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【北师大版】2017-2018学年高中数学必修四全套习题(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 15:53
tags:高中数学必修4

郑州高中数学辅导班-高中数学文科复数的向量和摸



课下能力提升(一) 周期现象 角的概念的推广

一、选择题
1.-435°角的终边所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若α是第二象限的角,则180°-α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
3.与-457°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=457°+k?360°,k∈Z}
B.{α|α=97°+k?360°,k∈Z}
C.{α|α=263°+k?360°,k∈Z}
D.{α|α=-263°+k?360°,k∈Z}
α
4.已知α是第四象限角,则是( )
2
A.第一或第三象限角
B.第二或第三象限角
C.第一或第四象限角
D.第二或第四象限角
二、填空题
5.与2 011°终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是________.
6.设集合 M={α|α=-36°+k?90°,k∈Z},N={α|-180°<α<180°},则M∩N
=________.
7.若角α与β的终边互相垂直,则α-β=________.
8.终边落在阴影部分的角的集合是________.

三、解答题
9 .已知角α的终边与60°角的终边相同,写出满足条件的角α的集合S,并求出这个


集 合中在-360°~360°范围内的角.











10.如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆 上,∠AOx=45°.点P从点A出发,按逆
时针方向匀速地沿此圆周旋转.已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s
到达第三象限,经过14 s后又回到出发点A,求角θ,并判定其所在的象限.






答案

1.解析:选D 设与-435°角终边相同的角为α,则α=- 435°+k?60°,k∈Z,
当k=1时,
α
=-75°,
∵-75°角为第四象限角,
∴-435°角的终边在第四象限.
2.解析:选A 法一:取特值α=120°,则180°-120°=60°,是第一象限角.
法二:180°-α= -α+180°,
α
是第二象限角,而-α与α关于x轴对称,故-α是
第三象限角, 再逆时针旋转180°,得-α+180°,位于第一象限,如下图.


3.解析:选C 由于-457°=-1?360°-97°=-2?360°+263°,
故与-457°角终边相同的角的集合是
{
α
|
α=-457°+k?360°,k∈Z
}


{
α
|
α=263°+k?360°,k∈Z
}
.
α
4.解析:选D 如下图,带4的标号在第二、四象限,故是第二或第四象限角.
2

5.解析:与2 011°终边相同的角为2 011°+k?360°,k∈Z.
当k=-5时,211°为最小正角;
当k=-6时,-149°为绝对值最小的角.
答案:211° -149°
6.解析:对于M,当k=-1时,
α
=-126°;
当k=0时,
α
=-36°;
当k=1时,
α
=54°;
当k=2时,
α
=144°.
故M∩N=
{
-126°,-36°,54°,144°
}
.
答案:
{
-126°,-36°,54°,144°
}

7.解析:∵角α与β的终边互相垂直,
∴角α与β+90°或β-90°的终边相同.
即α=β+90°+k?360°或α=β-90°+k?360°,k∈Z.

α
-β=±90°+k?360°,k∈Z.
答案:±90°+k?360°,k∈Z
8.解析:在-180°~180°范围内,阴影部 分表示-45°≤
α
≤120°,故所示的角的
集合为{α|-45°+k?360° ≤
α
≤120°+k?360°,k∈Z}.
答案:
{
α
|
-45°+k?360°≤α≤120°+k?360°,k∈Z
}

9.解:与60°角的终边相同的角的集合为S={α|α=60°+k?360°,k∈Z}, 当k=0时,
α
=60°;当k=-1时,
α
=60°-360°=-3 00°.所以,集合S在-
360°~360°范围内的角为60°,-300°.
10.解:由题意,得14θ+45°=45°+k?360°,k∈Z,
k·180°
则θ=,k∈Z.
7
∵180°<2θ+45°<270°, ∴67.5°<
θ
<112.5°,


k?180°
即67.5°<<112.5°,k∈Z.
7
∴k=3,或k=4.
540°720°

θ
=,或θ=.
77
540°720°
易知0°<<90°,90°<<180°,
77
故角θ的终边在第一或第二象限.


课下能力提升(二) 弧 度 制

一、选择题
1.下列命题中,真命题是( )
A.1弧度是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
2.α=-2 rad,则α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.
C.
14π14π
B.-
33
7π7π
D.-
1818
?
?
?
π
π
k
4.设集 合
A

?
x
?
x

k
π+(-1 )?,
k
∈Z
?

B
={
x
|
x
=2
k
π+,
k
∈Z},则集合
2
2
?< br>?
?
A

B
之间的关系为( )
A.
A
?
B
B.
A
?
B

C.
A

B
D.
A

B
=?
二、填空题

5.在半径为2的圆内,弧长为的圆心角的度数为________.
3
6.终边落在直线
y

x
上的角的集合用弧度表示为
S
= ________.
?
?
?
π
k
7.已知θ∈
?
α
?
α=
k
π+(-1)?,
k
∈Z
?< br>,则角θ
4
?
?
?
的终边所在的象限是


________.
8.已知扇形的面积为25,圆心角为2 rad,则它的周长为________.
三、解答题
9.用弧度表示顶点在原点,始边重 合于
x
轴的非负半轴,终边落在图中的阴影部分内
的角的集合(不包括边界).






π
10. 如图,动点P

Q
从点
A
(4,0)出发,沿圆周运动,点
P按逆时针方向每秒钟转弧
3
π
度,点
Q
按顺时针方向每秒钟转弧 度,求
P

Q
第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标
6

P

Q
点各自走过的弧长.



答案
1.解析:选D 由弧度制定义知D正确.
π
2.解析:选C ∵-π<-2<-,∴α的终边落在第三象限,故选C.
2
1
3.解析:选B 显然 分针在1时到3时20分这段时间里,顺时针转过了2周,其弧度
3
714π
数为-( 2π?)=- rad.
33
π
4.解析:选C 对于集合
A
,当
k
=2
n
(
n
∈Z)时,
x
=2
n
π+,当
k
=2
n
+1(
n
∈Z)时,
2


x
=2
n
π+π-=2
n
π+

A

B
,故选C.

3
π
5.解析:设所求的角为α,角α===60°.
23
答案:60°
?
6.解析:
S

?
α
?
?

?
α
?
?
?
α
?
?
?
α=
π
+2
k
π,
k
∈Z
?
?

?
α
?
4
?
??
π
2
π
2
?
α=

+2
k
π,
k
∈Z
?
?

?
4
?
?
π
?
α=
π
+2
k
π,
k
∈Z
?
?
∪{α|α=+(2
k
+1)π,
k
∈Z}=
?
4
4
?
?
?
α=
π

n
π,
n
∈Z
?
?
.
?
4
?
?< br>π
答案:{α|α=+
n
π,
n
∈Z}
4
π
7.解析:当
k
为偶数时,α=2
n
π+,终边在第一象限;当< br>k
为奇数时,α=(2
n
4
π3
+1)π-=2
n< br>π+π,终边在第二象限.
44
答案:第一、二象限
8.解析:设扇形的弧长为
l
,半径为
r

1
2
则由
S
=α
r
=25,得
r
=5,
l=α
r
=10,
2
故扇形的周长为20.
答案:20 π
9.解:(1)图①中,以
OA
为终边的角为+2
k
π(k
∈Z);
6


OB
为终边的角为-+2
k
π(
k
∈Z).
3
∴阴影部分内的角的集合为
2π π
{α|-+2
k
π<α<+2
k
π,
k
∈Z}.
36
π
(2)图②中,以
OA
为终边的角为+2
k
π,
k
∈Z;
3


OB
为终边的角为+2< br>k
π,
k
∈Z.
3
不妨设右边阴影部分所表示集合为
M
1
,左边阴影部分所表示集合为
M
2

π

M
1
={α|2
k
π<α<+2
k
π,
k
∈Z},
3


M
2
={α|

+ 2
k
π<α<π+2
k
π,
k
∈Z}.
3
∴阴影部分所表示的集合为:
M
1

M
2={α|2
k
π<α<+2
k
π,
k
∈Z}∪

{α|+2
k
π<α<π+2
k
π,
k
∈Z }=
3
π2π
{α|2
k
π<α<+2
k
π或+ 2
k
π<α<π+2
k
π,
k
∈Z}.
3310.解:设
P

Q
第一次相遇时所用的时间是
t
s,
ππ

t
?+
t
?|-|=2π,
36
π
3

所以
t
=4(s),即
P
Q
第一次相遇时所用的时间为4 s .如图,设第一次相遇点为
C

π4π
?
1
?
22
第一次相遇时已运动到终边在?4=的位 置,则
x
c
=-
?
4?
?
=-2,
yc
=-4-2=
33
?
2
?
-23,所以
C< br>点的坐标为(-2,-23).
P
点走过的弧长为
Q
点走过的弧长为


4π16π
?4=,
33
2π8π
?4=.
33
课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
单位圆与周期性

一、选择题
1.如果-315°角的终边过点(2,a),则a等于( )
A.-2 B.2
C.-
5
D.±2
5

等于( )
4
2.cos


A.-
22
B.
22
C.-1 D.1
12
3.已知角α的终边过点(x,-6),若sin α=-,则x等于( )
13
55
A.B.-
22
25
C.±D.±
52
A
AA
sin
?
=-sin ,则是( ) 4.设A是第三象限角,且
?
2
??
22
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
二、填空题
5.sin (-330°)=________.
6.如果cos x=|cos x|,那么角x的取值范围是________.
7.若点P(2m,-3m)(m<0)在角α的终边上,则
sin α=________,cos α=________.
8.sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)=________.
三、解答题
1
9.已知f(x+3)=-,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
f(x)







10.已知cos α<0,sin α<0.
(1)求角α的集合;
αα
(2)判断sin,cos的符号.
22






答案
1.解析:选B ∵cos(-315°)=cos 45°=

22
=,解得a=±2,
2
4+a
2
2

2
又-315°是第一象限角,
∴a=2
2.解析:选B cos
9ππ
π
2
=cos
?
2π+
?
=cos =.
442
4
??
125
=-,解得x=±.
132
x
2
+6
2
-6
3.解析:选D sin
α

AAA
4.解析:选D ∵A是第三象限角,∴是第二、四象限角.又|sin |=-sin ≥0,
222
AA
∴sin ≤0,易知为第四象限角.
22
1
5.解析:sin(-330°)=sin(-360°+30°)=sin 30°=.
2
1
答案:
2
6.解析:∵cos x=|cos x|,∴cos x≥0,
ππ
∴-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
22
ππ
答案:{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}
22
7.解析:

-3m-3m
如右图,点P(2m,-3m)( m<0)在第二象限,且r=-13m,故有sin
α
==
r
-13m
313
=.
13
-213
2m2m
cos
α
===.
r
-13m
13


313213
答案: -
1313
8.解析:原式=sin(360°+60°)cos(720°+30°)+sin(-72 0°+30°)cos(-720°+
60°)=sin 60° cos 30°+sin 30°cos 60°=
答案:1
9.解:∵f(x+6)=f[(x+3)+3]=-1
=-
f(x+3)
1
1

f(x)
=f(x ),∴f(x)是周期函数,
3311
?+?=1.
2222
且6是它的一个周期.
10.解:(1)由cos
α
<0,sin
α
<0可知,
α
的终边落在第三象限.

∴角α的集合为{α|2kπ+π<
α
<2kπ+,k∈Z}.
2

(2)∵2kπ+π<
α
<2kπ+,k∈Z,
2
π
α

α
∴kπ+<2242
ααα
①当为第二象限角时,sin >0,cos<0;
222
ααα
②当为第四象限角时,sin <0,cos>0.
222


课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
单位圆的对称性与诱导公式

一、选择题
1.cos 150°的值是( )
A.-
31
B.-
22
13
C. D.
22
2.已知600°角的终边上有一点P(a,-3),则a的值为( )
A.3B.-3
C.
33
D.-
33
3.在△ABC中,下列4个等式恒成立的是( )
①sin(A+B)+sin C=0,②cos(A+B)+cos C=0,
③sin(2A+2B)+sin 2C=0,④cos(2A+2B)+cos 2C=0


A.①② B.②③
C.③④ D.①②
π
4.下列三角函数中,与sin数值相同的是( )
3
4ππ
①sin
?
nπ+
?
②cos
?
2nπ+
?

3
?
6
???< br>ππ
③sin
?
2nπ+
?
④cos
?
(2n+1)π-
?

3
?
6
???
π
⑤sin
?
(2n+1)π-
?

(n∈Z
)

3
??
A.①② B.①②③
C.②③⑤ D.①③④
二、填空题
31π
?
5.sin
?

=________.
4
??
sin(90°-α)cos(-α)
6.化简=________.
cos(180°-α)
ππ
1
7.已知sin
?
α-?
=,则cos
?
+α
?
的值等于________.
3
?
3
??
6
?
8.若函数f(x)=asin(πx+ α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满
足f(2 011)=2,则f(2 012)=________.
三、解答题
sin(-150°)cos(-210°)cos(-420°)
9.求值:.
cos(-600°)sin(-1 050°)






sin(α-3π)cos(2π-α)sin
?
-α+
?2
??
10.已知f(α)=,
cos(-π-α)sin(-π-α)
(1)化简f(α);
31π
(2)若α=-,求f(α)的值.
3



答案


1.解析:选A cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-
2.解析:选B ∵sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°
=sin(180°+60°)=-sin 60°=-

-3
a
2
+3
2
=-
3
.
2
3

2
3
,∴a=±3.
2
又∵600°角的终边在第三象限∴a=-3.
3.解析:选B 对于②,cos(A+B)+cos C=cos(180°-C)+cos C=-cos C+cos C=
0,成立.对于③,sin(2A+2B)+sin 2C=sin[2(180°-C)]+sin 2C=sin(360°-2C)+sin 2C
=-sin 2C+sin 2C=0,成立.
π

4.解析:选C ①中n为偶数时,sin
?
nπ+
?
=-sin;
3
3
??
πππ
②中cos(2nπ+)=cos=sin; 663
π
π
③中sin
?
2nπ+
?
=sin ;
3
3
??
ππ
π
④中cos
?
(2n +1)π-
?
=-cos=-sin ;
63
6
??
ππ π
⑤中sin[(2n+1)π-]=sin(π-)=sin .
333
故②③⑤正确.
31π
31π
?
π
5.解 析:sin
?

=-sin =-sin
?
8π-
?

