人教A版高中数学必修四测试题及答案全套

人教A版高中数学必修四测试题及答案全套
阶段质量检测（一）

(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共6 0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( )
A．330° B．210°
C．150° D．30°
2．若sin α＝
3
3，
π
2
<α<π，则sin
?
?
α＋
π
2
?
?
＝( )
A．－
6
3
B．－
1
2

C.
16
2
D.
3

3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(
A．2 B.
2
sin 1

C．2sin 1 D．sin 2
4．函 数f(x)＝sin
?
?
x－
π
4
?
?
的 图象的一条对称轴是( )
A．x＝
π
4
B．x＝
π
2

C．x＝－
π
4
D．x＝－
π
2

5．化简1＋2sin（π－2）·cos（π－2）得( )
A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2
C．sin 2－cos 2 D．±cos 2－sin 2
6．函数f(x)＝tan
?
?
x＋
π
4
?
?
的单调增区间为( )
A.
?
?
kπ－
ππ
2
，kπ＋
2
?
?
，k∈ Z
)

B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
3ππ
C.
?
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z
44< br>??
π3π
D.
?
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z 44
??
π3π
3
7．已知sin
?
＋α
?< br>＝，则sin
?
－α
?
的值为( )
?
4
?
2
?
4
?
1133
A.B．－ C. D．－
2222
8．设α是第三象限的角，且
?
cos
α
?
αα
＝－cos ，则的终边所在的象限是( )
22
2
??
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
ππ
9．函数y＝cos
2
x＋sin x
?
－≤x≤
?
的最大值与最小值之和为( )
6
??
6
33
A.B．2 C．0 D.
24< br>π
10．将函数y＝sin
?
x－
?
的图象上所有点的横坐标 伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象
?
3
?
π
向左平 移个单位，得到的图象对应的解析式为( )
3
1
1
π
A．y＝sin x B．y＝sin
?
x－
?

2
?
22
?< br>π
1
π
C．y＝sin
?
x－
?
D．y＝sin
?
2x－
?

6
??
26
??
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示， 则函数的解析式为( )

π
A．y＝2sin
?
2x－
?

4
??
π3π
B．y＝2sin
?
2x－
?
或y＝2sin
?
2x＋
?

4
?
4
???

3π
C．y＝2sin
?
2x＋
?

4
??
3π
D．y＝2sin
?
2x－
?

4
??
1119
x－
?
＝f
?
x＋
?
，且f
?
－
?
＝－a，那么f
??
等于( ) 12．函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有f
?
?
2
??
2
??
4
??
4
?
A．a B．2a
C．3a D．4a
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知tan α＝－3，
14．设f(n)＝cos
?
π
<α<π，那么cos α－sin α的值是________．
2
nππ
?
?
2
＋
4
?
，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于________．
?
?
a（a≤b），
15．定义运算a* b为a*b＝
?
例如1*2＝1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为________．
?
b（a>b），
?
π7π
π16．给出下列4个命题：①函数y＝
?
sin
?
2x－
??< br>的最小正周期是；②直线x＝是函数y＝
212
12
????
π
13
2sin
?
3x－
?
的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－，且α为第二象限角，则tan α＝－；④函数y＝
54
4
??
2< br>?
cos(2－3x)在区间
?
?
3
，3
?
上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
tan α
17．(10分)已知＝－1，求下列各式的值：
tan α－1
sin α－3cos α
(1)；(2)sin
2
α＋sin αcos α＋2.
sin α＋cos α
1
π
18．(12分)已知函 数f(x)＝2sin
?
x－
?
，x∈R.
?
36
?
(1)求f
?
5π
?
?
4
?
的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
π
19．(12分)已知函数f(x)＝3 sin
?
x＋
?
.
?
4
?
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；

(2)写出f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．

π
20．(12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R
?
其中0≤φ≤?
的图象与y轴交于点(0，1)．
2
??

(1)求φ的值；
(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；
(3)求使y≥1的x的集合．
π
21．(12分)已知函数f(x)＝Asin( ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最
12
7π
大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3.
12
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间； < br>ππ
(3)若x∈
?
－，
?
时，函数h(x)＝2f(x)＋ 1－m的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
?
36
?
22．( 12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)
(
x∈R，ω>0，0≤θ
函数的最小 正周期为π.

