人教版高中数学必修四课后习题答案详解资料

人教版高中数学必修
四课后习题答案详解

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数学必修4课后习题答案

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第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念
练习（P77）
uuuruuur
1、略. 2、
AB
，
BA
. 这两个向量的长度相等，但它们不等.
uuuruuuruuuruuur
3、
AB ?2
，
CD?2.5
，
EF?3
，
GH?22
.
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.
习题2.1 A组（P77）
1
、
B
45°

（
2
）
O
30°
C
A
D
. C
A
B
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
3 、与
DE
相等的向量有：
AF,FC
；与
EF
相等的向量有 ：
BD,DA
；
uuuruuur
uuur
与
FD
相等的向量有：
CE,EB
.
rr
uuuruuuruuruuuuru uur
CO,QP,SRPM,DO
；
4、与
a
相等的向量有：； 与
b
相等的向量有：
r
uuuruuuruuur
与
c相等的向量有：
DC,RQ,ST

uuur
33
5、
AD?
. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
2
习题2.1 B组（P78）
1、海拔和高度都不是向量.
uuuur
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与
AM
同向的共有6
uuuuruuuruuur对，与
AM
反向的也有6对；与
AD
同向的共有3对，与
AD< br>反向的也有6对；模
为
2
的向量共有4对；模为2的向量有2对
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2．2平面向量的线性运算
练习（P84）
uuur
uuur
1、图略. 2、图略. 3、（1）
DA
； （2）
CB
.
r
ururur
4、（1）
c
； （2）
f
； （3）
f
； （4）
g
.
练习（P87）
uruuur
uuuuuur
uu
ruuur
1、图略. 2、
DB
，
CA
，
AC
，
AD
，
BA
. 3、图略.
练习（P90）
1、图略.
uuu r
5
uuuruuurr
2
uuu
2、
AC?AB
，
BC??AB
.
77
uuur
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是
BC
uuur
与
AB
反向.
rr
r rr
8
r
7
r
1
r
3、（1）
b?2a< br>； （2）
b??a
； （3）
b??a
； （4）
b?a
.
429
4、（1）共线； （2）共线.
rr
r
11
r
1
r
5、（1）
3a?2b
； （2）
?a?b
； （3）
2ya
. 6、图略.
123
习题2.2 A组（P91）
1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走
102
km；
（4）向西南走< br>52
km；（5）向西北走
102
km；（6）向东南走
102
km.
2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
uuuruuur
3、解：如右图所示：
AB
表示船速，
A D
表示河水
的流速，以
AB
、
AD
为邻边作
□< br>ABCD
，则
uuur
AC
表示船实际航行的速度.
B
C
uuuruuur
在Rt△ABC中，
AB?8
，
AD?2
，
uuur
所以
AC?
uuur
2
uuur
2
AB?AD?8
2< br>?2
2
?217

A
D
水流方向
因为
tan?CAD?4
，由计算器得
?CAD?76?

所以，实际航行的速 度是
217
kmh
，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
rrruuur
uuuruuur
4、（1）
0
； （2）
AB
； （3）
BA
； （4）
0
； （5）
0
； （6）
CB
； （7）
r
0
.
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5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三
个非零向 量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段
一定能构成三角形.
rr
rrrr
7、略. 8、（1）略； （2）当
a?b
时，
a?b?a?b

rrrrr
r
1
r
9、（1）
?2a?2b
； （2）
10a?22b?10c
； （3）
3a?b
； （4）
2
r
2(x?y)b
.
rrurrruruurrruru ur
10、
a?b?4e
1
，
a?b??e
1
?4 e
2
，
3a?2b??3e
1
?10e
2
. uuurruuurr
11、如图所示，
OC??a
，
OD??b
，
uuurrruuurrr
DC?b?a
，
BC??a?b
.

（第11题）
rrr
uuu
uuur
1
ruuu
uuur
3
r
r
1
rr
12、
AE?b
，
BC?b?a
，
DE?(b?a)
，
DB?a< br>，
44
4
uuur
3
r
uuur
1
rruuur
1
uuuur
1
rr
EC?b
，
D N?(b?a)
，
AN?AM?(a?b)
.
4
848
1 3、证明：在
?ABC
中，
E,F
分别是
AB,BC
的中点 ，
1
所以
EFAC
且
EF?AC
，
2
uuur
1
uuur
即
EF?AC
；
2
uuur
1
uuur
同理，
HG?AC
，
2
uuuruuur
所以
EF?HG
.
习题2.2 B组（P92）
1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.
rr
2、不一定相等，可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.
（第12题）
G
D
C
F
H
E
A
（第13题）
B
乙
丙
uuuuruuuruuuur
uuur
1
uuur uuuur
1
uuur
3、证明：因为
MN?AN?AM
，而
AN?AC
，
AM?AB
，
33
uuuur
1
uuur
1
uuur
1
uuuruuur
1
uuur
所以
MN?AC?AB?(AC?AB)?BC
.
3333
4、（1）四边形
ABCD
为平行四边形，证略
（2）四边形
ABCD
为梯形.
uuur
1
uuur
证明：∵
AD?BC
，
3
∴
ADBC
且
AD?BC

甲
（第1题）
C
B
D
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A
（第4题(2)）

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∴四边形
ABCD
为梯形.
（3）四边形
ABCD
为菱形.
uuuruuur
证明：∵
AB?DC
，
∴
ABDC
且
AB?DC

∴四边形
ABCD
为平行四边形
uuuruuur
又
AB?AD

∴四边形
ABCD
为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
证明：因为
OA?OB?BA
，
OD?OC?CD

C
B
A
D
（第4题(3)）
M
uuuruuuruuuruuur
而
OA?OC?OB?OD

uuuruuuruuuruuur
所以
OA?OB?OD?OC

uuuruuur
所以
BA?CD
，即
AB
∥
CD
.
A
B
D
C
O
（第5题）
因此，四边形
ABCD
为平行四边形.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
练习（P100）
rrrrrrrr1、（1）
a?b?(3,6)
，
a?b?(?7,2)
； （2）
a?b?(1,11)
，
a?b?(7,?5)
；
rrrrrrrr
（3）
a?b?(0,0)
，
a?b?(4,6)
； （4）
a?b?(3,4)
，
a?b?(3,?4)
.
rrrr< br>2、
?2a?4b?(?6,?8)
，
4a?3b?(12,5)
.
uuuruuuruuuruuur
3、（1）
AB?(3,4)
，
BA?(?3,?4)
； （2）
AB?(9,?1)
，
BA?(?9,1)
；
uuuruuuruuuruuur
（3）
AB?(0,2)
，
BA?(0,?2)
； （4）
AB?(5,0)
，
BA?(?5,0)

uuuruuur
uuuruuur
4、
AB
∥
CD
. 证明：
AB?(1,?1)
，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD
.所 以
AB
∥
CD
.
1014
5、（1）
(3,2)
； （2）
(1,4)
； （3）
(4,?5)
. 6、
(,1)
或
(,?1)

33
uuur
3uuur
7、解：设
P(x,y)
，由点
P
在线段
AB
的延长线上，且
AP?PB
，得
2
uuurr
3
u uu
AP??PB

2
uuuruuur

AP?(x,y)?(2,3)?(x?2,y?3)
，
PB?(4,?3)?(x,y)?( 4?x,?3?y)

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3
?
x?2??(4?x)
?
3
?
2
∴
(x?2,y?3)??(4?x,?3?y)
∴
?

