高中数学必修4(北师大版)第一章三角函数章末评估A

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第一章章末评估A
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150
分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
答题表
题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小
题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的)
1．如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象
限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由点P(sinθcosθ，2cosθ)在第三象限可得
sinθco sθ<0,2cosθ<0，即得sinθ>0，cosθ<0，由sinθ>0可得θ的终边
在第一或 第二象限或y轴非负半轴上，由cosθ<0可得θ的终边在第
二或第三象限或x轴非正半轴上，
因此θ为第二象限角．
答案：B
α
2．已知α为第三象限的角，则所在的象限是( )
2
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限


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解析：解法一：如图．
将每个象限二等分，标号3所
α
在的区域即为所在的 区域，故选
2
D.
3π
解法二：∵π＋2kπ<α<＋2kπ，
2
π
α
3π
k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
224
α
∴为第二或第四象限角．故选D.
2
答案：D
π
3．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－对称，
8
那么a＝( )
A.2 B．－2
C．1 D．－1
π
解析：解法一：∵x＝－是此函数的一条对称轴
8
?
π
??
π
?
???
∴f
－
8
＋x
＝f
－
8
－x
?
对定义域上的任何值都成立，
????
?
ππ
?
π
令x＝－，则有f
?
－
8
＋
8
?
＝f (0)＝sin0＋acos0＝a，
8
??
?
ππ
??
π
??
π
??
π
?
??????
－－－－
f ＝f ＝sin
2
＋acos
?
－
2
?
＝－1 .∴a＝－1.∴应
?
88
??
4
?????
选D. ?
π
?
π
??
解法二：∵点(0,0)与点
－
4
，0
关于直线x＝－对称．依题意有
8
??
?
π
??
π
?
??
a必须满足：sin0＋acos 0＝sin
－2
＋acos
?
－
2
?
，即a＝－1是必要条
????
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件，从而排除A、B、C项得D项．
答案：D
4．角α的终边在第三象限，则下列各式中符号为正的是( )
A．sinα＋cosα B．cosα－tanα
C．sinα－cosα D．tanα－sinα
解析：要 确定一个式子的符号，一般需要确定式子中每一个三角
函数值的符号，三角函数值的符号要根据角所在的 象限来确定，因此
熟练掌握各象限角的三角函数值的符号是解题的关键．因为α在第
三象限，所 以tanα>0，sinα<0，所以只有D为正号．
答案：D
5．函数y＝|sinx|＋sin|x|的值域为( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,2] D．[0,1]
?
?
|sinx |＋sinx
解析：y＝
?
?
|sinx|－sinx
?



x≥0
x<0
，由图像易知选C.
答案：C < br>6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－3，－
2]上是减函 数，α、β是锐角三角形的两个内角，则( )
A．f(sinα)>f(cosβ) B．f(sinα)C．f(sinα)>f(sinβ) D．f(cosα)>f(cosβ)
解析：本题涉及到三角函数周期性、单调性、奇偶性及三角形中
三角函数的有关性质．
∵f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)为偶函数，
∴f(x)的周期为2，且关于x＝1 对称，故因x在[－3，－2]上是
减函数，则在[0,1]上是增函数，
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ππ
又α＋β>，α>－β，
22
∴sinα>cosβ>0，∴f(sinα)>f(cosβ)，故应选A.
答案：A
π
??
7．(2010·全国Ⅱ理，7)为了得到函数y＝sin
?
2x－
3
?
的图像，只需
??
π
??< br>把函数y＝sin
?
2x＋
6
?
的图像( )
??
π
A．向左平移个长度单位
4
π
B．向右平移个长度单位
4
π
C．向左平移个长度单位
2
π
D．向右平移个长度单位
2
ππ
解析：∵y＝sin(2x－)＝sin[2(x－]，
36
ππ
y＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，
612
ππ
令x＋＋φ＝x－，
126
πππ
∴φ＝－， 即y＝sin(2x＋)的图像向右平移个单位得到y＝
464
π
sin(2x－)的 图像，选B.
3
答案：B
?
π
?
?
8．函数f (x)＝3sin
2x－
3
?
的图像为C，
??
11
①图像C关于直线x＝
π对称；
12
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?
π5π
?
②函数f(x)在区间
?
－
12
，
12
?内是增函数；
??
π
③由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
3
以上三个论断中，正确论断的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
11
解析：将x＝
π代入函数得
12
?
11
??
11
π
?
F
?
12
π
?
＝3sin
?
2×
12
π－3
?
＝－3.∴①正确；
????
ππ
?
π
?
?
令2x－∈
2kπ－
2
，2kπ＋
2
?
(k∈Z)，
3
??
?
π5π
?
即x∈
?kπ－
12
，kπ＋
12
?
(k∈Z)
??
π
∴②正确；将y＝3sin 2x图像向右平移个单位得
3
?
π
??
2π
?
???
y＝3sin 2
x－
3
＝3sin
2x－
3
?
.∴③错误．故选 C.
????
答案：C
?
ππ
?
9．已知函数f(x) ＝2sinωx(ω>0)在区间
?
－
3
，
4
?
上 的最小值是－
??
2，则ω的最小值等于( )
23
A. B.
32
C．2 D．3
2π
3
T
π
解析：由题 意知≤，T＝
ω
?2ω≥3，ω≥，故选B.
432
答案：B

