高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类
高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1）
2）
3）
4）
列举法：{a,b,c……}
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内
表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
BA)
B(或
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集

二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)
指数函数对称规律：
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称
&对数函数y=loga^x 如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0，那么：

1

log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N； ○
M
2

log
a
?
log
a< br>M
－
log
a
N
； ○
N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
． ○
注意：换底公式
log
c
b
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
a
b?
log
c
a
幂函数y=x^a(a属于R)
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?< br>(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特别 地，
当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
? 1
时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从
右边趋向原点时， 图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图
象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．

方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)( x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做
函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y ?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系
○
起来，并利用函数 的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
（1）△＞ ０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个
交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一个
交点， 二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程
ax< br>2
?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无 零点．
三、平面向量
向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
相等向量：长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两 个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为
起点的对角线OC就是向量O A、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算
与a长度相等，方向相 反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的

方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a
=－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，
|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为
0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函

数
y?sinx

性
质
y?cosx

y?tanx

图
象

定
义
域
值
域
当
x?2k
?
?

R

R
< br>?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
?
?1,1
?

?
2
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

最
时，
y
max
?1
；当
值
x?2k
?
?
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小
值
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
2
?

?

??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??单
调
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
在
k
?
?,k
?
?
上是增函数；在
k??
上是增函数；在
??
??

22
??
?
3
?
??

2k
?< br>?,2k
?
?
??
22
?
性
?
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．

对
对
称
对
性
称中心
对称中心对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

称轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
x?k
?
?
?
2
?
k??
?

无对称轴

必修四
角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在 第几象限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
??
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集 合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??< br>?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的 集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、已知
?
是第几象限角 ，确定
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份 ，再从
x
轴的正半
?
n
*
轴的上方起，依次将各区域标上一 、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即为
的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
?
终边所落在
n

sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα

tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈Z)


其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα＝1
sinα ?cscα＝1
cosα ?secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)


两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ?tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ?tanβ


倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)


半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2

1－cosα
tan^2(α2)＝—————

1＋cosα


万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)

⒏三角函数的积化和差公式
sinα ?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ?sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ?cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ?sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB- sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)

倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB

某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3

正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积 S=12(c+c')h'
圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=12*l*r

锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式 V=13*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
sin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之根三
cos30:二分之根三 cos45:二分之根二 cos60:二分之一
tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根三
等比数列：
若q＝1 则S=n*a1
若q≠1
推倒过程：
S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-1)
等式两边同时乘q
S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^
1式－2式 有
S=a1*(1-q^n)(1-q)

等差数列
推导过程：
S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……(a1+(n-1)*d)
把这个公式倒着写一遍
S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+……＋a1
上两式相加有
S＝(2a1+(n-1)d)*n2=n*a1+n*(n-1)*d2




1．根据解析式研究函数性质
例1（天津理）已知函数
f(x )?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R
．
（Ⅰ）求函数
?
π 3π
?
f(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
，
?
上的最小值和最大值．
?
84
?

【相关高考1】（湖南文）已知函数π
?
π
?
π
????
f(x)?1?2sin
2
?
x?
?
?2sin
?
x?
?
cos< br>?
x?
?
．
8
?
8
?
8
????
求：（I）函数
f(x)
的最小正周期；（II）函数
f(x)的单调增区间．
【相关高考2】（湖南理）已知函数
1
π
??
f(x)?cos
2
?
x?
?
，
g(x)?1?sin2x
．
2
12
??
（I）设
x?x
0
是函数
y?f(x)
图象的一条对称轴，求
g(x
0
)
的值．（I I）求函数
h(x)?f(x)?g(x)
的单调递增区间．
π
y?2co s(
?
x?
?
)(x?R，
?
>0，≤0
?
≤)
的图象与
y
轴相交于点
(0，3)
，且该函数的最小正周2
2．根据函数性质确定函数解析式
例2（江西）如图，函数
期为
?
．
（1）求
?
和
?
的值；
y
3

O

?
π
?
（2）已知点
A
?
， 0
?
，点
P
是该函数图象上一点，点
Q(x
0
，y
0
)
是
PA
的中点，当
?
2
?
y
0
?
3
?
π
?
，
x
0
?
时，求
x
0
的值．
，
π
??
2
?
2
?
P