2
?
y?3??
3
(?3?y)
?
?2
?
x?8
∴
?
，所以点
P
的坐标为
(8,?15)
.
y??15
?
习题2.3 A组（P101）
1、（1）
(?2,1)
； （2）
(0,8)
； （3）
(1,2)
.
说明：解题时可设
B(x,y)
，利用向量坐标的定义解题.
uuruur uur
2、
F
1
?F
2
?F
3
?(8,0 )

uuuruuur
3、解法一：
OA?(?1,?2)
，
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

uuuruuur
uuuruuu ruuuruuuruuur
OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
. 所以点
D
的坐标为
AD?BC
而
，
(1,5)
.
uuur
解法二：设
D(x,y )
，则
AD?(x?(?1),y?(?2))?(x?1,y?2)
，
uuur
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

uuuruuur
?
x?1?2
由
AD?BC< br>可得，
?
，解得点
D
的坐标为
(1,5)
.
y?2?7
?
uuuruuur
4、解：
OA?(1,1)
，AB?(?2,4)
.
uuuruuur
uuur
1
uuur uuurr
1
uuu

AC?AB?(?1,2)
，AD?2AB?(?4,8)
，
AE??AB?(1,?2)
.
22
uuuruuuruuur

OC?OA?AC?(0,3)
，所以，点
C
的坐标为
(0,3)
；
uuuruuuruuur

OD?OA?AD?(?3,9)
， 所以，点
D
的坐标为
(?3,9)
；
uuuruuuruuur

OE?OA?AE?(2,?1)
， 所以，点
E
的坐标为
(2,?1)
.
rr
23
5 、由向量
a,b
共线得
(2,3)?
?
(x,?6)
，所以
?
，解得
x??4
.
x?6
uuuruuurr
uuuruuur
uuur
uuu
6、
AB?(4,4)
，
CD?(?8,?8)
，
CD??2AB
，所以
AB
与
CD
共线.
uuuruuur
?
7、
OA?2OA?(2,4)
，所以点
A
?
的坐标为
(2,4)
；
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uuuruuur

OB
?
?3OB?(?3,9)
，所 以点
B
?
的坐标为
(?3,9)
； 故
uuuur< br>?
AB
?
?(?3,9)?(2,4)?(?5,5)

习题2.3 B组（P101）
uuuruuur
1、
OA?(1,2)
，
AB?(3,3)
.
uuuruuuruuuruuur
当
t?1
时，
OP?OA?AB?OB?(4,5)
，所以
P(4,5 )
；
uuuruuur
1
uuur
1335757
当
t?
时，
OP?OA?AB?(1,2)?(,)?(,)
，所以
P (,)
；
222
22222
uuuruuuruuur
当t??2
时，
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(?5,?4)
， 所以
P(?5,?4)
；
uuuruuuruuur
当
t?2
时，
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
，所以
P( 7,8)
.
uuuruuur
uuuruuur
2、（1）因为
A B?(?4,?6)
，
AC?(1,1.5)
，所以
AB??4AC
，所以
A
、
B
、
C
三点共线；
uuuruuuruuuruuur
（2）因为
PQ?(1.5,?2)
，
PR?(6,?8)
，所以
PR?4PQ
，所以
P
、Q
、
R
三
点共线；
uuuruuur
uuuruuur
（3）因为
EF?(?8,?4)< br>，
EG?(?1,?0.5)
，所以
EF?8EG
，所以
E< br>、
F
、
G
三点共线.
urur
uruurr
?
2
u
3、证明：假设
?
1
?0
，则由
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?0
，得
e
1
??e
2
.
?
1
uruur uruur
所以
e
1
,e
2
是共线向量，与已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误，
?
1
?0
. 同理
?
2
?0
. 综上
?
1
?
?
2
?0
.
uuur
uuururuur
4、（1）
OP?19
. （2）对于任意向量
OP?xe
1
?ye
2
，
x,y
都是唯一确定
的，
所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积
练习（P106）
urrurrurr
1
1、
p?q?p?q?c os?p,q??8?6??24
.
2
rrrr
2、当
a?b?0
时，
?ABC
为钝角三角形；当
a?b?0
时，
?ABC< br>为直角三角形.
3、投影分别为
32
，0，
?32
. 图略
练习（P107）
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rr
rr
2222
1、
a?(? 3)?4?5
，
b?5?2?29
，
a?b??3?5?4?2??7
.
rr
rrrrrrrrr
2
2、
a?b?8
，
(a?b)(a?b)??7
，
a?(b?c)?0
，
(a?b)?49< br>.
rr
rr
3、
a?b?1
，
a?13
，
b?74
，
?
?88?
.
习题2.4 A组（P108）
rr
2
r
2
rrr
2
rrrr
1、
a?b??63
，
(a?b)?a?2a?b?b?25?12 3
，
a?b?25?123
.
uuuruuuruuuruuur
2、
BC
与
CA
的夹角为120°，
BC?CA??20
.
rrr
2
rrr
2
rrr
2
rrr
23、
a?b?a?2a?b?b?23
，
a?b?a?2a?b?b?35
.
rr
4、证法一：设
a
与
b
的夹角为
?
.
（1）当
?
?0
时，等式显然成立；
rrrr
（2）当< br>?
?0
时，
?
a
与
b
，
a
与
?
b
的夹角都为
?
，
rrrrrrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?
a bcos
?
?
?
abcos
?