π
≤
?
的图象与y轴交于点(0，3)，且该
2
?

(1)求θ和ω的值；

ππ
3
(2)已知点A
?< br>，0
?
，点P是该函数图象上一点，点Q(x
0
，y
0
)是PA的中点，当y
0
＝，x
0
∈
?
，π
?< br>2
?
2
??
2
?
时，求x
0
的值．


答 案
1. 解析：选B 因为－510°＝－360°?2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.
π
2. 解析：选A ∵sin
?
＋α
?
＝cos
α
，
?
2
?
又
π
36
<
α
<π，sin
α
＝，∴cos
α
＝－.
233
1
3. 解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC＝1，圆的半径r满足sin
θ
＝sin 1＝，
r
12
所以r＝，弧长AB＝2θ·r＝.
sin 1sin 1

ππ3π
π
4. 解析：选C f(x)＝sin
?
x－
?
的图象的对称轴为x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，
424
?
4?
π
当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.
4
5. 解析：选C 1＋2sin（π－2）·cos（π－2）
＝1＋2sin 2·（－cos 2）
＝（sin 2－cos 2）
2
，
∵
π
<2<π，∴sin 2－cos 2>0.
2
∴原式＝sin 2－cos 2.
πππ3ππ
6. 解析：选C 令kπ－24244
π3π
?
7. 解析：选C ∵
?
＋α
?
＋
?
?
4
??
4
－α
?
＝π，
∴
3π
π
－α＝π－
?
＋α
?
，
4
?
4
?

∴sin
?
3π
?ππ
3
－α
＝sin
?
π－
?
＋α
? ?
＝sin
?
＋α
?
＝.
?
4
???
4
???
4
?
2
8. 解析：选B ∵α是第三象限的角，
3π
∴π＋2kπ<
α
<＋2kπ，k∈Z.
2
∴
π
α
3π
＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
224
α
∴在第二或第四象限．
2
又∵
?
cos
?
α
?
αα
＝－cos ，∴cos <0.
22
2
?
α
∴是第二象限的角．
2
1ππ
5
sin x－
?
＋，∵－≤x≤， 9. 解析：选A f(x)＝1－sinx＋sin x＝－
?
2
??
4662
2
11
∴－≤sin x≤.
22
11
当sin x＝－时，f(x)
min
＝；
24
15
当sin x＝时，f(x)
max
＝，
24
153
∴f(x)
mi n
＋f(x)
max
＝＋＝.
442
π
10. 解析：选C 将函数y＝sin
?
x－
?
的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的2倍(纵坐标不变)，即
?
3
?
ππ
1
1
π将x变为x，即可得y＝sin
?
x－
?
，然后将其图象向左平移个单位 ，即将x变为x＋.
233
?
23
?
π
π
11< br>π
∴y＝sin
?
?
x＋
?
－
?
＝ sin
?
x－
?
.
?
26
?
?
2
?
3
?
3
?
π
π
π
11. 解析：选C 由图象可知A＝2，因为－
?
－
?
＝，
8
?
8
?
4
所以T＝π，
ω
＝2.
π
π
当x＝－时，2sin
?
－·2＋φ
?
＝2，
8
?
8
?
π
即sin
?
φ－
?< br>＝1，又|φ|<π，
4
??

3π
3π
解得 φ＝.故函数的解析式为y＝2sin
?
2x＋
?
.
4
4
??
1
1
1111
x－
?
＝f
?
x＋
?
，得f(x＋1)＝f
?
?
x＋
2
?
＋
?
＝f
?
x＋－
?
＝f(x)， 12. 解析：选A 由f
?
?
2
?
?
22
??
2
??
2
?
?
?
即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，
9
??
1
??
－
1
?
＝a. 则f
?
＝f＝－f
?
4
??
4
??
4
?π
13. 解析：因为<
α
<π，所以cos
α
<0，sin
α
>0，
2
所以cos
α
＝－cos
α
＝－
1
＝－
1＋tan
2
α
3
，
2
2
cos
2
α

cos
2
α< br>＋sin
2
α
＝－
11
＝－.
2
1＋3
sin
α
＝
1＋3
所以cos
α
－sin
α
＝－.
2
1＋3
答案：－
2
14. 解析：f(n)＝cos
?
nππ
?
?
2
＋
4
?
的周期T＝4，
3π
ππ
2
且 f(1)＝cos
?
＋
?
＝cos ＝－，
42
?
24
?
π
2
f(2)＝cos
?
π＋
?
＝－，
2
4
??
f(3)＝cos
?
3ππ
?< br>2
＋
＝
2
，
4
??
2
π
2
f(4)＝cos
?
2π＋
?
＝.
4
?
2
?
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝－
2

2
2
.
2
答案：－

15. 解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义 函数，结合函数的图象可得其值域为
?
－1，
?
2
?
.
2
?
答案：
?
－1，
?
2
?

