高一数学必修四复习资料.doc

整理人:阿东
三角函数走理
诱导公式 (
II ) s
加(-
a
)=-
SZH
a , cos(
?
a
)=cos
a ,
tan(- Atari
a ,
cof(-
a
)=cot
a
a
(I )
sin(
a
+ 兀)二
-s
加
a ,
COS
(
TC
+
a
)=-cos
a ,
tan(n+
a
)-tan
a ,
cot(n+
a
)=cot
a
(III) s
加(兀?
a )=sm a , cos
(
7t- a )=-c
(
?s a ,
tan=(ji-
a
)=-tan
a ,
cot(n-
a
)=-cot

a
71

、
7
=sin
a ,
tan

71

(IV )
sin


--- a

--- a

=cot^
--- a

=cos
a , cos



(
2
丿
U
)
(
2


(

、

(记法：奇变偶不变，符号看象限)。
平方关系：
sin
a +cos? a =1
两角和与差的基木关系式：
cos( a ± B
)=cos
? cos P +
2
sin
a
sin
P
(tan^f ± tan7)
、
sin(
a ± B
)=sin
a
cos
P ±
cos
a
sin
B
tan(
a ±
(1 + tancr tan?)
P )=
倍角公式(常考)
:sm2 a =2sm a
cos
a ,
cos2
a
=cos
a -szi a
=2cos
a -1 = 1 -2sm
2
a ,
2
2
2
tan!
a =
2
(1
一
tan
a)


2tan?
【必考】辅助角公式：
如果
a, b
是实数且+工
0,
则取始边在
x
轴正半轴，终边
经过点
(a, b)
的一个角为
B ,
则
sin
0 = ,
,cos & = —=^=
,对任意的角
a .
佔+胪 如+胪
asin
u
+bcos
a =
y](a +b)
s
加(
a + B ).
22
正弦定理：
在任意
AABC
中有一—=——=—-—
=2R
,其中
a, b, c
分别是角
A,
B,
sin
A
sin
C
的对边，
R
为
△
ABC
外接圆半径。
B
sin C
余弦定理：
在任意△
ABC
中有二戾
+c2
?

其中分别是角
A,
B,
C
的对边。
例题
1.
结合图象解题。
例
1
求方程
sinx=lgx
的解的个数。
(6)
2.
三角函数性质的应用

例
2
设兀丘
(0, n),
试比较
cos(sinx)
与
sin (cosx)
的大小。

■
71
「“ ■ ■亠
71 —?
兀

W 1
且
COSX>
?
1,
所以
COS X
G - ,0 ,
【解】 若兀W —
m
‘则
COS
■■ ■ L2'
丿 _
所以
sin(cosx)
W0,
又
OvsinxWl,
所以
cos(s
加
1
x)>0,
所 以
cos(sinx)>sin(cosx).

若兀w
0,-—
I 2
」
sinx+cosx=
A
2

5 ?
近
——sinx + ——cosx 2
A
2

(siwccos — +sin —
co
4
VI<-,
2

JI

所 以
0—,

71
2
?

所以
cos（s
淤）〉
cos
（仝
-cosx）
二
s（cosx）.
2
综上，当无丘
（0,
兀）时，总有
cos（s
加
Y
）
加
（
COSX
）
.
3.
最小正周期的确定。
例
4
求函数
y=s
加
（2cos|x|）
的最小正周期。
【解】 首 先，
r=2
兀是函数的周期（事实上，因为
cos（-x）=cosx,
所以
cox=cosx）；
其次,
当且仅当％=刼+—时，
y=0
（因为
|2
COSX
|W2<7
T
）,
所以若最小正周期为
T
Q
,
则
T（）=mTi,
mWV”
又
sin（2cosO）=sin2sin（2cosn）
9
所以
%=2
兀。
4.
三角最值问题。
例
5
已知函数
y=sinx+
71 + cos
2

X 9
求函数的最大值与最小值。
［解法一】 令
szkv= V2 cos&, Jl + cos? x = V2 sin
则有 >-
V2 cos + V2 sin = 2sin(^ + —).
4
TT
3
71
因为-
所以
-
4 4 2
所以
05sin(0 + —)W1,
TC