?
(a?b)?
?
abcos
?

rrrrrr< br>a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
abcos
?

rrrrrr
所以
(
?
a)? b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；
rrrr
（3）当
?
?0
时，
?
a
与
b
，
a
与
?
b
的夹角都为
180??
?
，
rrrrrr
则
(
?
a)?b?
?
abcos( 180??
?
)??
?
abcos
?

rrrrr r
?
(a?b)?
?
abcos
?
??
?
abcos
?

rrrrrr
a?(
?
b)?a
?
bcos(180??
?
)??
?
abcos
?

rrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?
(a?b) ?a?(
?
b)
；
综上所述，等式成立.
rr
证法 二：设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
rr
那么
(
?
a)?b?(
?
x
1
,
?
y
1
)?(x< br>2
,y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

rr
?
(a?b )?
?
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y2
)?
?
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

rr
a?(
?
b)?(x< br>1
,y
1
)?(
?
x
2
,
?
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?y
1
y
2

rrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；
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5、（1）直角三角形，
?B
为直角.
uuuruuur
证明：∵
BA?(?1,?4)?(5,2)?(?6,?6)
，
BC?(3,4)? (5,2)?(?2,2)

uuuruuur
∴
BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0
uuuruuur
∴
BA?BC
，
?B
为直角，
?AB C
为直角三角形
（2）直角三角形，
?A
为直角
uuuruuur
证明：∵
AB?(19,4)?(?2,?3)?(21 ,7)
，
AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)

uuuruuur
AB?AC?21?1?7?(?3)?0

∴
u uuruuur
∴
AB?AC
，
?A
为直角，
?ABC为直角三角形
（3）直角三角形，
?B
为直角
uuuruuur
证明：∵
BA?(2,5)?(5,2)?(?3,3)
，
BC?(10,7)?(5,2)?(5,5)

uuuruuur
∴
BA?BC??3?5?3?5?0

uuur uuur
∴
BA?BC
，
?B
为直角，
?ABC
为 直角三角形
6、
?
?135?
.
7、
?
?120?
.
rr
rrrrr
2
rrr
2

(2a?3b) (2a?b)?4a?4a?b?3b?61
，于是可得
a?b??6
，
r r
a?b1
cos
?
?
rr
??
，所以
?
?120?
.
2
ab
23
，
?
?55?
.
40
uuuruuur
AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)
BC?(8,4)?(5 ,?2)?(3,6)
，
9、证明：∵
，
8、
cos
?< br>?
uuur
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)

uuur uuur
uuuruuur
∴
AB?DC
，
AB?BC?4?3?( ?2)?6?0

∴
A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.
r
10、解：设
a?(x,y)
，
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?
?
35
35
?
x
2
?y
2
?9
x?
?
?
x??
?
?
?
5
5
则
?
，解得
?
，或
?
.
y
?
y?
65
?
y??
65
?
x?
?2
?
?5
5
?
?
rr
35653565
,)
或
a?(?,?)
.
于是
a?(
5555
r
r
1 1、解：设与
a
垂直的单位向量
e?(x,y)
，
?
?< br>5
5
x?
x??
?
?
?
x
2
?y
2
?1
?
?
5
5
则
?
，解 得
?
或
?
.
?
4x?2y?0
?
y??
25
?
y?
25
?
?
5
5
??
rr
525525
,?)
或
e?(?,)
.
于是
e?(
5555
习题2.4 B组（P108）
rrrrr rrrrrrrrr
1、证法一：
a?b?a?c?a?b?a?c?0?a?(b?c)?0 ?a?(b?c)

rrr
证法二：设
a?(x
1
, y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
c?(x
3
,y
3
)
.
rrrrrrr
先证
a?b?a?c?a?(b?c)

rrrr< br>a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
，< br>a?c?x
1
x
3
?y
1
y
3
< br>rrrr
由
a?b?a?c
得
x
1
x
2?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
，即
x
1
(x
2
?x
3< br>)?y
1
(y
2
?y
3
)?0

r rr
rr
而
b?c?(x
2
?x
3
,y
2
?y
3
)
，所以
a?(b?c)?0

rrrrrrr
再证
a?(b?c)?a?b?a?c

rrr
由
a?(b?c)?0
得
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0
，
rrrr
即
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
，因此
a?b?a?c

uuuruuur
OA?OB
2、
cos?AOB?
uuuruuur
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
.
OAOB
rr
3、证明：构造向量
u?(a,b)
，
v?(c,d)
.
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rrrrrr
rr
2222

u?v?uvcos? u,v?
，所以
ac?bd?a?bc?dcos?u,v?

rr
∴
(ac?bd)?(a?b)(c?d)cos?u,v??(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)

222222
uuu ruuur
4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关，与圆的半径无 关.
证明：取
AB
的中点
M
，连接
CM
， uuuur
1
uuur
则
CM?AB
，
AM?AB
2
uuuur
AM
uuuruuuruuuruuur
又AB?AC?ABACcos?BAC
，而
?BAC?
uuur

A
AC
uuuruuuruuuruuuur
1
uuur
2
所以
AB?AC?ABAM?AB

2
uuur
2
uuu r
2
uuur
2
5、（1）勾股定理：
Rt?ABC
中，< br>?C?90?
，则
CA?CB?AB

uuuruuuruuur
证明：∵
AB?CB?CA

C
M
（第4题）
B
uuur
2
uuuruuur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
2
∴
AB ?(CB?CA)?CB?2CA?CB?CA
.
uuuruuur
由
?C ?90?
，有
CA?CB
，于是
CA?CB?0

uuur
2
uuur
2
uuur
2
∴
CA?CB?AB
（2）菱形
ABCD
中，求证：
AC?BD

uuuruuuruuur
uuuruuuruuur
证明：∵
AC?AB?AD，
DB?AB?AD,

uuuruuuruuuruuuruuuruuuru uur
2
uuur
2
∴
AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD )?AB?AD
.
uuur
2
uuur
2
∵四边形
ABCD
为菱形，∴
AB?AD
，所以
AB?AD?0

uuuruuur
∴
AC?DB?0
，所以
AC?BD

（3）长方形
ABCD
中，求证：
AC?BD

uuuruuur
证明：∵ 四边形
ABCD
为长方形，所以
AB? AD
，所以
AB?AD?0

uuur
2
uuuruuur uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
2
∴AB?2AB?AD?AD?AB?2AB?AD?AD
.
uuur
2
uuur
2
uuuruuur
2
uuuruuur
2
∴(AB?AD)?(AB?AD)
，所以
AC?BD
，所以
AC?BD< br>
（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.
2．5平面向量应用举例
习题2.5 A组（P113）
1、解：设
P(x,y)
，
R(x
1
,y
1
)

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uuur
uuur
则
RA?(1,0)?(x
1,y
1
)?(1?x
1
,?y
1
)
，
AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)

uuuruuur
?
x
1
??2x?3
由< br>RA?2AP
得
(1?x
1
,?y
1
)?2(x?1 ,y)
，即
?

