高中数学必修四常考题型总结

必修四常考题型总结
三角函数篇
三角函数的基础知识与基本运算：
1．
sin585
。
的值为
(A)
?
2233
(B) (C)
?
(D)
2
222
2.（列关系式中正确的是（ ）
A．
sin11
0
?cos10
0
?sin168
0
B．
sin168
0
?sin11
0
?cos10
0

D．
sin168
0
?cos10
0
?sin 11
0
C．
sin11
0
?sin168
0
?c os10
0

3．（2009北京理）“
?
?
1
”的（ ）
2
6
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
?2k
?
(k?Z)
”是“
cos2< br>?
?
4．(2008浙江理)
若cos
?
?2sin
?
??5,则tan
?
?( )

（A）
1
1
（B）2 （C）
?
（D）
?2

2
2
?


图像与性质：
1．已知
a< br>是实数，则函数
f(x)?1?asinax
的图象不可能是 ( )
．．．

?
2
3.已知函数
f(x)
=Acos(
?
x?
?
)的图象如图所示，
f()??
，则
f( 0)
=
23
2
211
（A）
?
(B) (C)－ (D)
322
3
1 15

4.）函数
y?Asin(
?
x?
?
)
（
A,
?
,
?
为常数，
A?0,
?
?0
）在闭区 间
[?
?
,0]
上的图象如图所
示，则
?
= .





4.已知函数y=sin（
?
x+
?
）（
?
>0, -
?
?
?
<
?
）的图像如图所示，则
?
= ________________

5.已知函数
f(x)?2sin(< br>?
x?
?
)
的图像如图所示，则
f
?
?7
?
?
?
12
?
?
?
。

7.已知函数
f(x)?sin(
?
x?
?
) (
?
?0)
的图象如图所示，
则
?
＝

已知函数
f(x)?3sin
?
x?cos
?
x (
?
?0)
，
y?f(x)
的图像与直线
y?2
的
2 15

两个相邻交点的距离等于
?，则
f(x)
的单调递增区间是
5
?
5
?
11
?
],k?Z
（B）
[k
?
?,k
?
?],k?Z

1212< br>1212
?
2
?
??
（C）
[k
?
?,k
?
?],k?Z
（D）
[k
?
?,k
?
?],k?Z

63
36
（A）
[k
?
?
?
,k
?
?
2．如果函数
y?3sin(2x?
?
)
的图像关于点
(
为（C）
4
?
,0)
中心对称，那么
|
?
|
的最小值
3
?
??
?
（B） （C） (D)
2
3
64
?
3．已知函数
f(x)?sin(x?)(x?R)
，下面结论错误的是
．．
2
（A）
A． 函数
f(x)
的最小正周期为
2
?

B． 函数
f(x)
在区间
[0,]
上是增函数
2
C．函数
f(x)
的图象关于直线
x
＝0对称
D． 函数
f(x)
是奇函数
4．（本小题共12分）已知函数
f(x)? 2sin(
?
?x)cosx
．
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期；
?
??
?
（Ⅱ ）求
f(x)
在区间
?
?,
?
上的最大值和最小值．
?
62
?
?





5．已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
),x?R
（ 其中
A?0,
?
?0,0?
?
?
且图象上一个最低点为M(
?
2
）的周期为
?
，
2
?
,?2 )
．
3
(Ⅰ)求
f(x)
的解析式；（Ⅱ）当
x?[0,




?
12
]
，求
f(x)
的最值．
3 15

2. (本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
?
)+sin
2
x.
3
(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.
1
C1
(2) 设A,B,C为
?
ABC的三个内角，若cosB=，
f()??
，且C为锐 角，
3
24
求sinA.







4.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
?< br>x
??
x
设函数
f(x)?sin(?)?2cos
2
?1
．
468
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期．
4< br>（Ⅱ）若函数
y?g(x)
与
y?f(x)
的图像关于直线
x ?1
对称，求当
x?[0,]
时
3
y?g(x)
的最大值．