A

x

【相关高考1】（辽宁）已知函数
π
?< br>π
?
?
x
??
，（I）求函数
f(x)
f( x)?sin
?
?
x?
?
?sin
?
?
x ?
?
?2cos
2
，x?R
（其中
?
?0
）
6
?
6
?
2
??
π
2
，求函数 的值域； （II）（文）若函数
y?f(x)
的图象与直线
y??1
的两个 相邻交点间的距离为
y?f(x)
的单调增区间．
（理）若对任意的
a?R
，函数
必证明），并求函数
y?f(x)
，
x?(a，a?π]的图象与直线
y??1
有且仅有两个不同的交点，试确定
?
的值（不y?f(x)，x?R
的单调增区间．
【相关高考2】（全国Ⅱ）在
△ABC< br>中，已知内角
（1）求函数
A?
?
，边
BC?23
． 设内角
B?x
，周长为
y
．
?
y?f(x)
的解 析式和定义域；（2）求函数
y?f(x)
的最大值．
3．三角函数求值
例3（四川）已知cosα=
1
π
13
,cos(α-β)＝，且0<β<α <,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.
72
14
【相关高考1】（重庆文）已 知函数f(x)=
?
??
2cos
?
2x?
?
4< br>??
sin(x?
?
2
.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在 第一象限，且
cosa?
)
3

,求f（a）。
5
【相关高考2】(重庆理)设f (
x
) = < br>求tan
求f(
x
)的最大值及最小正周期；（2）若锐角
?
满足
f(
?
)?3?23
，
6cos
2
x?3si n2x
（1）
4
?
的值.
5
4．三角形中的函数求值 < br>例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A
，
B
，
C的对边分别为a
，
b
，
c，
a?2bsinA
．

（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若
a?3
【相关高考1】（天津文）在
△A BC
中，已知
3
，
c?5
，求b．（理）（Ⅱ）求
cosA ?sinC
的取值范围．
AC?2
，
BC?3
，
cosA??
4
．
5
（Ⅰ）求
sinB
的值；（Ⅱ）求
sin
?
2B??
?
?
?
?
的值．
6
?
A?
13
，
tanB?
．（Ⅰ）求角
C
的大小；文（Ⅱ）若
A B
边的长为
17
，求
BC
45
【相关高考2】（福建）在< br>△ABC
中，
tan
边的长．理（Ⅱ）若
△ABC
最大边的边 长为
5．三角与平面向量
17
，求最小边的边长．
例5（湖北理）已知< br>△ABC
的面积为
3
，且满足0≤
AB?AC
≤
6< br>，设
AB
和
AC
的夹角为
?
．（I）求
?< br>的取值范围；
（II）求函数
?
π
?
f(
?
)?2sin
2
?
?
?
?
?3cos2
?
的最大值与最小值．
?
4
?
【相关高考1】（陕西）设函数
其中 向量
a
f
?
x
?
?a?b
，
?
?
4
?
?
?(m,cos2x),b?(1?sin2x,1),x?R，且函数y=f(x)的图象经过点
?
?
,2
?
，
（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时
x
的值的集合.
【相关高考2】（广东）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(
c
，0)．
（文）(1)若
AB?
6三角函数中的实际应用 例6（山东理）如图，甲船以每小时
30
AC?0
，求
c
的值； （理）若∠A为钝角，求c的取值范围；(2)若
c?5
，求sin∠A的值．
2< br>海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
A
1
处时 ，乙船位于
甲船的北偏西
105
方向的
B
1
处，此时两船相 距
20
海里，当甲船航行
20
分钟到达
A
2
处时， 乙船航行到甲船的北偏西
120
方向的
B
2
处，此时两船相距
102
海里，问乙船每小时航行多少海里？
AB
时，可以选与塔底
B在同一水平面内的两个侧点
C
与
D
．现测得【相关高考】（宁夏）如图， 测量河对岸的塔高
?BCD?
?
，?BDC?
?
，CD?
C
测得塔顶，并在点
s
A
的仰角为
?
，求塔高
AB< br>．
北
120
A
2
B
2
B
1
乙

7．三角函数与不等式
例7（湖北文）已知函数
105
A
1
甲
?
π??
ππ
?
f(x)?2sin
2
?
?x
?< br>?3cos2x
，
x?
?
，
?
．（I）求
f (x)
的最大值和最小值；
?
4
??
42
?