?
y
1
??2y
代入直线
l
的方程得
y?2x
. 所以，点
P
的轨迹方程为
y?2x
.
2、解：（1）易知，
?OFD
∽
?OBC
，
DF?
所以
BO?
A1
BC
,
2
D
O
F
2
BF
.
3
uuur uuuruuur
2
uuurr
21
rrr
1
rr
AO?BO?BA?BF?a?(b?a)?a?(a?b)

3323
B
u uur
1
rr
（2）因为
AE?(a?b)

2
u uur
2
uuur
AO
所以
AO?AE
，因此
A, O,E
三点共线，而且
?
2

OE
3
BOCOAO BOCO
同理可知：
?
2,
?
2
，所以
???2< br>
OFODOEOFOD
ruuruur
3、解：（1）
v?v
B
?v
A
?(?2,7)
；
ruur
v?v
A
13
r
uur
（2 ）
v
在
v
A
方向上的投影为
uur
?
.
5
v
A
urur
uuur
uur
ur
4、 解：设
F
1
，
F
2
的合力为
F
，
F
与
F
1
的夹角为
?
，
E
（第2
C
（第4题）
uruur
uur
uur
则
F?3?1
，
?
?30?
；
F
3< br>?3?1
，
F
3
与
F
1
的夹角为150°.
习题2.5 B组（P113）
uur
uuruur
1、解：设
v
0
在水平方向的速度大小为
v
x
，竖直方向的速度的大小为
v
y
，
uuruuruuruur
则
v
x
?v
0
cos
?
，
v
y
?v
0
sin
?
.
设在时刻
t
时的上升高度为
h
，抛掷距离为
s
，则
uur
1
?
h?vtsin
?
?g t,(g为重力加速度)
0
?
2

?
uur
?s?v
0
tcos
?
?
所以，最大高度为
uur
2
2
v
0
sin
?
2g
，最大投掷距离为
uur
2
v
0
sin2
?
g
.
uru uruur
rr
2、解：设
v
1
与
v
2
的 夹角为
?
，合速度为
v
，
v
2
与
v
的夹角为
?
，行驶距离为
d
.
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r
u r
v
v
1
sin
?
10sin
?
0.5< br>d1
?
则
sin
?
?
，
d?
. ∴
r
?
.
?
rr
sin
?
20sin< br>?
v
20sin
?
vv
所以当
?
?90?< br>，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、（1）
(0,?1)

uuuruuur
解：设
P(x,y)
，则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.
uuuruuur
?
7
将
AB
绕点
A
沿顺时针方向旋转到
AP
，相当于沿逆时针方向旋转< br>?
4
4
uuur
到
AP
，
uuur
7777
于是
AP?(2cos
?
?22sin
?
,2s in
?
?22cos
?
)?(?1,?3)

4444
所以
?
（2）
y??
?
x?1??1
，解得
x?0,y??1

y?2??3
?
3

2x
uuur
?
解：设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)
，
O P
绕
O
逆时针旋转后，点
P
的坐
4
标为
( x
?
,y
?
)

?
??
?
?x?xcos?ysin
?
x
?
?
?
?
44< br>，即
?
则
?
?
??
?
y
?
?
?
y
?
?xsin?ycos
?
?
44
?
?
2
(x?y)
2

2
(x?y)
2< br>113
又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
，所以
(x?y)
2
?(x?y)
2
?3
，化简得
y??

222x
第二章 复习参考题
A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）
D
； （2）
B
； （3）
D
； （4）
C
； （5）
D
； （6）
B
.
uuur
1
rruuur
1
rr3、
AB?(a?b)
，
AD?(a?b)

22
uu uruuuruuuruuur
2
r
1
r
4、略解：
DE? BA?MA?MB??a?b

33
uuur
2
r
2
ruuur
1
r
1
r
AD?a?b
，
BC?a? b

3333
uuuruuuruuur
1
r
2
r
1
r
1
r
EF??a?b
，
FA?DC?a?b< br>
3333
uuurr
2
r
1
r
1
r
2
ruuu
CD??a?b
，
AB?a?b

3333
（第4题）
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uuurrr
CE??a?b

uuur
uuur
5、（1）
AB?(8,?8)
，
AB?82
；
（2）
OC?(2,?16)
，
OD?(?8,8)
； （3）
OA?OB?33
.
r
uuur
uuu
6、
AB
与
CD
共线.
uuuruuur
uuuruuurr
uuur
uuu
证明：因 为
AB?(1,?1)
，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD. 所以
AB
与
CD
共线.
uuuruuur
uuuruuur
7、
D(?2,0)
. 8、
n?2
. 9、
?
??1,
?
?0
.
34
10、
cosA?,cosB?0,cosC?

55
rurur
rururrurur
2
11、证明：
(2n?m)?m?2n? m?m?2cos60??1?0
，所以
(2n?m)?m
.
rrrr
519
12、
?
??1
. 13、
a?b?13
，
a?b?1
. 14、
cos
?
?,cos
?
?

820
第二章 复习参考题
B组（P119）
1、（1）
A
； （2）
D
； （3）
B
； （4）
C
； （5）
C
； （6）
C
； （7）
D
.
rrrrrr
2、证明：先证
a?b?a?b?a?b
.
rrrr
2

a?b?(a?b)?
r2
r
2
rrrrrr
2
a?b?2a?b
，
a ?b?(a?b)?
r
2
r
2
rr
a?b?2a?b
.
rrrr
rrr
2
r
2
rr
因为
a?b
，所以
a?b?0
，于是
a?b?a?b?a?b
.
rrrrrr
再证
a?b?a?b?a?b
.
rr
由于
a?b?
r
2
rrr< br>2
rr
a?2a?b?b
，
a?b?
r
2
r rr
2
a?2a?b?b

rrrr
rrrr
由
a?b?a?b
可得
a?b?0
，于是
a?b

rrrrrr
所以
a?b?a?b?a?b
. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
rrrur
3、证明：先证
a?b?c?d

rurrrrrr
2
r
2

c?d?(a?b)?(a?b)?a?b

rurrur
rr
c?d?0c?d
又
a?b
，所以，所以

rurrr
再证
c?d?a?b
.
（第3题）
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rrrrr
2
r
2
rurrur
由
c?d
得
c?d?0
，即
(a?b)?(a?b)?a?b?0< br>
rr
所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】
uuuruuuruuuruuur
1rruuur
1
r
1
r
4、
AD?AB?BC?CD? a?b
，
AE?a?b

242
uuur
3
ruu uur
1
ruuuuruuuruuuur
1
r
1
r
1
r
1
rr
而
EF?a
，
EM?a
，所以
AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)

444242
uuur uuuruuuuruuuruuuuruuurr
5、证明：如图所示，
OD?OP
1
?OP
2
，由于
OP
1
?OP
2
?OP
3
?0
，
uuuruuur
uuur
所以
OP< br>3
??OD
，
OD?1

P
3
O
P
2
uuuruuuruuur
所以
OD?OP

1
?PD
1
P
1
所以
?OPP
12
?30?
，同理可得
?OPP
13
?30?