图像的变换：
1．将函数
y?sinx
的图象向左平移
?
(
0
?
?
＜2
?
)
的单位后，得到函数
y?sin(x?)的图象，则
?
等于（）
6
5
?
7
?
?
11
?
A． B． C. D.
66
6
6
?< br>?
2．若将函数
y?tan(
?
x?)(
?
?0)< br>的图像向右平移个单位长度后，与函数
6
4
y?tan(
?
x ?
(A)
?
?
6
)
的图像重合，则
?
的最 小值为
1
1
11
(B) (C) (D)
2
3
64
?
3．将函数y?sin2x
的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的
4
函数解析式是( )．
A．
y?cos2x
B．
y?2cos
2
x
C．
y?1?sin(2x?
D．
y?2sin
2
x

4 15
?
4
)

4．已知函 数
f(x)?sin(wx?
?
4
)(x?R,w?0)
的最小正周 期为
?
，
y?f(x)
的图
像向左平移
|
?
|
个单位长度，所得图像关于y轴对称，则
?
的一个值是（ ）
3
?
?
??
B C D
8
248
?
5．已知函数
f(x)?sin(
?
x?)(x?R,
?
?0)
的最小正周期为
?
，为了得到函数4
A
g(x)?cos
?
x
的图象，只要将
y?f(x)
的图象
??
个单位长度 B 向右平移个单位长度C 向
88
??
左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度
44
三角恒等变换：
A 向左平移
1．已知
tan
?
?2
，则
sin
2
?
?sin
?
cos
?
?2cos
2
?
?

4
（A）
?

3
（B）
5

4
3
（C）
?

4
（D）
4

5
2．函数
f(x)?sinxcosx
最小值是
1
1
A．-1 B．
?
C． D．1
2
2
11
3.“
sin
?
?
”是“
cos2
?
?
”的
22
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数
f(x)?(1?3tanx)cosx
的最小正周期为
A．
2
?
B．
3
?
?
C．
?
D．
2
2
5．函数
y?2cos
2
x?sin2x的最小值是_____________________ ．
6．若函数
f(x)?( 1?3tanx)cosx
，
0?x?
?
2
，则
f(x)< br>的最大值为
A．1 B．
2
C．
3?1
D．
3?2

1.若
?
4
?x?
?
2
，则函数
y?tan2xtan
3
x< br>的最大值为 。
7． (本小题满分12分)设函数
f(x)?cos(2x?)?sin
2
x

3
(1)求函数
f(x)
的最大值和最小正周期．
5 15 < br>?

1c1
(2)
设A,B,C为?ABC的三个内角，若cos B?,f()??,且C为锐角,求sinA

324
?
x
??x
8．设函数
f(x)?sin(?)?2cos
2
?1
．
468
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期．
4
（Ⅱ）若函数
y?g(x)
与
y?f(x)
的图像关于直线
x?1
对称， 求当
x?[0,]
时
3
y?g(x)
的最大值．
9．设函 数
f(x)?(sin
?
x?cos
?
x)
2
?2 cos
2
?
x(
?
?0)
的最小正周期为
（Ⅰ）求
?
的最小正周期．
（Ⅱ）若函数
y?g(x)
的图像是由
y?f(x)
的图像向右平移
到，求
y?g(x)
的单调增区间．

三角函数与向量综合：
1．（本小题满分12分）
已知向量
a?(sin
?
,?2)
与
b?(1,cos
?
)
互相垂直，其 中
?
?(0,)

2
（1）求
sin
?
和
cos
?
的值 < br>（2）若
5cos(
?
?
?
)?35cos
?
，
0?
?
?



2．（本小题满分14分）
rrr
设向量
a?(4cos
?
,sin
?
),b ?(sin
?
,4cos
?
),c?(cos
?
,?4si n
?
)

rrr
（1）若
a
与
b?2c< br>垂直，求
tan(
?
?
?
)
的值；
rr
（2）求
|b?c|
的最大值;
rr
（3）若
tan
?
tan
?
?16
，求证：
a
∥
b
．




6 15
2
?
．
3
?
个单位长度得
2
?
?
,求
cos
?
的值
2

rr
3． 已知向量
a?(sin
?
,cos
?
? 2sin
?
),b?(1,2).

rr
rr
|a
（Ⅰ）若
ab
，求
tan
?
的值；（Ⅱ）若
|?|b|,0 ?
?
?
?
,
求
?
的值。





ur
4．已知ΔABC的角A、B、C所对的边分 别是a、b、c，设向量
m?(a,b)
，
rur

n?(sinB,sinA)
，
p?(b?2,a?2)
．
ur
r
（1） 若
m

n
，求证：ΔABC为等腰三角形；
ur
ur
?
（2） 若
m
⊥
p
，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 ．
3






5．已知向量m=(sinA,cosA),n=
(3,?1)
，m·n＝ 1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)
的值域.



