人教B版高中数学必修4同步练习题及答案全册汇编

人B版高中数学必修4同步习题
目 录

第1章1.1.1同步练习
第1章1.1.2同步练习
第1章1.2.1同步练习
第1章1.2.2同步练习
第1章1.2.3同步练习
第1章1.2.4同步练习
第1章1.3.1第一课时同步练习
第1章1.3.1第二课时同步练习
第1章1.3.2第一课时同步练习
第1章1.3.2第二课时同步练习
第1章1.3.3同步练习
第1章章末综合检测
第2章2.1.1同步练习
第2章2.1.3同步练习
第2章2.1.4同步练习
第2章2.1.5同步练习
第2章2.2.2同步练习
第2章2.2.3同步练习
第2章2.3.2同步练习
第2章2.3.3同步练习
第2章2.4.2同步练习
第2章章末综合检测
第3章3.1.1同步练习
第3章3.1.2同步练习
第3章3.1.3同步练习
第3章3.2.1同步练习
第3章3.2.2同步练习
第3章3.3同步练习
第3章章末综合检测
模块综合检测

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习



1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270 °到达OC位置，
则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析：选B.∠AOC＝120°－270°＝－150°.
2．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：选C.∵－457°＝－2×360°＋263°
∴与－457°角终边相同的角的集合为
{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．
3．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是( )
A．325° B．－125°
C．35° D．235°
解析：选A.∵－35°＝(－1)×360°＋325°
∴0°～360°之间与－35°终边相同的角是325°.
4．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是________．
解析：－885°＝(－3)×360°＋195°
答案：195°＋(－3)×360°
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角
B．－831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．终边与始边均相同的角一定相等
解析：选C.－330°＝－360°＋30°，所以－ 330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－
3)×360°＋249°，所以－831°是 第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，
但它们不相等，所以D错误．
2．(2011年杭州高一检测)下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )
A．510° B．150°
C．－150° D．－390°
解析：选D.330°＝360°＋(－30°)，
－390°＝－360°＋(－30°)．
∴330°角与－390°角终边相同．
3．若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：选C.α为第一象限角，那么－α为第四象限角，而360°－α与－α的终边相同．
4．已知角α是第三象限的角，则角－α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为α是第三象限的角，所以k·360°＋ 180°<α－270°<－α<－k·360 °－180°，k∈Z，所以－α所在范围与(－270°，－180°)范围相同．所以
－α的终边在 第二象限．故选B.
1

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5．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边所在的象限为( )
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A.当k为奇数时，α为第三象限角，当k为偶数时，α为第一象限角．
6．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
1414
A. π B．－ π
33
77
C. π D．－ π
1818
1
解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时 针转过了两周又一周的，
3
114
用弧度制表示就是－4π－×2π＝－
π. 故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角．
33
二、填空题
7．已知：① 1240°，②－300°，③420°，④－1420°，其中是第一象限角的为________(填
序号)．
解析：1240°＝160°＋3×360°，所以1240°为第二象限角，
－300°＝60°＋(－1)×360°，所以－300°为第一象限角，
420°＝60°＋360°，－1420°＝20°＋(－4)×360°，
所以420°、－1420°也为第一象限角．
答案：②③④
8．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度，时针转了________度．
解析：注意时钟指针转动方向应为顺时针，所以拨慢为逆时针形成正角，分针每分钟转
360°30°< br>过的度数为＝6°，而时针每分钟转过的度数为＝0.5°.
6060
答案：30 2.5
9．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角 α＝
________.
解析：因为5α与α始边、终边分别相同，
所以5α＝α＋k·360°，k∈Z，
所以α＝k·90°.
又因为180°<α<360°，∴α＝270°.
答案：270°
三、解答题
10．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.
解：(1)∵－120°＝240°－360°，
∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；
(2)∵660°＝300°＋360°，
∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；
(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°，
∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角．
11. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：

(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
2

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(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}． (2)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线O M
反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，

所以终边落在直线OM上的角的集合为：A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝2 25°
＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45° ＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°
＋n·180°，n∈Z}．
(3 )同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边落
在阴影区域内(含边界)的角的集合为：{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
12．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点
A(1 ,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，
如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．

解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n· 360°，
n∈Z.由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°< 2a<2β<360°，进
m
而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即 45°<α<β<90°，∴45°<α＝·180°<90°，
7
n7777
45°<β＝·180°<90°，∴74242
∵α<β，∴m360540
∴m＝2，n＝3，∴α＝()°，β＝()°
77

3

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1．下列命题中，真命题是( )
A．1弧度是一度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是一度的弧与一度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D为真命题．
8π
2．把－化成角度是( )
3
A．－960° B．－480°
C．－120° D．－60°
8π
8
解析：选B.－＝－×180°＝－480°.
33
3．把－300°化为弧度是( )
4π5π
A．－ B．－
33
7π7π
C．－ D．－
46
π
5
解析：选B.－300°＝－300×＝－
π.
1803
π
4．圆的半径是6 cm，则圆心角为的扇形面积是________ cm
2
.
12
11
π
3
解析：S＝|α|r2
＝××6
2
＝
π.
22122
3
答案：
π
2
一、选择题
29
1．－
π的终边所在的象限是( )
12
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
291919
解析：选D.－
π＝－4π＋π，π终边落在第四象限．
121212
2
2．在半径为5 cm的圆中，圆心角为圆周角的的角所对的圆弧长为( )
3
4π20π
A. cm B. cm
33
10π50π
C. cm D. cm
3 3
2
4π
420
解析：选B.圆心角θ＝×2π＝，由弧长公式知l＝
π×5＝π cm.
3333
3．已知α＝9 rad，β＝10 rad，下面关于α和β的说法中正确的是( )
A．都是第一象限的角
B．都是第二象限的角
C．分别是第二象限和第三象限的角
D．分别是第三象限和第四象限的角
解析：选C.法一：由1 rad≈57°18′，故57°<1 rad<58°.
所以513°<9 rad<522°，
即360°＋153°<9 rad<360°＋162°.
4

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因此9 rad是第二象限的角．同理，570°<10 rad<580°，360°＋210°<10 rad<360°＋220°.
因此10 rad是第三象限的角．
ππ
法二：π≈3.14，≈1.57，×5<9<3π，
22
π
即9∈(2π＋，2π＋π)，故α为第二象限的角．
2
π
同理，3π<10<3π＋，β为第三象限的角．
2
4．(2 011年沈阳高一检测)若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇
形的面积是( )
1
A．tan 1 B.
sin 1
11
C.
2
D.
sin1cos 1
解析：选C.如图所示，

设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则
11
∠AOC＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1.
22
AC1
在Rt△AOC中，OA＝＝.
sin∠AOC
sin 1
1111
∴扇形的面积S＝|α|·OA
2
＝×2×
2
＝
2
.
22sin1sin1
5．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α< 2π，k∈Z)的形式是( )
π
7
A．－－8π B.
π－8π
44
π
7
C.－10π D.
π－10π
44
解析：选D.∵－1485°＝－5×360°＋315°，
7π
又2π rad＝360°，315°＝rad，
4
7
故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是
π－10π.
4
6．(2011年杭州高一检测)若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋k·360°＋90°(k∈Z)
D．β＝k·360°＋α±90°(k∈Z)
解析：选D.如图(1)，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°.
如图(2)，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°.

由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直则有β＝k·360°＋α±90°(k∈Z)．
二、填空题
5

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π< br>7．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)
k
·，k∈Z}，则角θ的终边所在的象限是_ _______．
4
解析：分k为奇数与偶数讨论．
π
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝(2n＋1)π－，n∈Z，这时α为第二象限角．
4
π
当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋，n∈Z，这时α为第一象限角．
4
综上：α的终边所在的象限是第一或第二象限．
答案：第一或第二象限
8．扇形的圆心角是72°，半径为5，它的弧长为________，面积为________．
2
解析：∵72°＝
π rad，
5
2
∴l＝
π×5＝2π.
5
11
S＝l·r＝×2π×5＝5π.
22
答案：2π 5π
9．已知扇形的半径为r，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为
____ ____弧度，扇形的面积为________．
解析：设扇形的圆心角为θ，则2r＋rθ＝πr，
11
所以θ＝π－2，S
扇
＝r
2
θ＝
r
2
(π－2)．
22
1
答案：π－2 r
2
(π－2)
2
三、解答题
10．判断下列各角所在的象限：
2011π
(1)－4；(2)－.
5
π
解：(1)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而
<2π－4<π，
2
所以－4为第二象限角．
2011ππ
(2)因为－＝－201×2π－，
55
2011π
所以－为第四象限角．
5
11．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm
2
，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设该扇形AOB的半径为r，圆心角为θ，面积为S，弧长为l.
l＋2r＝8
?
??
?
?
r＝1
?
r＝3
(1)由题意得
?
1
解得
?
或
?
.
??
l＝6l＝2
l·r＝3
??
?
?
2
l6l2
∴圆心角θ＝＝＝ 6或θ＝＝，
r1r3
2
∴圆心角的大小为或6.
3
8－2r
(2)θ＝，
r
1
2
8－2r
∴S＝·r·＝4r－r
2
＝－(r－2)
2
＋4，
2r
8－4
∴当r＝2即θ＝＝2时，S
max
＝4(cm
2
)．
2
此时弦长AB＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．


