高中数学必修4综合测试题及答案

必修4综合检测
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同
2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是
A．
（ ）
D．－
?

3
B．－
?

3
C．
?

6
?

6
3m
?
，
?
m?0?
，则
2sin
?
?cos
?
的值是（ ） 3．已知角
?
的终边过点
P
?
?4m，
A．1或－1 B．
2222
或
?
C．1或
?
D．－1或
5555
4、若点
P(sin
?
?cos
?< br>,tan
?
)
在第一象限,则在
[0,2
?
)
内
?
的取值范围是（ ）
??
5
?
?
3
?
5
?
A.
(,)U(
?
,)
B.
(,)U(
?
,)

424
244
?
3
?
5
?
3
?
?
3
?
3
?
C.
(,)
U
(,)
D.
(,)U(,
?
)

2442244
5. 若|
a|?2
，
|b|?2
且（
a?b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角是 （ ）
（A） （B）
?
6
5
??
（C） （D）
?

43
12
6.已知函数
y?As in(
?
x?
?
)?B
的一部分图象如右图所
示，如果A?0,
?
?0,|
?
|?
?
2
，则（ ）
A.
A?4
B.
?
?1
C.
?
?
?
6
D.
B?4

7. 设集合
A?
?
(x，y)|y?2sin2x
?
，集合
B?
?
(x，y)|y?x
?
，则（ ）
A．
A?B
中有3个元素 B．
A?B
中有1个元素
C．
A?B
中有2个元素 D．
A?B?R

８．已知
x?(?
A．
7
24
?
2
,0 ),cosx?
4
,则tan2x?
（ ）
5
B．
?
7
24
C．
24

7
D．
?
24

7
πππ
9. 同时具有 以下性质：“①最小正周期实π；②图象关于直线x＝
3
对称；③在[－
6
，
3
]上是增
函数”的一个函数是 （ ）
x
π
A. y＝sin(
2
＋
6
)
π
B. y＝cos(2x＋
3
)
ππ
C. y＝sin(2x－
6
) D. y＝cos(2x－
6
)

10. 设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki－4j,若a⊥b，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．－3 C．3 D．6
??
11. 函数
y?3sin(?3x)?3cos(?3x)
的最小正周期为 （ ）
44
A．
2
?

3
B．
?

3
C．8 D．4
12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图 所示，它是由4个相同的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为
?
，大正方形的面积
是1，小正方形的面积是
A．1
1
,则sin
2
?
?cos
2
?
的值等于（ ）
25
2477
B．
?
C． D．－
252525
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 已知
sin< br>?
2
?cos
?
2
?
23
，那么
s in
?
的值为 ，
cos2
?
的值为 。
3
12
，则a·b= 。
5
14. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量a在向量b方向上的投影为
15. 已知向量
OP?( 2,1),OA?(1,7),OB?(5,1),设X是直线OP
上的一点（O为坐标原点），那么< br>XA?XB
的最小值是___________________。
16．给出下列6种图像变换方法：
1
；②图像上所有点的纵坐标不变，
2
??
横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移个单位；④图像向左平移个单位；⑤图像向33
2
?
2
?
右平移个单位；⑥图像向左平移个单位。请写出用 上述变换将函数y = sinx的图像变
33
x
?
换到函数y = sin (+)的图像的一个变换______________．(按变换顺序写上序号即可)
2
3
①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
三、解答题（本大题共6小题，共74分， 解答应有证明或演算步骤）
17、（12分）已知cos(α－
18. (12分)已知
值.
19.（12分）已知向量
a?(cos
3x3xxx
c?(3，?1)
，
，sin)
，
b?(cos，?sin)
，其中
x?R
．（Ⅰ）
2222
?
?
??
??
?
1
2
)=
?
,sin(
?
?)=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值.
22222
9
3
?
?
33?5
?3?
???
，
0???
，
cos(?
?
)??
，
sin(??)?
，求
sin?
?
?
?
?
的
4413
45
44当
a?b
时，求
x
值的集合；（Ⅱ）求
|a?c|
的最 大值。

20、（12分）已知函数
f(x)?2sin
2
x ?sin2x?1,x?R.