10．(2011·全国大纲文，7)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)
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π
的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的
3
最小值 等于( )
1
A. B．3
3
C．6 D．9
π< br>解析：本题考查三角函数的性质及图像的平移，向右平移个单
3
位长度后，图像与原图像 重合，说明至少右移了1个周期，由此可得
到一个关于ω的不等式．
2ππ
T＝ω
，根据题意将y＝f(x)的图像右移个单位长度，图像与原
3
图像重合，说明 右移了k(k∈Z，k≥1)个周期，
π2π
∴≥kT＝k·
ω
，
3
ω
∴1≤k≤，
6
∴ω≥6.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案
填写在题中横线上)
2π6π7π
11．sin，cos，tan从小到大的顺序是__________．
555
π
解析：∵0x>sinx>0，
2
2π2π6π2π7π
∴tan>sin>0，∴cos55555
627
6π7π2π
答案：cos
π<0，tan＝tan.
555555
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12．动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向
ππ
每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q第一
36
次相遇时P，Q点各自走过的弧度为 ______________，______
________.
42
答案：
π －π
33
13．函数f(x)＝lg(2cosx －3)的单调增区间为______________．
解析：2cosx－3>0即cosx>
3
.由图像观察
2
π
2kπ－6
π
答案：(2kπ－，2kπ]，(k∈Z)
6
14．(200 9·辽宁文，14)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如
图所示，则ω＝___ _____.

解析：考查正弦型函数的求法，由图像求出T，进而求出ω.
π< br>4
2π
3
T
2
由图知＝
π－
?T＝
π，∴ω＝
T
＝.
43332
3
答案：
2
1
15．函数y＝的值域是________．
1－cosx
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解析：∵y－ycosx＝1，
?
y－1
?
y－1
?
≤1， ∴y－1＝ycosx，co sx＝
y
，∴
?
?
y
?
?
1
?< br>1
解得y≥，值域为
?
2
，＋∞
?
.
2< br>??
?
1
?
答案：
?
2
，＋∞
?< br>
??
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，
证明过 程或演算步骤．)
3
16．(本小题满分12分)设角α
1
＝－570°， α
2
＝750°，β
1
＝
π，β
2
5
7< br>＝－
π
3
(1)将α
1
、α
2
用弧度制表 示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β
1
、β
2
用角度 制表示出来，并在－720°～0°之间找出它们有
相同终边的所有角．
π
19
解：(1)∵180°＝π rad，∴－570°＝－570×＝－
π，
1806
∴α
1
＝－
19
5π
π＝－2×2π＋
，
66
π
同理α
2
＝2×2π＋，
6
∴α
1
在第二象限，α
2
在第一象限．
?3π180
?
3
(2)∵β
1
＝
π＝
?
5
×
π
?
°＝108°.
5
??
设θ＝k·360°＋β
1
(k∈Z)．
由－720°≤θ<0°，∴－720°≤k·360°＋108°<0°
∴k＝－2或k＝－1
∴在－720°～0°间与β
1
有相同终边的角是－612°和－252°.
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同理β
2
＝－360°－60°＝－420°，且在－720°～0°间与β
2
有相同
的终边的角是－420°和－60°.
1
17．(本小题满分12 分)已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，
3
求sin(105°－α)＋cos( α－105°)的值．
1
解：∵α是第三象限角，且cos(75°＋α)＝>0，
3
∴75°＋α是第四象限角．
?
1
?
1
不妨设 α＋75°与单位圆的交点为
?
3
，x
?
，则x<0，有＋x
2
＝1，
9
??
2222
∴x＝－.即sin(α＋75°)＝－ .
33
原式＝sin(105°－α)＋cos(105°－α)＝sin[180°－(7 5°＋α)]＋
cos[180°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－
1＋22
221
－＝－.
333
18．(本小题满分12分)判断下列各式的符号．
(1)sin340°·cos265°；(2)sin4·cos4.
解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin340°<0，cos265°<0，∴sin340°·cos265°>0.
3
(2)∵π<4<
π，∴4弧度是第三象限角．
2
∴sin4<0，cos4<0，∴sin4cos4>0.
19．(本小题满分 13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，
x∈R)在一个周期内的图像如 图所示，求直线y＝3与函数f(x)图像
的所有交点的坐标．
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2π
1
解：由图可知，函数f(x)的A＝2，T＝
ω
＝ 4π，∴ω＝，
2
?
1
?
?
此时f(x)＝2sin2
x＋φ
?
，
??
?
π
?
又f
?
2
?
＝2，
??
?
π
?
π
得sin
?
4
＋φ
?
＝1，∴φ＝2nπ＋，n∈Z，
4
??
?
1
π
?
∴f(x)＝2sin
?
2
x＋2nπ＋
4
?
，
??
?
1
π
?
即f(x)＝2sin
?
2
x＋
4
?
，
??
?
1
π< br>?
当f(x)＝3，即2sin
?
2
x＋
4
?
＝3，
??
?
1
π
?
3
??
x＋即sin
24
?
＝
2
，
?
1
ππ< br>1
π
2π
∴x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
243243
π5π
∴x＝4kπ＋或x＝4kπ＋，k∈Z，
66
?
π
??
5π
?
∴所求交点的坐标为
?
4kπ＋
6
，3
?
或
?
4kπ＋
6
，3
?
其中k∈Z.
????