6

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∴扇形面积最大时，圆心角等于2弧度，弧长AB为4sin 1 cm.
12. 已知长为3 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四
次时被小木块挡住 ，使木块底面与桌面成30°角，求点A走过的路程的长及走过的弧度所在
扇形的总面积(如图所示)．


π
11
解：在扇形ABA
1
中，圆心角恰为， 弧长l
1
＝
·2π·AB＝·2π·3＋1＝π(dm)，面积S
1
244
11
＝
·π ·AB
2
＝
·π·4＝π(dm
2
)．
44
π
在扇形A
1
CA
2
中，圆心角亦为， 2
11
π
11
π
弧长l
2
＝
·2π· A
1
C＝
·2π·1＝
(dm)，面积S
2
＝
·π ·A
1
C
2
＝
π·1
2
＝(dm
2
)．
442444
πππ
113
在扇形A
2
DA
3
中，圆心角为π－－＝，弧长l
3
＝
·2π·A
2
D＝
·2π·3＝π(dm)．
263663
11
π
面积S
3
＝
·π·A
2
D
2
＝
·π·(3)
2＝(dm
2
)．
662
π
3π
?9＋23?π
点A走过路程的长l＝l
1
＋l
2
＋l
3
＝π＋＋＝(d m)，
236
点A走过的弧所在的扇形的总面积
ππ7π
S＝S
1
＋S
2
＋S
3
＝π＋＋＝(dm
2
)．
424

7

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1．角α的终边上有一点P(1，－1)，则sinα的值是( )
π
2
A. B．－
22
2
C．± D．1
2
－1
y2
解析：选B.利用三角函数定义知：sinα＝＝
2
＝－.
2
r2
1＋?－1?
2．若sinα>0，tanα<0，则α为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B.由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上，
由tanα<0知α终边在第二、四象限，
综上知α为第二象限角．
3．sin2cos3tan4的值为( )
A．负数 B．正数
C．0 D．不存在
解析：选A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin2>0，co s3<0，tan4>0，
所以sin2cos3tan4<0.
4．若点P(2m，－3m )(m<0)在角α的终边上，则sinα＝________，cosα＝________，tanα
＝________，secα＝________，cscα＝________，cotα＝______ __.
解析：∵m<0，∴r＝?2m?
2
＋?－3m?
2
＝－13m，
－3m
y313
∴sinα＝＝＝；
r
－13m
13
x2m213
cosα＝＝＝－；
r
－13m
13
y
－3m
3
tanα＝＝＝－；
x2m2
r13
secα＝＝－；
x2
r13
cscα＝＝；
y3
x2
cotα＝＝－；
y3
3
答案： － － － －
13132233
一、选择题
1．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin0，cosπ}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{－1,0}
解析：选D.B＝{sin0，cosπ}＝{0，－1}，
∴A∩B＝{0，－1}．
2．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．43 B．－43
C．±43 D.3
解析：
8

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选B.在坐标系中把600°角 的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a
的值．因为600°＝360°＋240°， 所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P(－4，
a)，作PM⊥x轴于M，则－| OM|＝－4，∠MOP＝60°，－|MP|＝a＝－43.
3．(2011年临沂高三模拟)在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角或钝角三角形
解析：选B.∵0∴cosB·tanC<0
∴cosB与tanC异号，∴B、C中有一个角为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
4．已知cosθ·tanθ<0，那么θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
??
?
cosθ<0，
?
cosθ >0，
解析：选C.由cosθ·tanθ<0，知
?
或
?

?
tanθ>0，
?
tanθ<0，
??
且θ不在坐标轴上，因此 θ在第三或第四象限．
5．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα的值为( )
15
A．± B．±
55
251
C．± D．±
52
y225
解析：选C.在α的终边上任取一点P(1,2)，则r＝1＋4＝5，所以s inα＝＝＝；
r5
5
y
－2
25
或者取P(－1，－2) ，则r＝1＋4＝5，所以sinα＝＝＝－.
r5
5
6．(2011年湛江高一检 测)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，
则a的取值范围是 ( )
A．(－2,3) B．[－2,3)
C．(－2,3] D．[－2,3]
??
?
3a－9≤0，
?
a≤3，
?< br>解析：选C.由题意可知，解得
?

?
a＋2>0，
?
a>－2.
??
即－2二、填空题
7．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α 终边上一点，且|OP|
＝10，则m－n等于________．
解析：由题意P(m，n)是角α终边上一点，
yn
sinα＝＝
2
<0，∴n<0.
r
m＋n
2
又角α的终边与y＝3x重合，
故n＝3m<0，∴m<0.
由|OP|＝10，则m
2
＋n
2
＝10，
10m
2
＝10，m
2
＝1，∴m＝－1.


9

高中数学人教B版必修4同步练习
由n＝3m，∴n＝－3.
∴m－n＝－1－(－3)＝2.
答案：2
8．5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°＝________.
解析：∵sin90°＝1，sin0°＝0，sin270°＝－1，cos180°＝－1，∴原式 ＝－2.
答案：－2
tanx
9．函数y＝的定义域为________．
1＋sinx
π
解析：由1＋sinx≠0得x≠2kπ－，k∈Z，
2
π
要使tanx有意义，需x≠kπ＋，k∈Z，
2
π
∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}．
2
π
答案：{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
2
三、解答题
2
10．已知角α的终边上一点P(－3，m)，且sinα＝m，求cosα，tanα的值 ．
4
解：由于r＝x
2
＋y
2
＝3＋m
2
，
ymm2
又sinα＝＝，由已知，得＝m，
r
3＋m
2
3＋m
2
4
∴m＝0或m＝5，或m＝－5.
当m＝0时，r＝3，y＝0，
∴cosα＝－1，tanα＝0.
当m＝5时，r＝22，y＝5，
615
∴cosα＝－，tanα＝－.
43
当m＝－5时，r＝22，y＝－5，
615
∴cosα＝－，tanα＝.
43
11．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
23π
(2)sin3·cos4·tan(－)．
4
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.
π3π
(2)∵
<3<π，π<4<
，∴sin3>0，cos4<0，
22
23ππ23π
∵－＝－6π＋，∴tan(－)>0，
444
23
∴sin3·cos4·tan(－
π)<0.
4
11
12．已知＝－，且lgcosα有意义．
|sinα|sinα
(1)试判断角α所在的象限；
3
(2)若角α的终 边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．
5
11
解：(1)由＝－可知sinα<0，
|sinα|sinα
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lgcosα有意义可知cosα>0，
10

高中数学人教B版必修4同步练习
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角
综上可知，角α是第四象限角． 34
(2)∵|OM|＝1，∴()
2
＋m
2
＝1，解得m＝± .
55
4
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－，
5
由正弦函数的定义可知，
4
－
5
ym4
sinα＝＝＝＝－.
r|OM|15

11

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习


1．对三角函数线，下列说法正确的是( )
A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在
D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
解析：选D.正弦函数和余弦 函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存
在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正 切线不一定存在．
2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )
π
3
5π
7
A.或
π B.
或
π
4444
π
5
π
7
C.或
π D.
或
π
4444
解析：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，
π5π
∴α＝或.
44
3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )
A．第一象限 B．第一、二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
解析：选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．
1
4．不等式cosα≤的解集为________．
2
1
解析：画出单位圆，然后画出直线x＝，从图形中可以看出．
2
π5π
答案：{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
33

一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点
C．终边在第二象限的角是钝角
D．终边相同的角必然相等
解析：选B.当三角形 的角为90°时，不是象限角，∴A不正确；B正确；终边在第二象
π
限的角的范围是2kπ＋ ＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴C不正确；终边相同的角不一定相等，它们
2
相差2π的整数倍 ，∴D不正确．
3ππ
2．(2011年洋浦高一检测)若－<α<－，则sinα、cos α、tanα的大小关系是( )
42
A．sinαC．cosα解析：选D.


12

高中数学人教B版必修4同步练习
3ππ
<α<－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．
42
→→→→→ →
由图知，|OM|<|MP|<|AT|，考虑方向可得MP1
3．在[0,2π]上满足sinx≥的x的取值范围是( )
2
ππ5π
A．[0，] B．[，]
666
π2π5π
C．[，] D．[，π]
636
如图，在 单位圆中，作出－
π5π
解析：选B.利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P2
OM
2
＝，∠P
1
OM
2
＝，
66
1
π5π
|P
1
M
1
|＝|P
2
M
2
|＝，则图中阴影部分为所求，即x∈[，]．
266
4．在(0,2π)内使cosx>sinx>tanx成立的x的取值范围是( )
π3π5π3π
A．(，) B．(，)
4442
3π3π7π
C．(，2π) D．[，]
224
解析：选C.在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出．
5．(2011年聊城高一检测)如果cosα＝cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可
能( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
解析：选A.利用单位圆中的余弦线即得．
5π2π2π
6．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
777
A．aC．b解析：选D.

522
如图，在单位圆O中分别作出角
π、π、π 的正弦线M
1
P
1
，余弦线OM
2
、正切线AT.
777
52
π
2
π
由
π＝π－π知M
1
P
1
＝M
2
P
2
，又<
π<
，易知AT>M
2
P
2
>OM
2
，
77472
2
5π2π
∴cos
π777
故b二、填空题
3π
7．若θ∈(，π)，则下列各式错误的是________．
4
①s inθ＋cosθ<0；②sinθ－cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ＋cosθ> 0.
3π
解析：若θ∈(，π)则sinθ>0，cosθ<0，sinθ<|cosθ|，
4
所以sinθ＋cosθ<0.
13

高中数学人教B版必修4同步练习
答案：④
3
，则θ的取值范围是________．
2
3
解析：画出单位圆及y＝即可
2
π2π
答案：[2kπ，2kπ＋)∪(2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)
33
1
9．函数y＝sinx＋cosx－的定义域是____________．
2
8．若0≤sinθ<
sinx≥0
?
?
解析：由题意得
?
1
，
cosx≥
?
2
?
利用单位圆中的三角函数线得
?
2kπ≤x≤2kπ＋π ?k∈Z?