（II）若不等 式
?
ππ
?
f(x)?m?2
在
x?
?
，
?
上恒成立，求实数
m
的取值范围．
?
42
?< br>xx
f
?
x
?
??cos
2
x?4tsin cos?4t
3
?t
2
?3t?4,x?R

22
8．三角函数与极值
例8（安徽文）设函数
其中
t
≤ 1，将
f
?
x
?
的最小值记为
g
(
t).
(Ⅰ)求
g
(
t
)的表达式；(Ⅱ)讨论
g(
t
)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
三角函数易错题解析
例题1 已知角
?
的终边上一点的坐标为（
sin
2
?2
?
,cos
），则角
?
的最小值为（ ）。 33
5
?
2
?
5
?
11
?
A 、 B、 C、 D、
636
3
2
例题2 A， B，C是
?
ABC的三个内角，且
tanA,tanB
是方程
3x? 5x?1?0
的两个实数根，则
?
ABC是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
例题3 已知方程
x
2
?4ax?3a?1?0
（a为大于1的常数 ）的两根为
tan
?
，
tan
?
，
的值是_________________. 且
?
、
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
,
?，则
tan
2
?
2
2
?
例题4 函数的最大值为3，最小值为2，则
a
______，
b?
_______。
?
f()x?asinx?b
例题5 函数f(x)=
2
sinxcosx
的值域为______________。
1?sinx?cosx
例题6 若2sinα
?sin
2
?
?3sin
?
,则sin
2
?
?sin
2
?的取值范围是
例题7 已知
?
?
?
?
?
?
，求
例题8 求函数
例题9 求函数
的最小值及最大值。
y?cos
?
?6si n
?
f(x)?
2tanx
的最小正周期。
2
1?tan x
f(x)?sin2x?22cos(
?
4
?x)?3
的值域 < br>]
3
?
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0
≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数，其图像关于点M(
?
,0)
对称，且在区间[0，
4
2
上是单调函数， 求
?
和
?
的值。
例题10 已知函数
2011三角函数集及三角形高考题
1.（2011年北京高考9）在
AB C
中，若
b?5,?B?
?
4
,sinA?
1
3< br>，则
a?
.
2
A,B,Ca,b,c
?ABC
acosA?bsinB
sinAcosA?cosB?
2.（2011年浙江高考5）.在中，角所对的边分.若，则
(A)-
1
2
(B)
1
2
(C) -1 (D) 1

3.（2011年全国卷1高考7）设函数
重合，则
?
的最小值等于
?
f(x)?cos
?
x(
?
?0)
，将
y?f (x)
的图像向右平移
3
个单位长度后，所得的图像与原图像
1
（A ）
3
（B）
3
（C）
6
（D）
9

5.（2011年江西高考 14）已知角
?
的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若
则y=_______.
p
?
4,y
?
是角
?
终边上一点，且
si n
?
??
25
5
，
6．（2011年安徽高考9）已知函数
则
f(x)?sin(2x?
?
)
，其中
?
为实数 ，若
f(x)?f()
6
?
对
x?R
恒成立，且
f ()?f(
?
)
2
，
?
f(x)
的单调递增区间是
??
?
?
???
k
?
?,k
?
? (k?Z)k
?
,k
?
?(k?Z)
????
362
??
（A）
?
（B）
?

?
?
2
?
?
??
?
k
?
?,k
?(k?Z)
k
?
?,k
?
?(k?Z)
??
? ?
2
63
?
?
（C）
?
（D）
?

7．（2011四川高考8）在△ABC中，
sinA?sinB ?sinC?sinBsinC
，则A的取值范围是
222
(0,]
6
（A）
?

[,
?
)
（B）
6

?
(0,]
3
（C）
?