4
4
?
4
???
π
π
2
=-sin
?

?
=si n =.
42
?
4
?
答案:
2

2
cos
α
cos
α
6.解析:原式==-cos
α
.
-cos
α
答案:-cos α
π
π< br>11
7.解析:∵sin
?
α-
?
=,∴sin(-α)=- ,
33
3
?
3
?
ππ
πππ
π
π
1
又∵
?
-α
?

?
+α
?< br>=,∴cos(+α)=cos
?

?
-α
?
?=sin
?
-α
?
=-.
63
?
3
??
6
?
2
?
3
?
?
??
2?
3
1
答案:-.
3
8.解析:∵f(2 011)=asin(2 011π+α)+bcos(2 011π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-(asin
α
+bcos
β
)=2,


∴f(2 012)=asin(2 012π+α)+bcos(2 012π+β)
=asin
α
+bcos
β
=-2.
答案:-2
(-sin 150°)cos 210°cos 420°
9.解:原式=
cos 600°(-sin 1 050°)



sin(180°-30°)cos(180°+30 °)cos(360°+60°)

cos(720°-120°)sin(1 080°-30°)
sin 30°(-cos 30°)cos 60°

cos 120°(-sin 30°)
-sin 30°cos 30°cos 60°

sin 30°sin 30°
131
??
222
3
=-=-.
112
?
22
-sin
α
?cos
α
?(-cos
α

10.解:(1)f(α)==-cos
α

(-cos
α
)sin
α
31π
31π
?

?
(2)f
?
=-cos
?
?
3
?
3
??
5π< br>=-cos
?
-6?2π+
?

3
??
5ππ
1
=-cos=-cos=-.
332


课下能力提升(五) 正弦函数的图像

一、选择题
1.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像是( )

2.下列各组函数图像相同的是( )
A.y=sin x与y=sin(x+π)


ππ
B.y=sin
?
x-?
与y=sin
?
-x
?

?
2
??
2
?
C.y=sin x与y=-sin x
D.y=sin(x+2π)与y=sin x
3.方程x
2
=sin x的根的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.函数y=-3sin x+2的最小值为( )
A.2 B.-1
C.-2 D.5
二、填空题
ππ
5.点
?
,3
?
在函数f(x)=asin x的图像上,则f
??
=________.
?
3
??
2
?
1
6.函数y=sin |x|,x∈[-π,π]的图像与直线y=有________个不同的交点.
2
π3π
11
7.若函数y=sin x
?
-≤x≤
?
的图像与直线y=-围成一个封闭的平面图形,则
22
2
??
2
这个图形的面积是________.
1
8.在[0,2π]上,满足sin x≥的x的取值范围是________.
2
三、解答题
9.画函数y=2sin x-1,x∈[0,2π]的简图.







10.求方程lg x=sin x实根的个数.



答案
1.解析:选B y=sin x――→y=-sin x――→y=1-sin x.
对称单位
2.解析:选D ∵sin(x+2π)=sin x,
∴y=sin(x+2π)与y=sin x的图像相同.
关于y轴向上平移一个


3.解析:选C

在同一平面直角坐标中画出y=x
2
与y=sin x的图像,由图可知有两个交点.
4.解析:选B 因为sin x的最大值为1,所以y=-3sin x+2的最小值为-3+2=-
1.
5.解析:∵3=asin
π
3
=a
32
∴a=2,f(x)=2sin x,
ππ
∴f()=2sin =2.
22
答案:2
6.解析:数形结合知有4个交点.

答案:4
7.解析:作出图形(如图)

2π?1
由图形可知,所求面积为=π.
2
答案:π
1
8.解析:如下图,在同一坐标系内作出[0,2π]上y=sin x和y=的图像,知满足sin
2
π5π
1
x≥的x的取值范围是
?

?
.
2
6
??
6

答案:
?
π5π
?
?
6

6
?

9.解:步骤:①列表:


x
sin x
y
0
0
-1
π

2
1
1
π
0
-1


2
-1
-3

0
-1
π3π
②描点:在平面直角坐标系中描出(0,-1),
?
,1
?
,(π,-1),
?
,-3
?
,(2π,
?
2
??
2
?
-1)五个点.
③连线:用光滑曲线将描出的五个点连接起来,得函数y=2sin x-1,x∈[0,2π]的简
图,如图所示.

10.解:在同一坐标系内画出y=lg x,y=sin x的图像,则方程根的个数即为两函数图
像交点的个数.由图像知方程有三个实根.




课下能力提升(六) 正弦函数的性质

一、选择题
1.函数
y
=4sin
x

x
∈[-π,π]的单调性是( )
A.在[-π,0]上是增加的,在[0,π]上是减少的
π
??
π
?
ππ
???
B.在
?
-,
?
上是增加的,在< br>?
-π,-
?

?
,π
?
上是减少的 2
??
2
?
22
???
C.在[0,π]上是增加的, 在[-π,0]上是减少的
π
??
π
???
ππ
?
D.在
?
-π,-
?

?
,π
?
上是增 加的,在
?
-,
?
上是减少的
2
??
2
???
22
?
2.函数
y
=|sin
x
|的最小正周期是( )
A.2π B.π
C.
ππ
D.
24
3.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°<cos 10°<sin 168°


B.sin 168°<sin 11°<cos 10°
C.sin 11°<sin 168°<cos 10°
D.sin 168°<cos 10°<sin 11°
4.定义在R上的函数
f
(
x
)既是偶函 数又是周期函数.若
f
(
x
)的最小正周期是π,且当
x

?
0,
?
时,
f
(
x
)=sin
x
,则
f
??
的值为( )
2
???
3
?
11
A.- B.
22
C.-
33
D.
22
?
π
??

?
二、填空题
31
5.
y

a

b
sin
x
的最大值是,最小值是-,则
a
=________,
b
=____ ____.
22
1
6.函数
y
=的定义域是________.
1+sin
x
7.函数
f
(
x
)=
x
+sin x
+1,(
x
∈R).若
f
(
a
)=2,则< br>f
(-
a
)的值为________.
8.函数
f
(
x
)=3sin
x

x
的零点个数为________.
三、解答题
3
?
π
??
π
?
9.求函数
y
=2sin< br>?
x

?

x

?
0,
?
的值域.
3
?
2
???






11
10.已知函数
y
=sin
x
+|sin
x
|.
22
(1)画出这个函数的图像;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期;
(3)指出这个函数的单调增区间.


答案
?
ππ
?
1.解析:选B 由正弦函数
y
=4sin x

x
∈[-π,π]的图像,可知它在
?
-,
?
?
22
?


π
??
π
??是增加的,在
?
-π,-
?

?
,π
?
上是减少的.
2
??
2
??
2.解析:选B 画出函数
y
=|sin
x
|的图像,易知函数
y
=|sin
x
|的最小正周期是π.
3.解析:选C ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,
cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,
?
π
?
又∵
y
=sin
x

?
0,
?
上是增加的,
2
??
∴sin 11°<sin 12°<sin 80°,即sin 11°<sin 168°<cos 10°.
4.解析:选D ∵
f
(
x
)的最小正周期为π,
5ππππ3

f
()=
f
(-)=
f
()=sin=.
333323
a
+|
b
|=,
?
?
2
1
5.解析:由
?

a
=,
b
=±1.
2
1
?
?
a
-|
b
|=-
2

1< br>答案: ±1
2
1
6.解析:要使有意义,则有1+sin
x
≠0.
1+sin
x
π

x
≠-+2
k
π,
k
∈Z
2
π
答案:{
x
|
x
≠-+2
k
π,
k
∈Z}.
2
7.解析:∵
f
(
a
)=2,∴
a
+sin
a
+1=2.∴
a
+sin
a
=1.

f
(-
a
)=(-
a
)+sin (-
a
)+1=-(
a
+sin
a
)+1=-1+1=0.
答案:0
8.解析:由
f
(
x
)=0得sin
x
=画出
y
=sin
x

y
=的图像如 右图,可知有3个交
33
点,则
f
(
x
)=3sin
x

x
有3个零点.
33
33
xx

答案:3

π
?
π5π
??
π
?
9.解:∵
x

?
0,
?
,∴
x
+∈< br>?

?
.
2
?
6
?
3
?
3
?


πππ
则当
x
+=,即
x=时,
y
最大为2,
326
π5ππ

x
+ =即
x
=时,
y
最小为1.
362
π
?
π
?
∴函数
y
=2sin(
x
+),
x

?
0,
?
的值域是[1,2].
2
?
3
?
11
10.解:(1)
y
=sin
x
+|sin
x
|
22
?
?
sin
x

x
∈[2
k
π,2
k
π+π](
k
∈Z)

?

?
0,
x
∈[2
k
π-π,2
k
π)(
k
∈Z).
?
其图像如图所示.

(2)由图像知函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为
?
2
k
π,2
kπ+
π
?
(
k
∈Z).
??
2
??


课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质

一、选择题
1.下列对
y
=cos
x
的图像描述错误的是( )
A.在[0,2π]和[4π,6π]上的图像形状相同,只是位置不同
B.介于直线
y
=1与直线
y
=-1之间
C.关于
x
轴对称
D.与
y
轴仅有一个交点
2.函数
y
=|cos
x
|的一个单调减区间是( )
?
ππ
??
π3π
?
A.
?
-,
? B.
?

?

4
??
44??
4

???

,2π
?
C.
?
π,
?
D.
??
2< br>???
2
?
?
π
??
π
?
3.函数
y
=cos
?
x

?

x
?
0,
?
的值域是( )
6
?
2
???< br>A.
?

?
?
31
?
3
??
1

?
B.
?
-,
?

22
??
22
?


C.
?
?
3
?
?
1
?
,1
?
D.
?
2
,1
?

??
?
2
?
4.设方程cos 2
x
=1的解集为
M
,方程sin 4
x
=0的解集为P
,则
M

P
的关系为( )
A.
M
?
P
B.
M
?
P

C.
M

P
D.
M

P
=?
二、填空题
5.函数
y

x
cos
x
的奇偶性是________.
3ππ
6.比较大小:sin________cos .
55
7.方程
x
=cos
x
的解的个数是________.
1
8.函数
y
=的值域是________.
1-cos
x
三、解答题
π
??
9.求函数
y
=cos?
3
x

?
的单调减区间.
4
??






10.求函数
y
=cos
x
+cos
x
+1的最大、最小值及使
y
取最值的
x
的集合.



答案
1. 答案:C
2.解析:选C 作出函数
y
=|cos
x
|的图像如图所示,由图像
2
2

可知,A、B都不是单调区间,D是单调增区间,C是单调减区间.
π
3.解析:选B ∵0≤
x
≤,
2
ππ2π
∴≤
x
+≤,
663



y
=cos
x
在[0,π]上为减函数.
1π3
∴-≤cos(
x
+)≤.
262
4.解析:选A 由cos 2
x
=1得2
x
=2
k
π(
k
∈Z),即
x

k
π(
k
∈Z);由sin 4
x
=0得
4
x

k
π(
k
∈Z),即
x


M
?
P
.
5.解析:∵
f(-
x
)=-
x
?cos(-
x
)=-
xcos
x
=-
f
(
x
),
∴此函数是奇函数.
答案:奇函数
3π2π2ππππ
6.解析:∵sin =sin(π-)=sin =sin(-)=cos ,
55521010
0<
πππ
<<.
1052
k
π
4
(
k
∈Z).
ππ
∴cos >cos,
105
3ππ
即sin >cos .
55
答案:>
7.解析:在同一坐标系中画出函数
y
=cos
x

y

x
的图像(如图),可知有两个交点.
2

答案:2
8.解析:∵0<1-cos
x
≤2.

11
≥.
1-cos
x
2
?
1
?
∴ 函数的值域为
?
,+∞
?
.
?
2
?
?< br>1
?
答案:
?
,+∞
?

?
2?
π
9.解:由2
k
π≤3
x
-≤2
k
π+π,
k
∈Z,
4
π5π
得2
k
π+≤3< br>x
≤2
k
π+,
k
∈Z,
44

2
k
ππ2
k
π5π
+≤
x
≤+,
k∈Z.
312312


∴单调递减区间是
?
?
2
k
π

π

2
k
π

5 π
?
(
k
∈Z).
?
12312
??
3
10.解:令
t
=cos
x
,则
t
∈[-1,1].
1
2

y< br>=
t

t
+1,对称轴
t
=-.
2
123
①当
t
=-,即
x
∈{
x
|
x< br>=±π+2
k
π,
k
∈Z}时,
y
min
= .
234
②当
t
=1,即
x
∈{
x
|< br>x
=2
k
π,
k
∈Z}时,
y
max
=3.


课下能力提升(八) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质

一、选择题
1.已知θ是第二象限角,则( )
θθ
A.tan>0 B.tan<0
22
θθ
C.tan≤0 D.tan的符号不确定 < br>22
π
??
2.函数
y
=2tan
?
2x

?
的定义域是( )
4
??
??
π< br>A.
?
x
|
x
∈R且
x

k
π-,
k
∈Z
?

4
??
B.
?
x
|
x
∈R且
x

?
?
k
π< br>?

+,
k
∈Z
?

28
???

C.
?
x
|
x
∈R且
x
k
π+,
k
∈Z
?

4
??
D.
?
x
|
x
∈R且
x

?
?
k
π
?
π
+,
k
∈Z
?

28
?
3.函数
y
=tan(sin
x
)的值域是( )
22
??
?
ππ
?
A.
?
-,
?
B.
?
-,
?

?
44
?
2
??
2
C.[-tan 1,tan 1] D.[-1,1]
4.函数
f
(
x
)=
sin
x
在区间[-π,π]内的大致图像是下列图中的( )
|cos
x
|


二、填空题
5.若tan
x
≥-3,则
x
的取值范围是________.
6.函数
y
=lg(tan
x
)的单调增区间是________.
?
ππ
?
7.函数
y
=sin
x

y
=tan
x
的图像在
?
-,
?
上交点个数是________. < br>?
22
?
?
π1
?
8.已知函数
y
=2tan
?

x
?
,则函数的对称中心是________.
?
62
?
三、解答题
?

?
9.已知
f
(
x
)=
a
sin
x

b< br>tan
x
+1,
f
?

?
=7,
?
5
?

f
?



