高中数学 必修四配套答案-高中数学必修2北师大讲座
贾老师数学同步辅导精讲精练教材
平面向量知识点专题
知识点梳理：
一、向量的基本概念
1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用
a
,b,c
来表示，或用有向线段的起点与终点的大
写字母表示，如
AB
（其中
A
为起点，
B
为终点）。
2.
向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作
|a|
或
|AB|
。
3. 零向量：长度为0的向量，记作
0
，其方向是不确定的。我们规定零
向量与任何向量
a
共线（平行），
即
0∥a
。
4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当
|a|?
0时，很明显?
的单位向量。
5.
相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为
a?b
。
6.
相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量
a
的相反向量记为
?a
。
7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量
，因为任何平行
向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。
二、向量的线性运算
1. 向量的加法：
1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量
a,
b
，在平面内任取一点
A
，作
AB?a,BC?b
，则
向量
AC
叫做向量
a
和
b
的和（或和向量），即
a?b
?AB?BC?AC
。
1.2.
向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图：
a
是与向量
a
共线（平行）
|a|
1.3. 若
向量
a,b
不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量
a,b
共线时，只能用三角形
法则。
1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
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2. 向量的减法：
2.1. 向量
a
与
b
的相反向量之和叫做向量
a
与
b
的差或差向量，即
a?b?a?(?b)
。
2.2.
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图：
3. 向量的数乘运算：
3.1. 实数
?
与向量
a
的积
是一个向量，记为
?
a
，其长度与方向规定如下：
①
|
?
a|?|
?
||a|
②当
?
＞0
时，
?
a
与
a
的方向相同；当
?
＜0
时，
?
a
与
a
的方向相反；当
??0
时，
?
a?0
，方向不确定。
3.2.
向量数乘运算的运算律:设
?
，
?
为实数，则
①
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a
；
②
?
(
?
)a?(
??
)a
；
③
?
(a?b)?
?
a?
?
b
。
三、重要定理和性质
1. 共线向量基本定理：如果
a?
?b(
?
?R)
，则
a∥b
；反之，如果
a∥b
且
b?0
时，一定存在唯一实
数
?
，使
a?
?b
。
2. 平面向量基本定理：
2.1. 如果
e
1
,e
2
是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任一向量
a
，都存在唯一的一对实数
?
1
，
?
2
，使得
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2。
2.2. 基底：我们把不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示该平面内所有向量的一组基底，记为{
e
1
,e
2
}。?
1
e
1
?
?
2
e
2
叫做向量
a
关于基底{
e
1
,e
2
}的分解式。
2.3. 平面向量基本定理又叫做平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标
表示的
基础。
3. 线段定比分点的向量表达：如图，在△ABC中，若点D是边
BC上的点，且
BD?
?
DC(
?
??1)
，则向
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量
AD?
AB?
?
AC
。
1?
?
4. 三点共线定理：平面内三点A,B,C共线的充要
条件是，存在实数
?
，
?
，使
OA?
?
OB??
OC
,其中
?
?
?
?1
，
O
为平面内任一点。即A,B,C三点共线
?
OA?
?
OB?
?OC
（
?
?
?
?1
）
5. 中线
向量定理：如图，在△ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量
AD?
1
(AB
?AC)
。
2
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
1. 平面向量的坐标表示：
2. 已知
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
坐标，
那么向量
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
3. 平面向量坐标运算：设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
则：
3.1. 加法：
a?b?(x
1
?x
2
,y
1<
br>?y
2
)
；
3.2. 减法：
a?b?(x
1?x
2
,y
1
?y
2
)
；
3.3.
数乘：
?
a?
?
(x
1
?y
1
)?(?
x
1
?
?
y
1
)
；
3.4. 模长：
|a|?
五、平面向量的数量积
1. 向量的
夹角：已知两个非零向量
a,b
，记
OA?a,OB?b
，则
?AO
B?
?
（0?
?
?
?
）
叫做向量
a
与
b
的夹角，记为
?a,b?
，
?a,b??[0,
?<
br>]
。
22
。
x
1
2
?y
12
，
|b|?x
2
?y
2
|a||b|cos?a,b
?
叫做向量
a
与
b
的数量积2. 向量的数量积：（或内积）。读作
a
点乘
b
，记作
a?b
，即：
a?b?|a||b|cos?a,b?
。
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3. 向量数量积坐标表示:设非零向量<
br>a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2<
br>)
，
则
a?b?x
1
x
2
?y
1<
br>y
2
。
4. 向量数量积的几何意义：
4.1. 投影
：向量
a
在
b
方向上的投影
|a|cos
?
；向量
b
在
a
方向上的投影
|b|cos
?
。
4.2. 数量积几何意义：数量积
a?b
等于
a
的模长
|
a|
与
b
在
a
方向上的投影
|b|cos
?
的乘积。即：
a?b?|a||b|cos?a,b?
。
5.
平面向量数量积的重要性质：
5.1.
性质1.
e?a?a?e?|a|cos
?
，（
e
为单位向量）；
5.2. 性质2.
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y<
br>1
y
2
?0
；
5.3. 性质3.当
a,b
同向时，
a?b?|a||b|
；当
a,b
反向时，
a?b??|
a||b|
；
5.4. 性质4.
a?a?a?|a|
；
|a|?
a
2
?|a|
2
；
性质4可推广至
|a?b|?(a?b
)
2
?
22
a
2
?b
2
?2a?b?|a
|
2
?|b|
2
?2|a||b|cos
?
|a
?b|?(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2a?b?|a|<
br>2
?|b|
2
?2|a||b|cos
?
5.5.
性质5.
cos
?
?
a?b
?
|a||b|
x1
x
2
?y
1
y
2
x?x?x?y
2
1
2
2
2
2
2
2
；
5.6.
性质6.
|a?b|?|a||b|
。
6.
平面向量数量积满足的运算律：
6.1.
a?b?b?a
（交换律）；
6.2.
(a?b)?c?a?c?b?c
（分配律）；
6.3.
(
?
a)?b?
?
a?b
（
?
为实数）；
6.4. 数量积运算不满足结合律，
(a?b)?c?a?(b?c)
，不可约分<
br>a?b?a?c
不能推出
b?c
。
六、两个重要的结论：
1.
a∥b?a?
?
b?x
1
?y
2
?
x
2
?y
1
2.
a?b?a?b?0?x
1<
br>x
2
?y
1
y
2
?0