（第5题）
D
所以
?P
3
PP
12
?60?
，同理可得
?PP
12
P
3
?60?
，
?P
2
P
3
P
1
?60?
，所以
?PP
12
P
3为正三角形.
6、连接
AB
.
uuuuruuurrr
由对称性可知，
AB
是
?SMN
的中位线，
MN?2AB?2b?2 a
.
N
7、（1）实际前进速度大小为
4
2
?(43)< br>2
?8
（千米／时），
沿与水流方向成60°的方向前进；
（2）实际前进速度大小为
42
千米／时，
沿与水流方向成
90??arc cos
M
A
B
6
O
S
的方向前进.
3
（第6题）
uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuu ruuuruuur
8、解：因为
OA?OB?OB?OC
，所以
OB?(O A?OC)?0
，所以
OB?CA?0

同理，
OA ?BC?0
，
OC?AB?0
，所以点
O
是
?ABC
的垂心.
9、（1）
a
2
x?a
1
y?a
1< br>y
0
?a
2
x
0
?0
； （2）垂直；
（3）当
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
时，
l
1
∥
l
2
； 当
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0时，
l
1
?l
2
，
夹角
?
的余弦< br>cos
?
?
Ax
0
?By
0
?C
A ?B
22
uuuruuuruuuruuur
A
1
A
2?B
1
B
2
A?B
2
1
2
1
A
2
?B
2
22
；
（4）
d?


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第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P127）
???
1、
cos(?
?
)?cosc os
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?1?sin?
?sin
?
.
222

cos(2
?
?
?
)?cos2
?
cos
?
?sin2
?
sin
?
?1?cos
?
?0?sin
?
?co s
?
.
34
3
?
2、解：由
cos
?< br>??,
?
?(,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
；
55
52
???
23242
所以
cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
?
. < br>?(?)???
444252510
15
3、解：由
sin
?
?
，
?
是第二象限角，得
17
158
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
；
1717
???
81153?8?153
所以
cos (
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin?????< br>.
?
33317217234
25
23
?
4、解： 由
sin
?
??,
?
?(
?
,)
，得cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
；
33
32
37
33
?
又由
co s
?
?,
?
?(,2
?
)
，得
sin?
??1?cos
2
?
??1?()
2
??
.
44
42
所以
3572?35?27
.
c os(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
??(?)?(?)?(?)?
434312
练习（P131）
1、（1）
6?26?26?2
； （2）； （3）； （4）
2?3
.
444
34
3
?
2、解：由cos
?
??,
?
?(,
?
)
，得
s in
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
；
55
52
???
41334?33
所以
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin?? ?(?)?
.
?
333525210
12
3、解：由
si n
?
??
，
?
是第三象限角，得
13
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?
12
2
5< br>)??
；
1313
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???
35112?53?12
所 以
cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
??
.
?(?)??(?)?
66621321326
?
tan
?
?tan
?
4
?
3?1
??2
. 4、 解：
tan(
?
?)?
4
1?tan
?
?tan< br>?
1?3?1
4
3
1
5、（1）1； （2）
； （3）1； （4）
?
；
2
2
1
（5）原式=< br>?(cos34?cos26??sin34?sin26?)??cos(34??26?)??cos 60???
；
2
（6）原式
=
?sin20?cos70?? cos20?sin70???(sin20?cos70??cos20?sin70?)??sin90?? ?1
.
???
6、（1）原式=
coscosx?sinsinx?cos (?x)
；
333
31
???
（2）原式=
2(si nx?cosx)?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；
22666
22
???
（3）原式=
2(sinx?cosx) ?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；
22444
13
???
（4）原式=
22(cosx?sinx )?22(coscosx?sinsinx)?22cos(?x)
.
22333
3
7、解：由已知得
sin(
?
?
?
)cos
?< br>?cos(
?
?
?
)sin
?
?
，
5
33
即
sin[(
?
?
?
)?
?
]?
，
sin(?
?
)?

55
3
所以
sin
?
??
. 又
?
是第三象限角，
5
34
于是
cos< br>?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
.
55
因此
sin(
?
?
练习（P135）
5
?
5
?
5
?
324272
.
)?sin
?
cos?cos
?
sin?(?)(?)?(?)(?)?444525210
1、解：因为
8
?
?
?
?12?
，所以
?
?
?
8
?
3
?

2
sin
3
?
?
43
?
4
8?
5
?
3
又由
cos??
，得
sin??1?(?)
2
??
，
tan?
8
cos
?
?
4
4
855
85
85
?
?
???
3424

?sin(2?)?2sincos?2?(?)?(?)?
48885525
????
437

cos?cos (2?)?cos
2
?sin
2
?(?)
2
?(?)
2
?

48885525
所以
sin
?
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3
??
8
?
4
?
3
?
16
?
24

tan?ta n(2?)?
48
1?tan
2
?
1?(
3
)2
277
84
2tan
2?
?
33316
2、 解：由
sin(
?
?
?
)?
，得
sin
?
??
，所以
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1?(?)
2
?

55525
1637
所以
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
??(?)
2
?

25525
1
3、解：由sin2
?
??sin
?
且
sin
?
?0可得
cos
?
??
，
2
13
?
又由
?
?
(,
?
)
，得
sin
?
?1 ?cos
2
?
?1?(?)
2
?
，所以
22
2
tan
?
?
sin
?
3
??(?2)??3< br>.
cos
?
2
12tan
?
1
4、解：由
tan2
?
?
，得. 所以
tan
2
?
?6tan
?
?1?0
，所以
?
2
31?tan
?
3
tan
?
??3?10

???
2
11
5、（1）
sin15?cos15??sin30??
； （2）
cos
2
?sin
2
?cos?
；
8842
24
2
12tan22.5?11
（3）原式=
?
； （4）原式=
.
cos45??
?tan 45??
2
21?tan
2
22.5?22
习题3.1 A组（P137）
3
?
3
?
3
?
1、（1）cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
? 0?cos
?
?(?1)?sin
?
??sin
?
；
222
3
?
3
?
3
?
（2）
sin(?
?
)?sincos
?
?cossin
?
??1 ?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
；
222
（3）
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?sin
?
sin
?
??1?co s
?
?0?sin
?
??cos
?
；
（4）
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
?0?cos
?
?(?1)?s in
?
?sin
?
.
34
3
2、解：由
cos
?
?,0?
?
?
?
，得
sin
?< br>?1?cos
2
?
?1?()
2
?
，
55
5
???
433143?3
所以
cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin??
.
???
666525210
25
2
?
3、解：由
s in
?
?,
?
?(,
?
)
，得
cos?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
，
33
32
37
33
?
又由
cos
?
??,
?
?(
?
,)
，得
sin
?< br>??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??
，
44
42
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所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
532735?27
.
?(?)??(?)?
343412
143
1
4、解：由
cos
?
?
，
?是锐角，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?()2
?

77
7
因为
?
,?
是锐角，所以
?
?
?
?(0,
?
)
，
又因为
cos(
?
?
?
)??
1153
11
，所以
sin(
?
?
?
)?1?c os
2
(
?
?
?
)?1?(?)
2
?
1414
14
所以
cos
?
?co s[(
?
?
?
)?
?
]?cos(
?
?< br>?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin< br>?