?
2 012π
?
.
?
?
5
?
?
ππ
?
2
10.已知函数
f
(
x
)=< br>x
+2
x
tan θ-1,
x
∈[-1,3 ],其中θ∈
?
-,
?
.
?
22
?
π< br>(1)当θ=-时,求函数
f
(
x
)的最大值与最小值;
6
(2)求θ的取值范围,使
y

f
(
x
)在区间[ -1,3 ]上是单调函数.




答案
1.解析:选A ∵θ是第二象限角,
θ
∴是第一或第三象限角,
2
θ
∴tan>0.
2
ππ
2.解析:选B 由2
x
-≠
k
π+,
k
∈Z,
42
解得
x

k
π
2



k
∈Z.
8
3.解析:选C ∵-1≤sin
x
≤1,
ππ
∴-<-1≤sin
x
≤1<.
22


ππ

y
=tan
x
在(-,)上是增加的.
22

y
∈[-tan 1,tan 1].
sin
x
4.解析:选C
f
(
x
)=
|cos
x
|
?
?
tan
x
,cos
x
>0

?

?
-tan
x
,cos
x
<0
?
ππ
tan
x< br>,-<
x
<,
?
?
22

?

ππ
?
?
-tan
x
,-π≤
x
<-< br>2

2
<
x
≤π.
5.解析:

?
ππ
?
作出
y
=tan
x

x

?
-,
?
的图像,如图所示.
?
22
?
π

y
=-3,得
x
= -,
3
ππ
?
ππ
?
∴在(-,)中满足不等式tan
x
≥-3的
x
的取值范围为
?
-,
?
.
22
?
32
?
由正切函数周期性,可知:
ππ
? ?
原不等式的解集为
?
k
π-,
k
π+
?
(
k
∈Z).
32
??
ππ
??
答案:
?
k
π-,
k
π+
?
(
k
∈Z)
32
??
6.解析:函数
y
=lg(tan
x
)有意义,则tan
x
>0,
π
∴函数的增区间为(
k
π,
k
π+)(
k
∈Z).
2
π??
答案:
?
k
π,
k
π+
?
(k
∈Z)
2
??
?
π
??
π
?7.解析:在
x

?
0,
?
时,tan
x
>sin
x

x

?
-,0
?
时,tan
x
x
,所以
y

2
???2
?
?
ππ
?
sin
x

y
=tan
x

?
-,
?
上只有一个交点(0,0).
?
22
?
答案:1


?
π1
??< br>1π
?
8.解析:
y
=2tan
?

x?
=-2tan
?
x

?
.
6
??
62
??
2

y
=tan
x
的对称中心为
?
?
k
π
,0
?
, < br>?
?
2
?

k
ππ
∴令
x
-=,得
x

k
π+,
k
∈Z.
2623π
?
π1
???

y
=2tan
?

x
?
的对称中心为
?
k
π+,0
?
k
∈Z.
3
?
62
???
π
??
答 案:
?
k
π+,0
?
(
k
∈Z)
3??
9.解:设
g
(
x
)=
a
sin
x

b
tan
x
,因为sin
x
与tan
x
都是奇函数,所以
g
(-
x
)=-
g
(
x
),即
g
(-
x
)+g
(
x
)=0,故
f
(-
x
)+
f< br>(
x
)=
g
(-
x
)+1+
g
(< br>x
)+1=2,又易得
f
?

??

? ??

??

??

?

f
?
402π+
?

f
??
,∵
f
??< br>+
f
?

?
=2,且
f
?

?
=7,
5
??
5
???
5
??
5< br>??
5
?

f
?
?
2 012π
?
?
?
5
?
?
2 012π
?

f
?

?
=-5.
?? ?
?
5
??
5
?
π
10.解:(1)当θ=-时,
6
23
3
?
2
4
?
f
(
x
)=
x

x
-1=
?
x

?< br>-,
x
∈[-1,3 ].
33
3
??
2
∴当
x

34
时,
f
(
x
)的最小值为- ;
33
23

x
=-1时,
f
(
x)的最大值为.
3
(2)函数
f
(
x
)=(
x
+tan θ)-1-tanθ的图像的对称轴为
x
=-tan θ.

y

f
(
x
)在区间[-1,3]上是单调函数,
∴-tanθ≤-1或-tan θ≥3,
即tanθ≥1或tan θ≤-3.
22
?
ππ
?
又θ∈
?
-,
?

?
22
?
π
??
ππ
??
π
∴θ 的取值范围是
?
-,-
?

?

?
.
3
??
42
??
2


课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式


一、选择题
1.tan(π-2
x
)等于( )
A.-sin 2
x
B.-cos 2
x

C.tan 2
x
D.-tan 2
x

2.若cot α=
m
,则tan
?
A.
m
B.-
m

11
C.D.-
?

-α
?
=( )
?
?
2
?
mm
?
π
?
3.已知
f
(tan
x
)=cos 3
x
,且
x

?
0,?
,则
f
(tan 375°)的值为( )
2
??
12
A.B.-
22
C.
21
D.-
22
4.已知角α终边上有一点P
(5
n
,4
n
)(
n
≠0),则tan(1 80°-α)的值是( )
54
A.B.
45
44
C.-D.±
55
二、填空题
tan(α+π)tan(α+3π)
5.化简=________.
tan(α- π)tan(-α-π)
6.已知角α的终边上一点
P
(3
a
,4< br>a
)(
a
<0),则tan(90°-α)的值是________.
25π7
7.sinπ,cos,tanπ从小到大的顺序是________.
5 65

???
π
8.已知tan
?
-α-
?=-5,则tan
?
+α
3
???
3
三、解答题
cos 210°cos(-420°)tan 330°
9.求值:.
tan 390°sin 750 °cos 900°





10.已知角α终边上一点
A
的坐标为(3,-1),
?
=________.
?
?


sin(2π-α)tan(π+α)
求.
cos(π-α)tan(3π-α) tan(-α-π)




答案
1. 答案:D
3ππ
2.解析:选A tan(-α)=tan(-α)=cot α=
m
.
22
3.解析:选C tan 375°=tan(360°+15°)=tan 15°.
由条件可知
f
(tan 375°)=
f
(tan 15°)=cos(3?15°)=cos 45°=
2
.
2
2
y
4
n
4
4.解析:选C 由三角函数定义知tan α===.
x
5
n
5
4
∴tan(180°-α)=-tan α=-.
5
tan αtan α
5.解析:原式==-1.
tan α(-tan α)
答案:-1
6.解析:∵
P
(3
a
, 4
a
)(
a
<0),
443
∴tan α=,sin α=-,cos α=-,
355
sin(90°-α)cos α3
∴tan(90°-α)===.
cos(90°-α)sin α4
3
答案:
4

7解析:cosπ=-cos<0,
66
72π
tanπ=tanπ>tan=1,
554
2
而0<sinπ<1,
5
527
∴从小到大为cosπ655
527
答案:cosπ655



?

???
8.解析:由tan
?
-α-< br>?
=-tan
?
α+
?

3
?
3< br>???
π
???
π
?
=-tan
?
α+?
=-5,得tan
?
+α
?
=5.
3
???
3
?
答案:5
cos(180°+30°)co s(-360°-60°)tan(360°-30°)
9.解:原式=
tan(360°+ 30°)sin(720°+30°)cos(720°+180°)

(-cos 30°)cos 60°(-tan 30°)

tan 30°sin 30°cos 18 0°
3
?
1
?
3
??
?

??
2
?
?

?
?
2
??
3< br>?
31
??(-1)
32
==-
3

2
10.解:∵
x
=3,
y
=-1,
y
1
22

r
=(3)+(-1)=2.∴sin α==-.
r
2
sin(-α)tan α
原式=
(-cos α)tan(-α)tan(-α)
sinαtan α
=-
cos αtan α tan α
sinα1
=-=-sin α=.
sin α2


课下能力提升(十) 函数y=Asin(ωx+φ)的图像的画法
一、选择题
π
1.函数y=2sin
?
-2x+
?
的相位和初相分别是( )
3
??
ππππ
A.-2x+, B.2x-,-
3333
2π2π2ππ
C.2x+, D.2x+,
3333
π
2.(山东高考)将函数y=sin(2x+φ)的图像沿 x轴向左平移个单位后,得到一个偶函
8
数的图像,则φ的一个可能取值为( )
3ππ
A. B.
44
π
C.0 D.-
4
2
2
2


π
3.要想得到函数y=sin x的图像,只需将函数y=cos
?
x-
?
的图像( )
?
3
?
π
A.向右平移个单位长度
6
π
B.向右平移个单位长度
3
π
C.向左平移个单位长度
3
π
D.向左平移个单位长度
6
4.已知函数y=Asin(ωx +φ)+B的一部分图像如图所示,如果A>0,ω>0,|φ|<
则( )
π

2

A.A=4 B.ω=1
π
C.φ= D.B=4
6
二、填空题
π
5.将函数y=sin
?
x -
?
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再
?
3?
π
将所得的图像向左平移个单位长度,得到的图像对应的函数解析式是________ .
3
π
π
6.将函数y=sin
?
x+
?
的图像向右平移个单位长度,再向上平移2个单位长度所得
6
?
3
?
图像对应的函数解析式是________.
π
7.(天津高考)将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像
4
经过点
?
3π< br>,0
?
,则ω的最小值是________.
?
4
?
π
8.为得到函数y=cos
?
2x+
?
的图像,只需将函数y= sin 2x的图像向________平移
3
??
________个单位长度.
三、解答题
9.



图中曲线是函数f(x)=Asin( ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
(1)确定该图像对应的f(x)的表达式;

(2)若f(x)=a,在[0,]上有解,求a的取值范围.
12





π
1
10.把函数y=f(x)的横坐标 缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,
22
1
得到函数y=sin x的图像,试求函数y=f(x)的解析式.
2




答案
π
1.解析:选C ∵y=2sin(-2x+)
3
π=2sin
?
π-
?
-2x+
??

3
????

=2sin(2x+),
3
2π2π
∴相位和初相分别为2x+,.
33
2.解析:选B 把函数y=sin(2x+φ)的图像向左平移
π
个单位后,得到的图像的解析
8π
)的一段图像.
2
ππ
π
式是y=sin
?2x++φ
?
,该函数是偶函数的充要条件是+φ=kπ+,k∈Z,根据选项
4 2
4
??
π
检验可知
φ
的一个可能取值为.
4
π
πππ
3.解析:选A 函数y=cos
?
x-
?
可化为y=sin[+
?
x-
?
]=sin
?
x+
?
.要想得到
2
?
3
??
3
??6
?
ππ
函数y=sin x的图像,只需将函数y=sin (x+)的图像向右平移个单位长度.
66


4.解析:选C 由图像易求得A =2,B=2,周期T=4
?
5ππ
?
?
12

6
?
=π,即得y=2sin(2x
π
π
+φ)+2,又x=时,y= 4,即得sin
?
+φ
?
=1,对比各选项知C正确.
6
?
3
?
π
1
π
5.解析:先伸缩后平移,y=sin
?
x-
?
的图像→y=sin
?
x-
?
的图像→ y=
?
3
??
23
?
π
π
11
π
sin
?
?
x+
?

?
的图像,即y=s in
?
x-
?
的图像.
?
26
?
?2
?
3
?
3
?
1
π
答案:y=sin
?
x-
?
.
?
26
?
πππ
6 .解析:将函数y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度后变为函数y=sin(x-+
366< br>πππ
)=sin(x+),再向上平移2个单位长度,即函数解析式为y=sin(x+)+2 .
366
π
答案:y=sin(x+)+2
6
π
7.解析:将函数f(x)=sin
ω
x的图像向右平移个单 位长度,得到的图像对应的函数
4
π
ωπ
3π3ωπ
解析式为f(x )=sin
ω
(x-)=sin(ωx-).又因为函数图像过点(,0),所以sin(< br>4444
ωπωπωπ
-)=sin=0,所以=kπ,即ω=2k(k∈Z),因为< br>ω
>0,所以ω的最小值为2.
422
答案:2

ππ π
8.解析:y=cos
?
2x+
?
=sin
?
2 x++
?
=sin 2(x+),故将y=sin 2x的图像向左
12
3< br>?
32
???
5
平移π个单位长度.
12
答案:左
5
π
12

π
11
9.解:(1)A=1,T =π-
?

?
=π,∴
ω
==2.
12T
?
12
?
π
π
可得y=sin(2x+φ),由2?
?< br>-
?
+φ=0,得φ=.
6
?
12
?
π< br>∴f(x)=sin
?
2x+
?
.
6
??

3
(2)由(1)可知当x∈
?
0,
?
时,f(x)∈
?
-,1
?

12
??
?
2
?< br>故a的取值范围为
?

?
3
?
,1

2
?
1
10.解:法一:设f(x)=Asin(ωx+φ),把它的横坐标缩短到 原来的,得到y=Asin(2ωx
2


π
π
+φ),再向左平 移个单位长度,得到y=Asin
?

?
x+
?
+φ?
,即y=Asin(2ωx+ωπ+φ)
2
??
2
??
1
=sinx.
2
?
?
?
1
?
由两个 代数式恒等,得
?
2
ω
=1,
?
?
ω
=< br>2


?
?
ω
π+φ=0,
?
φ< br>=-
π

1
A=,
2
1
A=,
2< br>?
2
11
π
1x
∴f(x)=sin(x-)=-cos.
22222
ππ
11
法二:将y=sinx的图像向右平移个单位长度,得到 y=sin(x-)的图像,再把y
2222
π
111
π
1
=sin(x-)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin(x-),即y=-
22 2222
11x
cosx的图像,故所求函数解析式为f(x)=-cos.
222


课下能力提升(十一) 函数y=Asin(ωx+φ)的性质

一、选择题
π
1.(福建高考)函数f(x)=sin
?
x-
?
的图像的一条对称轴是( )
?
4
?
ππ
A.x= B.x=
42
ππ
C.x=- D.x=-
42
5
2x+π
?
的奇偶性为( ) 2.函数y=2sin
?
2
??
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
π5π
3.(新课标全国卷 )已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)
44
图像的 两条相邻的对称轴,则φ=( )
ππ
A. B.
43


π3π
C. D.
24
4.已知函数f(x )=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期
π
为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( )
2
A.f(x)在区间[-2π,0]上是增加的
B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增加的
C.f(x)在区间[3π,5π]上是减少的
D.f(x)在区间[4π,6π]上是减少的
二、填空题
π
5.函数y =2cos
?
-ωx
?
的周期为4π(ω∈R),则ω=_________ _______.
?
3
?
πππ
6.函数y=2sin
?
x-
??
x∈
?
-,
??
上的值域是______ __________.
?
6
???
33
??
π
7.已知方程2sin
?
x+
?
=k在x∈[0,π]上有两个解,则实数k 的范围是________.
?
4
?
ππ
8.若ω>0,函数f(x)=2sin ωx在
?
-,
?
上是增加的,则ω的取值范围是________.
?
34
?
三、解答题
π
9.设函数f(x)=sin(2 x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图像的一条对称轴是直线x=.
8
(1)求φ;(2)求函数y=f(x)的单调递增区间.






