高中数学必修4培优讲义-学科网湘教版高中数学课件
ruize
课下能力提升(二十三)
[学业水平达标练]
题组1
给角求值问题
1.sin 105°的值为( )
A.
C.
3+22+1
B.
22
6-22+6
D.
44
17π
?
17π?
2.cos
?
-
-sin
?
-
的值是(
)
4
?
4
???
A.2B.-2C.0
D.
2
2
3.tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan
37°的值是________.
题组2 给值(式)求角问题
4.设α,
β
为钝角,且sin
α
=
5310
,cos
β
=-,则α+β的值为( )
510
3π5π5π7π
7π
A. B. C. D.或
44444
5.若(tan
α
-1)(tan
β
-1)=2,则α+β=________.
112
6.已知△ABC中B=60°,且+=-,若A>C,求A的值.
cos
Acos Ccos B
题组3 条件求值问题
π
4
7.若cos
α
=-,
α
是第三象限角,则sin
?
α+
?
=
( )
5
4
??
727222
A.-B.C.-D.
10101010
π
1
5π
8.已知α为钝角,且sin
?
α+
?
=,则cos
?
α+
?
的值为( )
1
2
??
12
?
3
?
22+322-3
A.B.
66
22+3-22+3
C.-D.
66
9.若sin(θ+24
°)=cos(24°-θ),则tan(θ+60°)=________.
β
4
α
12
βα
α-
?
=,cos
?
-β
?<
br>=-,且α-和-β分别为第二、第三象限角,10.已知sin
?
?
2
?
5
?
2
?
1322
α+β
求tan的值.
2
[能力提升综合练]
1.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos
B,那么这个三角形是( )
ruize
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
π4π
2.已知向量a=?
sin
?
α
+
?
,1
?
,b=(4
,4cos
α
-3),若a⊥b,则sin
?
α+
?
等<
br>6
??
3
????
于( )
A.-
3.
3131
B.-C.D.
4444
tan
10°+tan 50°+tan 120°
的值等于( )
tan 10°tan
50°
A.-1 B.1 C.3D.-3
4.
cos 15°-sin
15°
=________.
cos 15°+sin 15°
6.如图
,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,
β
,它们的终边分
别与
单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为
225
,.
105
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
π
?
4π2π
30
?
x
π
7.已知函数f(x)=2cos
?<
br>+
?
,x∈R.设α,
β
∈
?
0,
?
,f
4α+
?
=-,f
4β-
?
17
?
2
??
3
?
3
??
46
??
8
=
,求cos(α+β)的值.
5
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析:选D sin
105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin
60°=
2+6
123
×+×=.
2224
2
2
ruize
17π17π
1
7π
?
17π
?
17ππ
?
2. 解析:选A cos?
-
-sin
?
-
=cos+sin=2sin
?44
4
?
4
????
4
+
4
?
=2
9π
sin=2.
2
tan 23°+tan 37°
3.
解析:∵tan 60°=3=,
1-tan 23°tan 37°
∴tan
23°+tan 37°=3-3tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan
37°+3tan 23°tan 37°=3.
★答案★:3
4. 解析:选C
因为α,
β
为钝角,且sin
α
=
5310
,cos
β
=-,所以cos
α
=
510
25103105
25
?
-,sin
β
=,故cos(α+β)=cos
α
cos
β
-sin
α
sin
β
=
?
-
×(-)-
510105
?
5
?
×
7π
102<
br>=,所以α+β的值为.
1024
5. 解析:(tan
α
-1)(tan
β
-1)=2?tan
α
tan
β
-tan
α
-tan
β
+1=2?tan
α
+
tan
α
+tan
β
π
tan
β
=tan
α
tan
β
-1?=-1,即tan(α+
β)=-1,∴
α
+β=kπ-,k
4
1-tan
α
tan
β
∈Z.
π
★答案★:kπ-,k∈Z
4
6. 解:由已知B=60°,A+C=120°,
设
A-C
=α,∵A>C,则0°<
α
<120°,
2
A+CA-C
故A=+=60°+α,
22
A+CA-C
C=-=60°-α,
22
故
=
1111
+=+
cos Acos
C
cos(60°+α)cos(60°-α)
1313
cos
α
-sin
α
cos
α
+sin
α
2222
cos
α
cos
α
=.
1
2
3
2
3
2
cos
α
-sin
α
cos
α
-
444
1
+
1
=
co
s
α
2
由题设有=-=-22,
3cos B
2
cos
α
-
4
整理得:42cos
2
α
+2cos
α
-32=0.
ruize
(2cos
α
-2)(22cos
α
+3)=0.
∵22cos
α
+3≠0,∴2cos
α
-2=0.
∴cos
α
=
2
.故α=45°,A=60°+45°=105°.
