人教A版高中数学必修四必修四期末模拟试题(一)

高中数学学习材料
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数学必修四期末模拟试题（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在 每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
kk
1．设集合M＝{x |x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那
24
么( )
A．M＝N B．N?M C．M?N D．M∩N＝?
→→→→
2．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的 中点，若PA＝(4,3)，PQ
→
＝(1,5)，则BC等于 ( )
A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21)
4
3．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
5
1
A．－
2
B.
?
3

2

1
C．
2
D.
3

2
π
4. 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，
2
→→
M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，

则A等于( )
π
A.
6
B.
7
π
12
C.
7
π
6
D.
7
π
3
5．已知|a|＝2|b|，|b|≠ 0且关于x的方程x
2
＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a
与b的夹角是 ( )
π
A．－
6
π
B．－
3

π
C.
3

2π
D.
3
1
ππ
3
6． 已知sin θ＝－，θ∈(－，)，则sin(θ－5π)sin(
π－θ)的值是 ( )
3222
22
A.
9

1
B．
9

221
C．－ D. －
99
→
7．已知点A(6,2)，B(1,14)，则与AB共线的单位向量为 ( )
512512512
A．(－，)或(，－) B．(，－)
3
125125512
C．(，－)或(－，) D．(－，)
3
→→→→
2
8．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△A BC的形状一定是 ( )
A．等边三角形
C．直角三角形
B．等腰三角形
D．等腰直角三角形
9．实数
m?n
且
m
2
sin
?
?mcos
?
?
?
3
?0 , n
2
sin
?
?ncos
?
?
?
3
?0
，则连 接
(m,m
2
),
(n,n
2
)
两点的直线与圆心 在原点上的单位圆的位置关系是( )
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
10．已知函数f(x)＝3sin 2x＋cos 2x－m在
[0,
是 ( )
A．[1,2) B．(1,2) C．(1,2] D．[1,2]
?
2
]
上有两个零点，则m的取值范围
→→→
11．设O在△ABC 的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面
积与△AOC的面积的比值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6

12．已知函数f (x)=f (??x),且当
x?(?
则（ ）
??
,)
时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),
22
A.a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知向量 a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝_______.
14．函数
y?sinx?
1
?cosx
的定义域是 .
2
15．下列说法：①第二象限角比第一象限角大；②设
?
是第二象限 角，则
tan
?
2
?cot
?
2
；③三角形的内角 是第一象限角或第二象限角；④函数
y?sin|x|
是最
小正周期为
?的周期函数；⑤在△ABC中，若
sinA?sinB
,则A>B.其中正确的是
_________.（写出所有正确说法的序号）
16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC
→→
上的动点，则|PA＋3PB|的最 小值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过
程
π
sin 2?－α?＋4cos
2
α
2
1
17． 已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
3
10cos
2
α－sin 2α
(1) 求tan(α＋β)的值； (2) 求tan β的值．




18．设函数
f(x)?sin(
?
x?
（Ⅰ ）求
?
；（Ⅱ）若
f(
3
?
)(
?
?0) 的最小正周期为
?

4
?
?
2
??
3?
24
，且
?
?(?,)
，求
sin2
?的值.
)?
22
825

（Ⅲ）画出函数
y?f (x)
在区间
[0,
?
]
上的图像（完成列表并作图）。

y






19．如图，G是△O AB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三
点共线．
→→→→→
(1) 设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；
11
→→→→
(2) 设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．
xy






3
20．已知a＝(53cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|
2
＋.
2
(1) 求函数f (x)的最小正周期和对称中心；
ππ
(2) 当x∈[ ， ] 时，求函数f(x)的值域；
62
(3) 该函数y＝f (x)的图象可由
y?sinx,x?R
的图象经过怎样的变换得
到? ．