?
?
ππ< br>2kπ－≤x≤2kπ＋?k∈Z?
?
33
?
π
解得{x|2 kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)}．
3
π
答案：{x|2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)}
3
三、解答题
10．比较大小：
2π4π2π4π
(1)sin与sin；(2)tan与tan.
3535
解：如图所示，

，
2π
作出对应的正弦线、正切线分别为AB和EF.
3
4π
作出对应的正弦线、正切线分别为CD和EG.
5
由图可知：
|AB|>|CD|，|EF|>|EG|.
2π4π
又tan与tan均取负值，
35
2π4π2π4π
故sin>sin，tan3535
π
11．求证：当α∈(0，)时，sinα<α2
证明：


14

高中数学人教B版必修4同步练习
如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x
轴，PN⊥y轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角 函数线定义，
得sinα＝ON＝MP，tanα＝AT，
又α＝AP的长，
11
∴S
△
AOP
＝·OA·MP＝sinα，
22111
S
扇形
AOP
＝·AP·OA＝·AP＝
α，
222
11
S
△
AOT
＝·OA·AT＝tanα. 22
又∵S
△
AOP
扇形
AOP
△
AOT
，∴sinα<α12．若α、β是关于x的二次方程x
2
＋2(cosθ＋1)x＋cos
2
θ＝0的两根，且(α－β)
2
≤8.求θ
的范围．

解：∵方程有两实根，∴Δ＝4(cosθ＋1)－4cos
θ≥0.
1
∴cosθ≥－①
2
由根与系数的关系得α＋β＝－2(cosθ＋1) ，α·β＝cos
2
θ②

22
1
又(α－β)
2
＝(α＋β)
2
－4αβ＝4(cosθ＋1)
2
－4cos2
θ＝8cosθ＋4≤8.∴cosθ≤
③
2
11
综上知－≤cosθ≤如图所示，
22
π2π4π5π∴＋2kπ≤θ≤＋2kπ或＋2kπ≤θ≤＋2kπ(k∈Z)．
3333
π2π
∴＋kπ≤θ≤＋kπ(k∈Z)．
33

15

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习


4
1．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于( )
5
43
A．－ B.
34
34
C．± D．±
43
解析：选A.∵α为第二象限角，
43
∴cosα＝－1－s in
2
α＝－1－?
?
2
＝－，
55
4
5
sinα4
∴tanα＝＝＝－.
cosα33
－
5
2．化简1－sin
2
160°的结果是( )
A．cos160° B．－cos160°
C．±cos160° D．±|cos160°|
解析：选B.1－sin
2
160°＝cos
2
160°＝－cos160°.
2sinα－cosα
3．若tanα＝2，则的值为( )
sinα＋2cosα
3
A．0 B.
4
5
C．1 D.
4
2sinα－cosα2tanα－1
3
解析：选B.＝＝. sinα＋2cosαtanα＋2
4
8
4．若cosα＝－，则sinα＝__ ______，tanα＝________.
17
8
解析：∵cosα＝－<0，
17
∴α是第二或第三象限角．
若α是第二象限角，则sinα>0，tanα<0.
15sinα15
∴sinα ＝1－cos
2
α＝
，tanα＝＝－.
17cosα8
若α是第三象限角，则sinα<0，tanα>0.
15sinα 15
∴sinα＝－1－cos
2
α＝－
，tanα＝＝.
17cosα8
15151515
答案：或－ －或
171788
一、选择题


5
1．若α是第四象限的角，tanα＝－，则sinα等于( )
12
11
A. B．－
55
35
C. D．－
1513
sinα5
解析：选D.∵tanα＝＝－，sin
2
α＋ cos
2
α＝1，
cosα12
16

高中数学人教B版必修4同步练习
5
∴sinα＝±，
13
5
又α为第四象限角，∴sinα＝－.
13
cosα2sinα
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
1－sin
2
α
1－cos
2
α
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B.∵α为第三象限角，∴sinα<0，cosα<0，
cosα2sinαcosα2sinα
∴＋＝＋＝－1－2＝－3.
1－sin< br>2
α
1－cos
2
α
|cosα||sinα|
12
3．(2011年济南高一检测)A为三角形ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝，则这个三< br>25
角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
12
解析：选B.∵sinA＋cosA＝，
25
12144
∴( sinA＋cosA)
2
＝()
2
＝，
25625
144 481
即1＋2sinAcosA＝，∴2sinAcosA＝－<0，
625625
∴sinA>0，cosA<0，
∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
4．已知tanθ＝2，则sin
2
θ＋sinθcosθ－2cos
2
θ等于( )
45
A．－ B.
34
34
C．－ D.
45
22
解析：选
θ＋sinθcosθ－2cosθ
sin
2
θ＋sinθcosθ－2cos
2
θ
＝
sin
2
θ＋cos
2
θ
tan
2
θ＋tanθ －2
＝
tan
2
θ＋1
4＋2－2
4
＝＝.
55
5．(tanx＋cotx)cos
2
x＝( )
A．tanx B．sinx
C．cosx D．cotx
sin
2
x＋cos
2
x
sinxcosxcosx
22
解析： 选D.(tanx＋cotx)·cosx＝(＋)·cosx＝·cos
2
x＝＝cotx.
cosxsinxsinx·cosxsinx
1－cosαcosα－1
6．使 ＝成立的α的范围是( )
sinα
1＋cosα
A．{x|2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z}
B．{x|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}
3π
C．{x|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}
2
D．只能是第三或第四象限的角
1－cosα?1－cosα?
2
1－cosαcosα－1
解析：选A . ＝ ＝＝，
|sinα|sinα
1＋cosα1－cos
2
α
即 sinα＜0，故{x|2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z}．
17

高中数学人教B版必修4同步练习
二、填空题
1－2sin40°·cos40°
7．计算＝________.
sin40°－ 1－sin
2
40°
?sin40°－cos40°?
2
cos40 °－sin40°
解析：原式＝＝＝－1.
－cos40°
sin40°－cos< br>2
40°
sin40°
答案：－1
1－sinαcosα
8．已知tanα＝－3，则＝________.
2sin αcosα＋cos
2
α
1－sinαcosαsin
2
α－sin αcosα＋cos
2
α
tan
2
α－tanα＋1
?－3 ?
2
－?－3?＋1
解析：＝＝＝＝
2sinαcosα＋cos
2
α
2sinαcosα＋cos
2
α
2tanα＋12×?－3?＋ 1
13
－.
5
13
答案：－
5
1－cos2
α
sinα
9．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为______ __．
cosα
1－sin
2
α
答案：0
三、解答题
111
)＝＋.
tanθsinθcosθ
sinθcosθ
证明 ：左边＝sinθ(1＋)＋cosθ·(1＋)
cosθsinθ
sin
2
θ
cos
2
θ
＝sinθ＋＋cosθ＋
cosθsinθcos
2
θ
sin
2
θ
＝(sinθ＋)＋(＋cos θ)
sinθcosθ
sin
2
θ＋cos
2
θ
sin
2
θ＋cos
2
θ
＝＋
sinθcosθ
11
＝＋＝右边，
sinθcosθ
∴原式成立．
2
11．在△ABC中，sinA＋cosA＝，AC＝2，AB＝3，求tanA的值．
2
2
解：∵sinA＋cosA＝，①
2
11
∴(sin A＋cosA)
2
＝，即1＋2sinAcosA＝，
22
1
∴2sinAcosA＝－.
2
∵0°0，cosA<0.
∴sinA－cosA>0.
3
∵(sinA－cosA)
2
＝1－2sinAcosA＝，
2
6
∴sinA－cosA＝.②
2
2＋6
①＋②，得sinA＝.
4
2－6
①－②，得cosA＝.
4
2＋6
sinA4
∴tanA＝＝×＝－2－3.
cosA4< br>2－6
10．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ·(1＋
18

高中数学人教B版必修4同步练习
12．是否存在一个实数k，使方程8x< br>2
＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个
锐角的正弦值．
解：设这两个锐角为A，B，
∵A＋B＝90°，∴sinB＝cosA，
所以sinA，cosA为8x
2
＋6kx＋2k＋1＝0的两个根．
3k
sinA＋cosA＝－
4
①
所以
2k＋1
②
sinAcosA＝
8
10
②代入①
2
，得9k
2
－8k－20＝0，解得k
1
＝2，k
2
＝－，当k＝2时，原方 程变为8x
2
＋
9
1011
12x＋5＝0，Δ<0方程无解；将k ＝－代入②，得sinAcosA＝－<0，
972
所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.
?
?
?