2
?
π
16. 解析：函数y＝sin
?
2x－
?
的最小正周期是π，
12
??
π
π
则y＝
?
sin
?
2x－
??
的最小正周期为，
2
12
????
故①正确．
7π3π
7ππ
对于②，当x＝时，2sin
?
3?－
?
＝2sin ＝－2，故②正确．
122
124
??
1
对于③，由(sin
α
＋cos
α
)
2
＝得
25
247
2sin
α
cos
α
＝－，
α
为第二象限角，所以sin
α
－cos
α
＝1－2sin
α
cos
α
＝，
255
343
所以sin
α
＝，cos
α
＝－，所以tan
α
＝－，故③正确．
554
2π2
?
7
2π
，3
长度>，显然④错误． 对于④，函数y＝cos(2－3x)的最小正周期为，而区间
?
?
3
?333
答案：①②③
tan
α
1
17. 解：由＝－1，得tan
α
＝.
2
tan
α
－1
1
－3
sin
α
－3cos
α
tan
α
－3
2
5
(1)＝＝＝－.
3
sin α＋cos
α
tan
α
＋1
1＋1
2
(2)sin
2
α
＋sin
α
cos
α
＋2＝sin
2
α
＋sin
α
cos
α
＋2(cos
2
α
＋sin
2
α
)
3sin
2
α
＋sin
α
cos
α
＋2cos
2
α
＝
sin
2
α
＋cos
2
α
1
?
1
3
?
＋＋2
2
3tan
α
＋tan
α
＋2
?
2
?
2
13
tan
2
α
＋1
＝
2
?< br>1
?
＋1
?
2
?
＝
5
2
＝ .
18. 解：(1)f
?
π
5π
?
1
5ππ< br>＝2sin
?
?－
?
＝2sin ＝2
4
6
??
4
??
34

π
1
ππ
(2) 令2kπ－≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
2362
π
1
2π
所以2kπ－≤x≤＋2kπ，k∈Z，
333
解得6kπ－π≤x≤2π＋6kπ，k∈Z，
1
π
所以函 数f(x)＝2sin
?
x－
?
的单调递增区间为[6kπ－π，2π＋6k π]，k∈Z.
?
36
?
19. 解：(1)列表如下：
x
π
x＋
4
π
sin
?
x＋
?

?
4
?
π
3sin
?
x＋
?

?
4
?
描点画图如图所示．
ππ3π5π7π
－
44444
0
π

2
1
π
3π

2π
2
－1
0 0 0
0 3 0
－3
0

(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π，
π
对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，
4
3πππ5π
单调递增区间为
?
－＋2kπ，＋2kπ
?
(k∈Z)，单调递减区间为
?
＋2kπ，＋2kπ
?
(k∈Z)．
44
?
4
??
4
?
20. 解：(1)因为函数图象过点(0，1)，
1
所以2sin
φ
＝1，即sin
φ
＝.
2
ππ
因为0≤φ≤，所以φ＝.
26
π
(2)由(1) 得y＝2sin
?
πx＋
?
，
6
??