平面向量篇
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
uuuruuur
（4）若
A B?CD
，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
7 15

（5）直角坐标平面上的
x
轴、
y
轴都是向量。
（6）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
rrr
r
rr
（7）若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线。
rrrr
rr
（8）若
ma?mb
，则
a?b
。 （9）若
ma?na
，则
m?n
。
rrrr
（10）若< br>a
与
b
不共线，则
a
与
b
都不是零向量。
rr
rrrr
（11）若
a?b?|a|?|b|
，则
ab
。
rr
rr
rrrr
（12）若
a
与
b
均为非零向量，
|a?b|?|a?b|
，则
a?b< br>。
2.给出命题
（1）零向量的长度为零，方向是任意的.
rrrr
（2）若
a
，
b
都是单位向量，则
a
＝
b
.
uuur
uuur
（3）向量
AB
与向量
BA
相等.
r
uuur
uuu
（4）若非零向量
AB
与
C D
是共线向量，则
A
，
B
，
C
，
D
四点共线.
以上命题中，正确命题序号是
A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）

题型2.向量的线性运算
rr
rr
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
。
uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuur
2.化简
( AB?MB)?(BO?BC)?OM?

AB?AC?BC
=_______;
uuuruuuruuur
uuu ruuuruuuuruuur
AB?AD?DC
=________； _
NQ?QP?MN?MP.
?________

uuuruuur
uuur
3.已知
|OA|?5
,
|OB|?3
,则
|AB |
的最大值和最小值分别为 、 。
uuuruuuruuur
u uurruuurr
uuur
uuur
AC为AB与AD
AC?a,BD?b
4.已知的和向量，且，则
AB?
，
AD?
。
uuuruuur
uuu
uuur
uuur
3
uuur
r
5.已知点C在线段AB上，且
AC?AB
,则
AC?

BC
，
AB?

BC
。
5

6．已知向量
a与b
反向，下列等式中成立的是
A．
|a|?|b|?|a?b|

C．
|a|?|b|?|a?b|

B．
|a?b|?|a?b|

D．
|a|?|b|?|a?b|

（ ）
rrrrrrr r
rr
3(a?b)?2(a?b)?2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?
7计算：（1） （2）
8 15

8.已知< br>a?（4，2）,
求与
a
垂直的单位向量的坐标。
9．与向量
a
=（12，5）平行的单位向量为 （ ）
A．
?
5
?
5
?
?
12
?
12
,?
?
B．
?
?,?
?

?
1313
?
?
1313
?
C．
?
?
125
??
12 5
??
125
??
125
?
,
?
或
?
?,?
?
D．
?
?,
?
或
?
,?
?

?< br>1313
??
1313
??
1313
??
1313< br>?
C
F
A
D
E
B
10．如图，D、E、F分 别是
?
ABC边AB、BC、CA上的
中点，则下列等式中成立的有_________：
uuuruuuruuur
①
FD?DA?AF?
0

uuuruuuruuur
③
DE?DA?BE?
0



题型3平面向量基本定理
uuuruuuruuur
②
FD?DE?EF?
0

uuuruuuruuur
④
AD?BE?AF?
0

1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
uruururuur
A.
e
1
?(0,0),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)

uuu ruuuruuuruuur
2
.（2011全国一5）在
△ABC
中，AB?c
，
AC?b
．若点
D
满足
BD?2DC
，
uruur
uruur
13
C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D.
e
1
?(2,?3),e
2
?(,?)

24
uuur
则
AD
=（ ）
21
A．
b?c

33
52
B．
c?b

33
21
C．
b?c

33
12
D．
b?c

33
3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量
CD?
（ ）.
11
BA
B．
?BC?BA

22
11
C．
BC?BA
D．
BC?BA

22
A．
?BC?


4.如图，ABCD是梯形，ABCD，且
AB?2CD
，M、N分别是DC和AB的中点，已 知
AB?a
，
AD?b
，试用
a
和
b
表示
BC
和
MN

9 15

D
M
C
A
N
B

题型4向量的坐标运算

uuur
1.已知
AB?(4,5)，
A(2,3)
，则点
B
的坐标是 。
rr
rr
2.（2011四川卷3）设平面向量
a?
?
3,5?
,b?
?
?2,1
?
，则
a?2b?
( )
（Ａ）
?
7,3
?
（Ｂ）
?
7,7
?
（Ｃ）
?
1,7
?
（Ｄ）
?
1,3
?

uuur
uuuruuur
3 .【2012高考广东文3】若向量
AB?(1,2)
，
BC?(3,4)
， 则
AC?