19

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习


1．sin585°的值为( )
2
A．－
2
3
C．－
2

2

2
3
D.
2
B.
2
. 解析：选585°＝si n(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－
2． cos(－225°)＋sin(－225°)等于( )
A.
22
2
B．－
2

C．0 D.2
解析：选(－225°)＋sin(－225°)＝cos225°－sin225°
＝cos(180°＋45°)－sin(180°＋45°)＝－cos45°＋sin45°
＝－
22
2
＋
2
＝0
3．cos2010°＝( )
A．－
1
2
B．－
3
2

C.
1
2
D.
3
2

解析：选2010°＝cos(360°×5＋210°)＝cos210°
＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－
3
2
.
4． tan
7π
4
－cos(－
7π
3
)＋sin(－
13π
6
)的值为________．
解析：原式＝tan(2π－
π4
)－cos(－2π－
ππ
3
)＋sin(－2π－
6
)
＝tan[2π＋(－
πππ
4
)]－cos(2π＋
3)－sin(2π＋
6
)
＝－tan
πππ
4
－co s
3
－sin
6

＝－1－
1
2
－
1
2
＝－2.
答案：－2
一、选择题

1．sin(－
23
6
π)的值是( )
A.
1
2
B．－
1
2

C.
33
2
D．－
2

解析：选(－
23
6
π)＝sin(－4π＋
ππ
1
6
)＝sin6
＝
2
.
2．已知cos(
π
2
＋φ)＝< br>3
2
，且|φ|<
π
2
，则tanφ＝( )
A．－
33
3
B.
3

20
2

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C．－3 D.3
π
33
解析：选C.∵cos(＋φ)＝，∴sinφ＝－，
222
ππ
又|φ|<，∴φ＝－，
23
ππ
故tanφ＝tan(－)＝－tan＝－3.
33
si n?α－3π?＋cos?π－α?
3．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
sin?－α?－cos?π＋α?
m＋1m－1
A. B.
m－1m＋1
C．－1 D．1
－sinα－cosαtanα＋1m＋1解析：选A.由tan(5π＋α)＝m得tanα＝m，所以原式＝＝＝，
－sinα＋cosα tanα－1m－1
故选A.
π
4．下列三角函数中，与sin数值相同的是( )
3
4
ππ
①sin(nπ＋
π) ②cos(2nπ＋
) ③sin(2nπ＋)
363
ππ
④cos[(2n＋1)π－] ⑤sin[(2n＋1)π－]，(n∈Z)
63
A．①② B．①②③
C．②③⑤ D．①③⑤
4π4π
解析：选C.①若n为偶数，则sin(nπ＋)＝sin
33
π
＝－sin；
3
4π4π
若n为奇数，则sin(nπ＋)＝sin(π＋)
33
ππ
＝sin(2π＋)＝sin.
33
ππππ
④cos[(2n＋1)π－]＝cos(π－)＝－cos≠sin.
6663
5．(2011年南昌高三模拟)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(π x＋β)(a，b，α，β为常数)，且f(2010)
＝－1，那么f(2011)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C.f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2011)＝asin(2011π＋α)＋bcos(2011π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)＝－(－1)＝1.
7π2333
6．(2011年潍坊高一检测)已知a＝tan(－)，b＝cos
π，c＝s in(－π)，则a、b、c
644
的大小关系是( )
A．b>a>c B．a>b>c
C．b>c>a D．a>c>b
7π7ππ
解析：选A.a＝tan(－)＝－tan＝－tan(π＋)
666
π
3
＝－tan＝－；
63
21

高中数学人教B版必修4同步练习
23
ππ
2
b＝cos
π＝cos(6π－
)＝cos＝；
4442
3333
π
c＝sin(－
π)＝－sinπ＝－sin( 8π＋
)
444
π
2
＝－sin＝－.
42
232
∵>－>－，∴b>a>c.
232
二、填空题 π
3
11π
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
636
11πππ
3
解析：cos(－θ)＝cos[2π－(＋θ)]＝c os(＋θ)＝.
6663
3
答案：
3
2
8．sin1 °＋sin
2
2°＋sin
2
3°＋?＋sin
2
89°＝ ________.
222
解析：令S＝sin1°＋sin2°＋sin3°＋?＋sin
2
89°，
2222
则S＝sin89°＋sin88°＋sin87°＋?＋sin1°
2222
＝cos1°＋cos2°＋cos3°＋?＋cos89°，
2222< br>∴2S＝(sin1°＋cos1°)＋(sin2°＋cos2°)＋?＋(sin
2
89°＋cos
2
89°)＝89，
89
∴S＝.
2
89
答案：
2
π
1
9．若α∈(－，0)，且 sin(2π＋α)＝log
8
，则tan(2π－α)＝________.
24
12
解析：∵sin(2π＋α)＝log
8
＝－，
43
2
∴sinα＝－.
3
π
5
∵α∈(－，0)，∴cosα＝，
23
2
－
3
25sinα
∴tan(2π－α)＝－tanα＝－＝－＝.
cosα5
5
3
25
答案：
5
三、解答题
35π46π37π55π
10．求tan(－)sin(－)－costan的值．
6366
11π4ππππππ
解：原式＝tan(4π＋
)sin(14π＋)－cos(6π＋
)·tan(9π＋
)＝tan(2π－
)sin(π＋)－cos
6366636
π
tan
6
πππ
＝tansin－sin
636
331
＝×－＝0.
322
1
11．已知cos(75°＋α)＝，α为第三象限角，求
3
cos(105°－α)sin(α－105°)的值．
解：由于cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
22

高中数学人教B版必修4同步练习
1
＝－cos(75°＋α)＝－，
3
sin(α－105°)＝－sin(105°－α)
＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．
1
由于cos(75°＋α)＝>0，α为第三象限角，那么75°＋α为第四象限角，
3
则sin(75°＋α)＝－1－cos
2
?75°＋α?
122
＝－1－??
2
＝－，
33
所以cos(105°－α)sin(α－105°)
12222
＝(－)×()＝－.
339
π3π
cos?＋α?· cos?2π－α?·sin?－α＋?
22
12．已知f(α)＝.
3π
sin?－π－α?·sin?＋α?
2
(1)化简f(α)；
3π
1
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
25
π
－sinα·cos?－α?·[－sin?－α?]
2
解：(1)原 式＝
π
sin?π＋α?·sin?＋α?
2
sinα·cosα·cos α
＝＝－cosα.
－sinα·cosα
3π
(2)∵cos(α－)＝－sinα，
2
1
∴sinα＝－，
5
又α是第三象限角，
126< br>∴cosα＝－1－sin
2
α＝－1－?－
?
2
＝－，
55
26
∴f(α)＝－cosα＝.
5

23

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习


x
π
1．函数y＝2sin(＋)的周期、振幅依次是( )
25
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
2π
解析：选B.振幅为2，周期为＝4π.
1
2

π
2．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin (x－)的图
6
象，则φ等于( )
π5π
A. B.
66
7π11π
C. D.
66
解析：选D.∵φ∈[0,2π)，∴把 y＝sin x的图象向左平移 φ个单位长度得到 y＝sin(x＋φ)
11π11ππ
的图象，而 sin(x＋)＝sin(x＋－2π)＝sin(x－)．
666
3．已知函数y＝201 1sinωx(ω>0)的图象与直线y＋2011＝0的相邻的两个公共点间的距
2π
离为， 则ω的值为( )
3
3
A．3 B.
2
21
C. D.
33
解析：选A.函数y＝2011sinωx的最小值是－2011，它与直线y＋2 011＝0的相邻两个公
2π2π
共点之间的距离为一个周期，由＝，得ω＝3.
ω
3
4．函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位< br>长度，所得图象的函数解析式为________．
11
解析：y＝sinx→y＝3sinx→y＝3sin(x－3)
33
1
＝3sin(x－1)．
3
1
答案：y＝3sin(x－1)
3
一、选择题

π
1．要得到y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象( )
3
ππ
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
33
ππ
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
66
ππ π
解析：选D.∵y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]，∴把y＝sin2x的图象向右平移 个单位就能
366
π
得到y＝sin(2x－)的图象．
3
2．已 知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示，那么ω＝( )
24

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A．1
1
C.
2
解析：选B.2T＝2π，∴T＝π，
2π2π
又T＝，∴＝π，∴ω＝2.
ωω
B．2
1
D.
3

ππ
3．(2011年宁德高一检测)函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]的简图为( )
32

π
3
πππ
解析：选A.f(π)＝sin(2 π－)＝－，排除B、D.f()＝sin(2×－)＝0，排除C，或用
32663
五点法作 图验证．
π
4．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，|φ|<) 的最小正周期是π，且f(0)＝3，
2
则( )
1
π
1
π
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
2623
ππ
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
63
2π
解析：选D.∵T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)
ω
3
ππ
∵f(0)＝2sinφ＝3，∴sinφ＝，∵|φ|<，∴φ＝ .
223
π4π
5．(2010年高考辽宁卷)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋ )＋2的图象向右平移个单位后与
33
原图象重合，则ω的最小值是( )
24
A. B.
33
3
C. D．3
2
4π
解析：选A.若平移后的图象与原图象重合，则平移量应该是周期的整数倍，即是函
3< br>4π2π4π
数的1个周期或多个周期，ω取最小值时，应为其1个周期，故＝.又ω>0，所以 ω
3|ω|3
3
＝.
2
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A> 0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2011)
的值等于( )
25