[,
?
)
（D）
3

?
f(x)?4co sxsin(x?
1.（2011年北京高考17）已知函数
?
6
)?1.< br>
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求
?
??
?
?,
?
f(x)
在区间
?
?
64
?上的最大值和最小值。
cosA?2cosC2c?a
?
A,B,Ca,b,c
cosBb
， 3. （2011年山东高考17） 在
?ABC
中，内角的 对边分别为，已知
sinC1
cosB?,b?2
4
（Ⅰ）求
sin A
的值；（Ⅱ）若，求
?ABC
的面积S。
5.（2011年全国卷高考1 8）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知
asinA?csinC?
0< br>A?75,b?2,
求a，c
. (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若
2asinC?bsinB
.
6.（2011年湖南高考17 ）在
ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
且 满足
csinA?acosC.

（I）求角
C
的大小；（II）求
3sinA?cos(B?)
4
的最大值，并求取得最大值时角
A,B
的大小．
?

7．（2011年广东高考16）已知函数
1
?
f(x)?2sin(x?)
36
，
x?
R
．
f(
（1）求
?
?
?
5
?
?
,< br>?
?
?
0,
?
f(3
?
?
?
)?
10
f(3
?
?2
?
)?
6
)?
2
?
，
4
的值；（2）设
213
，
5
，求
cos(
?
?
?
)
的值．
f(x )?sin(x?
7
?
3
?
)?cos(x?)
44
，x
?
R．
44
?
cos(
?
?
?< br>)??0?
?
?
?
?
2
5
，
5，
2
．求证：
[f(
?
)]?2?0
．
8． （2011年广东高考18）已知函数
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期和最小值；（Ⅱ ）已知
cos(
?
?
?
)?
9.（2011年江苏高考17 ）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
a,b,c

sin(A?
（1 ）若
?
6
)?2cosA,
1
cosA?,b?3c
3 求A的值；（2）若，求
sinC
的值.
b
2
a。（I）求
a
10.（2011高考）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asi nAsinB+bcos
2
A=
求B。
；（II）若c
2
=b
2
+
3
a
2
，
1
a?1,b?2,c osC?
4
11. （2011年湖北高考17）设
?ABC
的内角A、B 、C所对的边分别为a、b、c，已知
(I) 求
?ABC
的周长；(II)求
cos(A?C)
的值。
cos2C??
1
4
12. （2011年浙江高考18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
2011三角函数集及三角形高考题答案
1.（2011年北京高考9）在
ABC< br>中，若
b?5,?B?
?
4
,sinA?
1
3
，则
a?
.
a552
?,a?
a b
?
1
52
1
?
3
?
b?5,?B?,s inA?
sin
4
43
所以
3
【答案】
3
【解析】：由正弦定理得
sinAsinB
又
2
A,B,Ca,b,c?ABC
acosA?bsinB
sinAcosA?cosB?
2.（2011年浙江高考5）.在中，角所对的边分.若，则
(A)-
1
2
(B)
1
2
(C) -1 (D) 1
【答案】D【解析】∵
acosA?bsin B
，∴
sinAcosA?sin
2
B
，
222
sinAcosA?cosB?sinB?cosB?1
. ∴

3.（2011年全国卷1高考7）设函数
重合，则
?
的最小值等于
?
f(x)?cos
?
x(
?
?0)
，将
y?f (x)
的图像向右平移
3
个单位长度后，所得的图像与原图像
1
（A ）
3
（B）
3
（C）
6
（D）
9

?
y?f(x)< br>的图像向右平移
3
【解析】由题意将
2
?
?k?
?< br>个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了
3
是此函数周期的整数倍,得
?
3
?
(k?Z)
,解得
?
?6k
,又
?
?0
,令
k?1
,得
?
min
?6
.
4.（2011全国卷），设函数
（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称
π
（C）y= f (x) 在（0，
2
π
）单调递减，其图像关于直线x =
4
π
对称（D）y= f (x) 在（0，
2
π
）单调递减，其图像关于直线x =
2
对称
解析：解法一：f(x)=
?
ππ
2
sin(2x+
2
) =
2
cos2x.所以f(x) 在（0，
2
）单调递减，其图像关于直线x =
2
p
?
4,y
?
对称。故选D。
5.（20 11年江西高考14）已知角
?
的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若
则y=_ ______.
是角
?
终边上一点，且
sin
?
??25
5
，
答案：—8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。< br>y25
对边
??
sin
?
?
2
5
? y??8
斜边
=
16?y