?
1
1
2
0
1
2
3
?
8
7
?
8
?
x
?1

21．已知向量
m=(2sin
?
, si n
?
+cos
?
)
，
n?(cos
?
,? 2?m)
，函数
f(
?
)?m?n
的
最小值为

g(m)(m?R)

（1）当
m?1
时，求
g(m)
的值； （2）求
g(m)
；
（3）已知函数
h(x)
为定义在R上的增函 数，且对任意的
x
1
,x
2
都满足
h(x(x(
2
x)
问：是否存在这样的实数m，使不等式
1
?x
2
)?h
1
)?h
，
h(f(
?
))
?h(
?4
)
+
h(3?2m)?0
对所有
?
?[0,]
恒成立，若存在，
2
sin
?
?cos
?
求出m的取值范 围；若不存在，说明理由






22．已知 函数
f
?
x
?
?103sin
xxx
cos?10 cos
2
．
222
（Ⅰ）求函数
f
?
x
?
的最小正周期； < br>（Ⅱ）将函数
f
?
x
?
的图象向右平移
?
个 单位长度，再向下平移
a
（
a?0
）个单位
6

长度后得到函数
g
?
x
?
的图象，且函数
g
?< br>x
?
的最大值为2．
（ⅰ）求函数
g
?
x
?
的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互 不相同的正整数
x
0
，
使得
g
?
x
0?
?0
．





数学必修四期末模拟试题（一）
参考答案
1—6 CBCBDC 7—12 ACBABD 13. 32 14.
[2k
?
?
15．②⑤ 16．5

11
17．解 (1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.
33
π
sin 2?－α?＋4cos
2
α
2
sin 2α＋4cos
2
α
2sin αcos α＋4cos
2
α
∵tan(α＋β)＝＝＝
10cos
2
α－sin 2α
10cos
2
α－sin 2α
10cos
2
α－2sin αcos α
1
－＋2
3
2cos α?sin α＋2cos α?sin α＋2cos αtan α＋2
5
＝＝＝＝＝.
116
2cos α?5cos α－sin α?5cos α－sin α5－tan α
5－?－?
3
51
＋
163
tan?α＋β?－tan α
31
(2)tan β＝tan[(
α
＋
β
)－
α
]＝＝＝.
5143
1＋tan?α＋β?tan α
1－×
163
18．解： （Ⅰ）
函数
f(x)?sin(
?
x?
?
3
,2k
?
?
?
](k?
Z
)

2
?
3
?
?
?

)(
?
?0)的最小正周期为
?

?
?
4
3
?
?
3
?
24
)
由
f( ?)?
得：
4
2825
?
?
?2.
…2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
f(x)?sin(2x?

sin
?
?< br>∵
?
24
， ………4分
25
?
2
?
?
?
?
2
∴
cos
?
?
7
336
∴
sin2
?
?
． …… 8分（其他写法
625
25
参照给分）




（Ⅲ）由（Ⅰ）知
f(x)?sin(2x?
3
?
)
，于是 有（1）列表
4

x
0
?
8
3
?

8
0
5
?

8
1
7
?

8
0
?

y
…………11分
?
2

2
－1
?
2

2
（2）描点，连线函数
y?

f(x)在区间[0,
?
]上图像如下
……………12分


→→→→→→→→→→
19．(1)解 OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ.
(2)证明 一方面，由(1)，得
→→→→→
OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB；①

1
→
1
→→
2
→
21
→→
另一 方面，∵G是△OAB的重心，∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.
33233
②
?1－λ?x＝，
?
3
→→
而OA，OB不共线，∴由①②，得?
1
λy＝
?
3
.
11
∴＋＝3(定值)．
xy
33
20解 (1) f (x)＝a·b＋|b|
2
＋＝53sin xcos x＋2cos
2
x＋4cos
2
x＋sin
2
x＋
22
1＋cos 2x
5553
π
＝53sin xcos x＋5cos
2
x＋＝sin 2x＋5×＋＝5sin(2x＋)＋5.
22226