10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π )是R上的偶函数,其图像关于点
M
?
3ππ
,0
?
对称, 且在区间
?
0,
?
上是单调函数,求φ和ω的值.
2
??
4
??





答案


ππ
π
1.解析:选C f(x)=sin
?
x-
?
的图像的对称轴为x-=kπ+,(k∈Z),得x=k
42
?
4
?
3ππ
π+(k∈Z),当k=-1时,则其中一条对称轴为x=-.
44
5
2.解析:选B y=2sin(2x+π)=2cos 2x,
2
∴是偶函数.
π5π
3.解析:选A 由于直线x=和x=是函数f(x )=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对
44
称轴,所以函数f(x)的最小正周期T=2 π,所以ω=1,所以
ππ
4
+φ=kπ+
2
(k∈Z),
又0<φ<π,所以φ=
π
4
.
4.解析:选A ∵f(x)的最小正周期为6π,

ω

1
3
,∵当x=
π
2
时,f(x)有最大值,

π
6
+φ=π
2
+2kπ(k∈Z),
φ

π
3
+2kπ ,
∵-π<φ≤π,∴
φ

π
3
.
可得f(x )=2sin
?
x
?
3

π
3
?
?
在区间[-2π,0]上是增加的.
5.解析:因为y=Acos(ωx+φ)的周期T=

|
ω
|

所以T=

|
ω
|
=4π,即|ω|=
1
2

所以ω=±
1
2
.
答案:±
1
2
6.解析:∵-
π
3
≤x≤
ππππ
3
,∴-
2
≤x-
6

6
.
∴-1≤sin(x-
π
1
6
)≤
2

故y∈[-2,1].
答案:[-2,1]
7.解:


令y
1
=2sin(x+
π
),y
2
= k,在同一坐标系内作出它们的图像,(0≤x≤π),由图像可
4
π
知,当1≤k< 2时,直线y
2
=k与曲线y
1
=2sin(x+)在0≤x≤π上有两个公 共点,即当
4
1≤k<2时,原方程有两个解.
答案:[1,2)
ππ
8.解析:由-≤
ω
x≤,
22
?
ππ?
得f(x)的一个递增区间为
?
-,
?
.
?
2
ω
2
ω
?
π
?
ππ
?
?π
?
-,
由题设得
-,
?
?
.
?< br>34
?
?
2
ω
2
ω
?
?

3
∴0<
ω
≤.
2
3
答案:(0,]
2
π
9.解:(1)∵直线x=是函数y=f(x)的图像的一条对称轴,
8
π
∴sin
?
2?+φ
?
=±
8
??< br>1,
ππ
∴+φ=kπ+,k∈Z.
42
∵-π<
φ
<0,


φ
=-.
4

(2)由(1)知φ=-,
4

因此y=sin
?
2x-
?
.
4
??
π3ππ
由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
242
π5π
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
88
π5π
∴函数y=sin
?
2x-
?
的单调递增区间是[kπ+, kπ+](k∈Z).
88
4
??
10.解:∵f(x)在R上是偶函数,


∴当x=0时,f(x)取得最大值或最小值.
即sin
φ
=±1,得φ=kπ+
π
,k∈Z,又0≤φ≤π,
2
π
3

φ
=.由图像关于M(π,0)对称可知,
24
π
3
sin(π
ω
+)=0,
42

3ππ
ω
+=kπ,k∈Z,
42
42
解得ω=k-,k∈Z.
33
π
又f(x)在
?
0,
?
上是单调函数,
2
??
所以T≥π,


≥π,
ω

ω
≤2,
又ω>0,
2
∴当k=1时,
ω
=,
3
当k=2时,
ω
=2.


课下能力提升(十二) 三角函数的简单应用
一、选择题
1.为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值
是( )
197
A.98π B.π
2
199
C.π D.100π
2
2.如图为一半径为3 m的水轮,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每 分钟旋转4圈,
水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+ φ)+2,则有( )


15
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
15



15
C.ω=,A=5 D.ω=,A=5
15

3.一简谐运动的图像如图,则下列判断正确的是( )

A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大
4.下表是某城市2011年月平均气温(单位:°F).
月份
平均气温
月份
平均气温

若用x表示月份,y表示平均气温,则下面四个函数模型中最合适的是( )
A.y=26cos
ππ(x-1)
x B.y=26cos +46
66
π(x-1)π
+46 D.y=26cos x+46
66
1
21.4
7
73.1
2
26.0
8
71.9
3
36.0
9
64.7
4
48.8
10
53.5
5
59.1
11
39.8
6
68.6
12
27.7
C.y=-26cos
二、填空题
5.一根长lcm的线,一端固定,另一端悬挂 一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位
移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos?
?
g
π
?
t+
,其中g是重力加速度,当小球摆动< br>l3
?
的周期是1 s时,线长l等于________.
6.如图是一弹簧 振子做简谐运动的图像,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,
则这个振子的振动函数的一个解析 式为________.

7.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M
1
和M
2
的小球,做上下自由振动.已知它们在


π
时间t(s)离开 平衡位置的位移s
1
和s
2
cm分别由下列两式确定:s
1
=5sin
?
2t+
?
;s
2
=10cos
6
??

2t.则在时间t=时,s
1
与s
2
的 大小关系是________.
3
8. (江苏高考)函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图
所示,

则f(0)的值是________.
三、解答题
9.如图,表示电流Ι与时间t的关系式Ι=Asin(ωt+φ)

(A>0,ω>0)在一个周期内的图像.
(1)试根据图像写出Ι=Asin(ωt+φ)的解析式;
1
(2)若函数Ι=A sin(ωt+φ)在任意一段秒的时间内能同时取最大值A和最小值-A,那
100
么正整数 ω的最小值为多少?








10.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.在通常情况下,船在涨潮
时驶进 航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋,下面是在某港口某季节每天的时间与
水深关系表:
时刻
0:00
3:00
水深米
5.0
7.5
时刻
9:00
12:00
水深米
2.5
5.0
时刻
18:00
21:00
水深米
5.0
2.5


6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并求出函数的解析式;
( 2)一条货船的吃水深(船底与水面的距离)为5米,安全条例规定至少要有1.25米的安
全间隙(船 底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?


答案

414197
1.解析:选B 由49T≤1,得T≤,即≤,
ω
≥π.
41972
ω
197
2π2π
2.解析:选A 依题意A=3,且水轮每15 s转一圈,故周期T=15,
ω
==.
T15
3.解析:选B 周期为2?(0.7-0.3)=0.8 s,故A错;
由题中图像可知,振幅为5 cm,故B正确;
在最高点时,速度为零,加速度最大,故C,D错.
4.解析:选C 由数据得到,从1月到7月是上升的趋势,只有C满足要求.
5.解析:因为周期T=
2π< br>,所以
g
l
g

==2π,
lT
g
则l=
2
.

答案:
g


2
6.解析:设函数的解析式为y=Asin(ωt+φ)(t≥0)
由图像知A=2,T=2?(0.5-0.1)=0.8(s),

55
所以ω==π,∴y=2sin(πx+φ).
0.822
ππ
5
又π?0.1+φ=,所以φ=.
224
π
5
所以函数解析式为y=2sin(πt+)(t≥0).
24
π
5
答案:y=2sin(πt+)(t≥0)
24

7.解析:当t=时,s
1
=-5,s
2
=-5,
3
∴s
1
=s
2
.
答案:s
1
=s
2


T

ππ
8.解析:由图可知:A=2,=-=,所以T=π,
ω
==2,又函数图像41234T


πππ
π
经过点(,0),所以2?+
φ< br>=π,则φ=,故函数的解析式为?(x)=2sin(2x+),
3333
π
6
所以?(0)=2sin=.
32
答案:
6

2
111
9.解:(1)由题图可知A=300,T=-(-)=,
6030050

1
所以ω==100π.又因为(,0)在函数图像上,
T150
1
所以?100π+φ=π+2kπ,k∈Z,
150
1 1
所以φ=π+2kπ,k∈Z,所以Ι=300sin(100πx+π);
33

11
(2)依题意有T≤,即≤.所以ω≥200π,
1 00
ω
100
又因为ω∈N

,所以ω的最小正整数为629. < br>10.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,通过画草图可知用函数y=Asin(ωx+φ)+h(A>0,
ω
>0)来刻画水深与时间之间的对应关系.
A+h=7.5,
?
?
由题意得
?
-A+h=2.5,

?
?
T=12,
π
解得A=2.5,h=5,
φ
=.
6
∴这个港口的水深与时间的关系可用
π
5
y=sin x+5近似描述.
26
(2)货船需要的安全水深为5+1.25=6.25米,
所以y≥6.25时就可以进港,令
ππ
1525
sin x+5=?sin x=.
26462
ππππ
在区间[0,12]内,x=或者x=π-,
6666
解得x=1或x=5.
由周期性可得在[12,24]内x=13或x=17,
∴货船可以在1时进港,早晨5时出 港;或在中午13时进港,下午17时出港,每次在
港口停留4小时.


课下能力提升(十三) 从位移、速度、力到向量

一、选择题
1.给出下列命题:
①若a=-b,则|a|=|b|;②若|a|<|b|,则a③若a=b,则a∥b;④若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.某人向正东方向行进100 m后,再向正南方向行进1003m,则此人位移的方向是
( )
A.南偏东60° B.南偏东45°
C.南偏东30° D.南偏东15°
3.下列说法中正确的是( )
A.平行向量一定方向相同
B.共线向量一定相等
C.起点不同,但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量
D.与任意向量都平行的向量不一定是零向量
4.已知集合A={与a共线的向量},B={ 与a长度相等的向量},C={与a长度相等,
方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列命题中错 误的是( )
A.C?A B.A∩B=C
C.C?B D.A∩B?C
二、填空题
5.如图,在四边形ABCD中,
________.

且则四边形ABCD为

6.在?ABCD中,E,F分别是AB、CD的中点,如图 所示的向量中,设
=b,则与a相等的向量是________;与b共线的向量是________.
=a,


7.如图,设每一个正方形小方格的边长为1,则向量
的长度从小到大排列依次为________________.
,GH―→

8 .如图,已知矩形ABCD中,设点集M={A,B,C,D},集合T={
PQ
|P、Q∈M ,

PQ
≠0}.则集合T中有________个元素.

三、解答题
9.一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点,再从B点向东飞行100 km到达C
点,再从C点向东南45°飞行了1002km到 达D点,问飞机从D点飞回A点的位移大小
是多少km?





10.在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1),已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;
(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.




答案
1.解析:选C 对于①,若a=-b,则a,b互为 反向量,所以|a|=|b|,①正确;对于


②,向量的长度有大小,但向量不能比较大 小,所以②不正确;对于③,a=b,意味着a
与b的方向相同,所以a∥b;对于④,若b=0,则a ∥b,b∥c,但a与c方向不一定相同
或相反,所以④不正确.
2.

∴θ=60°.
3.解析:选C 非零平行(共线)向量要么方向相同,要么方向相反,所以 A、B均不正
确;只有零向量与任意向量平行,故D不正确;C正确.
4.解析:选B ∵A∩B中还含有向量a,故B错.
5.

答案:菱形
6.
7.


8.解析:集合T={
PQ
|P、 Q∈M,且
PQ
≠0}中的元素为非零向量
PQ
,且向量的起
点与终 点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性,得集合T={
}共含有8个元素.
答案:8
9.解:如图,建立平面直角坐标系xAy,其中x轴的正方向表示正东方向,y轴 的正


方向表示正北方向,作DE⊥AB,CF⊥DE,垂足分别为E、F.


在Rt△CDF中,|
CD
|=1002,
∠CFD=90°,∠CDF=45°,
∴CF=DF=100,ED=200,
在Rt△AED中,BE=EA=100,
∴|
DA
|=100
2
+200
2
=1005(km).
故飞机从D点飞回A点的位移大小为1005 km.
10.解:(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a平行,且长度相等,如图所示.
< br>(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆
心,2 为半径的圆,如上图.



课下能力提升(十四) 向量的加法

一、选择题
1.如图,在?ABCD中,下列结论错误的是( )


.

4.下列命题
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同;
②在△ABC中,必有
③若
=0;
=0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;
④若a、b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3


二、填空题
5 .若正方形ABCD的边长为1,
AB
=a,
BC
=b,则|a+b|=__ ______.
6.如图,已知△ABC是直角三角形,且∠A=90°,

给出下列结论:


其中结论正确的是________(填所有正确结论的序号).
7.在长江南岸渡口处,江水以12.5 kmh的速度向东流,渡船的速度为25 kmh,渡船
要垂直渡过长江,则航向为________.
8.已知a、b、c是非零向量 ,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b
+a)中,与向量 a+b+c相等的个数为________个.
三、解答题
9.如图所示,O是四边形AB CD内任意一点,试根据图中给出的向量,确定a,b,c,
d的方向(用箭头表示),使a+b=AB
,c+d=
DC
,并画出b+c和a+d.




10.在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分
别为30°、60°(如图),当重物平衡时,求两根绳子拉力的大小.






答案

1.

2.
.
3.

4.解析:选B 对于①②③④,若a与b方向 相反,且|a|=|b|,则a+b=0,零向量的
方向是任意的,所以①不正确;②正确;对于③,若 =0,则A、B、C可
能共线,所以③不正确;对于④,当a,b不共线或反向时,|a+b|<|a| +|b|,④不正确.
5.解析:|a+b|=|
AB

BC
|= |
AC
|=2.
答案:2


6.

=|
BC
|,
所以③正确;显然,④正确.
答案:①②③④ < br>7.解析:如图,渡船速度为
OB
,水流速度为
OA
,船实际垂直过江 的速度为
OA

OB

OD
,依题意,|
OA|=12.5,|
OB
|=25,△BDO为直角三角形,所以sin∠BOD=
1
=.
2



∴∠BOD=30°,
∴航向为北偏西30°.
答案:北偏西30°
8.解析:根据向量加法的运算律,题中5个式子与a+b+c均相等.
答案:5
9.解:(1)∵,

∴a,b,c,d的方向如图所示.