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B．0
D.2－2
2π
π
解析：选C.由图象知A＝2，T＝8＝，∴ω＝，
ω
4
π
∴y＝2sin(x＋φ)，代入(2,2)，
4
ππ
∴2＝2sin(＋φ)，∴sin(＋φ)＝1，∴φ＝0，
22
π
∴y＝2sinx.
4
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)
ππ3π5π
37
＝2(sin＋sin＋sin＋sinπ＋sin＋sin
π＋sinπ＋sin2π)＝0.
424424
而2011÷8＝251??3， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2011)＝f(2009)＋f(2010)＋f(2011 )＝f(1)＋f(2)＋f(3)
ππ
＝2(2sin＋sin)＝2×(2＋1)＝22＋2.
42
二、填空题
πππ2π
7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对 任意的实数x，都有f(＋x)＝f(－x)，则f(＋)等于
666
ω
______ __．
π
解析：由依题意知x＝为y＝f(x)的对称轴．
6
π
∴f()＝±3，
6
2π
而T＝，
ω
π2π
∴f(＋)＝±3.
6
ω
答案：3或－3 ππ
8．(2011年沂水高一检测)把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，再 把各点
48
的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．
πππ
解析：y＝sin(2x＋)→y＝sin[2(x－)＋]→y＝2sin2x.
484
答案：y＝2sin2x
9．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如下图所示，则φ＝________.
A.2
C.2＋2
T
3π
5
2π
54 4
解析：由题图可知，＝2π－，∴T＝
π，∴
＝
π，∴ω＝
，∴y ＝sin(x＋φ)，又
242
ω
255
43333
∵sin(×< br>π＋φ)＝－1，∴sin(π＋φ)＝－1，∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∵－π≤φ＜π，∴φ< br>54552

26

高中数学人教B版必修4同步练习
9
＝
π.
10
9
答案：
π
10
三、解答题
1
π
5
10．已知函数y＝sin(2x＋)＋，x∈R.
264
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(3)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
1
2ππ
解：(1)振幅A＝，周期T＝＝π，初相φ＝；
226
πππ
157
π
(2)当sin(2x＋)＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z时，取 最大值＋＝，此时x＝kπ＋，
6622446
k∈Z.
ππ
(3)把y＝ sinx的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin(x＋)的图象，然后再把y＝
66
π
1
π
sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到y＝ sin(2x＋)的图象，
626
π
11
然后再把y＝sin(2x＋)的图 象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到y＝
622
π
1
π< br>51
π
sin(2x＋)的图象，最后把y＝sin(2x＋)的图象向上平移个单位长 度，就得y＝sin(2x＋)
626426
5
＋的图象．
4
π< br>11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象在y轴上的截距为 1，它在y
2
轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x
0,
2)和(x
0
＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
1
(2)将y ＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图象向x轴正方
3
π
向平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期
3< br>上的图象．
T1
解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x
0
＋3π) －x
0
＝3π，解得T＝6π，∴ω＝.把(0,1)代入解
23
x
析式y＝2sin(＋φ)，得2sinφ＝1.
3
ππ
又|φ|<，解得φ＝.
26
x
π
∴y＝2sin(＋)为所求．
36
ππππ< br>(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin(x＋)，再平移得g(x)＝2sin[(x－)＋]＝2s in(x－)．
6366
列表
π2π7π5π13π
x

63636
ππ3π
0 π 2π
x－
622
π
0 2 0 0
2sin(x－) －2
6
图象如图
27

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12．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称 为函数f(x)在[a，
π
2
b]上的面积．已知函数y＝sinnx在[0，]上的 面积为(n∈N
＋
)．
nn
2π
(1)求函数y＝sin3x在[0，]上的面积；
3
π4π
(2)求函数y＝sin(3x－π)＋1在[，]上的面积．
33
2π
解：(1)y＝sin3x在[0，]上的图象如图所示，
3
12
由函数y＝sin3x在[0，
π]上的面积为
，
33
24
∴在[0，
π]上的面积为
.
33
22
(2)由图可知阴影面积为S＝S
ABCD
＋＝π＋.
33



28

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人教B版必修4同步练习



1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是( )
A．向左、右无限延展
B．与y＝－sinx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
解析：选D.y＝sinx是奇函数，图象关于原点对称．
2．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，
π
2
，π，
3
2
π，2π B．0，
ππ
3
4
，
2
，
4
π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，
πππ
2
6
，
3
，
2
，
3
π
解析：选B.令2x＝0，
π< br>2
，π，
3πππ3π
2
，2π得x＝0，
4
，2
，
4
，π.
3．下列命题中正确的个数为( )
①y＝sinx的递增区间为[2kπ，2kπ＋
π
2
](k∈Z)
②y＝sinx在第一象限是增函数
③y＝sinx在[－
π
2
，
π
2
]上是增函数
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选A.由y＝sinx的单调性知①②错，③正确．
4．函数y＝sin
2< br>x－6sinx＋10的最大值是________，最小值是________．
解析：令sinx＝t，t∈[－1,1]，
则t
2
－6t＋10＝(t－3)
2
＋1，
∴最大值为17，最小值为5.
答案：17 5
一、选择题

1．函数y＝sin|x|的图象是( )
解析：选B.y＝sin|x|＝
?< br>?
?
sinx，?x≥0?
?
?
－sinx，?x<0?

，
作出y＝sin|x|的简图知选B.
2．设函数f(x)＝|sin(x＋
π
3
)|(x∈R)，则f(x)( )
A．在区间[
2π7π
3
，
6
]上是增函数
29

高中数学人教B版必修4同步练习
π
B．在区间[－π，－]上是减函数
2
ππ
C．在区间[，]上是增函数
34
π5π
D．在区间[，]上是减函数
36
ππππ
解 析：选A.f(x)的增区间为kπ≤x＋≤kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
3236
2π7π2π7π
当k＝1，则为≤x ≤，故在其子区间[，]上为增函数．
3636
3．(2010年高考江西卷)函数y＝si n
2
x＋sinx－1的值域为( )
5
A．[－1,1] B．[－，－1]
4
55
C．[－，1] D．[－1，]
44
解析：选C.令sinx＝t，t∈[－1,1]，
15
∴y＝t
2
＋t－1＝(t＋)
2
－，
24
5
∵t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]．
4
4．(201 1年济宁高一检测)已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选A.定义域为R.
∴f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|.
∴|a|＝0，∴a＝0.
1
5．(2011年汕头模拟)函数y＝sinx的定义 域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的最大
2
值和最小值之和为( )
4π
A. B．2π
3
3π
C．4π D.
2
4π2π
解析：选B.画出图象可知，b－a的最大值为，最小值为，∴最大值和最小值的和< br>33
4π2π
为＋＝2π
33
6．下列函数中，奇函数的个数是( )
①y＝x
2
sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x ∈[－π，π]；④y＝xcosx.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①∵x∈R定义域关于原点对称，且f(－x)＝(－x)
2
·sin(－x)＝ －x
2
·sin x＝－
f(x)，是奇函数．②∵x∈[0,2π]定义域不关于原 点对称，∴它是非奇非偶函数．③∵x∈[－π，
π]，∴定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin (－x)＝－sinx＝－f(x)，是奇函数．④∵x∈R关
于原点对称且f(－x)＝(－x)·c os(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，是奇函数．综上应选C.
二、填空题
17．(2011年聊城高一检测)方程sinx＝x
2
有________个正实根．
100
解析：由图象看出在y轴右侧两个函数y＝sinx，
1
y＝x
2
有3个交点．
100
1
故方程sinx＝x
2
有3个正实根．
100
30

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答案：3

1
8．函数y＝()
sinx
的单调递增区间为________．
2
解析：设u＝sinx，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u＝sinx的单调< br>π3π
递减区间，结合u＝sinx的图象知：2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
22
π3π
答案：[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
22
9．( 2011年烟台模拟)函数f(x)＝sinx＋2|sinx|(x∈[0,2π])的图象与直线y＝k有且 仅有两
个不同的交点，则k的范围是________．
?
?
3sinx， x∈[0，π]
解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
?

?
－sinx，x∈[π，2π]
?
分别画出f(x)及y＝k的图象(图略)，
由图象可知1答案：(1,3)
三、解答题
10．对于函数y＝|sinx|和y＝sin|x|.
(1)分别作出它们的图象；
(2)分别求出其定义域、值域，单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性．
解：(1)y＝|sinx|的图象如图①所示．

y＝sin|x|图象如图②所示．

π
(2)y＝|sinx|，定义域 ：R；值域：[0,1]；单调递增区间：[kπ，kπ＋](k∈Z)，偶函数，
2
周期为π .
3
π
y＝sin|x|，定义域：R；值域：[－1,1]；单调递增区间：[2 kπ－
π，2kπ－
](k为非正整
22
π3π5π
数)，[0，] ，[2kπ＋，2kπ＋](k为非负整数)；偶函数；非周期函数．
222
31
1 1．若函数y＝a－bsinx的最大值为，最小值为－，试求函数y＝－4asinbx的最值及
22
周期．
解：设t＝sinx∈[－1,1]，

31

高中数学人教B版必修4同步练习
?
①当b>0时，a－b≤a－b t≤a＋b.∴
?
1
a－b＝－
?
2
1
?
?
a＝
2
∴
?
.∴所求函数为y＝－2sinx.
?
?
b＝1
3
a＋b＝
2

，

?
a－b＝
2
②当b<0时，同理可得
?
1
a＋b ＝－
?
2
3

1
?
?
a＝
2
，∴
?
.
?
?
b＝－1

∴所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sinx.
∴综合①②得，所求函数为y＝±2sinx，其最小值为－2，最大值为2，周期为2π.
π
12．已知函数f(x)＝2asin(x－)＋a＋b.
4
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
解：(1)当a＝1时，
π
f(x)＝2sin(x－)＋1＋b.
4
∵y＝sinx的单调递减区间为
π3π
[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，
22
ππ3π
∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
242
3π7π3 π
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2k π＋，
444
7π
2kπ＋](k∈Z)．
4
π
(2)f(x)＝2asin(x－)＋a＋b，
4
ππ3π
∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤，
444
2
π
∴－≤sin(x－)≤1.
24
π
又∵a<0，∴2a≤2asin(x－)≤－a.
4
∴2a＋a＋b≤f(x)≤b.
∵f(x)的值域是[2,3]，
∴2a＋a＋b＝2且b＝3，
解得a＝1－2，b＝3.