T?
?
,
(?
1

?
x
＝3－3λ，
解得
?
1
?
y
＝3λ.
1


?
12
?
k
?
,5)k?Z

2
πππππ7π
1
π
(2) f (x)＝5sin(2x＋)＋5. 由≤x≤，得≤2x＋≤，∴－≤sin(2x＋)≤1，
66226626
ππ
5
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[，10]．
622
(3) 略
21.（1 ）
f(
?
)?sin2
?
?(2?m)(sin
?
?cos
?
)
令
t?sin
?
?cos
?
，
t?[-2,2]
，
2
则
sin2
?
?t?1< br>

当
m?1
时，
g(m)=(t?3t?1)< br>min
?1?32

（2）
f(
?
)?F(t) ?t?(m?2)t?1
，
t?[-2,2]

2
2
?(m?2)2?1,m??22?2
?
?
m
2
?4m?8
,?22?2?m?22?2

g(m)=
?
?
4
?
?
1?(m?2)2,m?22?2
?
（3）易证
h( x)
为
R
上的奇函数
要使
h
?
sin2
?
?(2?m)(sin
?
?cos
?
)?
?
?< br>4
?
?h(3?2m)?0
成立，只须
?
sin
?< br>?cos
?
?

4
??
h
?
s in2
?
?(2?m)(sin
?
?cos
?
)?
??h(3?2m)?h(?3?2m)
，
?
sin
?
?cos< br>?
??
又由
f(x)
为单调增函数有
sin2
??(2?m)(sin
?
?cos
?
)?
4
??3?2 m
，
sin
?
?cos
?
2
?
，
?
?[0,
令
t?sin
?
?cos
?
，则sin2
?
?t1
?
],
?t?2sin(
?
?)?[1,2]

2
4
?
原命题等价于
t
2?1?(m?2)t?
4
?3?2m?0
对
t?[1,2]
恒成 立；
t
2
t(2?t)?(2?t)
2
4
t
?( 2?t)m?2t?t
2
??2
，即
m??t?
.
t2?tt
由双勾函数知
g(t)
在
[1,2]
上为减函数，?m?3
时，原命题成立
22.解析：（1）因为
f
?
x?
?103sin
xxx
cos?10cos
2

22 2
?
??
?53sinx?5cosx?5
?10sin
?
x?
?
?5
．所以最小正周期
??2
?
．
6??
（II）（i）将
f
?
x
?
的图象向右平移
?
个单位长度后得到
y?10sinx?5
的图象，再
6
向下平移
a
（
a?0
）个单位长度后得到
g
?
x
?
?10sinx?5?a
的图象．又已知函
数
g
?
x
?
的最大值为
2
，所以
10?5?a?2
，解得
a?13
．所以
g
?
x
?
?10sinx?8
．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数
x
0
，使得
g
?x
0
?
?0
，就是要证明存在
无穷多个互不相同的正整数
x
0
，使得
10sinx
0
?8?0
，即
sin x
0
?
4
．
5
由
43
?
4?
知，存在
0?
?
0
?
，使得
sin
?
0
?
．
52
35
由正弦函数的性质可知，当
x ?
?
?
0
,
?
?
?
0
?
时，均有
sinx?
4
．
5

因为
y?si nx
的周期为
2
?
，
所以当
x?
?
2k
?
?
?
0
,2k
?
?
?
?
?
0
?
（
k??
）时，均有
sinx?
因为对任 意的整数
k
，
?
2k
?
?
?
?
?
0
?
?
?
2k
?
?
?
0
?
?
?
?2
?
0
?
4
．
5
?
3
?1
，
所以对任意的正整数
k
， 都存在正整数
x
k
?
?
2k
?
?
?
0
,2k
?
?
?
?
?
0
?
，使 得
sinx
k
?
4
．亦即存在无穷多个互不相同的正整数
x
0
，使得
g
?
x
0
?
?0
．
5