(2)根据平行四边形法则,以OB、OC为邻边作平行四边形OBEC,以 OA、OD为邻边
作平行四边形OAFD,连接OE、OF,则
OE
=b+c,
FO
=a+d,如图所示.

10.解:如图所示,作平行四边形OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,

在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
∴|
OA
|=|
OC
|cos 30°=
3
?300=1503(N).
2
1
|
AC
|=|
OC
|sin 30°=?300=150(N).
2
∴|
OB
|=|
AC
|=150(N),
即与铅垂线的夹角为30°的绳子的拉力是1503 N,与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉
力是150 N.



课下能力提升(十五) 向量的减法

一、选择题

A.①② B.②③
C.③④ D.①④



3.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )


4.a与b是非零向量,下列结论正确的是( )
A.|a|+|b|=|a+b| B.|a|-|b|=|a-b|
C.|a|+|b|>|a+b| D.|a|+|b|≥|a+b|
二、填空题
5.若菱形ABCD的边长为2,则=________.
6.若A、B、C、D是平面内任 意四点,给出下列式子:①
AB

其中所
有正确的式子的序号是______ __.
7.在?ABCD中,=b,|a|=|b|=2,∠BAD=120°,则|a-b|=__ ______.
=c,试用a,b,c8.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,
表示 =________.

三、解答题
9.如图,在正五边形ABCDE中,若=c ,=e,


求作向量a-c+b-d-e.






10. 如图,?ABCD中,

=b,

(1)用a、b表示;
(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b的所在直线互相垂直?
(3)当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|.
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?





答案
1.

2.
3.


4.解析:选D

当a,b共线时,若a,b同向,则|a+b|=|a|+|b|,a,b反向时,
|a+b|<|a|+|b|;
当a,b不共线时,如图有:
|a+b|<|a|+|b|.
故|a|+|b|≥|a+b|.
5.

答案:2
6.


答案:②③
7.解析:

如图,依题意?ABCD是菱形,∴∠DAO=60°,∴DO=AD?sin 60°=2?
3
=3,
2


故|a-b|=|
DB
|=2DO=23.
答案:23
8.

=a-b+c.
答案:a-b+c
9.解:

a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e)
.
如图,连接AC,并延长至点F,
使CF=AC,则
所以
10. 解:(1)
(2)由(1)知a+b=
AC
,a-b=
DB
.
a+b与a-b的所在直线垂直,即AC⊥BD.
又∵ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a、b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即|
AC
|=|
BD
|.
∵矩形的对角线相等.
∴当a与b的所在直线垂直时,
满足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能,因为?ABCD的两对角线不可能平行,因此 a+b与a-b不可能为共线向量,
也就不可能为相等向量.


课下能力提升(十六) 数乘向量

.
,即为所求作的向量a-c+b-d-e.
=a-b.


一、选择题
1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
2.已知O、A、M、B为平面上四点,且
A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上D.O、A、M、B四点共线
3.已知A、B、C三点共线,O是这条直线外的一点,满足
OA
,则λ的值为( )

1111
A.- B.-C.D.
2323
4.四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,则( )
OA
,λ∈(1,2),则( ) +(1-λ)·



二、填空题
AC3
5.点C在线段AB上,且=,则
CB2
=__ ______
AB
.
1
1
x-a
?
-(c+b- 3x)+b=0,6.若2
?
其中a、b、c为已知向量,则未知向量x=________.
?
3
?
2
7.已知△ABC和点M满足
成立,则m=___ _____.
8.D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点,且
CB
=a,
CA
=b,给出下
=0.若存在实数m使得


列命题:

其中所有正确命题的序号为________.
三、解答题
9.设两个 非零向量e
1
,e
2
不共线,已知
若A、B、D三点共线,试求k的 值.




10.△ABC中,,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N.设
.
=e
1
+3e
2

CD
=2e
1
-e< br>2

=b,试用a、b表示向量






答案

1.解析:选D ∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b)=λa-λb.
??
?
k=λ,
?
λ=-1,
又∵a,b不共线,∴
?

?
?
1=-λ.
?
?
k=-1.
?
∴c=-d,∴c与d 反向.
2.



λ
∈(1,2),∴点M在线段AB的延长线上,


即点B在线段AM上.
3.

5.

AC3
5.解析:∵=,∴点C为线段AB的5等分点,
CB2

32
答案: -
55
7211
6.解析:由已知可得x-a+b-c=0,
2322
411
∴x=a-b+c.
2177
411
答案:a-b+c
2177
7.

答案:3
8.解析:



∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点.

1111
=(a-b)+(-a+b)+(a+b)=0.
2222
故②③④正确.
答案:②③④
9.解:
=2e
1
-e
2
-(e
1
+3e
2
)
=e
1
-4e
2

若A、B、D三点共线,则
+k e
2
=λ(e
1
-4e
2
)
整理得(2-λ)e
1
=-(k+4λ)e
2

∵e
1
、e
2
不共线
??
?
2-λ=0
?
λ=2

?
?
?

??
k+4λ=0k=-8
??

,从而存在唯一实数λ,使,即2e
1

即k的值为-8时,A、B、D三点共线.
10.





课下能力提升(十七) 平面向量基本定理

一、选择题
1. 已知e
1
,e
2
是不共线向量,a=2e
1
+e
2
,b=λe
1
-e
2
,当a∥b时,实数λ等于( )
A.-1 B.0
1
C.- D.-2
2
2.已知a,b是不共线的向量,
AB
=λa+b,
A C
=a+μb,λ,μ∈R,若A、B、C
三点共线,则λ,μ满足的条件为( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
3.在△ABC中,点P是AB上一点,且
,则λ+μ的值为( )
1212
A. B.C.- D.-
2323
4.设起点相同的三个非零向量a,b,3a-2b的终点分别为A,B,C,则( )
A.A,B,C是一个三角形的三个顶点
B.A,B,C三点共线
,Q是BC中点,若



二、填空题
5.如图,每个小正方形 方格的长度为单位1,以向量e
1
,e
2
作为基底,则a-b=______ __.

6.已知e
1
,e
2
不共线,a=e
1
+2e
2
,b=2e
1
+λe
2
,要使a,b能作 为表示平面内所有向
量的一组基底,则实数λ的取值范围是________.
7. 如图,在△ABC中,D为AB上一点,若
则λ=________.

+,

8.△ABC中,
与DE相交于点N,若
三、解答题
9.设e
1
,e
2
是不共线的非零向量,且a=e
1
-2 e
2
,b=e
1
+3e
2
.
(1)证明:a,b可以作为一组基底;
(2)以a,b为基底,求向量c=3e
1
-e
2
的分解式;
(3)若4e
1
-3e
2
=λa+μb,求λ,μ的值.




10.在平面上给定一个△ABC,试推断平面上是否存在这样的点P ,使线段AP的中点
为M,BM的中点为N,CN的中点为P?若存在,这样的点P有几个;若不存在, 说明理

,DE∥BC,且DE与AC相交于点E,M是BC的中点,AM
(x,y∈R),则x+y=________


由.


答案

1.解析:选D 当a∥b时,a=tb(t∈R),则
2e1
+e
2
=t(λe
1
-e
2
),即(2-t λ)e
1
+(1+t)e
2
=0.
?
2-tλ=0,?
∵e
1
,e
2
不共线,∴
?
得λ=-2.
?
1+t=0,
?
2.

3.

4.

5.解析:a-b=
答案:2e
2
-e
1

6.解析:若a∥b,则λ=4,故a,b能作为基底的条件为
λ
≠4.
答案:{λ|λ∈R且λ≠4}
7.
=2e
2
-e
1
.



2
∴λ=.
3
2
答案:
3
8.解析:

如图,∵DE∥BC,

1
?
?
4
- λ=x,
1

?
得x+y=.
4
?
?
λ=y,
1
答案:
4
9.解:(1)证明:设a=λb(λ∈R),
则e
1
-2e< br>2
=λ(e
1
+3e
2
).
由e
1
,e
2
不共线得

?
?
?
?
λ=1
?
?
?
2

?
?3λ=-2
?
λ
=-,
?
3

λ
不存 在,故a与b不共线,可以作为一组基底.
(2)设c=ma+nb(m、n∈R),得
3 e
1
-e
2
=m(e
1
-2e
2
)+n( e
1
+3e
2
)
λ=1,


=(m+n)e
1
+(-2m+3n)e
2
.
??
?
m+n=3
?
m=2,
?
∴?
?

?
-2m+3n= -1
?
?
n=1,
?
∴c=2a+b.
(3)由4e
1
-3e
2
=λa+μb,得
4e
1
-3e
2
=λ(e
1
-2e
2
)+μ(e
1
+3e
2
)
=(λ+μ)e
1
+(-2λ+3μ)e
2
.
?
λ+μ=4,
?
λ=3,
??

?
?
?

??
-2λ+3μ=-3.
μ
=1.
??
故所求λ、μ的值 分别为3和1.
10.解:

假设存在符合要求的点P,如图所示,
∵M是AP的中点,

∵N是BM的中点,由平行四边形法则,



课下能力提升(十八) 平面向量的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示

一、选择题


1.(广东高考)若向量
A.(-2,-4) B.(3,4)
C.(6,10) D.(-6,-10)
2.已知
则向量
OC
等于( )
A.(-2,1) B.(0,-1)C.(3,4) D.(3,1)
=( )
=(0,3),把向量< br>AB
绕点A逆时针旋转180°得到向量
AC

3.已知A(5,7) ,B(2,3),将
AB
的起点移到原点,则平移后向量的坐标为( )
A.(-3,-4) B.(-4,-3)
C.(1,-3) D.(-3,1) 4.已知点A(x,1),B(1,0),C(0,y),D(-1,1).若
AB
CD
,则x+y等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题
5.已知i,j是分别与x轴,y轴同方向的单位向量,若
OA
=(x
2
+x+1)i-(x
2
-x+1)j(x
∈R),则点A位 于第________象限.
6.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),
AB
=ma+nb,
CD
=a-2b,若
AB
=-2
CD
,< br>则m=________,n=________.
7.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a=______,
b=________.
8.在△ABC中,点P在BC上,且
=________.
三、解答题
9.已知点A(0,2),B(2,4)及




10.在平行四边形ABCD中,点A(1,1),
AB
=(6,0).
,求点C,D和
CD
的坐标.
,点Q是AC的中点,若=(4,3),


(1)若
AD
=(3,5),求点C的坐标;
(2)若AC与BD交于一点M(2,2),求点D的坐标.




答案

1.解析:选A
2.解析:选B 依题意,
=(2,3)-(4,7)=(-2,-4).
,设C(x,y),则:
(0,3)-(0,1)=-(x,y-1),即(-x,-y+1)=(0,2).
?-x=0,
?

?
∴x=0,y=-1,故
OC
=(0 ,-1).
?
-y+1=2,
?

3.解析:选A
AB
=(2,3)-(5,7)=(-3,-4),
∵将
AB
平移后所得向量与AB―→相等,
∴平移后的坐标仍为(-3,-4).
4.解析:选D
AB
=(1-x,-1),
CD
=(-1,1-y),

AB

CD
,即(1-x,-1)=(-1,1-y),
??
?
1-x=-1,
?
x=2,
?
∴∴
?故x+y=4.
??
?
-1=1-y,
?
y=2.

5.解析:可知点A的坐标为(x
2
+x+1,-x
2
+x-1).
1313
∵x
2
+x+1=(x+)
2
+>0,-x
2
+x-1=-(x-)
2
-<0.
2424
∴点A位于第四象限.
答案:四
6.解析:
AB
=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n);
CD
=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).

AB
=-2
CD
,即(2m-n,3m+2n)=(-8,2).


??
?
2m-n=-8,
?
m=-2,
∴< br>?
解得
?

?
3m+2n=2,
?
??
n=4.

答案:-2 4
?
?
a+b=(2,-8) ①
7.解析:联立
?

?
a-b=(-8,16)②
?①+②得2a=(2,-8)+(-8,16)=(-6,8)
∴a=(-3,4),
而b=(2,-8)-a=(2,-8)-(-3,4)
=(2+3,-8-4)=(5,-12).
∴a=(-3,4),b=(5,-12).
答案:(-3,4) (5,-12)
8.解析:∵Q是AC的中点,∴,
=(-6,21).
答案:(-6,21)
9.

设C(x< br>1
,y
1
),D(x
2
,y
2
)


?
x
1
=1,
?

?
??
y
1
-2=1,
?
?
x
1
=1,< br>得
?
?
y
1
=3,
?

?
-x
2
=-6,
?
?

?
2-y=-6.
?
2


?
?
x
2
=6,
?

?
y
2
=8.
?

∴C,D的坐标分别为(1,3),(6,8)
CD
=(6,8)-(1,3)=(5,5).
10.解:(1)设点C的坐标为(x
0
,y
0
),

AC
=(x
0
-1,y
0
-1).

AC

AD

AB
=(3,5)+(6,0)=(9,5) ,


即(x
0
-1,y
0
-1)=(9,5),
?
?
x
0
-1=9,

?

?
y
0
-1=5.
?

∴x
0
=10,y
0
=6,即点C(10,6).
(2)设D(x,y),则
AD
=(x-1,y-1),
∵四边形ABCD是平行四边形,
M为BD的中点,

AB
+< br>AD
=2
AM
,又
AM
=(1,1),
即(x+5,y-1)=(2,2).
∴x=-3,y=3.
故D的坐标为(-3,1).


课下能力提升(十九) 向量平行的坐标表示

一、选择题
1.下列向量组中,能作为基底的是( )
A.e
1
=(0,0),e
2
=(1,-2)
B.e
1
=(-1,2),e
2
=(5,7)
C.e
1
=(3,5),e
2
=(6,10)
13
,-
?
D.e
1
=(2,-3),e
2
?
4
??
2
2.若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3 ,-x)互相平行,其中x∈R,则|a-b|=( )
A.25 B.2或25
C.-2或0 D.2或10
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+b与a-2b平行,则实数m等于( )
11
A.B.-
22
C.2 D.-2
4.已知向量
C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( )
1
A.k=-2 B.k=
2
C.k=1 D.k=-1
二、填空题
=(k+1,k-2),若A,B,


5.已知向量a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k,3).若a-2b与c共线,则k=________.
1 1
6.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+等于_______ _.
ab
7.已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb(λ∈R)平 行,则λ=________.
1
sin x,
?
,x∈(0,π),若a∥b,则x的值是________. 8.已知向量a=(1,1),b=
?
2
??
三、解答题
9.如果 向量
AB
=i-2j,
BC
=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向 上的单位向
量,试确定实数m的值使A、B、C三点共线.