32

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习


1．下列说法正确的是( )
A．y＝tanx是增函数
B．y＝tanx在第一象限是增函数
ππ
C．y＝tanx在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数
22
D．y＝tanx在某一区间上是减函数
ππ
解析：选C.正切函数在 每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数．但在整个定义域上
22
不是增函数，另外 ，正切函数不存在减区间．
2．函数y＝3tan2x的最小正周期是( )
A．2π B．π
ππ
C. D.
24
ππ
解析：选C.T＝＝.
|ω|2
π
3．函数y＝tan(－x)的定义域是( )
4
π
A．{x|x≠，x∈R}
4
π
B．{x|x≠－，x∈R}
4
π
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}
4
3
D．{x|x≠kπ＋
π，k∈Z，x∈R}
4
ππ
解析：选D.y＝tan(－x)＝－tan(x－)
44
ππ
∴x－≠kπ＋，k∈Z，
42
3π
∴x≠kπ＋，k∈Z.
4
π
4．y＝tan(2x＋)的单调递增区间为________．
4
πππ
解析：由kπ－<2x＋242
k3k
π
∴
π－π，k∈Z.
2828
k3k
π
答案：(
π－π，π＋
)，k∈Z
2828
一、选择题


π
1．函数y＝tan2(x＋)( )
4
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
ππ
1
解析：选A.y＝tan2(x＋)＝tan(2x＋)＝cot2x＝为奇函数．
42tan2x
2．(2011年宣城高一检测)已知点P(sinα－cosα，tanα)(α∈[0,2π])在 第一象限，则α的取
值范围为( )
33

高中数学人教B版必修4同步练习
π
35
ππ
5
A．(，
π)∪(π，π) B．(
，)∪(π，
π)
244424
π
353
ππ3
C．(，
π)∪(π，π) D．(
，)∪(
π，π)
2442424
?
sinα－cosα>0
?
sinα>cosα
?
解析：选B.由题意知，
?
，即
?
.
?
tanα >0
?
tanα>0
?
ππ5π
又0≤α≤2π，∴<α<或π<α <.
424
3．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω是常数且ω>0)相 交，则相邻两交点间的


距离是( )
A．π B.
2π
ω

C.
π
ω
D．与a的值有关
解析：选C.相邻两交点间的距离即为一个周期T＝
π
ω
.
4．已 知函数y＝tan(x＋φ)的图象过点(
π
12
，0)，则φ可以是( )
A．－
π
6
B.
π
6

C．－
π
12
D.
π
12

解析： 选C.∵过点(
π
12
，0)，∴tan(
π
12
＋φ)＝ 0，
∴
π
12
＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－
π
12
. < br>5．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(
π3π
2
，
2
)内的图象大致是( )

解析：选D.当x∈(
π
2
，π)时，sinx>0，tanx<0，所以tanx－sinx<0.
∴y＝tanx＋sinx－(sinx－tanx)＝2tanx.
同理，当x∈(π，< br>3π
2
)时，sinx<0，tanx>0，故tanx－sinx>0.
∴y＝tanx＋sinx－(tanx－sinx)＝2sinx.
综上可知，选项D正确．
6．(2011年沂水高一检测)α，β，γ∈(0，
π< br>2
)，且sinα＝
13
3
，tanβ＝2，cosγ＝
4< br>，则(
A．α<γ<β B．α<β<γ
C．β<α<γ D．γ<α<β
解析：选A.∵α∈(0，
π
2
)，sinα＝
1
3
，
∴cosα＝
222
3
，∴tanα＝
4
，
34
)

高中数学人教B版必修4同步练习
π
377
∵γ∈(0，)，cosγ＝，∴sinγ＝，∴tanγ＝，
2443
27
∴<<2，∴tanα43
π
又∵y＝tanx在(0，)上单调递增，
2
∴α<γ<β.
二、填空题
x
π
7．函数y＝tan(＋)的递增区间是________．
23
π
x
ππ
解析：令－＋kπ<＋<＋kπ，
2232
5ππ
∴－＋2kπ33
5x
π
答案：(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)
33
8．方程tan5x＋tan3x＝0，在[0，π]内有________个解．
解析：tan5x＝－tan3x＝tan(－3x)．
1
∴5x＝kπ－3x，∴8x＝kπ，x＝kπ，k∈Z.
8
又x∈[0，π]，∴k＝0,1,2,3,4,5,6,7,8共9个解．
答案：9
9．给出下列命题：
①函数y＝cosx在第三、四象限都是增函数；
π
②函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；
ω
25
③函数y＝sin(x＋
π)是偶函数；
32
ππ
④函数y＝tan 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝tan(2x＋)的图象．
84
其中正确命题的序号是________．
解析：①不正确，∵象限是集合概念 ，而y＝cosx的单调区间写法只是一个符号，不应
π
252
看作集合；②不正确， ∵ω可以小于0，应为；③正确，y＝sin(x＋
π)＝cos
x是偶函数；
|ω| 323
ππ
④正确，y＝tan[2(x＋)]＝tan(2x＋)．
84
答案：③④
三、解答题
10．比较下列各组数的大小：
(1)tan2与tan9；
1
(2)
log

1
tan70°，
log

1
sin25°，()
cos25°
.
2
22
解：(1)∵tan9＝tan(－2π＋9)，
ππ
而<2<－2π＋9<π，且y＝tanx在(，π)内是增函数，
22
∴tan2
log
(2)∵tan70°>tan45°＝1，∴
1
tan70°<0，
2

1
log
又01
sin25°>1，
2
2
1
而0 cos25°
<1，
2
35

高中数学人教B版必修4同步练习
πππ
11．若y＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(，0)且－<θ<，求θ的值．
322
kπ
解：∵y＝tanα的对称中心为(，0)(k∈Z)，
2
kπ
∴2x＋θ＝(k∈Z)，
2
π
kπ2
代入x＝得θ＝－
π(k∈Z)，
323
ππ
又∵－<θ<，
22
π
∴当k＝1时，θ＝－；
6
πππ
当k＝2时，θ＝，∴θ＝－或.
363
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，函数F(x)＝f(tanx)．
(1)判断F(x)的奇偶性并加以证明；
(2)求证：方程F(x)＝0至少有一个实根．
解：(1)F(x)为奇函数．因为F(－x)＝f(tan(－x))＝f(－tanx)，又因为f (－x)＝－f(x)，所以
F(－x)＝－f(tanx)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．
(2)证明：因为tan0＝0且f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，所以F(0)＝f(tan0 )＝0，即F(x)
＝0至少有一个实数根0.

1
log
1
tan70°
log
∴ <()
cos25°
<
1
sin25°.
2
22
36

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习


2011
1．函数y＝sin(
π－2010x)是( )
2
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2011
ππ
解析：选B.y＝sin(
π－2 010x)＝sin[(
－2010x)＋1005π]＝－sin(－2004x)＝－cos
222
2004x.
∴为偶函数．
π
2．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是( )
2
A．函数f(x)的最小正周期为2π
π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
2
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
π
解析：选D.∵y＝sin(x－)＝－cos x，
2
π
∴T＝2π，在[0，]上是增函数，图象关于y轴对称，
2
又y＝－cosx为偶函数，故选D.
π
3．(2011年高考大纲全国卷)设函数f(x)＝cos ωx(ω>0)，将y＝f( x)的图象向右平移个单
3
位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
1
A. B．3
3
C．6 D．9
π
解析：选C.由题意可知，nT＝(n∈N
*
)，
3
2ππ
∴n·＝(n∈N
*
)，
ω
3
∴ω＝6n(n∈N
*
)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.
4．函数y＝|cosx|的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正 周期为
________．
解析：将y＝cos x的图象在x轴上方的不动，下方部分对称地翻到x轴上方，即得函数
y＝|cos x|的图象，如图所示．

由图可知它的周期为π.
ππππ
又因为在一个周期[－，]上，函数的增区间是[－，0]，减区间是[0，]．
2222
π
而函数的所有周期是kπ(k∈Z)，因此函数y＝|cos x|的增区 间是[kπ－，kπ](k∈Z)，减区
2
π
间是[kπ，kπ＋](k∈Z)．
2
ππ
答案：[kπ－，kπ](k∈Z) [kπ，kπ＋](k∈Z) π
22
37