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1－sinx
20．(本小题满分13分)已知f(x)＝
log
1

.
1＋sinx
2
(1)求出它的定义域和值域；
(2)判断它的奇偶性、周期性和单调性．
解：首先确定函数的定义域，并注意化简及运算．
1－sinx
(1)因为>0，所以(sinx－1)(sinx＋1)<0，
1＋sinx
所以－1所以f(x)的定义域为
?
π
?
?
x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z
?
.
2
??
1－sinx
因为>0，所以f(x)的值域为R.
1＋s inx
1－sin?－x?1＋sinx
(2)因为f(－x)＝
log
1< br>
＝
log
1


1＋sin?－x?1－sinx
22
1－sinx
＝－
log
1

＝－f(x)，
1＋sinx
2
所以f(x)是奇函数，
1－sin?x＋2π?
因为f(x＋2π)＝
log
1


1＋sin?x＋2π?
2
1－sinx
＝
log
1

＝f(x)，
1＋sinx
2
所以f(x)是周期函数，且2π是它的一个周期．
1－t
2
设t＝sinx，则＝－1是(－1,1)上的减函数
1＋t1＋t
1－t
所以y＝
log
1

是(－1,1)上的增函数，
1＋t
2
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?
ππ
?
?
又因为t＝sinx在
2kπ－2
，2kπ＋
2
?
(k∈Z)上是增函数，在
??
?< br>π3π
??
ππ
?
?
2kπ＋，2kπ＋
?
(k∈Z)上是减函数，
?
所以f(x)在
2kπ－
2
，2kπ＋< br>2
?
22
????
(k∈Z)上是增函数，在
?
π 3π
?
?
2kπ＋，2kπ＋
?
(k∈Z)上是减函数．
22
??
21．(本小题满分13分)单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位
?
π
?
?
置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝6sin
2π t＋
6
?
.
??
(1)作出它的图像；
(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？单摆来回摆
动一次需要多少时间？ 解：“五点法”画正弦、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，
五个特殊点通常都是取 三个平衡点，一个最高点、一个最低点．
(1)找出曲线上的五个特殊点，列表如下：
t
π
2πt＋

6
s
?
1
－
12
0
0
2

12
π

2
6
5

12
π
0
?
8

12
3π

2
－6
?
11

12
2π
0
?
?
?
?
?
?
π
?
用光滑曲线连接这些点，得函 数s＝6sin
?
2πt＋
6
?
的图像，如图所
示．
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π
(2)当t＝0时，s＝6sin＝3(cm)，即单摆开始摆动时， 离开平衡
6
位置3 cm.
?
π
?
(3)s＝6sin< br>?
2πt＋
6
?
的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开
??
平衡位置6 cm.
?
π
?
2π
s＝6sin
?
2πt＋
6
?
的周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次需要的
2 π
??
时间为1s.


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