高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

甘肃蒲公英信息技术有限公司

平面向量的基本定理及坐标表示

一、选择题
?
???
a
1、若向量= (1,1),
b
= (1,－1),
c
=(－1,2),则
c
等于( )
1
?
3
?
1
?< br>3
?
3
?
1
?
A、
?
a
+
b
B、
a
?
b
C、
a
?
b

222
22
2
3
?
1
?
b
D、
?
a
+
2
2
（ ） 2、已知，A（2，3），B（－4，5），则与
AB
共线的单位向量是
A、
e?(?
31010
,)

1010

B、
e?(?
3101031010
,)或(,?)

10101010
C、
e?(?6,2)
D、
e?(?6,2)或(6,2)

（ ） 3、已知
a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b
垂直时k值为
A、17 B、18 C、19 D、20
4、已知向量
OP
=(2，1)，
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，设X是直线OP上的一点(O为坐标
原点)，那 么
XA?XB
的最小值是 ( )
A、-16

B、-8 C、0 D、4
5、若向量
m?(1,2),n?(?2,1)
分别是直线ax+(b－a)y－a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a,
b的值分别可以是 （ ）
A、 －1 ，2 B、 －2 ，1 C、 1 ，2 D、 2，1
6、若向量a=(cos
?
,sin
?
)，b=(cos
?
?,sin
?
?)，则a与b一定满足 （ ）
A、a与b的夹角等于
?
－
?
B、(a＋b)⊥(a－b)
C、a∥b D、a⊥b
7、设
i,j
分别是
x
轴，
y
轴正方向上的单位向 量，
OP?3cos
?
i?3sin
?
j
，
??< br>??
?
?
?
?(0,),OQ??i
。若用?来表示
OP
与
OQ
的夹角，则?等于 （ ）
2
A、
?
B、
?
2
?
?
C、
?
2
?
?
D、
?
?
?
< br>OP
2
?
?
2?sin
?
,2?cos
?< br>?
，则向8、设
0?
?
?2
?
，已知两个向量
OP
1
?
?
cos
?
,sin
?
?，
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1

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量
P
1
P
2
长度的最大值是（ ）
A、
2

二、填空题
9、已知点A(2，0)，B(4，0)， 动点P在抛物线y
2
＝－4x运动，则使
AP?BP
取得最小值的点
P的坐标是 、
10、把函数
y?3cosx?sinx
的图象，按向量
a?
?
?m,n
?
（m>0）平移后所得的图象关
于
y
轴对称，则m的最小正值为____ ______________、
11、已知向量
OA?(?1,2),OB?(3,m),若OA?AB,则m?
、
三、解答题
12、求点A（－3，5）关于点P（－1，2）的对称点
A
、
13、平面 直角坐标系有点
P(1,cosx),Q?(cosx,1),x?[?

B、
3
C、
32
D、
?
??
,].

44
（1）求向量
OP和OQ的夹角
?
的余弦用x表示的函数
f(x)
；
（2）求
?
的最值、
14、设
OA?(2sinx,cos2x) ，
其中x∈[0，
OB?(?cosx
，
1)
，
(1)求f (x)=
OA·OB
的最大值和最小值；
?
]、
2
????????
????
(2)当
OA
⊥
OB
，求|
AB
|、
15、已知定点A(0,1)
、
B(0,?1)
、
C(1,0)
，动点
P
满足：
AP?BP?k|PC|
、
（1）求动点
P
的轨迹方程，并说明方程表示的图形；
（2）当
k?2
时，求
|AP?BP|
的最大值和最小值、

??????
?????????
2
参考答案

一、选择题
1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C
二、填空题
9、(0，0)
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10、
m?
11、4
5
?

6
三、解答题
?
?3?x
??1
?
?
x?1
?
2

12、解：设
A
（ｘ，ｙ），则有
?
，解得
?
、所以
A
（1，－1）。 < br>5?y
?
y??1
?
?2
?
?2
13、解： （1）
?OP?OQ?2cosx,|OP||OQ|?1?cos
2
x,cos?
?
OP?OQ
|OP|?|OQ|
?
2cosx
?f (x)
1?cos
2
x
（2）
cos
?
?f(x) ?
2cosx
?
2
1?cosx
2
cosx?
1< br>cosx
且
x?[?
??
2
,]
，
?cos x?[,1]

44
2
22
132
2222

?
?arccos;

2?cosx??
?f(x)?1,即?co
?
s?1
max
3
cosx2
33
?
mi n
?0

14、解：⑴f(x)=
OA·OB
= -2sinxcosx+cos2x=
2cos(2x?
?
4
)
、
???
5
?
， ∴
≤2x+≤
、
2444
??
∴当2x+=，即x=0时，f(x)
max
=1；
4 4
?
3
当2x+
=π，即x=π时，f(x)
min
= -
2
、
8
4
??
?
⑵
OA?OB
即f(x)=0，2x+=，∴x=、
428
∵0≤x≤
此时|
AB|
?(2sinx?cosx)
2
?(cos2x?1)
2

222
=
4sinx?cosx?4sinxcosx?(cos2x?1)

=
77
?cos2x?2sin2x?cos
2
2x

22
=
77
???
?cos?2sin?cos
2

22444
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=
1
16?32
、
2
15、解：( 1 ) 设动点
P
的坐标为
(x,y)
，
则
AP?(x,y?1)
，
BP?(x,y?1)
，
PC?(1?x,y)
、
∵< br>AP?BP?k|PC|
2
，∴
x
2
?y
2
?1?k(x?1)
2
?y
2
，
即
(1?k)x
2
?(1?k)y
2
?2kx?k?1?0
。
若
k?1
，则方程为
x?1
，表示过点
(1,0)
且平行于
y
轴的直线、
若
k?1
，则方程为
(x?
?????????
?????????
??
k
2
1
2< br>k
)?y
2
?()
，表示以
(,0)
为圆心，以为半 径
1?k1?k1?k
1
的圆、
|1?k|
(
???
2
???
) 当
k?2
时，方程化为
(x ?2)
2
?y
2
?1
、
AP?BP?(x,y?1)?(x ,y?1)?(2x,2y)

∴
|AP?BP|?2x
2
?y
2
、
又∵
(x?2)
2
?y
2
?1
，∴ 令
x?2?cos
?
,y?sin
?
，则
??????< br>|AP?BP|?2x
2
?y
2
?25?4cos
?

∴当
cos
?
?1
时，
|AP?BP|
的最大值为
6
，当
cos
?
??1
时，最小值为
2
。


??????
??????
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4