11153431
)????

1471472
5、解：由
60??
?
?150?
，得
90??30??
?
?180?

?(?
34
3
又由
si n(30??
?
)?
，得
cos(30??
?
)??1?s in
2
(30??
?
)??1?()
2
??

55
5
所以
cos
?
?cos[(30? ?
?
)?30?]?cos(30??
?
)cos30??sin(30??
?
)sin30?

4331?43?3

??????
525210
6?22?6
6、（1）
?
； （2）
?
； （3）
?2?3
.
44
25
2
?
7、解：由
sin
?
?,
?
?(,
?< br>)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1 ?()
2
??
.
33
32
3
又由
cos
?
??
，
?
是第三象限角，得
4
37
si n
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??< br>.
44
所以
cos(
?
?
?
)?cos< br>?
cos
?
?sin
?
sin
?

5327
?(?)??(?)

3434
35?27
?
12
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

??
2357
??(?)?(?)?(?)

3434
?6?35

?
12
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53
,cosB?
且
A,B
为
?ABC
的内角
135
?
124
∴
0?A?
?
,0?B?
，
cosA??,sinB?

2135
12
当
cosA??
时，
sin(A? B)?sinAcosB?cosAsinB

13
5312433
???(?)????0

13513565

A?B?
?
，不合题意，舍去
124
∴
cosA?,sinB?

135
8、解：∵sinA?
∴
cosC??cos(A?B)??(cosAcosB?sinAsinB )

1235416
?(???)??

13513565
34
3
?
9、解：由
sin
?
?,
?
?( ,
?
)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
.
55
52
∴
ta n
?
?
sin
?
353
??(?)??
.
cos
?
544
31
??
tan
?
?tan?
42
??
2
.
?
∴
tan(
?< br>?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1?(?
3
)?
1
11
42
31
??
tan
?
?tan
?
42
??2
.
?

t an(
?
?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1?(?
3
)?
1
42
10、解：∵
tan?
,tan
?
是
2x
2
?3x?7?0
的两个 实数根.
37
∴
tan
?
?tan
?
??
，
tan
?
?tan
?
??
.
22
∴
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan< br>?
1
???
.
1?tan
?
?tan
?< br>1?(?
7
)
3
2
?
3
2
11、解 ：∵
tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?
)?5

tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)
3?54
???

1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)
1?3? 57
tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)
3?51
tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
???

1?ta n(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)
1?3?58
12、解：∵
BD:DC:AD?2:3:6

B
∴
tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
D
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α
A
β
C

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∴
tan?
?
BD1DC1
?,tan
?
??

AD3 AD2
11
?
tan
?
?tan
?
32
? 1

?
∴
tan?BAC?tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1?
1
?
1
32
又∵
0???BAC?180?
，∴
?BAC?45?

?
?
x
?
13、（1）
65sin(x?)
； （2）
3sin(?x)
； （3）
2sin(?)
； （4）
6326
27
?
sin(?x)
；
212
2
1
（5）
； （6）； （7）
sin(
?
?
?
)
； （8）
?cos(
?
?
?
)
； （9）
?3
；
2
2
（10）
tan(
?
?
?
)
.
?
14、解：由
sin
?
?0 .8,
?
?(0,)
，得
cos
?
?1?sin
2
?
?1?0.8
2
?0.6

2
∴
sin 2
?
?2sin
?
cos
?
?2?0.8?0.6?0.9 6

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?0.6
2
?0.8
2
??0.28

3
15、解：由
cos
?
??,180??
?
?270?< br>，得
3
sin
?
??1?cos
2
?
??1 ?(?
3
2
6
)??

33
∴
sin2< br>?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
6
)? (?
3
3
cos2
?
?cos
2
?
?si n
2
?
?(?)
2
?(?
3
tan2
?< br>?
sin2
?
22
??(?3)??22

cos2
?
3
322

)?
33
6
2
1
)??

33
1 6、解：设
sinB?sinC?
512
，且
0??B?90?
，所 以
cosB?
.
1313
512120
∴
sinA?si n(180??2B)?sin2B?2sinBcosB?2???

1313169
125119

cosA?cos(180??2B)??c os2B??(cos
2
B?sin
2
B)??(()
2
? ()
2
)??
1313169
sinA120169120

tanA???(?)??
cosA169119119
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1
2tan
?
3
?3
，
?
17、解：
tan2
?
?
2
1 ?tan
?
1?(
1
)
2
4
3
2?
13
?
tan
?
?tan2
?
74
?1
.
tan(
?
?2
?
)??
1?tan
?
?tan2
?
1?
1
?
3
74
18、解：
cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?
?
又
?
?(
111?
cos[(
?
?
?
)?
?
]?
，即
cos
?
?

333
122
3
?

,2
?
)
，所以
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
??
33
2
22142

)???
339
122
2
7
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?()
2
? (?)??

339
∴
∴
sin2
?
?2sin< br>?
cos
?
?2?(?
???
72422?72?8

cos(2
?
?)?cos2
?
cos?sin2
?
sin????(?)??
444929218
1
19、（1）
1?sin 2
?
； （2）
cos2
?
； （3）
sin4x
； （4）
tan2
?
.
4
习题3.1 B组（P138）
1、略.
2、解：∵
tan A,tanB
是
x
的方程
x
2
?p(x?1)?1?0，即
x
2
?px?p?1?0
的两个实
根
∴
tanA?tanB??p
，
tanA?tanB?p?1
∴
tanC?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)
??由于
0?C?
?
，所以
C?
tanA?tanB?p
? ???1

1?tanA?tanB1?(p?1)
3
?
.
4
3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）
3
（证明略）
4
本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：
sin
2
?
?cos
2
(
?
?30?)?sin
?
cos(
?
?30?)?
sin
2
(
?
?30?) ?cos
2
?
?sin(
?
?30?)cos
?
?
3

4
3

4
sin
2
(
?
?15?)?cos
2
(
?
?15?)?sin(
?< br>?15?)cos(
?
?15?)?
sin
2
?
?c os
2
?
?sin
?
cos
?
?
3
，其中
?
?
?
?30?
，等等
4
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思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从
而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能
力的提高.
4、因为PA?PP
12
，则
(cos(
?
?
?
)?1 )
2
?sin
2
(
?
?
?
)?(cos< br>?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?sin< br>?
)
2

即
2?2cos(
?
?
?
)?2?2cos
?
cos
?
?2sin
?
sin
?

所以
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?sin
?
sin
?