πππ
所以当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
262
21
即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，
33
21
ππ
－＋2k，＋2k
?
，k∈Z. y＝2si n
?
πx＋
?
是增函数，故y＝2sin
?
πx＋
?
的单调递增区间为
?
3
?
3
?
6
?6
???
π
1
(3)由y≥1，得sin
?
πx＋?
≥，
6
?
2
?
ππ5π
所以＋2kπ≤π x＋≤＋2kπ，k∈Z，
666
2
即2k≤x≤＋2k，k∈Z，
3< br>2
??
所以y≥1时，x的集合为
?
x|2k≤x≤
3
＋2k，k∈Z
?
.
??
21. 解：(1)由题意，A＝3，T＝2< br>?
2π
7ππ
?
－
＝π，
ω
＝
T< br>＝2.
?
1212
?
πππ
由2?＋φ＝＋2kπ，k∈Z ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
1223
π
又因为－π<
φ
<π，所以φ＝.
3
π
所以f(x)＝3sin
?
2x＋
?
.
3
??
ππ3π
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
232
得
π7π
＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
66
π7π
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
1212
则
π 7π
所以函数f(x)的单调递减区间为
?
＋kπ，＋kπ
?
(k∈ Z)．
12
?
12
?
π
m－1
?
ππ< br>?
(3)由题意知，方程sin
?
2x＋
?
＝在
－，
上有两个根．
6
3
???
36
?
ππ
因 为x∈
?
－，
?
，
?
36
?
π
π2π
所以2x＋∈
?
－，
?
.
3
?
3 3
?

m－1
?
3
?
所以∈.
6
?
2
，1
?
所以m∈[33＋1，7)．
22. 解：(1)把(0，3)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，
得cos
θ
＝
3
.
2
ππ
∵0≤
θ
≤，∴
θ
＝.
26
2π2π
∵T＝π，且ω>0，∴
ω
＝＝＝2.
T< br>π
π
3
(2)∵点A
?
，0
?
，Q(x0
，y
0
)是PA的中点，y
0
＝，
2
?< br>2
?
π
∴点P的坐标为
?
2x
0
－，3?
.
2
??
π
π
∵点P在y＝2cos
?< br>2x＋
?
的图象上，且≤x
0
≤π，
2
6
??
5π
3
∴cos
?
4x
0
－
?
＝，
6
?
2
?
且
7π5π19π
≤4x
0
－≤.
666
5π11π
5π
13π
∴4x
0
－＝或4x
0
－＝.
6666
2π3π
∴x
0
＝或x
0
＝.
34


阶段质量检测（二）

(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合
题目要求的)
1．在五边形ABCDE中(如图)，＝( )

2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a
∥
b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
4．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )
A.
ππ
6
B.
4
C.
π
3
D.
π
2


A.
1133
2
B．－
2
C.
2
D．－
2

6．已知向量满足：|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝( )
A.6 B.7 C.10 D.11

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
8．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2，1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)， b∥(a＋c)，则b与c的夹角为(
A．0 B.
π
4
C.
π3π
2
D.
4

9．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于( )

A.
42
3
a＋
3
b
B.
2
3
a＋
4
3
b
C.
2
3
a－
4
3
b
D．－
24
3
a＋
3
b
)

π
π
5π
A.
?
0，
?
B.
?
，
?

3
???
36
?
π
2π
2π
5π
C.
?
，
?
D.
?
，
?

6
??
23
??
3
11．已知a＝(－1，3)，
则△AOB的面积是( )
A.3 B．2 C．22 D．4
12．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算 m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右
边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都 有m?p＝m成立，则向量p为( )
A．(1，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(0，－1)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) < br>13．已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)．则|a＋b|的取值范 围为________．
14．设e
1
，e
2
为两个不共线的向量 ，若a＝e
1
＋λe
2
与b＝－(2e
1
－3e
2
)共线，则实数λ等于________．
15．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则＝________．
＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
13
18．(12分)设向量a＝(cos α，sinα)(0≤α＜2π)，b＝
?
－，
?
，且a与b不共线．
?
22
?
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)若向量3a＋b与a－3b的模相等，求角α.
19．(12分)如图，平行四边形A BCD中，＝a，
1
＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，
3

(1)以a，b为基底表示向量

AD与BE相交于点F.
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b的夹角为120°，求
20．(12分)在边长为1的正△ABC中，


21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B( n，t)，C(ksin
π
θ，t)
?
0≤θ≤
?
.
2
??

22．(12分)已知e
1
，e
2
是平面内两个不共线的非零向量，
且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e
1
＝(2，1)，e
2
＝(2，－2)，求的坐标； < br>(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 A的坐标．




答 案
1. 解析：选B ∵＝＝.
2m
2. 解析：选B ∵a
∥
b，∴－＝，∴m＝－4，
12
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
3. 解析：选A 由题意可知(λa＋b)·a＝λa
2
＋b·a＝0.
∵|a|＝10，a·b＝1?4＋(－3)?(－2)＝10，
∴10
λ
＋10＝0，
λ
＝－1.
4. 解析：选B 由 于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|
2
－a·b＝0，所以a·b＝|a|
2
＝2，所以 cos〈a，
b〉＝
π
a·b22
＝＝，即a与b的夹角是.
|a||b|
22
24
5.