4
TT

71

所以当
0 = —71
,即
x=2kji-
—伙丘
2)
时，
ym
沪
0,
4 2
八
3

JI

JI

当“二一,即
X=2kn+ — (kWZ)
吋，
｝
?
mav
=
2.
4 2
若
A,
B,
C
ABC
三个内角，试求
sinA+sinB+sinC
的最大
因为
s
〃*
s
汕
=2s
加也你口
COS

<2sin
曰，①
【解】
2 2 2
例
7
值。

C +
兰
C —
兰
c
+兰
JI
3
cos
3 Q
sinC+sin — =
2 sin---- cos -------- - < 2sin ------- - ,
3 2 2 2
C+-
A+B+C+-

cos
---------------- <2sin-,
③
又因为
sin —-— + sin ------ - = 2 sin
4 3
---------------------------------- —
2 2 4
JI JI

rh
①，②，
③得
sinA+sinB+sinC+sin
— W4s
加一，
3 3
Q Q
所 以


Q
I
Q
当
A=B=C=
兰时，(
sinA+sinB+sinC)
max
= ------ ?

3 2
A+B-C--

5.
图象变换
【常考】:
y=sifu(x^
R)
与
y=Asin( CDx--(p
)(A,
co, (p
>0). < br>由)
=s
加
x
的图象向左平移
0
个单位，然后保持横 坐标不变，纵坐标变为原来的
A
倍，然后
再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一， 得到严
4S
加
(
69X+0
)
的图彖；也可以由尸
S
沁?
CO

的图彖先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的
A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来 的丄，
最后向左平移纟个单位，得到尸
As加
(
QX+0)
的图象。
(D (0

371

称，且在区间
［o,
彳
上是单调函数，求
p
和e的值。(只
2
、
23
或
2)
7-
三角公式的应用。
例
11
已知
5in(a-p)=—, sin(a+p)=-—,
且
a
■卩丘—
13
a+
卩可辽
2
订,
I 2
)
求
13
,
sin2a
、
cos2
卩的值。
例
10
已知
y
(
x)=szH
(

cox+(p
)(6y>o, 0^
(P
^7t)
是
R
上的偶函数,其图象关于点
M
1 o
,所以
cas(a-p)=- Jl—sin2(a — 0)= ----------
【解】 因为
a-p^
(3
兀

1
又因为
a+pe
芈
2
兀
，
所以
c卩)=
Jl-sir??+ 0)=
二.
1
_ 120
所以
5in2a=s
,
rn[(a+p)+(a-p )]=5zn(a+p)co5
(
a-p)+co
l
y(a+p
)< br>5n(a-p)= ,
169
co$$2p=cos[(a+
卩
)- (a
?
[3)]=co$$(a+
卩)
co$$(a
■卩
)+5
?加
(a+
卩)$$ 加
(a
■卩
)=-1
?

例
13
求证:
tan2Q
+4cos70 ?
■ o
.j o sin 20
：
【解】
tan20
+4cos70 = ------------
云
+4$$
加
20
cos20
sin 20 +4sin 20 cos20 sin 20 + 2sin 40

sin 20° + sin 40 + sin 40
cos20°

2sin30 cosl 0° + sin40°
cos20
sin 80 + sin40 _ 2sin60° cos20° cos20 cos20
例
14
计算
cos45°cos]5°-sin45cos75
。的结果是( )

o
【解析】
cos45cos
15°-5m45°c^75°
Q
=cos45°cos] 5°—sin45°sin
5°
= 6^5(45°+15°)
【答案】
C
=cos6O
0

例
15
先把函数
J(x)=mx-y3 cosx
的图象按向量
0)
平移得到曲线
y=g
(兀)，再把 曲线
y=g
⑴
s
上所有点的纵坐标缩短到原来的丄倍，横坐标保持不变，得到曲线 )，=加兀)，则
2
曲线
y=z(x)
的函数表达式为()
2
兀
(A)h(x)=sin(x—~)
(C)h(x)=4sin
(兀一誓)
【答案】
A
(B)h(x)=sinx