10.已知向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求3a+b-2c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m和n;
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.




答案
1.解析:选B 能作为基底的向量不共线,可判定A、C、D中的两向量均共线,所以
15
不能作为基底,对于B,由于-≠,
27
所以e
1
,e
2
不共线,故选B.
2.解析:选B 由a∥b得-x-x(2x+3)=0,
∴x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
∴a-b=(-2,0),|a-b|=2;
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
∴a-b=(2,-4),|a-b|=25.
3.解析:选B ma+b=(2m-1,3m+2),a-2b=(4,-1),


若ma+b与a-2b平行,则
2m-1
=-3m-2,
4
1
即2m-1=-12m-8,解之得m=-.
2
4.解析:选C 若A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线.

∴(k+1)-2k=0,得k=1.
5.解析:因为a-2b=(3,3),
由a-2b与c共线,

k3
=,可得k=1.
3
3
答案:1
6.解析:
∵A,B,C三点共线,
∴(a-2)(b-2)-4=0.
111
整理得+=.
ab2
1
答案:
2
7.解析:λa+b=λ(3,2)+(2,- 1)=(3λ+2,2
λ
-1).
a+λb=(3,2)+λ(2,-1)=(3+2λ,2-λ).
∵(λa+b)∥(a+λb).
∴(3λ+2)(2-λ)-(2λ-1)?(3+2λ)=0.
解得,
λ
=±1.
答案:±1
1
sin x,
?
, 8.解析:∵a∥b,a=(1,1),b=
?
2
??
1
∴sin x=.
2
π5π
又∵x∈(0,π),∴x=或.
66
π5π
答案:或
66
9.解:法一:A、B、C三点共线,即
AB

BC
共线.
∴存在实数λ,使得
AB
=λ
BC
.
=(-2,b-2).


即i-2j=λ(i+mj).
?
?
λ=1,
于是
?
∴m=-2.
?
λm=-2,
?

即m=-2时,A、B、C三点共线.
法二:依题意知i=(1,0),j=(0,1).

AB
=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),
BC
=(1,0)+m(0,1)=(1,m).

AB

BC
共线,
∴1?m-1?(-2)=0.
∴m=-2,
∴当m=-2时,A、B、C三点共线.
10.解:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)
=(9,6)+(-1,2)-(8,2)
=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
(2)∵a=mb+nc,m,n∈R,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
5
m =,
?
-m+4n=3,
9
?
58

?
解 得∴m=,n=.
99
8
?
?
2m+n=2,
n=.9
?
?
?
(3)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5, 2),
又∵(a+kc)∥(2b-a),
16
∴(3+4k)?2-(-5)?(2+k)=0.∴k=-.
13



课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积

一、选择题
3
1.已知|
b
|=3,
a

b
方向上的射影是,则
a
?
b
=( )
2
9
A.3 B.
2


1
C.2 D. 2
1
2.设向量
a

b
满足|
a
|= |
b
|=1,
a
?
b
=-,则|
a
+2< br>b
|=( )
2
A.2B.3
C.5D.7
3.已知 |
a
|=1,|
b
|=6,
a
?(
b
-< br>a
)=2,则向量
a
与向量
b
的夹角是( )
A.
C.
ππ
B.
64
ππ
D. 32
4.若向量
a

b

c
满足
a< br>∥
b

a

c
,则
c
?(
a
+2
b
)=( )
A.4 B.3
C.2 D.0
二、填空题
5.已知|
a
|=1,|
b
|=3,|
a

b
|=4,则|
a

b
|=_______ _.
6.已知平面向量
a

b
,|
a
|=1,|
b
|=2,且|2
a

b
|=10,则向量
a
a
-2
b
的夹
角为________.

7.已知
e
1

e
2
是夹角为的单位向量,
a< br>=
e
1
-2
e
2

b

k e
1

e
2
,若
a
?
b
=0,则
k

3
值为________.
8.设
a
b

c
是三个任意的非零向量,且互不平行,以下四个命题:
①|a
|+|
b
|>|
a

b
|;②若
a
≠0,
a
?
b
=0,则
b
=0;③向量
a

b
满足:
a
?
b
>0,则
a

b
的夹角为锐角;④若
a

b
的夹角为θ,则|
b
|cos θ表示向量
b
在向量
a
方向上的射
影长.其中正 确的命题是________(填序号)
三、解答题
9.已知|
a
|=3 ,|
b
|=4,且(
a
+2
b
)?(2
a

b
)≥4,求
a

b
的夹角θ的范围.




10.已知
a

b
,且|
a
|=2,|
b
|=1,若有两个不同时为零的实数
k

t
,使得
a
+(
t

3)
b
与-
k a

tb
垂直,试求
k
的最小值.





答案
1.解析:选B 设
a

b
的夹角为θ(0≤θ≤π)
3
依题意,|
a
|cos θ=,而|
b
|=3.
2
39

a
?
b
=|
a
||
b
|cos θ=3?=.
22
2.解析:选B ∵|
a
+2
b
|=(
a
+2
b
)

a
+4
a
?
b
+4
b

=|
a
|+4
a
?
b
+4|
b
|
1
=1-4?+4=3,
2
∴|
a
+2
b
|=3.
3.解析:选C 设向量
a
与向量
b
的夹角为θ(0≤θ≤π),
由条件得
a
?
b

a
=2,
所以
a
?
b
=2+
a
=3=|
a
||
b|cos θ=1?6?cos θ,
1
所以cosθ=,
2
又因为0≤θ≤π,
π
所以θ=.
3
4.解析:选D ∵
a

c


a
?
c
=0.

a

b


b

c
.

b
?
c
=0,

c
?(
a< br>+2
b
)=
c
?
a
+2
b
?
c
=0.
5.解析:由|
a

b
|=
a
-2
a
?
b

b

得16=1-2
a< br>?
b
+9,2
a
?
b
=-6
∴|
a

b
|=
a
+2
a
?
b
b
=1-6+9=4
|
a

b
|=2.
2 22
222
2
2
22
22
22


答案 :2
6.解析:由|2
a

b
|=10得,4|
a
|+4
a
?
b
+|
b
|=10,
∴4?1+4
a
?
b
+2=10,
1

a
?
b
=,
2
1
2

a
?(
a
-2
b
)=|
a
|-2a
?
b
=1-2?=0.
2

a
⊥(
a
-2
b
),即
a

a
-2
b
的夹角为90°.
答案:90°
7.解析:∵
a
?
b
= (
e
1
-2
e
2
)?(
ke
1

e
2
)

ke
1
+(1-2
k
)
e
1
?
e
2
-2
e
2



k
+(1-2
k
)?1?1?cos -2
3
5
=2
k
-=0,
2
5

k
=.
4
5
答案:
4
8.解析:①正确,根据三角形两边之和大于第三边;②错误,由
a
≠0,
a
?
b
=0可得
22
22
22
b
=0或a

b
;③错误,
a
?
b
>0时
a< br>与
b
可以同向;④错误,|
b
|cos θ表示
b

a
方向上
的射影,不是长度,故正确的个数只有1个.
答案:①
9.解:由(
a
+2
b
)?(2
a
b
)=2
a
-2
b
+3
a
?
b
=2?3-2?4+3
a
?
b
≥4得
a
?b
≥6,
∴cos θ=
2222
a
?
ba
?
b
61
=≥=.
|
a
||
b
|3?43?42
?
π
?又θ∈[0,π],∴θ∈
?
0,
?
.
3
??
10.解:∵
a

b
,∴
a?b
=0,
又由已 知得[
a
+(
t
-3)
b
]?[-
ka

tb
]=0,
∴-
ka

t
(
t
-3)
b
=0.
∵|
a
|=2,|
b
|=1,
∴-4
k

t
(
t
-3)=0.
1
2

k
=(
t
-3
t
) 4
22


13
2
9
=(
t
-)- (
t
≠0).
4216
39
故当
t
=时,
k
取最小值-.
216


课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示

一、选择题
1.若向量
a
=(1,2),
b
=(1,-1 ),则2
a

b

a

b
的夹角等于( )
ππ
A.- B.
46
C.
π3π
D.
44
2.已知向量
a
=(3,4),
b
=(2,-1 ),如果向量
a

xb
与-
b
垂直,则
x
的值为( )
223
A.-B.
53
C.
3
D.2
23
3.已知向量
a
=(2,1),
a
?
b
=10,|
a

b
|=52,则|
b
|=( )
A.5B.10
C.5 D.25
4.已知
AB
=(4, 2),
AC
=(
k
,-2),若△
ABC
为直角三角形,则
k
等于( )
A.1 B.6
C.1或6 D.1或2或6
二、填空题
5.(安徽高考)设向量
a
=(1,2
m
),
b
=(
m
+1,1),
c
=(2,
m
). 若(
a

c
)⊥
b
,则|
a
|
= ________.
6.(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量
a

b的夹角为60°,
c

ta
+(1-
t
)
b< br>.若
b
?
c
=0,则
t
=________. 7.已知向量
a
=(1,2),
b
=(2,-3).若向量
c< br>满足(
c

a
)∥
b

c
⊥(a

b
),则
c

________.
8. 已知
a
=(1,3),
b
=(1,1),
c

a< br>+λ
b
,若
a

c
的夹角是锐角,则λ的取值范围是________.
三、解答题


9.已知向量
a
是以点
A
(3,-1)为始点,且与向量
b
=(-3,4)垂直的单位向量, 求
a
的终点坐标.





10.已 知△
ABC
中,
A
(2,4),
B
(-1,-2),
C
(4,3),
BC
边上的高为
AD
.
(1)求证:
AB

AC

(2)求点
D
和向量
AD
的坐标;
(3)设∠
ABC
=θ,求cos θ.


答案
1.解析:选C 因为2
a

b
=(2,4)+(1,-1)=(3,3),
a

b
=(0,3),
所以|2
a

b
|=32,|
a

b
|=3.
设2
a

b

a

b
的夹角为θ,
(2
a

b
)?(
a

b
)(3,3)?(0,3)2
则cos θ===,
|2
a

b
||
a
b
|2
32?3
又θ∈[0,π],
π
所以θ=.
4
2.解析:选A ∵
a

xb
=(3,4)+
x
(2,-1)=(3+2
x
,4-
x
),

b< br>=(-2,1),且(
a

xb
)⊥(-
b
), < br>2
∴-2(3+2
x
)+(4-
x
)=0,得
x=-.
5
3.解析:选C 法一:设
b
=(
x

y
),

a
?
b
=2
x

y
=10 ①,

a

b
=(
x
+2,
y
+1),|
a

b
|=52,
∴(
x
+2)+(
y
+1)=50 ②
22


?
?
x
=3,
?
?
x
=5,
① 与②联立得
?

?

?
y
=4,
?
?
y
=0.
?
∴|
b
|=
x

y
=5.
法二:由|
a

b
|=52得
a
+2
a
?
b

b
=50,
即5+20+
b
=50

b
=25|
b
|=5.
4.解析:选C 当
A
=90°时,
AC

AB
,则4
k
-4=0,k
=1;

B
=90°时,
AB

BC,又
BC

AC

AB
=(
k
-4, -4)
∴4(
k
-4)+2?(-4)=0解得
k
=6;

C
=90°时,
AC

BC
,则
k
(
k
-4)+(-2)?(-4)=0

k
-4
k
+8=0,无解.

k
=1或6.
5.解析:由题意知,
a

c
=(3,3
m
),
1
(
a

c
)?
b
=3(
m+1)+3
m
=0,解得
m
=-,
2

a
=(1,-1),|
a
|=1+(-1)=2.
答案:2
6.解析:本题考查平面向量的数量积运算,意在考查考生的运算求解能力.根据数 量

b?c
=0,把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中.因为向量
a

b
为单位向
1
2
量,所以
b
=1, 又向量
a

b
的夹角为60°,所以
a?b
=,由
b?c
=0得
b
?[
ta
+(1-
2
22
2
2
2
22
22
t
)
b
]=0,即
ta?b
+(1-
t
)
b
2
=0,所以
t
+(1-
t
)=0,所以
t
=2.
答案:2
7.解析 :本题主要考查向量的基本知识及运算.由题意,将
b
?
c
=[
ta
+(1-
t
)
b
]?
b
1
整理,得
ta
?
b
+(1-
t
)=0,又
a
?
b
=,所以
t
=2.
2
答案:2
7.解析:设
c
=(
x

y
),则
c

a
=(< br>x
+1,
y
+2).
又(
c

a
)∥
b

∴2(
y
+2)+3(
x
+1)=0.①
1
2< /p>



c
⊥(
a

b
),
∴(
x

y
)?(3,-1)=3
x

y
=0 .②
77
解①②得
x
=-,
y
=-.
93
7
??
7
答案:
?
-,-
?

3
??
9
8.解析:由条件得,
c
=(1+λ,3+λ), 从而
a
?
c
=1+λ+3(3+λ)>0,
?
?

?
1+λ3+λ
≠,
?
3
?
1
?
5
?
?λ∈
?
-,0
?
∪(0,+∞).
?2
?
?
5
?
答案:
?
-,0
?
∪(0,+∞)
?
2
?
4
9.解:∵
b
是直线
y
=-
x
的方向向量,且
a

b
. 3
3

a
是直线
y

x
的方向向量.
4
33λ
∴可设
a
=λ(1,)=(λ,).
44
由|
a
|=1,
9
22
得λ+λ=1.
16
4
解得λ=±,
5
4343

a
=(,)或
a
=(-,-).
5555

a
的终点坐标为(
x

y
)
44
x
-3=,
?
x
-3=-,
?
??< br>55

?

?

33
?
?
y
+1=
5

?
?
y
+1=-
5
.
1911
x
=,
?
x
=,
?
?
5
?
5

?

?

28
?
?
y
=-
5

?
?
y
=-
5< br>.
192118

a
的终点坐标是(,-)或(,-).
5555
10.