A.
(4,6)
B.
(?4,?6)
C.
(?2,?2)
D.
(2,2)


uuur
uuur
uuur
4【2012高考广东理3】若向量
BA
=（2,3），
CA
=（4,7）， 则
BC
=
A．（-2,-4） B． (3,4) C． (6,10) D． (-6,-10)
uuur
r
5.已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a?(x?2,x?3y?2)
与
AB
相等，求
x, y
的值。

uuuruuur
r
uuur
6.已知
O
是坐标原点，
A(2,?1),B(?4,8)
，且
AB?3BC?0< br>，求
OC
的坐标。




7.已知梯形
ABCD
的顶点坐标分别为
A(?1,2)
，
B(3,4)
，
D(2,1)
，且
ABDC
，
AB?2CD
，求点
C
的坐标。



题型5.求数量积
r
r< br>r
rrr
r
r
r
o
|a|?3,|b|?4a
b
a?b
1.已知，且
a
与的夹角为
60
，求（1），（ 2）
?(a?b)
，
r
r
r
r
（3）
( a?b)
，（4）
(2a?b)?(a?3b)
。
2
r
r
r
rr
r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
，求（1）
|a|,|b|
，（2）
a?b
，

10 15

3.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =
(A) —1 (B) —

11
(C) (D)1
22
4.（2 011北京卷11）已知向量
a
与
b
的夹角为
120
o，且
a?b?4
，那么
a?b
的
值为 ．


5. △ABC中，
AB?2,BC?3,?B?60
?
,则
AB?BC?________


题型
6
求向量的夹角

r
r
r
r
r
r
1.已知
|a|?8,|b|?3
，
a?b?12
，求
a
与
b
的夹角。

r
r
r
r< br>2.已知
a?(3,1),b?(?23,2)
，求
a
与
b< br>的夹角。


（a?b）.(2a?b)??4且a?2，b?4
且，则
a与b
的夹角为 3.已知平面向量
a,b
满足


r
r
r
r
5.已知
a?(m,3)
，
b?(2,?1)
，（1）若
a
与
b
的夹角为钝角，求
m
的范围；
r
r
（2）若
a
与
b
的夹角为锐角，求
m
的范围。




题型7.求向量的模
rr
rr
r
r
r
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60
，求（1）
|a?b|
，（2）
|2a?3b|
。



rr
rrrr
2.【2012高考重庆文6】设
x?R
，向量
a?(x,1),b?(1,?2),
且
a?b
，则
|a?b|?

（A）
5
（B）
10
（C）
25
（D）
10

11 15

rrrr
rr
?
abab
3.（2011 上海卷5）若向量，满足
a?1，b?2
且与的夹角为，则
3
rr
a ?b?
．

uuur
3
uuur
4. 已知< br>A(2,3),B(4,?3)
,点
P
在线段
AB
的延长线上 ,且
|AP|?|PB|
,求点
P
的坐标
2


?
?
?
?
5．已知
a?(2,1)
与
b? (1,2)
，要使
a?tb
最小，则实数
t
的值为________ ___。


题型8投影问题
1． 已知
a?5,b?4，，
a与b
的夹角
?
?
2
?
，则向量
b
在向量
a
上的投影为
3
3．关于
a.b?a.c
且
a?0
，有下列几种说法：
①
a?(b?c)
； ②
b
?
c
；③
a.(b?c)?0
④
b
在
a
方向上的投影等于
c
在
a