f(x)?f()
6
?
6．（2011年湖南高考9）【解析】若对
x?R
恒成立，则
??
??
f()?sin(?
?
)?1
?
?
?k
??,k?Z
63
2
，所以
3
，
sin
?
(?
?
?)si
?
n?(
?
2
，
??k
?
?
?
6
,k?Z
.由
f()?f(?
)
2
?
，（
k?Z
），可知即
si
?
n?
，所以
0
?
?(2k?1
?
)?
?
6
?
6
k?,Z
，代入
f(x)?sin(2x?
?
)
，得
f(x)??sin(2x?
?
6
)
，由
2k
?
?
?
2
剟2x?
?
6
2k
?
?
3
?
2
，
k
?
?
得
剟xk
?
?
2
?
3
，故选C.
b
2
?c
2
?a
2
1
?
222222
si nA?sinB?sinC?sinBsinCa?b?c?bc
2bc2
， 7．（2011四川高考8）解析：由得，即

cosA?
∴
1
?
0?A?
2
，∵
0?A?
?
，故
3< br>，选C．
f(x)?4cosxsin(x?
1.【解析】：（Ⅰ）因为
?< br>6
)?1
?4cosx(
31
sinx?cosx)?1
22
[高考资源网]
?3sin2x?2cosx?1
?3sin2x?cos2x?
（Ⅱ）因为
2
?2sin(2x?
?
6
)
所 以
f(x)
的最小正周期为
?

?
?
6
? x?
?
4
,所以?
?
6
?2x?
?
6?
2
?
.
3
2x?
于是，当
?
6?
2
,即x?
?
6
时，
f(x)
取得最大值2 ；当
2x?
?
6
??
?
,即x??时,f(x)
6 6
取得最小值—1．
f(x)?Asin(
?
?
3
x?< br>?
)
2.（2011年浙江高考18）已知函数，
x?R
，
A ?0
，
0?
?
?
?
2
.
y?f(x)的部分图像，如图所示，
P
、
Q
分别为该图像的最高点和最低点，点P
的坐标为
(1,A)
.

（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期及
?
的值；（Ⅱ）若点
R
的坐标为
(1,0)
，
?PRQ?
2
?
3
，求
A
的值.
T ?
2.（Ⅰ）解：由题意得，
2
?
?
3
?6
y?A sin(x?
?
)
P(1,A)
3
因为在的图像上
?sin(?
?
)?1.
0
?
3
所以又因为
?< br>?
2
2
?
3
，所以
?
?
?
6
（Ⅱ）解：设点Q的坐标为
?
(
x
0
,A
).， 由题意可知
3
x
0
?
?
6
?
，得
x
0
?4
，所以
Q(4,?A)
，连接PQ,在△PRQ
2
?
中，∠PRQ=
3
,由余弦定理得
2222
RP
2
?RQ
2
?PQA?9?A?(9?A)1
cos?PRQ???
2
2
，解得A
2
=3。
23.9?A
又A＞0，所以A=
3
。
cosA?2cosC2c ?a
?
A,B,Ca,b,c
?ABC
cosBb
， 3. （2011年山东高考17） 在中，内角的对边分别为，已知

sinC1< br>cosB?,b?2
4
（Ⅰ）求
sinA
的值；（Ⅱ）若，求
?ABC
的面积S。
cosA?2cosC2c?acosA?2cosC2sinC?si nA
??
?ABC
cosBbcosBsinB
解：（Ⅰ）在中，由及正弦定 理可得，，
即
sin
则
sin
AsinB?2cosCsinB? 2sinCcosB?sinAcosB

AsinB?sinAcosB?2sinCcosB?2cosCsinB

sin (A?B)?2sin(C?B)
cosA?2coCs
?
cosB
，而A?B?C?
?
，则
sinC?2sAin
，即
sinC
?2
sinA
。另解1：在
?ABC
中，由
c?2a
b< br>可得，
bcosA?2bcosC?2ccosB?acosB