∴5(
x
+1)=5(
y
+2),②
75
由①②解得
x
=,
y
=,
22
75

D
点坐标为(,),
22



课下能力提升(二十二) 向量应用举例

一、选择题
1.已 知直线
l

mx
+2
y
+6=0,向量(1-
m< br>,1)与
l
平行,则实数
m
的值是( )
A.-1 B.1
C.2 D.-1或2
2.用两条成60°的绳索拉船,每条绳的拉力大小是12 N,则合力的大小为(精确到0.1
N)( )
A.20.6 N B.18.8 N
C.20.8 N D.36.8 N
3.在△
ABC
中,若=0,则△
ABC
为( )


A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.无法确定 < br>4.已知三个力
f
1
=(-2,-1),
f
2
=(- 3,2),
f
3
=(4,-3)同时作用于某物体上一点,
为使物体保持平衡 ,现加上一个力
f
4
,则
f
4
等于( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
二、填空题
5.已知
F
=(2,3)作用于一物体,使物体从
A< br>(2,0)移动到
B
(-2,3),则力
F
对物体
做的功为_ _______.
6.已知直线
l
经过点(-5,0)且方向向量为(2,-1), 则原点
O
到直线
l
的距离为
________.
7.在边长为1的正三角形中,设
22
,则=________.
8.已知 直线
ax

by

c
=0与圆
x

y
=1相交于
A

B
两点,且|
AB
|=3,则
=__________.

三、解答题
9.一辆汽车在平直公路上向西 行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为东偏南30°,
风速为4 ms,这时气象台报告的实际风速为2 ms,试求风的实际方向和汽车速度的大小.





10.试用向量法证明:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与他们
夹角的余弦之积的两倍.




答案
1.解析:选D 取直线
l
的方向向量
v
=(-2,
m),则
m
(1-
m
)-1?(-2)=0,即
m
m
-2=0,得
m
=-1或
m
=2.
2


2.解析:选C

设两条绳索的拉力
F
1

F
2
的合力为
F
合.
如图所示,则=12,
F

=,
连接
BD

AC

M< br>,∠
BAM
=30°,∴|
F

|=2|
3.
|=2?12cos 30°=123≈20.8 N.

4.解析:选D 由题可 知
f
4
=-(
f
1

f
2
f
3
)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]
=-(-1,-2 )=(1,2).
5.解析:∵
AB
=(-4,3),

W
F
?
s

F
?
AB
=(2,3)? (-4,3)=-8+9=1.
答案:1
1
6.解析:可知直线
l
的斜率
k
=-,
21

l
的方程为
y
=-(
x
+5),
2

x
+2
y
+5=0,
∴原点到
l
的距离为
d

答案:1
7.
5
1+2
22
=1.



112
=(-1-?1?1?cos 60°+?1)
233
1
=-.
4
1
答案:-
4
8.解析:

如图,取
D

AB
的中 点,∵
OA
=1,
AB
=3,
π
∴∠
AOD
=.
3

∴∠
AOB
=.
3

1
=-.
2
1
答案:-
2
9.解:依据物理知识,有三对相对速度,
车对地的速度为
v
车地

=1?1?cos
3
,风对车的速度为
v
风车
,风对地的速度为
v
风地
,风对地 的速度可
以看成车对地与风对车的速度的合速度,即
v
风地

v风车

v
车地


如图所示,根据向量 求和的平行四边形法则,可知表示向量
v
?
ABDC
的对角线.
∵ |
AC
|=4,∠
ACD
=30°,∴∠
ADC
=90°.
在Rt△
ADC
中,|
DC
|=|
AC
|cos 30°=23.
∴风的实际方向是正南方,汽车速度的大小为23 ms.
风地
的 有向线段
AD
对应
10.证明:设△
ABC
中,
a

b

c
分别为角
A

B

C< br>的对边,如图:



b
-2
bc
cos
A

c


a

b

c
-2
bc
cos
A
.
同理可证:
222
22
b
2
=< br>a
2

c
2
-2
ac
cos
B

c
2

a
2

b
2
-2
ab
cos
C
.
法二:如图,以
A为原点,
AB
所在直线为
x
轴,建立直角坐标系,则:

C
(
b
cos
A

b
sin
A
),
B
(
c,
0),

BC
=(
b
cos
A

b
sin
A
)-(
c,
0)
=(
b
cos
A

c

b
sin
A
),

a
=|
BC
|=(
b
cos
A

c
)+(
b
sin
A
)
2222

b
cos
A
-2
bc
cos
A

c

b
sin
A


b
-2
bc
cos
A

c

22
22222


即:
a

b
c
-2
bc
cos
A
.
同理可证:
22 2
b
2

c
2

a
2
-2
ca
cos
B

c
2

a
2

b
2
-2
ab
cos
C
.


课下能力提升(二十三) 求 值 问 题

一、选择题
1. 已知sin
?
?
?
α+
π
2
?
?
?

1
3
,α∈
?
?
π
?
2
,0
?
?
?
,则tan α的值为 ( )
A.-22 B.22
C.-
2
4
D.
2
4

2.已知向量
a
=(3,4),
b
=(sin α,cos α),且
a

b
,则tan α=( )
A.
3
4
B.-
3
4

C.
4
3
D.-
4
3

3.若sin α,cos α是方程3
x
2
+6
mx
+2
m
+1 =0的两根.则实数
m
的值为(
A.-
15
2
B.
6

C.-
1
2

5
6
D.
1
2

4.已知
sin α+3cos α
2
3cos α-sin α
=5,则sinα-sin αcos α的值是( )
A.
2
5
B.-
2
5

C.-2 D.2
二、填空题
5.若sin θ=-
4
5
,tan θ>0,则cos θ=________.
6.已知α∈
?
?
?
π,

2
?
?
?
,tan α=2,则cos α=________.
7.已知
A
为三角形内角,且sin
A
cos
A
=-
1
8
,则cos
A
-sin
A
=________.
)


5
44
8.已知θ是第三象限角,且sinθ+cosθ=,
9
则sin θcos θ=________.
三、解答题
9.已知向量
a
=(sin θ,cos θ-2sin θ),
b
=(1,2).
(1)若
a

b
,求tan θ的值;
(2)若|
a
|=|
b
|,0<θ<π,求θ的值.






10.已知3sinα+cos α=0,求下列各式的值:
3cos α+5sin α
(1);
sin α-cos α
(2)sinα+2sin αcos α-3cosα.





答案

1.解析:选A 由已知得cos α=.∵α∈(-,0),
32
2
2
∴sin α=-1-cosα=-2,
3
∴tan α=
sinα2
=-2?3=-22.
cos α3
22
sin αcos α
2.解析:选A 由
a

b
得,=.
34

sin α3
==tan α.
cos α4
sin α+cos α=-2
m

?
?
3.解析:选A 依题意得
?
2
m
+1

sin αcos α=,
?
3
?
∵(sin α+cos α)=1+2sin αcosα,
2


2
2
∴(-2
m
)=1+(2
m
+1),
3
即12
m
-4
m
-5=0.
15

m
=-或.
26
2
m
=时,Δ= 36
m
2
-12(2
m
+1)<0,∴
m
=-.
4.解析:选A 由条件可得
2
5
6
1
2
tan α+3
=5.解得tan α=2.
3-tan α
2
sinα-sin αcos α
∴sinα-sin αcos α=
22
sinα+cosα
tanα-tan α2-22
==
2
=.
2
tanα+12+15
5.解析:∵sin θ<0,tan θ>0,∴θ是第三象限角,
3
2
∴cos θ=-1-sinθ=-.
5
3
答案:-
5
sin α
?
?
tan α==2,
1
2
cos α
6.解析:依题意得
?
由此解得cosα=.
5
22
?
?
sinα+cosα=1,
3π5
又α∈(π,),因此cos α=-.
25
答案:-
5

5
22
15
2
7.解析:(cos
A
-sin
A
)=1-2sin
A
cos
A
=1-2?(-)=.
84
∵0<
A
<π,sin
A
cos
A
<0,∴sin
A
>0,cos
A
<0.
∴cos
A
-sin
A
<0,∴cos
A
-sin
A
=-
答案:-
5

2
4422222
5
.
2
8.解析:sinθ+cosθ=(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ
52
22
=1-2(sin θcos θ)=,∴(sin θcos θ)=.
99
∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0.
∴sin θ cos θ=
答案:
2

3
2
.
3
9.解:(1)∵
a

b
,∴2sin θ-(cos θ-2sin θ)=0,


1
即4sin θ=cos θ,故tan θ=.
4
(2)∵|
a
|=|
b
|,∴sinθ+(cos θ-2sin θ)=5.
展开得sinθ+cosθ-4sin θcos θ+4sinθ=5.
把sinθ=1-cosθ代入并整理,
得cos θ(sin θ+cos θ)=0.
∴cos θ=0或tan θ=-1.
又θ∈(0,π),
π3π
∴θ=或θ=.
24
10.解:法一:由已知得,cos α=-3sin α.
3cos α+5sin α
(1)
sin α-cos α

-9sin α+5sin α-4sin α
==-1.
sin α+3sin α4sin α
22
22
222
22
(2)sinα+2sin αcos α-3cosα
=sinα+2sin α(-3sin α)-3(-3sin α)
=-32sinα.
?
?
cos α=-3sin α,
1
2

?
2
得sinα=.
2
10
?
?
sinα+cosα=1,
2
22
116
22
∴sinα+2sin αcos α-3cosα=-32?=-.
105
sin α11
法二:由已知,得=-,∴tan α=-.
cos α33
3cos α+5sin α
(1)
sin α-cos α

sin α5
3+5?3-
cos α
3+5tan α
3
====-1.
sin αtan α-11
-1--1
cos α3
(2)sinα+2sin αcos α-3cosα
sinα+2sin αcos α-3cosα

22
sinα+cosα
tanα+2tan α-3

2
tanα+1
2
22
22

1
2
1
(-)+2?(-)-3
33

1
2
(-)+1
3
16
=-.
5


课下能力提升(二十四) 化简、证明问题

一、选择题
cosαcosα
1.已知tan α=2.则+=( )
1-cos α1+cos α
A.1 B.2
1
C.D.±2
2
πcos
x
1-cos
x
2.若<
x
<π,则+的值是( )
2|cos
x
|sin
x
A.0 B.-1
C.2 D.-2
3.若sinθ+cosθ=1,则sin θ-cos θ=( )
A.1 B.±1
C.2D.±2
1cos α
4.已知tan α-=-3,则=( )
cos αsin α+1
A.3B.-3
C.2D.-2
二、填空题
5.(1+tanθ)cosθ=________.
1-cosα< br>6.若角α的终边落在直线
x

y
=0上,则化简+的结果是
2
cos α
1-sinα
________.
7.若cos α+2sin α=-5,则tan α=________.
1-sinθ-cosθ
8.化简=________.
44
1-sinθ-cosθ
三、解答题
66
22
24
2
22
sin α
2


9.若sin αtan α<0,化简






1-sin α

1+sin α
1+sin α
.
1-sin α
cos αsin α2(cos α-sin α)
10.证明:-=.
1+sin α1+cos α1+sin α+cos α




答案
cosαcosα
1.解析:选C +
1-cos α1+cos α
cosα(1+cos α+1-cos α)

(1-cos α)(1+cos α)
2cosα21
==
2
=.
2
sinαtanα2
π
2.解析:选A ∵<
x
<π,
2
cos
x
|sin
x
|
∴原式=+
-cos
x
sin
x
sin
x
=-1+=0.
sin
x
3.解析:选B 由sinθ+cosθ=1,得cosθ=1-sinθ=cosθ.
∴cosθ-cosθ=0,cosθ(cosθ-1)=0.
∴cos2θsinθ=0,sin θcos θ=0,
∴(sin θ-cos θ)
=1-2sin θcos θ=1.故sin θ-cos θ=±1.
4.解析:选A ∵tan α-


sin α-1
=-3,
cos α
1-sin α
=3,
cos α
1sin α1
=-
cos αcos αcos α
2
2
4222
24422
2
2
22




cos αcos α(1-sin α)

2
sin α+11-sinα
1-sin α
=3.
cos α
222
5.解析:原式=cosθ+tanθcosθ
=cosθ+sinθ=1.
答案:1
6.解析:由题意知,角α是第二或第四象限的角.
sin α|sin α|
则原式=+=0.
|cos α|cos α
答案:0
7.解析:由已知可得(cosα+2sin α)=5,
即4sinα+4sin αcos α+cosα=5(sinα+cosα),
∴tanα-4tan α+4=0,
∴tan α=2.
答案:2
1-[(sinθ)+(cosθ)]
8.解析:原式=
2222

1-[(sinθ)+(cosθ)]
1-(sinθ+cosθ)(sinθ-sinθcosθ+c osθ)

22222
1-[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ]1-[(sinθ+cosθ)-3sinθcosθ]

22
2sinθcosθ
3sinθcosθ3
==.
22
2sinθcosθ2
3
答案:
2
9.解:




1-sin α

1+sin α
1+sin α

1-sin α
2
22
22222224224
2323
2
2222
2
22
(1-sin α)

(1+sin α)(1-sin α)
(1-sin α)

2
1-sinα
(1-sin α)

2
cosα
2
2
(1+sin α)

(1-sin α)(1+sin α)
2
2
(1+sin α)

2
1-sinα
(1+sin α)

2
cosα
2
|1-sin α||1+sin α|
+.
|cos α||cos α|
∵|sin α|≤1,
∴1-sin α≥0,1+sin α≥0.


又∵sinαtan α<0,
∴α是第二、三象限角,
从而cos α<0.
1-sin α1+sin α2
∴原式=+=-.
-cos α-cos αcos α
cos α+cosα-sin α-sinα
10.证明:左边=
(1+sin α)(1+cos α)



(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)

1+sin α+cos α+sin αcos α
2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)

22
1+sinα+cosα+2sinα+2cos α+2sin αcos α
22
2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)

2
(1+sin α+cos α)
2(cos α-sin α)
==右边.
1+sin α+cos α


课下能力提升(二十五) 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数

一、选择题
sin 47°-sin 17°cos 30°
1.(重庆高考)=( )
cos 17°
A.-
31
B.-
22
13
C. D.
22
2 .在△
ABC
中,若sin(
B

C
)=2sin
B
cos
C
,那么这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
?
π
?
3. (湖南高考)函数
f
(
x
)=sin
x
-cos
?
x

?
的值域为 ( )
6
??
A.[-2,2] B.[-3,3]
C.[-1,1] D.
?