6. 解析：选C 由题意|a－b|
2
＝a
2
＋b
2
－2a·b＝16，
3
∴a·b＝－.
2
∴|a＋b|
2
＝a
2＋b
2
＋2a·b＝10，
∴|a＋b|＝10.
7.

∴P是△ABC的垂心．
8. 解析：选C 由题意知b－c＝(－3，1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)，
?
?
－3x－3（1－y）＝0，
依题意得
?

?
x＋1＋2（y－3）＝0，
?
?
?
x＝1，
解得
?
∴c＝(1，2)，
?
y＝2，
?
而b·c＝－2?1＋1?2＝0，
∴b⊥c.
9.

10.

11. 解析：选D 由题意||＝||且⊥，
所以(a－b)
2
＝(a＋b)
2
且(a－b)·(a＋b)＝0，
所以a·b＝0，且a
2
＝b
2
，
所以|a|＝|b|＝2，
1
所以S
△
AOB
＝|
2
|·||＝
11
（a－b）
2
（a＋b）
2
＝ （a
2
＋b
2
）
2
＝4.
22
12. 解析：选A 因为m?p＝m，
即(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
?
?
ax＋by＝a，
所以
?

?
ay＋ bx＝b，
?
?
?
a（x－1）＋by＝0，
即
?

?
ay＋b（x－1）＝0.
?
由于对任意m＝(a，b)，
都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)成立．
??
?
x－1＝0，?
x＝1，
?
所以解得
?

?
y＝0，
?
y＝0.
??
所以p＝(1，0)．故选A.
13. 解析：因为a＋b＝(x，x＋2)，
所以|a＋b|＝x
2
＋（ x＋2）
2
＝2x
2
＋4x＋4
＝2（x＋1）
2
＋2≥2，
所以|a＋b|∈[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
14. 解析：因为a，b共线，
所以由向量共线定理知，存在实数k，使得a＝kb，
即e
1
＋λe
2
＝－k(2e
1
－3e
2
)＝－2ke
1
＋3 ke
2

又因为e
1
，e
2
不共线，
?
?
1＝－2k，
3
所以
?
解得λ＝－.
2
?
λ
＝3k，
?
3
答案：－
2

15. 解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．

则由A(0，0)，B(2，0)，E(2，3)，D(1，3，可得
答案：1
16.
＝1.


答案：[1，4]
17. 解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1?(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x
2
－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1?(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
∴a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝4＋16＝25.
综上所述，|a－b|为2或25.
13
18. 解：(1)证明：由题意，得a＋b＝
?
cosα－，sin
α
＋
?
，
22
??
13
a－b＝
?
cos
α
＋，sin
α
－
?
，
22
??13
因为(a＋b)·(a－b)＝cos
2
α
－＋sin
2< br>α
－＝1－1＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)．
44
(2)因为向量3a＋b与a－3b的模相等，
所以(3a＋b)
2
＝(a－3b)
2
，
所以|a|－| b|＋23a·b＝0，因为|a|＝1，|b|＝
所以|a|
2
＝|b|
2
，所以a·b＝0，
13
所以－cos
α
＋sin
α
＝0，
22
22
?
－
1
?
＋
?
3
?
＝1，
?
2
?
?
2?
22

所以tan
α
＝
3
，
3
又因为0≤α＜2π，
π7π
所以α＝或α＝.
66
19. 解：(1)∵M为DC的中点，

(2)由已知得a·b＝3?4?cos 120°＝－6，

1
112
1－
?
a·＝a
2
＋
?
b－b
?
12
?
26
1111
＝?3
2
＋?(－6)－?4
2

2126
11
＝－.
3
20. 解：(1)由题意，D为BC边的中点，而△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，

1
?
2
b－a
?
＝(a＋b)·
?
3< br>?
2
111
＝b
2
－a
2
－a·b
326
11111
＝－－?1?1?＝－.
32624