（1）求
f(x)
的最小正周期及
f(x)
取得最大值时x的集合；
（2）在平面直角坐标系中画出函数
f(x)
在
[0,
?]
上的图象.
21、（12分）设
a
、
b
是两个不共 线的非零向量（
t?R
）

1
（1）记
OA?a,OB? tb,OC?(a?b),
那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
3
（2） 若
|a|?|b|?1且a与b夹角为120
?
，那么实数x为何值时
|a? xb|
的值最小？
22、（14分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城 市正南方向200km的
海面P处，并正以20kmh的速度向北偏西
?
方向移动（其 中
cos
?
?
19
）,台风当前影响半径
20
为1 0km，并以10kmh的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多
长？
参考答案C2. D3．B4、B5、B6、C7、A8、D 9、C. 10、D11、A12、D
17
１３、， 14、12 15．－8 16． ④②或②⑥
39
17、已知cos(α－
18. 解：∵
?
?
???
?
?
1
2
)=
?
,sin(
??
)=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值.
22222
9
3
?3?

???
44
???3?4
∴
?????
又
cos(??)??
∴
sin(??)?

45
2445
?3?3?3?5
?????
又
sin(??)?
∵
0???
∴
444413
3?12
∴
cos(??)??

413
?3?
∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] =
?sin[(??)?(??)]

44
?3??3?4123563

??[sin(??)cos(??)? cos(??)sin(??)]??[?(?)??]?

444451351365
3xx3xx
１９解：（Ⅰ）由
a?b
，得
a
?
b?0< br>，即
coscos?sinsin?0
．…………4分
2222
k
ππ
?(k?Z)
．…………………………………5分 则
cos2x?0
，得
x?
24
k
ππ
??
?，k?Z
?
为所求．…………………………………6分 ∴
?
x|x?
24
??
（Ⅱ）
|a?c|
2?(cos
3x3x3x
π
?3)
2
?(sin?1)
2
?5?4sin(?)
，……………10分
2223

所以
|a?c|
有最大值为3．……………………………………………………12分
２０解：（I）
f(x)?2sin
2
x?sin2x?1?sin2x?(1?2s in
2
x)?sin2x?cos2x


=
2sin(2x?)
…………………………5分
4


所以
f(x)
的最小正周期是
?
……………6分
R，所以 当
2x?
?
?
4
?2k
?
?
?
2
,即x?k
?
?
3
?
时，
(k?
Z）8

f(x)
的最大值为
2
.



即
f(x)
取得最大值时x的集合为
{x|x?k
?
?3
?
,k?
Z}………………8分
8
（II）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点）
1．最小值
f(
3
?
)?2
，
8
7
?
)??2
.………………10分
8
最小值
f(
2．增区间
[0,
3
?
7
?< br>],[,
?
];

88
减区间
[
3
?
7
?
,]
……………………12分
88
3
?
??
3．图象上的特殊点：（0，－1），（
,1
），（
,1
），
(,?1),(
?
,?1)
……… 14分
4
42
[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]
21、解：（1）A、B、C三点共线知存在实数
?
,使OC?
?
OA?(1 ?
?
)OB






1即
(a?b)?
?
a?(1?
?
)tb
，……………… …………………………………4分
3
11
则
?
?,实数t?
………………………………………………………………6分
32
1
（2）
a?b?|a|?|b|cos120
?
??,

2
?|a?xb|
2
?a?x
2
?b?2x?a?b?x
2
?x?1,
……………9分
10+10t
22
D
A
北
13
当
x??时,|a?xb|取最小值
………………………12分
22
C20t
200
θ
P
10
E
22、解：如右图，设该市为 A，经过t小时后台风开始影响该城市，
则t小时后台风经过的路程PC＝（20t）km，台风半径为 CD＝
（10+10t）km，需满足条件：CD≥AC

uuur
2
uuuruuur
2
uuur
2
uuur
2
uuu ruuur
AC?(PC?PA)?PC?PA?2PA
g
PC

u uur
2
uuur
2
uuur
2
uuuruuur
|AC|?|PC|?|PA|?2|PA|
g
|PC|
g
cos
?
19

?200
2
?(20t)
2
?2 g200g20tg?40000?400t
2
?7600

20
∴
40000?400t
2
?7600t?CD
2
?(10?10t)
2

整理得
300t
2
?7800t?39900?0

即
t
2
?26t?133?0
解得
7?t?19