?
?
33
?

?

22
?
12π
?
π
?
4.已知sin αcos α=,0<α<,则2cos
?
-α
?
的值为( )
252
?
4
?
11
A.B.-
55


71
C.D.±
55
二、填空题
?
π
??
π
?
5.函数
y
=sin
x
cos
?
x

?
+cos
x
sin
?
x

?
的最小正周期
T
=_______ _.
4
?
4
???
6.在△
ABC
中,
A

B
为锐角,且sin
A

510
,sin
B
=,则
A

B
=________.
510
7.(大纲全国卷)当函数
y
=sin
x
-3cos
x
(0≤
x
<2π)取最大值时,
x
=________.
?
π
?
8.设α,β,γ∈
?
0,
?
,且 sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,
2
??
则β-α等于________.
三、解答题
?
π
?
9.已知函数
f
(
x
)=4cos
x
sin
?
x

?
-1.
6
??
(1)求
f
(
x
)的最小正周期;
?
ππ
?
(2)求
f
(
x
)在区间
?< br>-,
?
上的最大值和最小值.
?
64
?





ππ3π
?
π
10.已知0<β<,<α< ,cos
?
-α
444
?
4
的值.





答案
sin(30°+17°)-sin 17°cos 30°
1.解析:选C 原式=
cos 17°


sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30°

cos 17°
sin 30°cos 17°1
=.
cos 17°2< br>?

3
,sin
?

+β
?
5< br>?
4
??
?

5
,求sin(α+β)
?< br>13
?


2.解析:选D ∵sin(
B

C
)=2sin
B
cos
C

∴sin
B
cos
C
+cos
B
sin
C
=2sin
B
cos
C

即cos
B
sin
C
=sin
B
cos
C
,sin(
B

C
)=0
又-π<
B

C
<π,

B

C
=0,
B

C
.
π31π
3.解析:选B
f
(
x
)=sin
x
-cos(
x
+)=sin
x
-cos
x
+sin
x
=3sin(
x
-),
6226
π
∵sin(
x
-)∈[-1,1],
6

f
(
x
)值域为[-3,3].
4.解析:选C ∵2cos(
sin α,∴[2cos(
49π
.∵0<α<,
252
ππππ
∴-<-α<0,-<-α<,
2444
ππ7
∴cos(-α)>0.∴2cos(-α)=.
445< br>ππ2π
5.解析:
y
=sin(
x

x
+ )=sin(2
x
+),∴
T
==π.
442
答案:π
6.解析:∵
A

B
为锐角,∴cos
A
=1-sin
A

3
2
cos
B
=1-sin
B
=10.
10
∴cos(
A

B
)=cos
A
cos
B
-sin
A
sin
B


235102
5?10-?=.
5105102
2
πππ
-α)=2(cos cos α+sin ?sin α)=cos α+
444
π12
22
-α)]=(sin α+cos α)=1+2sin αcos α=1+2?=
425
2
5,
5
π
又0<
A

B
<π,∴
A

B
=.
4
π
答案:
4
πππ5π
7.解析:
y
=sin
x
-3cos
x
=2sin(
x
-),由0≤
x
<2π?-≤
x
-<可知-
3333
πππ5π
2≤2si n(
x
-)≤2,当且仅当
x
-=时即
x
=取得最大值.
3326

答案:
6


8.解析:由条件知sin β-sin α=sin γ,①
cos β-cos α=-cos γ,②
由①+②得2-2(sin βsin α+cos αcosβ)=1.
1
∴cos(β-α)=,又由① 知sin β>sin α,
2
π
∴β>α,β-α∈(0,).
2
π
∴β-α=.
3
π
答案:
3
π
9.解:(1)∵
f
(
x
)=4cos
x
sin(
x
+)-1
6
=4cos
x
(
31
sin
x
+cos
x
)-1
22
22
π
=3sin 2
x
+cos 2
x
=2sin(2
x
+),
6

f
(
x
)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)∵-≤
x
≤,∴-≤2
x
+≤. 64663
πππ
∴当2
x
+=,即
x
=时,
f
(
x
)取得最大值2;
626
πππ
当2
x< br>+=-,即
x
=-时,
f
(
x
)取得最小值-1.
666
π3π
10.解:∵<α<,
44
ππ
∴-<-α<0.
24
π
∴sin(-α)=-
4
π
又∵0<β<,
4

3π3π
<+β<π,
44
5
2
12
1-()=-.
1313
3
2
4
1-()=-.
55

∴cos(+β)=-
4
π
∴sin(α+β)=-cos(+α+β)
2
=-cos< br>??
=-cos
?
??

+β
?

?
π
-α
??

??
4
??
??
4
????
?

+β
?
cos
?
π< br>-α
?
-sin
?

+β
?
sin
?
π
-α
?

??
4
??
4
? ?
4
?
?
4
???????


?
12
?
35
?
4
?
56
=-
?
?
?-?
?

?
=.
?
13
?
513
?
5
?
65


课下能力提升(二十六) 两角和与差的正切函数

一、选择题
1.
tan 51°+tan 9°
等于( )
1-tan 51°tan 9°
3

3
A.tan 42° B.
C.3 D.-3
2.在△
ABC
中,tan
A
+tan
B
+3=3tan
A
tan
B
,则∠
C
等于( )
A.
C.
π2π
B.
33
ππ
D.
64
3.已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,则tan 2α=( )
44
A.-B.
77
11
C.D.-
88
π< br>?
1
π
?
2
??
4.已知tan(α+β)=,ta n
?
β-
?
=,则tan
?
α+
?
=( )
4
?
4
4
?
5
??
A.
C.
1313
B.
1822
31
D.
226
二、填空题
5.
6.
tan 20°tan(-50°)-1
=________.
tan 20°-tan 50°
1-3tan 75°
3+tan 75°
=________.
7.若
A
=18°,
B
=27°,则(1+tan
A
)(1+tan
B
)的值是________.
?
π
?
2
8.已知tan θ和tan
?
-θ?
是方程
x

px

q
=0的两个根,则p

q
满足关系式为
?
4
?
________ .
三、解答题
9. 如图,在平面直角坐标系
xOy
中,以
Ox
轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边


分别与单位圆相交于
A

B
两点.已知
A

B
的横坐标分别为

225
,.
105

(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.





10.是否存在锐角α和β,使得下列两式:
2
(1)α+2β=π;
3
α
(2)tan tan β=2-3同时成立.
2


答案
1.解析:选C 原式=tan(51°+9°)=tan 60°=3.
2.解析:选A 已知条件可化为tan(
A

B
)(1-tan
A
tan
B
)=3(tan
A
tan
B
-1).
∴tan(
A

B
)=-tan
C
=-3.
π
∴tan
C
=3,即
C
=.
3
3.解析:选A tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]


tan(α+β)+tan(α-β)

1-tan(α+β)tan(α-β)
5+34
=-.
1-5?37
π
?
π
?
4.解析:选C ∵α+=(α+β)-
?
β-
?

4
?
4
?
π
?
π
?????
∴tan
?
α+
?
=tan
?
(α+β)-
?
β-
??

4
?
4
?????


π
tan(α+β)-tan(β- )
4
3
==.
π22
1+tan(α+β)tan(β-)
4
tan 20°tan 50°+1
5.解析:原式=-
tan 20°-tan 50°

11

tan 50°-tan 20°tan(50°-20°)
1+tan 20°tan 50°
1
=3.
tan 30°
3
3
-tan 75°
3
3
tan 75°
3
tan 30°-tan 75°

1+tan 30°tan 75°

答案:
6.解析: 法一:原式==
1+
=tan(30°-75°)=tan(-45°)=-1.
1-tan 60°tan 75°
法二:原式=
tan 60°+tan 75°

11
==-1.
tan(60°+75°)tan 135°
答案:-1
7.解析:原式=tan
A
+tan
B
+tan
A
tan
B
+1=tan(18°+27°)(1-tan 18°tan 27°)
+tan 18°tan 27°+1=2.
答案:2
8.解析:由题意知,
π
tan θ+tan(-θ)=-
p

4
π
tan θtan(-θ)=
q
.
4
ππ
又∵θ+-θ=,
44
π
∴tan(θ+-θ)
4
π
tan θ+tan(-θ)
4

p
===1.
π1-
q
1-tan θtan(-θ)
4

p

q
+1=0.
答案:
p

q
+1=0


9. 解:(1)由已知条件及三角函数的定义,可知
cos α=
225
,cos β=,
105
因α为锐角,故sin α>0.
72
2
从而sin α=1-cosα=.
10
同理可得sin β=
5
.
5
1
因此tan α=7,tan β=.
2
tan α+tan β
所以tan(α+β)==
1-tan αtan β
1
7+
2
=-3.
1
1-7?
2
1< br>-3+
2
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.
1
1-(-3)?
2
ππ3π
又0<α<,0<β<,故0<α+2β<.
222

从而由tan(α+2β)=-1,得α+2β=.
4
10.解:假设存在符合题意的锐角α和β,
απ
由(1)知+β=,
23
α
tan +tan β
2
α
∴tan(+β)==3.

1-tan tan β
2
α
由(2)知tan tan β=2-3,
2
α
∴tan +tan β=3-3.
2
α
2
∴tan ,tan β是方程
x
-(3-3)
x
+2-3=0的两个根,
2

x
1
=1,
x
2
=2-3.
πα
∵0<α<,则022
αα
∴tan ≠1,即tan =2-3,tan β=1.
22
πππ
又∵0<β<,则β=,代入(1),得α=,
246


ππ
∴存在锐角α=,β=使(1)(2)同时成立.
64


课下能力提升(二十七) 倍角公式及其应用

一、选择题
3
1.(大纲全国卷)已知α为第二象限角,sin α=,则sin 2α=( )
5
2412
A.- B.-
2525
C.
1224
D.
2525
2.(陕西高考)设向量
a
=(1,cos θ)与
b
=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( )
A.
21
B.
22
C.0 D.-1
sin α+cos α1
3.(江西高考)若=,则tan 2α=( )
sin α-cos α2
33
A.-B.
44
44
C.- D.
333
?
π
??
π
??
3
?
4.已知co s
?
+θ
?
cos
?
-θ
?
=,θ∈?
π,π
?
,则sin θ+cos θ的值是
?
4
? ?
4
?
4
?
4
?
( )
A.
66
B.-
22
22
D.
22
C.-
二、填空题
5.函数
f
(
x
)=cos 2
x
-23sin
x
cos
x
的最小正周期是________.
6.求值:tan 20°+4sin 20°=________.
tan
x< br>?
π
?
7.已知tan
?
x

?
= 2,则的值为________.
4
?
tan 2
x
?
1-2sin 20°cos 20°
8.化简:=________.
22
2cos10°-1-cos160°-1


三、解答题
π
?

π
?

??
9.已知cos
?
α+
?
=,≤α<,求cos
?
2α+
?
的值.
4
?
52
4
?
2
??






xx
1
2
x
10.(四 川高考)已知函数
f
(
x
)=cos-sincos-.
2222
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期和值域;
32
(2)若
f
(α)=,求sin 2α的值.
10




答案
4
2
1.解析:选A 因为α是第二象限角,所以cosα=-1-sinα=-,所以sin 2
5
3424
α=2sin αcos α=2??(-)=-.
5525
2.解析:选C 由向量互相垂直得到
a
?
b
=-1+2cosθ=cos 2θ=0.
tan α+11
3.解析:选A 由已知条件得=
?tan α=3,
tan α-12
2tan α3
∴tan 2α==-.
2
1-tanα4
ππ
4.解析:选C cos(+θ)?cos(-θ)
44
ππ
=sin(-θ)cos(-θ)
44

=sin(-2θ)
22
13
=cos 2θ=.
24
∴cos 2θ=
3
.
2
2


33
∵θ∈(π,π),∴2θ∈(π,2π),
42
1
∴sin 2θ=-,且sin θ+cos θ<0,
2
11
2
∴(sin θ+cos θ)=1+sin 2θ=1-=,
22
∴sin θ+cos θ=-
2
.
2
π
5.解析:
f
(
x
)=cos 2
x
-3sin 2
x
=2cos(2
x
+).
3


T
==π.
2
答案:π
sin 20°+4sin 20°cos 20°
6.解析:tan 20°+4sin 20°=
cos 20°



sin 20°+2sin 40°sin 20°+2sin(60°-20°)

cos 20°cos 20°
sin 20°+2sin 60°cos 20°-2cos 60°sin 20°

cos 20°
2sin 60°cos 20°
=2sin 60°=3.
cos 20°
答案:3
πtan
x
+1
7.解析:∵tan(
x
+)==2,
41-tan
x
1
∴tan
x
=.
3
2tan
x
又∵tan 2
x

2

1-tan
x

tan
x
1114
2
=(1-tan
x
)=(1-)=.
tan 2
x
2299
4
答案:
9
1-2sin 20°cos 20°
8.解析:
22
2cos10°-1-cos160°-1
(cos 20°-sin 20°)cos 20°-sin 20°
===1.
cos 20°-sin 20°cos 20°-sin 20°
答案:1
π3π3ππ7π
9.解:∵≤α<,∴≤α+<.
22444
π3ππ7π
∵cos(α+)>0,∴<α+<.
4444
2


π
∴sin(α+)=-
4
=-
π
2
1-cos(α+)
4
3
2
4
1-()=-.
55
π
∴cos 2α=sin(2α+)
2
ππ
=2sin(α+)cos(α+)
44
4324
=2?(-)?=-,
5525
ππ
2
sin 2α=-cos(2α+)=1-2cos(α+)
24
3
2
7
=1-2?()=.
525
π22
∴cos(2α+)=cos 2α-sin 2α
422

2247312
?(--)=-.
2252550
xx
1
2
x
10.解:(1)
f
(
x
) =cos-sincos-
2222
111
=(1+cos
x
)-sin
x

222


cos (
x
+).
24
所以
f
(
x
)的最小正周期为2π,值域为
?

( 2)由(1)知
f
(α)=
?
?
22
?

?
.
22
?
2π32
cos (α+)=,
2410
π3
所以cos (α+)=.
45
ππ
所以sin 2α=-cos(+2α)=-cos 2(α+)
24
π187
2
=1-2cos(α+)=1-=.
42525






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