由余弦定理可 得
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b< br>2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
?b
2
???
2caa2c
，整理可得
c?2a
，由正弦定理可得
sinCc
??2
sinAa
。另解2：利用教材习题结论解题，在
?ABC
中有结论
a?cbos?C< br>bco?As
cco?Bs
b?2Cc
b,c?coAsa?cCo?c
由
cosA?2cosC2c?a
?
aBA
bcosB
b
可得
o?bcosA?aBcosB?a2ccosB?B2bcosC
，则
c?2a
， 即
c
sinCc1
??2cosB?,b?2
2222224?c?a?2accosB?4a?a?a?4a,
c?2a
sinAa4
由正 弦定理可得。（Ⅱ）由及可得
1115
?acsinB??1?2?1?cos
2B?
24
则
a?1
，
c?2
，S
2
4 .（2011年安徽高考16）在
BC上的高.
S?
，即
15
4
。
3
，b=
2
，
1?2cos(B?C)?0
，求边ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长 ，a=

解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又
1?2cos(B?)C 0?
，∴
1?2cos(180)?A0?
os
，即
1?2cA0?
cosA?
，
1
2
，

a
?
b
sinB?
bsinA2sin602
又0°sinAsinB
得
a
?
3
?< br>2
，
又∵
b?a
，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边 上的高AD＝AC·sinC＝
2sin75?2sin(45?30)

?2(si n45cos30?cos45sin30)
?2(
2
2
?
3213 ?1
2
?
2
?
2
)?
2
.
5. （2011年全国卷高考18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知
asinA? csinC?2asinC?bsinB
.
(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若
A?75
0
,b?2,
求a，c
.
【解析】(I)由正弦定理得
a
2
?c
2
?2ac?b
2< br>…由余弦定理得
b
2
?a
2
?c
2
?2ac cosB
cosB?
2
.故
2
，因此
B?45
?6
（II）
sinA?sin(30?45)
?sin30cos45?cos30si n45
?
2
4

a?b?
sinA
?
2? 6
?1?3
c?b?
sinC
?2?
sin60
sinB< br>2
sinBsin45
?6
.……………………………
6.（201 1年安徽高考17）在
ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a, b,c
且满足
csinA?acosC.

?
（I）求角
C
3sinA?cos(B?
4
)
的大小；（II）求的最大值，并求取得最大 值时角
A,B
的大小．
解析：（I）由正弦定理得
sinCsinA?si nAcosC.
因为
0?A?
?
,
所
sAi?n从而0.C ?又sCin所以?Ccos则.?C
?
4
cos?C
B
0
?
3
,
?
?A.
tan
（II）由（I）知
4于是
3sinA?cos(B?
?
4
)?3sinA?cos(
?
?A)
?3sinA?cosA?2sin(A?
?
6
).0?A?
3
???
11
????
?

4
,?
6
?A?
6
?
12
,从而当A?
6
?
2
,即A?
3
时,
2sin(A?
，
6
)
取最大值2．
3sinA?cos(B?
?
4
)A?
?
5
?
综上所述，
3
,B?
12
.
的最大值 为2，此时
f(x)?2sin(
1
?
7．（2011年广东高考16）已 知函数
3
x?
6
)
，
x?
R
．
f(
5
?
4
)
?
,
?
?
?
?
0,
?
?
(3
?
?
?
)?
1 0
f(3
?
?2
?
)?
6
（1）求的值；（2）设
?
2
?
?
f
，
213
，
5
，求
cos(
?
?
?
)
的值．

故
以

1,

f(
16．解：（1）
5
?
15
???
?
1
??
10
)?2s in(??)?2sin?2f(3
?
?)?2sin[(3
?
?)?]?2 sin
?
?
43464232613
，（2）
sin
??
即
?
?
?
53
1
??
6
?
,
?
?
?
0,
?
cos
?
?f(3
?
?2
?
)?2sin[(3
?
?2
?
)?]?2sin(
?
?)?
?
2
?
，
13
，
5
，∵
3625
，即
cos
?
?1 ?sin
2
?
?
12
13
sin
?
?1? cos
2
?
?
，∴
4
5
∴
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
f(x)?sin(x?
8．（2011年广东高考1 8）已知函数
1235416
????
13513565