3．2简单的三角恒等变换
练习（P142）
1、略. 2、略. 3、略.
1
?
?
k
??
k
?
4、（1）
y?sin4x
. 最小正周期为
，递增区间为
[
??
,< br>?
],
k?Z
，最
228282
1
大值为；
2
（2）
y?cosx?2
. 最小正周期为
2
?
，递增区间为
[
?
?2k
?
,2
?
?2k
?
],k?Z
，最大值
为3；
?
?
5
?
k
??
k
?
（3）
y?
2sin(4
x?
)
. 最小正周期为
，递增区间为
[??,?],k?Z
，最
322 42242
大值为2.
习题3.2 A组（ P143）
1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略；
（4）提示：用
sin< br>2
?
?cos
2
?
代替1，用
2sin
?< br>cos
?
代替
sin2
?
；
（5）略； （ 6）提示：用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
；
（7）提示：用
2sin
2
?
代替
1?cos2
?
，用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
； （8）略.
2、由已知可有
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
11
……①，
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
…… ②
23
（1）②×3－①×2可得
sin
?
cos
??5cos
?
sin
?

（2）把（1）所得的两边同除以cos
?
cos
?
得
tan
?
?5tan?

注意：这里
cos
?
cos
?
?0
隐含与①、②之中
1
2?(?)
2tan
?
1
2
??
4

?
3、由已知可解得
tan
?
??
. 于是
tan 2
?
?
2
1?tan
?
1?(?
1
)2
3
2
2
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1
??1
?
1
4
?2
tan(
?
?)??

4
1?tan
??tan
?
1?(?
1
)?1
3
42
tan< br>?
?tan
?
?
∴
tan2
?
??
4tan(
?
?
)

4
4、由已知可解得
x?si n
?
，
y?cos
?
，于是
x
2
?y2
?sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
?
?
?
k
?
7
?
k
?
5 、
f(x)?2sin(4x?)
，最小正周期是
，递减区间为
[?,?], k?Z
.
32242242
习题3.2 B组（P143）
1、略.
2、由于
76?2?7?90
，所以
sin76??sin(90??14? )?cos14??m

即
2cos
2
7??1?m
， 得
cos7??
3、设存在锐角
?
,
?
使
?
?2
?
?
m?1

2
2
?
??
?
，所以
?
?
?
，
tan(?
?
)?3< br>，
3232
又
tan
?
2
tan
?< br>?2?3
，又因为
tan(
?
2
tan
?
?
)?
?
2
?tan
?
1?tan
?
2，
tan
?
所以
tan
?
?
tan
?
?
tan(
?
?
)(1
?
tantan
?
)
?
3
?
3

222
??
由此可解得
tan
?
?1
，
?
?
经检验
?
?
?
4
，所以
?
?
?
6
.
?
6
，
?
?
?
4
是符合题意的两锐角.
11
4、线段
AB
的中点
M
的坐标为
((cos< br>?
?cos
?
),(sin
?
?sin
?
) )
. 过
M
作
MM
1
垂
22
11
y
直于
x
轴，交
x
轴于
M
1
，
? MOM
1
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)
.
22
B
?
?
??< br>?
?
C
在
Rt?OMA
中，
OM?OA
co s
.
?
cos
M
22
A
?
?
? ?
?
?
在
Rt?OM
1
M
中，
OM
1
?OMcos?MOM
1
?cos
，
cos
22O
M
1
?
?
??
?
?
.
M
1
M?OMsin?MOM
1
?sincos
22
1
?
?
??
?
?
于是有
(cos
?
?cos
?
)?cos
，
cos
222
1
?
?
??
?
?

(sin
?
?sin
?
)?sincos
（第4
2 22
x
5、当
x?2
时，
f(
?
)?sin
2
?
?cos
2
?
?1
；
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当x?4
时，
f(
?
)?sin
4
?
?cos< br>4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?

11
?1?sin
2
2
?
，此时有
≤f(
?)≤1
；
22
当
x?6
时，
f(
?< br>)?sin
6
?
?cos
6
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
3
?3sin
2
?
cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)

31
?1?sin
2
2
?
，此时有
≤f(
?
)≤1
；
44
1
由此猜 想，当
x?2k,k?N
?
时，
k?1
≤f(
?
) ≤1

2
3434
6、（1）
y?5(sinx?cosx)?5s in(x?
?
)
，其中
cos
?
?,sin
??

5555
所以，
y
的最大值为5，最小值为﹣5；
（2）
y?a
2?b
2
sin(x?
?
)
，其中
cos
??
a
a?b
22
,sin
?
?
b
a? b
22

所以，
y
的最大值为
a
2?b
2
，最小值为
?a
2
?b
2
；
第三章 复习参考题
A组（P146）
16
. 提示：
?
?(
?
?
?
)?
?

65
565
??
2、. 提示：
sin(
?
??
)??sin[
?
?(
?
?
?
)]??si n[(?
?
)?(?
?
)]

6544
3、1.
tan
?
?tan
?
4、（1）提示：把公式
tan(?
?
?
)?
变形；
1?tan
?
tan
?
1、
（2）
3
； （3）2； （4）
?3
. 提示：利用（1）的恒等式.
cos10??3sin10?4sin(30??10?)
??4
；
sin10?cos10?sin20?
sin10?sin10??3cos10?
（2）原式=
sin40?(

?3)?sin40??
cos10?cos 10?
?2sin40?cos40??sin80?
=
???1
；
cos10?cos10?
5、（1）原式=
（3）原式=
tan70? cos10?(
3sin20?3sin20??cos20?

?1)?tan70 ?cos10??
cos20?cos20?
sin70??2sin10??sin20?< br>=
?cos10?????1
；
cos70?cos20?cos70?3sin10?cos10??3sin10?

)?sin50??
cos10?cos10?
（4）原式=
sin50??(1?
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2cos50?sin100?
??1

cos10?cos10?
9
24
6、（1）
； （2）；
5
25
?sin50??
22
. 提示：
sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?
；
3
17
（4）.
25
sin
?
sin
?
1
21
7、由已知可求得
cos
?< br>cos
?
?
，
sin
?
sin
?
?
，于是
tan
?
tan
?
??
.
cos
?
cos
?
2
55
（3）
?< br>8、（1）左边=
2cos
2
2
?
?1?4cos2
?
?3?2(cos
2
2
?
?2cos2
?
?1)

?2(cos2
?
?1)
2
?2(2cos
2< br>?
)
2
?8cos
4
?
=右边
sin2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?
（2）左边=
2cos
2
?
?2sin
?
cos
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)
s in
?
?cos
?
11
?tan
?
?
=右 边
2cos
?
22
sin(2
?
?
?
) ?2cos(
?
?
?
)sin
?
sin[(
??
?
)?
?
]?2cos(
?
?
?
) sin
?
（3）左边=
?
sin
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)
?
?
sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
sin
?
=右边
?
sin
?
sin
?
3?4cos2A?2cos
2
2A?12(cos< br>2
2A?2cos2A?1)
?
（4）左边=
3?4cos2A ?2cos
2
2A?12(cos
2
2A?2cos2A?1)
(1 ?cos2A)
2
(2sin
2
A)
2
???tan
4
A
=右边
222
(1?cos2A)(2cosA)
?
9、（1）
y?1?sin2x?1?cos2x?sin2x?cos2x?2?2sin(2x? )?2

4
?
5
?
递减区间为
[?k
?
,?k
?
],k?Z

88
（2）最大值为
2?2
，最小值为
2?2
. 10、
f(x)?(cos
2
x?sin
2
x)(cos
2
x?sin
2
x)?2sinxcosx?cos2x?sin2x?2cos( 2x?)

