16
B.
25
14
C.
25
19
D.
25
( )
π
?
3< br>?
π
??
5π
?
2
?
－αα－＋α
?
＝，则sin
??
－cos
??
的值是 5．已知cos
?
6
??
6
?
3
??
6
?
A.
2＋3

3
B．－
2＋3

3
( )

2－3
C.
3

－2＋3
D.
3
二、填空题
6．函数y＝2cos
2
x＋sin 2x的最小值是________．
7．(2010·汕头二模)若0＜α＜
π1
＜β＜π，且cos β＝－，
23

1
sin(α＋β)＝，则cos α＝________.
3
111
8．已知α、β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则β的值为________．
714
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
?
π
?
1
9．已知tan
?
＋α
?
＝.
?
4
?
2
６ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)求tan α的值；
sin 2α－cos2α
的值．
1＋cos 2α
(2)求













10．(2010·湖南卷)已知函数
f(x)? sin2x?2sin
2
x

(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．














11．如图在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐
角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已





知A、B两点的横坐标分别为
225
、.
105
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的大小．
７ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式














4cos
4
x?2cos2x?1
12．( 2010·珠海质量检测)已知函数
f(x)?
.
2cos2x

?
11
?
(1)求f
?
－π
?
的值；
?
12
?
π
??
(2)当x ∈
?
0，
?
时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．
4
??






















８ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式











答案
π
?
π
???
1 解析：y＝2cos
2
?
x－
?
－1＝cos
?
2x－
?
＝sin 2x ∴周期为π的奇函数．
4
?
2
???
答案：A
2 解析：tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50° ＝tan 120°(1－tan
70°·tan 50°)－3tan 70°·tan 50° ＝－3. 答案：D
3 解析：23sin(x－φ)＝23(sin xcos φ－cos xsin φ) ＝3sin x－3cos
x，∴cos φ＝
31
，sin φ＝. 又φ∈(－π，π)，
22
∴φ＝
π
. 答案：B
6
?
π
??
π
??
π
?
4 解析：sin 2x＝cos
?
－2x
?
＝cos 2
?
－ x
?
＝1－2sin
2
?
－x
?

?2
??
4
??
4
?
7
?
3
?
＝1－2×
??
2
＝. 答案：A
25
?< br>5
?
π
???
5π
??
π
??
π< br>?
2＋3
＋α
?
＝1－cos2
?
－α
?
＋cos
?
－α
?
＝5 解析：sin
2
?
α－
?
－cos
?
.
6
?
3
??
6
??
6
??
6?
答案：A
2
π
??
2x＋
?
＋1 ∴6 解析：y＝(2cosx－1)＋sin 2x＋1＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin
?
4
??
y的最小值为1－2. 答案：1－2
９ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
7 解析：∵0＜α＜
ππ3π22
＜β＜π，∴＜α＋β＜， ∴sin β＝，
2223
22
， ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
3
cos(α＋β)＝－
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
?
22
?
?
1
?
122442
?< br>×
?
－
?
＋×＝
?
－
＝2. 答案：
3
3399
3
??
??
8 解析：cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
1< br>?
11
?
43531ππ
＝×
?
－
?
＋×＝. ∴β＝. 答案：
7
?
14
?
714233
1
?
π
?
1＋tan α1
9 解：(1)由tan
?
＋α
?
＝＝. 解得tan α＝－.
3
?
4
?
1－tan α2
(2)
sin 2α－cos2α2sin αcos α－cos2α15
＝ ＝tan α－＝－.
1＋cos 2α2cos2α26

π
??
10 解：(1)因为f(x)＝sin 2x－(1－cos 2x) ＝2sin
?
2x＋
?
－1.
4
??
2π
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2
(2)由(1)知，当2x＋
πππ
＝2kπ＋， 即x＝kπ＋(k∈ Z)时，f(x)取最大值2
428
－1.因此函数f(x)取最大值时x的集合为

?
?
π
?
x
?
x＝kπ＋，k∈Z
8?
?

?
?
.
?
225
，cos β ＝.
105
11、解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝
因为α为锐角，故sin α>0，

725
从而sin α＝1－cos2α＝，同理可得sin β＝，
105
1
因此tan α＝7，tan β＝.
2
１０ 11

高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1
7＋
2
1
1－7×
2
所以tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
＝
1－tan αtan β
＝－3.
－3＋
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝
1－－3
1
2
1
×
2
＝－1.
< br>ππ3π
又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2 β
222
3π
＝.
4
12解：f(x)＝
2cos2x－12cos2x＋1
cos 2x
－2cos2x

＝
cos 2x2cos2x＋1
cos 2x
－2cos 2x

＝2cos
2
x＋1－2＝2cos
2
x－1＝cos 2x.

11ππ3
?
11π
??
11π
?
?< br>＝cos 2
?
－
?
＝cos(1)f
?
－
＝cos＝.
12
?
12
?
662
??
π
??
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin
?
2x＋
?
.
4
??
πππ3π
由0≤x＜，故≤2x＋＜，
4 444
π
?
π
?
2
??
≤sin
?
2x＋
?
≤1,1≤2sin
?
2x＋
?
≤2.
4
?
4
?
2
??
即g(x)的最小值是1，最大值是2.


∴



１１ 11