7
?
3
?
4
)?cos(x?
cos(
?
?
?
)?
)
4
，x
?
R．
44
?
cos(
?
?
?
)??0?
?
?
?
?< br>2
f(x)
5
，
5
，
2
．求证：
[ f(
?
)]?2?0
．（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知
?7
?
7
?
3
?
3
?
?2sin(x? )
f(x)?sinxcos?cosxsin?cosxcos?sinxsin
4
，∴
f(x)
的最
4444
?2sinx?2cosx
（Ⅰ）解析：
f(x)
min
??2
．Ⅱ）证明：由已知得小正周期
T?2
?
，最小值
式相加得
∴
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
44
cos
?
c os
?
?sin
?
sin
?
??
5
，5
，两
2cos
?
cos
?
?0
，∵
0?
?
?
?
?
?
2
，∴
cos
?
?0
，则
?
?
?
2
．
[f(
?
)]
2
?2?4sin
2
?
4
?2?0
．
9.（2011年江苏高考17）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
a,b,c

sin(A?
（1）若
?
6
)?2cosA,
1
cosA?,b?3c
3
求A的值；（2）若，求
sinC
的值. 解析：（1）
sin(A?)?2cosA,?sinA?3cosA,?A?
63
??

（2）
1
cosA?,b?3c,?a
2
?b2
?c
2
?2bccosA?8c
2
,a?22c
3< br>
22cc
?
sinC
由正弦定理得：
sinA
si nA?1?cos
2
A?
，而
1
22
,
?sinC ?
3
。（也可以先推出直角三角形）
3
基本定义
定义：我们把平 面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。 （平
面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线）
即：│PF1-PF2│=2a
定义1：

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离
[1]< br>）的点的轨迹称为双曲线。定点
叫双曲线的焦点。
定义2：平面内，到给定一点及一直 线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，
定直线叫双曲线的准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为 双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+ dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双
曲线。
1.a、b、c不都是零.
2.b^2 - 4ac > 0.
注：第2条可以推出第1条。
在高中的解析几 何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：
x^2 a^2 - y^2b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
[2]

编辑本段
标准方程
1、焦点在X轴上时为：
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
2、焦点在Y 轴上时为：
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
编辑本段
概念特征
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。

分支
双曲线有两个分支。
焦点
在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2 中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦
点。
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
离心率e=ca
双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一 个焦点，
一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率 得到的双曲线是相同
的。）
顶点
双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。
渐近线
双曲线有两条渐近线。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用 解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：X^22-Y^24=1，
令1=0，则X^22=Y^24 ，则双曲线的渐近线为Y=±(√2)X
编辑本段
几何性质
轨迹上一点的取值范围
[1]
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
对称性
关于坐标轴和原点对称。
顶点
A(-a,0)，A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b），B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左 焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2

渐近线
焦点在x轴：y=±（ba)x.
焦点在y轴：y=±（ab)x. 圆锥曲线ρ=ep1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p 为焦点到准线距离，θ为弦
与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1e)
令θ=0，得出ρ=ep（1-e）,x=ρcosθ=ep（1-e）
令θ=PI，得出ρ=ep（1+e）,x=ρcosθ=-ep（1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ep1-e)+(-ep1+e)]2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ep1-e)+(-ep1+e)]2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI2-arccos（1e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[PI2-arccos（1e)]
则θ=θ’+[PI2-arccos（1e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[PI2-arccos（1e)]}=[(ep1-e)+(-ep1+e)]2
即：ρsin[arccos（1e)-θ’]=[(ep1-e)+(-ep1+e)]2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1e)-θ]=[(ep1-e)+(-ep1+e)]2
现证明双曲线x^2a^2-y^2b^2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则
y=(ba）√（x^2-a^2） (x>a)
因为x^2-a^2即 y所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bxa下方

根据对称性第二、三、四象限亦如此
离心率
第一定义：e=ca 且e∈（1，+∞）.
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线
的离心率e.
d点│PF│d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e
双曲线焦半径公式
（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│
等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
共轭双曲线
双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭
双曲线。
几何表达：S：（x^2a^2）-(y^2b^2）=1 S'：（y^2b^2）-(x^2a^2）=1
特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
准线
焦点在x轴上：x=±a^2c
焦点在y轴上：y=±a^2c
通径长
（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe（1-e^2cos^2θ）