4
（1）最小正周期是
?
；
?
?
??
5
?
?
3
?
（2） 由
x?[0,]
得
2x??[,]
，所以当
2x??
?，即
x?
时，
f(x)
的
244448
3
?< br>最小值为
?2
.
f(x)
取最小值时
x
的集合为
{}
.
8
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?
11、
f(x)?2sin
2
x?2sinxcosx?1?cos2x?s in2x?2sin(2x?)?1

4
（1）最小正周期是
?
，最大值为
2?1
；
??
（2）
f(x)
在
[?,]
上的图象如右图：
22
?12、
f(x)?3sinx?cosx?a?2sin(x?)?a
.
6
（1）由
2?a?1
得
a??1
；
2
?
（2）
{x2k
?
≤x≤?2k
?
,k?Z}
.
3
13、如图，设
?ABD?
?
，则
?CAE?
?
，
hh

AB?
2
，
AC?
1

sin
?
cos
?
1hh
?
所以
S
?ABC
??AB?AC?
12
，
(0?
?
?)

2sin2
?
2
?
?
当
2?
?
，即
?
?
时，
S
?ABC
的最小 值为
h
1
h
2
.
24
E
C
h< br>1
l
1
A
h
2
D
?
（第13题）
B
l
2
第三章 复习参考题
B组（P147）
1
?
sin
?
?cos
?
?
4
?
1、解法一 ：由
?
5
，及
0≤
?
≤
?
，可解得
sin
?
?
，
5
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
13247
，
cos2?
??
，
cos
?
?sin
?
??
，所以
sin2
?
?
552525
???
312
.
sin(2
?
?)?sin2
?
cos?cos2
?
sin?
44450
1124
解法二：由
sin
?
?cos
?
?
得
(sin< br>?
?cos
?
)
2
?
，
sin2
?
?
，所以
52525
49
.
cos
2
2
?
?
625
?
2
1
又由
sin
?
?cos
?
?
，得
sin(
?
?)?
.
410
5
??
3
?
因为
?
?[0,
?
]
，所以
?
??[?,]
.
444
???
而当
?
??
[
?
,0]
时，
sin (
?
?)≤0
；
444
?
22
??
3< br>?
当
?
??[,]
时，
sin(
?
?)≥< br>.
?
4210
444
??
??
所以
???
(0,)
，即
?
?(,)

4442
?< br>312
?
7
所以
2
?
?
(,
?)
，
cos2
?
??
.
sin(2
?
?)?

450
225
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11
两边分别平方得
cos
2
?
?cos
2
?
?2cos
?
cos
?
?< br>
24
11
把
sin
?
?sin
?< br>?
两边分别平方得
sin
2
?
?sin
2
?
?2sin
?
sin
?
?

39
13
把所得两式相加，得
2?2(cos
?
co s
?
?sin
?
sin
?
)?
，
36< br>1359
即
2?2cos(
?
?
?
)?
，所 以
cos(
?
?
?
)??

3672
2、 把
cos
?
?cos
?
?
?
433343
?
4
3、由
sin(
?
?)?sin
?
??
可得
sin
?
?
，
sin(
?
?)??
. < br>cos
?
??
35225
65
?
???
?< br>3
又
??
?
?0
，所以
??
?
??
，于是
cos(
?
?)?
.
236665
??
33?4
所以
cos
?
?cos[(
?
?)?]?

661 0
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2 sinxcosx(cosx?sinx)
4、
??
sinx
1?tanx cosx?sinx
1?
cosx
1?tanx
?
?sin2x?s in2xtan(?x)

1?tanx4
17
?
7
?5
??
?
3
由得
?x??x??2
?
，又
cos(?x)?
，
1243445
?
4
?
4
所以
sin(?x)??
，
tan(?x)??

4543
??????
2
所以
cosx?cos[(?x)?]?cos(?x)cos?sin(?x)sin??
，
44444410
72
sin2x?2sin
2
x28
7< br>，
sin2x?2sinxcosx?
, 所以
sinx??
??
，
10
1?tanx75
255、把已知代入
sin
2
?
?cos
2
?
?( sin
?
?cos
?
)
2
?2sin
?
c os
?
?1
，得
(2sin
?
)
2
?2s in
2
?
?1
.
变形得
2(1?cos2
?
)?(1?cos2
?
)?1
，
2cos2
?
? cos2
?
，
4cos
2
2
?
?4cos
2
2
?

本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含
?
的三角函
数. < br>考虑
sin
?
?cos
?
，
sin
?
cos
?
这两者又有什么关系？及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法 < br>?
6、
f(x)?3sin2x?1?cos2x?m?2sin(2x?)?m?1< br>.
6
?
??
7
?
由
x?[0,]
得
2x??[,]
，于是有
2?m?1?6
. 解得
m?3
.
2666
?

f(x)?2sin(2x?)?4(x?R)
的最小值为
?2?4?2
，
6
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此 时
x
的取值集合由
2x?
?
6
?
3
?2
?
?2k
?
(k?Z)
，求得为
x??k
?
(k?Z)

23
7、设
AP?x
，
AQ?y，
?BCP?
?
，
?DCQ?
?
，则
tan< br>?
?1?x
，
tan
?
?1?y

于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)

(x?y)?xy
又
?APQ
的周长为2，即
x?y?x2
?y
2
?2
，变形可得
xy?2(x?y)?2

于是
tan(
?
?
?
)?
又
0?
?
?
?
?
2?(x?y)
?1
.
(x?y)?[2(x?y)?2]
?
2
，所以
?
?
?< br>?
?
4
，
?PCQ?
?
2
?(
?< br>?
?
)?
?
4
.
1
?
?
sin
?
?cos
?
?
8、（1）由
?
5
，可得
25sin
2
?
?5sin
?
?12?0

?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
43
解得
sin
?
?
或
sin
?
??
（由
?
?(0,
?
)
，舍去）
55
134
所以
cos
?
??sin
?< br>??
，于是
tan
?
??

553
（2 ）根据所给条件，可求得仅由
sin
?
,cos
?
,tan
?
表示的三角函数式的值，
sin
?
?cos
?
sin< br>?
?cos
?
?
例如，
sin(
?
?
)
，
cos2
?
?2
，
，，等等.
2tan< br>?
3sin
?
?2cos
?
3
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