方向上的投影 ；⑤
b?
?
a
；⑥
b?c

其中正确的个数是 （ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

5．若
a
=
(2,3)
，
b
=
(?4,7)
，则
a
在
b
上的投影为________ ________。

题型9.向量的平行与垂直
????
r
r
r
r
r
r
1.已知
a?(6,2)
，
b? (?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
ab
？（2）
a?b
？

rrrr
rr
2.（广东卷3）已知平面向量
a?( 1,2)
，
b?(?2,m)
，且
a

b
，则
2a?3b
＝（ ）
A、
(?5,?10)
B、
(?4,?8)
C、
(?3,?6)
D、
(?2,?4)


rrrrr
3.（2011海南卷5）已知 平面向量
a
=（1，－3），
b
=（4，－2），
?
a?b
与
a
垂
直，则
?
是（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
12 15

r
4．已知< br>a?(1,2)
,
b?(?3,2)
,当
k
为何值时， r
r
r
r
（1）
ka?b
与
a?3b
垂直？
rr
（2）
ka?
b
与
a?3
b
平行？平行时它们是同向还是反向？





5.已知
A(0,?2)
，
B(2,2)
，
C(3,4)
，求证：< br>A,B,C
三点共线。

6如果
AB?e
1
?e< br>2
，
BC?2e
1
?8e
2
，
CD?3e< br>1
?e
2
，求证
A
，
B
，
D
三点共线．


7.设
e
1
,e
2
是两个不共线的向量，
AB?2e
1
?ke
2
,CB?e
1
?3e
2
,CD?2e
1
?e
2
，若A、B、D三点共线，求k的值.



8.已知向量
a?(3,?1 )
，
b?(,
??
1
2
3
)
（1）求证：
a?b

2
2）是否存在不为0的实数
k
和
t< br>，使
x?a?(t
2
?3)b,

y??ka?tb
，且
x?y
？如果
存在，试确定
k
与
t
的关系；如 果不存在，请说明理由




题型10平面向量与三角函数的综合应用
rr
1.【2012高考陕西文7】设向量
a
=（1.
cos
?
）与
b
=（-1， 2
cos
?
）垂直，则
cos2
?
等于
（ ） A

2
1
B C .0 D.-1
2
2
r
31
r
r
?
2．设
a?(,sin
?
)
，
b? (cos
?
,)
，且
a
b
，则锐角
?
为（ ）
23
A．
30
B．
60
C．
75
D．
45

3.（2011广东卷理）已知向量a?(sin
?
,?2)
与
b?(1,cos
?
)互相垂直，其中
?
?(0,
13 15
0000
?
2
)
．

（1）求
si n
?
和
cos
?
的值；
（2）若
sin(
?
?
?
)?









4.已知向量
m?(sinA,cosA)
,
n?(1,?2)
，且
m?n?0

⑴求
tanA
的值
（2）求函数
f(x)?cos2x?tanAsinx(x?R)
的值域








5. 已知向
a?(3sinx,m?cosx),

b?(cosx,?m?cosx),
且
f(x)?a?b

（1）求函数
f(x)
的解析式；
10
?
,0?
?
?
，求
cos
?
的值．

102
（2）当
x?
?
?
的
x
的值




选做：
?
??
?
,< br>?
时，
f(x)
的最小值是
?4
，求此时函数
f(x )
的最大值，并求出相应
63
??
rrrrrr
r
r
r
r
1．若
a,b
是非零向量且满足
(a?2b)?a
，
(b?2a)?b
，则
a
与
b
的夹角是（ ）
A．

14 15
??
5
?
2
?
B． C． D．
636
3

r
r
r
r
2．已知向量
a ?(cos
?
,sin
?
)
，向量
b?(3,?1)
，则
2a?b
的最大值是 ．

3若P为
?ABO
所在平面内一点，且满足
op?
OA
OA
?
OB
OB,则点P在（ ）
A..
?AOB
平分线所在的直线上 B.线段AB的垂直平分线上
C .AB边所在的直线上 边的中线上

4.已知O，N，P在
?ABC
所在平面内，且
OA?OB?OC ,NA?NB?NC?0
，且
PA?PB?PB?PC?PC?PA
，则点O，N，P 依次是
?ABC
的（ ）
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心


5已知非零向量
AB,AC和BC满足(
则△ABC为（ ）
A．等边三角形
C．非等腰三角形



AB
|AB|
?
AC
|AC|
)?BC?0,且
AC?BC
|A C|?|BC|
?
2
,

2
B．等腰非直角三角形
D．等腰直角三角形
uuuuruuuur
uuuruuur
ABAC
6. 点P满足
O P?OA?
?
(
uuur
?
uuur
)
, 当
?
在(0, +
?
)变化时, 动点P的轨迹一定过
ABAC
?
ABC的_____心

15 15