弦长公式
d = √（1+k^2）|x1-x2|
= √[（1+k^2）(x1-x2）^2]
= √（1+1k^2）|y1-y2|
= √[（1+1k^2）(y1-y2）^2 ]
推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2） (x1 - x2）
得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2）^2; + (y1 - y2）^2; ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1k^2;)
·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2a^2 - Y^2b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为 xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2a^2 - Y^2b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a（a≠0，顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π4
则
X^2 - Y^2 = (xcos（π4） + ysin（π4）)^2 -(xsin（π4） - ycos（π4）)^2
= （√22 x + √22 y)^2 -（√22 x - √22 y)^2

= 4 （√22 x) （√22 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2（2c) - Y^2（2c) = 1 (c>0)
Y^2(-2c) - X^2(-2c) = 1 (c<0)
由此证得，反 比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2a^2-y^2b^2>1；
在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2a^2-y^2b^2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2a^2-y^2b^2<1。
编辑本段
面积公式
若 ∠F1PF2=θ，
则 S△F1PF2=b^2×cot（θ2）或S△F1PF2=b^2tan（θ2）
·例：已知F1 、F2为双曲线C：x2-y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多
少？
解：由双曲线焦点三角形面积公式
得S△F1PF2=b^2×cot（θ2）=√3
设P到x轴的距离为h，则 S△F1PF2 =12×h×2√2; h =√62

2、双曲线的标准方程（中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的方程）
如果双曲线的焦点在x轴上，标准方程为（a>0,b>0）
如果双曲线的焦点在y轴上，标准方程为（a>0,b>0）.
双曲线标准方程中a>0，b>0 ，但a不一定大于b．如果x
2
的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y
2
的系
数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置．要学会利用题设 条件求a、

b并判断焦点所在的坐标轴求双曲线方程，或用待定系数法确定双 曲线方程；另外，在方程Ax
2
＋By
2
=C中，只
要AB<0，且 C≠0，方程表示双曲线方程．
3、双曲线的几何性质
（1）双曲线的几何性质包括： 范围、对称轴、对称中心及其实轴与虚轴的概念、焦距与焦点坐标、离心率、
准线、渐近线方程等．
关于双曲线渐近线方程的记忆，只须将双曲线标准方程中的1改为0即可．如双曲线的渐近线方程为，即，这两条直线恰是边长2a、2b的矩形的两条对角线所在的直线．当双曲线的两支
向外延 伸时，与这两条直线无限接近，但永不相交．
渐近线是双曲线特有的性质，理解渐近线的渐近性， 可以理解为：，当x无限增大时，
无限接近于0，所以y无限趋近于．
． （2）等轴双 曲线x
2
－y
2
=±a
2
的渐近线方程是y=±x，离心率
（3）离心率的求解注意运用几何性质，将相关线段关系转化为a、b、c的齐次等式．
（4）与双曲线
4、要掌握双曲线的第二定义：
有相同渐近线的方程是．
在平 面上到一定点F的距离与到一定直线距离之比为一个大于1的常数e的点的轨迹．即
5即是应用双曲线的 第二定义
几何性质见下表：
标准方
程
（a>0,b>0） （a>0,b>0）
．教材例
图形

范围
对称性
离心率
顶点 （－a,0）(a,0)
|x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R

对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点

(0,－a),(0,a)

焦点
准线
渐近线
4、直线与双曲线的位置关系
(－c,0)(c,0)


(0,－c)(0,c)


（1）一次方程与二次方程所表示的是直 线与曲线的位置关系，一般处理方法均是将一次方程代入二次方程
考查解的个数，但这里直线方程代入双 曲线方程后当二次项为零时，即是直线与渐近线平行时，有一个交点，
然后讨论△与零的大小判断解的个 数．
直线与圆锥曲线相交的弦长问题
（2）直线l︰y=kx＋b，与二次曲线C︰(x, y)=0交于A、B两点，由得：ax
2
＋bx＋c=0 (a≠0)，
则.
（3）利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即 将端点
代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系。
（4）圆锥曲线中的对称问题
对于曲线上点关于直线的对称问题处理时要抓住三点：
（1）对称点的连线垂直于对称轴（垂直）；
（2）对称点的连线段的中点在对称轴上（平分）；
（3）对称点所在直线与曲线相交（△>0）。