(?>)? (x)=4sinx

例
16
已知
sin(a + p)cosa—cos(a + p}sina =
____________________________________ ,
则
coslp
的值为 ---------------------------
【答案】丄
3
例
17
在
4
ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、b
、
c ,

4sin
2
“ 8s2C = ?,a + b = 5,c = 77 ?
2 2
(1)
求角
C
的大小；
(2)
求
AABC
的面积.
解：
(
1
)
由
4sin
2
^-^-cos2C = -,
得
4cos
2
—-cos2C-
2 2 2 2
?：
4
COS
2
C—4
COS
C+
1=0

(2)
由余弦定理得
^=a^l?-2abcosC
即
l=cr+b-ab
① 又
a+b=5 :.a+!r+2ab=25
②
由①②得
ab=6

1
向量
一、基础例题【必会】
1.
向量定义和运算法则的运用
例
1
设
O
是正
n
边形
A
I
A
2
—
A
n
的中心，求证：
OA
}
+ 0A
2
H -------------
0A
n
= O.

—? ■ * — —? 2
TL

【证明】 记
S = Q4] +04. +…+ 04
〃 ,若
S
H
O,则将正
n
边形绕中心
O
旋转二后
n
与原正
n
边
形重合，所以§不变，这不可能，所以
S = O.

2
?证利用定理证明共线
例
4 A ABC
夕卜心 为
O,
垂心为
H,
重心为
G
。求证：
O, G, H
为共线，且
OG
：
GH=1
：
——* —* —* 2 ----------------- *
【证明】首先
0G = OA^AG = OA+-AM

3
= Q4+-(AB +
AC) = OA^-(2A0 + 0B + OC)

3 3
= -(OA + OB + OC).

其次设
BO
交外接圆于另一点
E,
则连结
CE
后得
CE
丄
EC.
又
AH
丄
BC,
所以
AHCE
。
又
EA
丄
AB, CH
丄
AB,
所以
AHCE
为平行四边形。 所以乔=氏，
所以
^ = Wi+~Md = OA+~EC=OA+~Ed+OC=OA+'OB+OC,

所以
OH = 3OG,
所以
36
与而共线，所以
O, G, H
共线。
所以
OG
：
GH=1
：
2o
(A)3 JI (3)7
【答案】
C
(C)V17
(D)V13

4-2
A
5
例
1
已知向量。=(一
3,2)0= (2,1),
则
|c+2b|
的值为()

例
2
已知向量
Q
、
b
不共线，若向量
a+.b
与
b+< br>肋的方向相反，则久=(
(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) ±1
【答案】
c
)
例
3
已知平面直角坐标系内的点
A(l, 1), B(2, 4), C(-l, 3),
贝
I
」
AB-AC=()

(A) 2>2
【答案】
B
(B) VfO (C) 8 (D) 10

例
3
如图：正六边形
ABCDEF
中，下 列命题
错误的是（）
A.
AC AD = AD AB

C
?

AC + AF = 2BC

(A1

【答案】
c
例
4
已知
c

f
EF~^l EP
、
AD

2=1,
? =6,a (b-o) = 2

71

6
A.

71

B.
4

B.
AD = 2AB^AF
【答案】
C
例
5
有下列命题:
?a>b
是 >戻的充分不必要条件；
I 9 9 2
?OP OQ = -{OP + OQ -PQ~）；

③ 若函数
（
兀）满足
（x+l） = 1 -（
X
）
，则

（
X
）
是周期函数；
④ 如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数
C,
则这组数据的平均数和方差都改变。
其中错误命题的序号为 __________ （要求填写所有错误命题的序号）。①④
例
6
已知向量
*
（
2
，
1
），
必=
10, |
迟
则” = _____________________
【答案】
5
例
7
已知向量
Q = （l）d = （—1 ,
刃），若
2a-b
与
b
垂直，则
G=_________ ____ .
【答案】
2