2
4
7. 解析:选A 因为cos
α
=-,
α
是第三象限角,
5
3
所以sin
α
=-,由两角和的正弦公式可得
5
ππ
π
sin
?
α+
?
=sin
α
cos+cos
α
sin
44
4
??
34
2272
-
?
×+
?
-
?
×=-=
?
.
?
5
?
2
?
5
?
210
π
1
8. 解析:选C
∵α是钝角,且sin
?
α+
?
=,
?
12
?<
br>3
π
22
∴cos
?
α+
?
=-,
3
?
12
?
5π
π
π
∴cos
?
α+
?
=cos
?
?
α+
?
+
?
12
??
?
?
12
?
3
?
π
π
ππ
=cos
?
α+
?
cos-sin
?
α+
?
sin
?
12
?
3
?
12?
3
22+3
3
22
?
11
=
?-
×-×=-.
6
?
3
?
232
9.
解析:由已知得:
sin
θ
cos 24°+cos
θ
sin
24°=cos 24°cos
θ
+sin
θ
sin 24°
?(sin
θ
-cos
θ
)(cos 24°-sin
24°)=0
?sin
θ
=cos
θ
?tan
θ
=1,
1+3
∴tan(θ+60°)==-2-3.
1-3
★答案★:-2-3
βα
35
α-
?
=-
,sin
?
-β
?
=-, 10. 解:由题意,得cos
?
?
2
??
2
?
513
βα
45
α-?
=-,tan
?
-β
?
=, ∴tan
?
?
2
??
2
?
123
α+β
?
α-
β
?
-
?
α
-β
??
∴tan=tan
?
??
2
??
2
??
2
β
α
α<
br>-
2
?
-tan
?
-β
?
tan
?
??
?
2
?
=
β
α
??
?1+tan
?
?
α
-
2
?
tan
?<
br>2
-β
?
ruize
45
--
312
63
==-.
4516
1-×
312
[能力提升综合练]
1. 解析:选C
∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C).
由已知可得sin(B+C)=2sin C cos
B?
sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B?
sin
Bcos C-cosBsin C=0?sin(B-C)=0.
∵0∴B=C.故△ABC为等腰三角形.
π
2. 解析:选B
a·b=4sin
?
α+
?
+4cos
α
-3=23sin
α
+6cos
α
-3=43
6
??
π
sin
?
α+
?
-3=0,
3
??
π
1
∴sin
?
α+
?
=. 3
?
4
?
4ππ
1
sin
?
α+?
=-sin
?
α+
?
=-.
4
3
?
3
???
tan 10°+tan
50°
3. 解析:选D ∵tan 60°=tan(10°+50°)=,
1-tan
10°tan 50°
∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan
10°tan 50°.
tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°+tan
120°
∴原式=
tan 10°tan 50°
=-3.
1-tan
15°tan 45°-tan 15°
4. 解析:原式==
1+tan
15°1+tan 45°tan 15°
=tan(45°-15°)=tan
30°=
★答案★:
5.
3
3
3
.
3
π
13
∵0<
β
<
α
<,∴cos(α-β)=.
214
143
又∵cos
α
=,∴sin
α
=,
77
ruize
4313133
∴sin
β
=sin[α-(α-β)]=sin
α
·cos(α-β)-cos
α
·sin(α-β)=×-×=
714714
π
3
,∴
β
=.
23
π
★答案★:
3
6. 解:由条件得cos
α
=
225
,cos
β
=.
105
72
∵
α
,
β
为锐角,∴sin
α
=1-cos
2
α
=,
10
sin
β
=1-cos
2
β
=
5
.
5
1
∴tan
α
=7,tan
β
=.
2
tan
α
+tan
β
(1)tan(α+β)===-3.
1
1-tan
α
·tan
β
1-7×
2
(2)∵tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
tan(α+β)+tan
β
==-1,
1
1-tan(α+β)tan
β
1-(-3)×
2
1<
br>-3+
2
1
7+
2
=
又∵α,
β
为
锐角,
3π
∴0<
α
+2β<,
2
3π
∴
α
+2β=.
4
4π
30
7.
解:∵f
?
4α+
?
=-,
17
3
??
π
4π
π
30
1
∴2cos
?
?
4α+<
br>?
+
?
=2cos
?
α+
?
=-,
17
2
?
3
?
6
?
?
?
4?
15
∴sin
α
=.
17
2π
8
又∵f
?
4β-
?
=, 3
?
5
?
2π
π
8
1
∴2cos?
?
4β-
?
+
?
=2cos
β
=,
5
3
?
6
??
4
?
4
∴cos
β
=.
5
π
又∵α,
β
∈
?
0,
?
,
2
??
ruize
83
∴cos
α
=,sin
β
=,
175
∴cos(α+β)=cos
α
cos
β
-sin
α
sin
β
8415313
=×-×=-.
17517585
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