高中数学人教B版必修4同步练习
一、选择题
1．函数f(x)＝cos4x，x∈R是( )
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
π
C．最小正周期为的偶函数
2
π
D．最小正周期为的奇函数 < br>2
2π2ππ
解析：选C.T＝＝＝，f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f (x)，即f(x)是偶函数．
ω
42
2．函数y＝4cos
2
x＋4cosx－2的值域为( )
A．[－2,6] B．[－3,6]
C．[－2,4] D．[－3,8]
2
解析：选B.y＝4cosx＋4cosx－2
＝4(cos
2
x＋cosx)－2
1
＝4(cosx＋)
2
－3.
2
1
∵－1≤c osx≤1，∴y
min
＝－3，y
max
＝4(1＋)
2
－3＝6.
2
3．(2011年辽宁高一检测)若实数x满足log
2
x＝ 3＋2cosθ，则|x－2|＋|x－33|等于( )
A．35－2x B．31
C．2x－35 D．2x－35或35－2x
3
＋
2cosθ
解析：选B.由题意得x＝2，又cosθ∈[－1,1]，
所以2≤x≤32.
则|x－2|＋|x－33|＝x－2＋33－x＝31.
4 π
4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
3
ππ
A. B.
64
ππ
C. D.
32
4π2π
解析：选A.由题意得3cos(2×＋φ)＝3cos(＋φ＋2π)
33
2π
＝3cos(＋φ)＝0，
3
2πππ
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)，
326
π
取k＝0，得|φ|的最小值为，故选A.
6
51
5．(2011年潍坊模拟)方程cos(
π＋x)＝(
)
x
在区间(0, 100π)内解的个数是( )
22
A．98 B．100
C．102 D．200
11
解析：选B.原方程可变形为－sinx＝()
x
，在同一 坐标系中作出函数y＝－sinx和y＝()
x
22
100π
的图象，先判断 在一个周期内交点有2个，则所求个数为2×＝100.
2π
6．函数y＝3－sin
2
x－4cosx的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－6 D．－3
2
解析：选B.y＝3 －sinx－4cosx＝3－(1－cos
2
x)－4cosx
＝cos
2
x－4cosx＋2
38

高中数学人教B版必修4同步练习
＝(cosx－2)
2
－2.
∵－1≤cosx≤1，
∴y
min
＝(1－2)
2
－2＝－1.
二、填空题
7．函数f(x)＝lg(1＋2cosx)的定义域是________．
122
解析：1＋2cosx>0?cosx>－?－
π＋2kπ2 33
2
2π
答案：(－
π＋2kπ，
＋2kπ)(k∈Z)
33
π
8．若把函数y＝cos(x＋)的图象向左平移m(m＞0)个单位，所得图象关于 y轴对称，则
3
m的最小值是________．
解析：平移后的函数应为y＝cos x或y＝－cos x，求出最小的m即可．
2π
答案：
3
9．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示．
π
2
f()＝－，则f(0)＝________.
23

2
11π
解析：首先由图象可知所求函数的周期为
π，故ω＝3，将(
，0 )代入解析式，相当
312
11
ππ
于余弦函数“五点法”作图中的第二关键 点，
π＋φ＝
＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k
424
πππ< br>2
ππ
2
∈Z)，令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos(3x－)．又 因为f()＝－，f()＝－Acos＝－.
4423243
ππ
2
所以f( 0)＝Acos(－)＝Acos＝.
443
2
答案：
3
三、解答题
10．求下列函数的最大值和最小值：
2cosx＋1
(1)y＝；
cosx－2
πππ
(2)y＝2cos(2x＋)，x∈[－，]．
36 6
2cosx＋1
555
解：(1)法一：y＝＝2＋，因为－1≤cosx≤1，所 以－5≤≤－，
3
cosx－2cosx－2cosx－2
511
－3≤2＋ ≤，所以y
max
＝，y
min
＝－3.
3
cosx－2
3
2cosx＋12y＋1
法二：由y＝，解得cosx＝.
cosx－2 y－2
2y＋1
11
因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得－3≤y≤，所 以y
max
＝，y
min
＝－3.
33
y－2
π ππ2ππ
(2)因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤，所以－1≤2cos(2x＋)≤2，
66333
ππ
当cos(2x＋)＝1，即x＝－时，y
max
＝2，
36
39

高中数学人教B版必修4同步练习
π
1
π
当cos(2x＋)＝－，即x＝时，y
min
＝－1.
32 6
π
11．讨论函数y＝log
a
cos(2x－)(a>0且a≠1)的单 调性．
3
π
解：设t＝2x－，则y＝log
a
cost(a>0 且a≠1)，
3
画出y＝cost的图象，如图所示：
ππ
由题意知cost>0，所以t∈(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，
22
π
当a>1时，y＝cost的单增区间为(2kπ－，2kπ](k∈Z)．
2
ππ
令2x－∈(2kπ－，2kπ]
32
ππ
得x∈(kπ－，kπ＋](k∈Z)，
126
ππ
∴函数的单调递增区间为(kπ－，kπ＋](k∈Z)．
12 6
π
5
同理可得，函数的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋
π)(k∈Z)． 当0612
π
5
ππ
递增区间为[kπ＋， kπ＋
π)(k∈Z)．函数的单调递减区间为(kπ－
，kπ＋](k∈Z)．
612126

π
12．如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω ＞0,0≤θ≤)的图象与y轴相交于点(0，3)，
2
且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；
π
3
(2)已知点A(，0)，点P是该 函数图象上一点，点Q(x
0
，y
0
)是PA的中点，当y
0
＝，
22
π
x
0
∈[，π]时，求x
0
的值．
2
3
π
解：(1)将x＝0，y＝3代入函数y＝2cos(ωx＋θ)，得 cosθ＝，因为0≤θ≤，所以θ
22
π
＝.
6
由已知T＝π，且ω＞0，
2π2π
得ω＝＝＝2.
T
π
π
3
(2)因为点A(，0)，Q(x
0
，y
0
)是PA的中点，y
0
＝，
22
π
所以点P的坐标为(2x
0
－，3)．
2
ππ5π
3
又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，且≤x
0
≤π， 所以cos(4x
0
－)＝，
6262
40

高中数学人教B版必修4同步练习
7π5π19π
≤4x
0
－≤，
666
5π
11 π
5π13π
从而得4x
0
－＝或4x
0
－＝，
6666
2π3π
即x
0
＝或x
0
＝.
34

41

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4同步练习


1
1．已知α是三角形的一个内角，且sinα＝，则角α等于( )
2
ππ
A. B.
63
5ππ2ππ
C.或 D.或
6633
解析：选C.∵α是三角形的一个内角，
∴0＜α＜π，
1
∵sinα＝，
2
π5π
∴α＝或.
66
3
2．已知cosx＝，π2
7π4π
A. B.
63
5π11π
C. D.
36
3
解析：选D.∵cosx＝，π2
3
11π
∴x＝2π－arccos＝.
26
3．满足tanx＝－1的x的集合是( )
ππ
A．{x|x＝} B．{x|x＝kπ＋，k∈Z}
44
ππ
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝kπ－，k∈Z}
44
πππ
解析：选D.∵tanx＝－1，∴在(－，)内x＝－，
224
π
∴x＝kπ－，k∈Z.
4
13
4．arcsin(－)＋arctan＝________.
23
1
π
解析：arcsin(－)＝－，
26
3
π
arctan＝，
36
13
∴arcsin(－)＋arctan＝0.
23
答案：0
一、选择题
1
π
1．若sinx＝，x∈(，π)，则x等于( )
32
11
A．arcsin B．π－arcsin
33
π
11
C.＋arcsin D．－arcsin
233


42

高中数学人教B版必修4同步练习
1
π
111
解析 ：选B.∵π－arcsin∈(，π)，且sin(π－arcsin)＝，∴x＝π－arcsin. 32333
1
2．(2011年大庆高一检测)设cosα＝－，α∈(0，π)，则α的 值可表示为( )
6
11
A．arccos B．－arccos
66
11
C．π－arccos D．π＋arccos
66
1111
解析：选C.∵π－arccos∈(0，π)，且cos(π－arccos)＝－cos( arccos)＝－，
6666
1
∴α＝π－arccos.
6
31
arcsin－arccos?－?
22
3.的值等于( )
arctan?－3?
1
A. B．0
2
1
C．1 D．－
2
3
π
1
2π π
解析：选C.∵arcsin＝，arccos(－)＝，arctan(－3)＝－，
23233
π2ππ
－－
333
∴原式＝＝＝1.
ππ< br>－－
33
3π
4．若x∈[0，]，则使等式cos(πcosx)＝0成立的 x的值是( )
2
ππ4π
A. B.或
333
π2ππ2π4π
C.或 D.或或
33333
答案：D
5．给出下列等式
π
1
πππ
11
①arcsin＝1 ②arcsin(－)＝－ ③arcsin(sin)＝ ④sin(arcsin)＝
2263322
其中正确等式的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
π
解析：选C.①arcsin无意义；②③④正确．
2
π
3
6．若tan(2x＋)＝，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
33
A．5 B．4
C．3 D．2
π
3
ππ
解析：选B.∵tan(2x＋)＝，∴2x＋＝＋kπ
3336
ππ
kπ
∴2x＝－＋kπ，∴x＝－＋(k∈Z)，
6122
5π11π17π73π
∴x＝或x＝或x＝或x＝，共4个．
12121212
二、填空题
π
7．方程2cos(x－)＝1在区间(0，π)内的解是________．
4
43

高中数学人教B版必修4同步练习
ππ
1
解析：∵2cos(x－)＝1，∴cos(x－)＝，
442
ππ3πππ
∵x∈(0，π)，∴x－∈(－，)，∴x－＝，
44443
7π
∴x＝.
12
7π
答案：
12
π
8．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝____ ____.
3
π
解析：∵x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，
3
ππ
1
∴2cos(＋α)＝1，∴cos(＋α)＝.
332
ππ7π
∵α∈(0,2π)，∴α＋∈(，)，
333
π5π4π
∴α＋＝，∴α＝.
333
4π
答案：
3
9．函数y＝3－2x＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．
?
?
3－2x≥0
解析：要使函数有意义，需有：
?
，
?
－1≤2x－3≤1
?
3
解得：1≤x≤.
2
3
答案：[1，]
2
三、解答题
2
10．已知tanx＝－1，且cosx＝，求x的取值集合．
2
2
解：∵tanx＝－1<0，且cosx＝>0，
2
π
∴x是第四象限角，即2kπ－2
π
∵2
2
又cos(x－2kπ＋π)＝cos(x＋π)＝－cosx＝－(k∈Z)，
2
2
∴x－2kπ＋π＝arccos(－)(k∈Z)，
2
3ππ
即x＝2kπ－π＋＝2kπ－(k∈Z)．
44
π
∴x的取值集合为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．
4
π
11．已知函数f(x)＝2sin(2x－)＋1，
3
(1)求函数y＝f(x)的最大值、最小值以及相应的x值；
(2)若x∈[0,2π]，求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)若y>2，求x的取值范围．
ππ5π
解：(1)当2x－＝2kπ＋，即x ＝kπ＋，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最大值为3；
3212
πππ
当2x－ ＝2kπ－，即x＝kπ－，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最小值为－1.
3212

44

高中数学人教B版必修4同步练习
πππππππ
(2)令T＝2x－，则当2kπ－≤T≤2kπ＋，即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，也即kπ－
32 223212
5π
≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sinT＋1单调递增，
12
5π11π17π23π
又x∈[0,2π]，∴函数y＝f(x)的单调增区间为[0， ]，[，]，[，2π]．
12121212
ππ
1
ππ5π
(3 )∵y＝2sin(2x－)＋1>2，∴sin(2x－)>，从而2kπ＋<2x－<2kπ＋(k∈Z)， ∴kπ
332636
π7ππ7π
＋412412
12．已知△ABC的三个内角A、B 、C满足sin(180°－A)＝2cos(B－90°)，3cosA＝－2
cos(180°＋B )，求角A、B、C的大小．
解：∵sin(180°－A)＝2cos(B－90°)，
∴sinA＝2sinB.①
又3cosA＝－2cos(180°＋B)，
∴3cosA＝2cosB，②
①
2
＋②
2
得cos2
A＝
1
2
，
即cosA＝±
2
2
.
∵A∈(0，π)，∴A＝
π3π
4
或
4
.
(1)当A＝
π
3
4
时，有cosB＝
2
，
又B∈(0，π)，∴B＝
π7π
6
，C＝
12
.
(2)当A＝
3π
4
时，
3cos
3π
由②得c osB＝
4
3
2
＝－
2
<0，
可知B为钝角，在 一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．
综上，可知A、B、C的大小分别为
ππ7 π
4
，
6
，
12
.

45

高中数学人教B版必修4同步练习
人教B版必修4第1章章末综合检测



(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的)
10
1．sin(－
π)的值等于( )
3
11
A. B．－
22
33
C. D．－
22
10
2π
解析：选(－
π)＝sin(－4π＋
)
33
2πππ
3
＝sin＝sin(π－)＝sin＝.
3332
aπ
2．(2011年高考山东卷)若点(a,9)在函数y＝3
x
的图象上 ，则tan的值为( )
6
3
A．0 B.
3
C．1 D.3
aπ
π
解析：选D.∵点(a,9)在函数y＝3
x
的图象 上，∴9＝3
a
，∴a＝2，∴tan＝tan ＝3.
63
π
3．函数y＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可能是( )
3
ππ
A．x＝－ B．x＝－
612
ππ
C．x＝ D．x＝
612
πππππ
解析：选D.y＝sin(2x＋)的对称轴方程为2x ＋＝kπ＋(k∈Z)．∴x＝k·＋(k∈Z)，
332212
令k＝0即得．
π
1
4．已知f(sin x)＝x，且x∈[0，]，则f()的值等于( )
22
11
A．sin B.
22
ππ
C．－ D.
66
π
解析：选D.∵f(sin x)＝x，且x∈[0，]，
2
11
π
∴求f()，即解sin x＝，且x∈[0，]，
222
π
∴x＝，故选D.
6
π
1
π
5 ．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，则tanα等于( )
232
A．－22 B．22
22
C．－ D.
44
π
1
解析：选(α＋)＝cosα＝.
23
46

高中数学人教B版必修4同步练习
∵α∈(－
π
2
，0)，∴sinα＝－1－cos
2
α＝－
22
3
，
∴tanα＝
sinα
cosα
＝－22.
6. 如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|＜
π
2
)的图象，那么( )


A．ω＝
10
π
11
，φ＝
6

B．ω＝
10
π
11
，φ＝－
6

C．ω＝2，φ＝
π
6

D．ω＝2，φ＝－
π
6

解析：选C.由图象可知T＝π.∴ω＝
2π
T
＝2，
∴2sin(2·0＋φ)＝1，
∴sinφ＝
1
2
且|φ|＜
π
2
.
∴φ＝
π
6
，∴应选C.
7．已知函数f(x)＝
12
(sinx＋cosx)－
1
2
|sinx－cosx|，则f(x) 的值域是(
A．[－1,1] B．[－
2
2
，1]
C．[－1，
22
2
] D．[－1，－
2
]
解析：选C.当sinx≥cosx，f(x)＝cosx，当sinx＜cosx，f(x)＝sinx，< br>∴f(x)＝
?
?
?
cosx?sinx≥cosx?，
?< br>?
sinx?sinx＜cosx?.


图象如图实线表示．
2

所以值域为[－1，
2
]，故选C.
8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( )
A．cos01
2
B．cos01
2
C．cos0>cos
1
2
>cos1>cos30°
47
)

高中数学人教B版必修4同步练习
1
D．cos0>cos>cos30°>cos1
2
1
π
解析：选D.∵0<<<1，
26
cosx在(0，π)上是减函数．
1
∴cos0>cos>cos30°>cos1.
2
π
9．已知 函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平
4
移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )
π3π
A. B.
28
ππ
C. D.
48< br>2π
解析：选D.由已知，最小正周期为π＝，ω＝2，则结合平移公式和诱导公式可知平
ω
π
移后是偶函数，sin[2(x＋φ)＋]＝±cos2x，故选D.
4π
10．已知α∈(0，)，且4tan(2π＋α)＋3sin(6π＋β)－10＝0，－2t an(－α)－12sin(－β)＋2
2
＝0，则tanα的值为( )
A．－3 B．3
C．±3 D．不确定
?
?
4tanα＋3sinβ－10＝0， ①
解析：选B.将条件化为
?

?
2tanα＋12sinβ＋2＝0. ②
?
由①×4－②得14tanα－42＝0，
∴tanα＝3.故选B.
11．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )



2π
解析：选D.函数的最小正周期为T＝，
|a|
∴当|a|>1时，T<2π，当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现选项D不符合要求，故选D.
12．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的 图象分别交于M，N两点，则|MN|
的最大值为( )
A．1 B.2
C.3 D．2
解析：选B.
48

高中数学人教B版必修4同步练习
π
在同一坐标系中作出函数f(x )和g(x)的图象，如图所示，易知当x＝a＝kπ－(k∈Z)时，
4
ππ
|MN |取得最大值|sin(kπ－)－cos(kπ－)|＝2(k∈Z)．
44
二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)
sinθ
13．已知tanθ＝2，则
3
＝________.
s in
θ－cos
3
θ
sinθ?sin
2
θ＋cos
2
θ?
sinθ
解析：
3
＝
sin
θ－cos
3
θ
sin
3
θ－cos
3
θ
sin3
θ＋sinθcos
2
θ
＝
sin
3
θ－ cos
3
θ
tan
3
θ＋tanθ
＝
tan3
θ－1
2
3
＋2
10
＝
3
＝.
2－1
7
10
答案：
7
14．已知把函数y＝f(x)的 图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标伸长到
π
原来的2倍，然后把所得的图象沿 x轴向左平移个单位长度，这样得到的曲线和y＝2sin x
2
的图象相同，则已知函数y＝f(x)的解析式为____________．
解析：y＝2sinx的图象
π
π
右移个单位长度
2
――――――→y＝2sin(x－)的图象
2
1
π
横坐标缩短到原来的
2
――――――→y＝2sin (2x－)的图象
2
1
1
π
纵坐标缩短到原来的
4
――――――→y＝sin(2x－)的图象．
22
1
π
答案：y＝sin(2x－)
22
π
1 5．(2010年高考福建卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图
6
π
象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是 ____________．
2
解析：由对称轴完全相同知两函数周期相同，
π
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)．
6
πππ
53< br>由x∈[0，]，得－≤2x－≤
π，∴－
≤f(x)≤3.
26662
3
答案：[－，3]
2
16．下面四个结论：
①y＝sin|x|的图象关于原点对称；
②y＝sin(|x|＋2)的图象是把y＝sin|x|的图象向左平移2个单位而得到的；
③y＝sin(x＋2)的图象是把y＝sinx的图象向左平移2个单位而得到的；
④y＝ sin(|x|＋2)的图象是由y＝sin(x＋2)(x≥0)的图象及y＝－sin(x－2)(x<0) 的图象组成
的．
其中，正确的结论有________．(请把正确结论的序号都填上)
49