高一数学课本内容

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高一数学课本内容
第一章 集合与简易逻辑
本章概述
1.教学要求
[1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解 空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系
的意义;掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一 些简单的集合.
[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法;熟练 掌握一元二次不等式的
解法.
[3]理解逻辑联结词或、且、非的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件.
2.重点难点
重点：有关集合的基本概念;一元二次不等式的解法及简单应用;逻辑联结词或、且、非与充要
条件.
难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系;四个二次之间的关系;对一
些代数命题真假的判断.
3. 教学设想
利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念;突出一种数学方法--元素分析法;渗透两种数学思想-- 数
形结合思想与分类讨论思想;掌握三种数学语言--文字语言、符号语言、图形语言的转译.
1.1 集合(2课时)
目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。
教学重点：集合的基本概念及表示方法
教学难点：运用集合的两种常用表示方法-- 列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
教学过程：
第一课时
一、引言：(实例)用到过的正数的集合、负数的集合、不等式2x-1>3的解集
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

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集合与元素： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出：集合如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示：
用大括号表示集合 { ... }
如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}
用拉丁字母表示集合
如：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}
常用数集及其记法：
1.非负整数集(即自然数集) 记作：N 2.正整数集 N*或 N+ 3.整数集 Z
4.有理数集 Q 5.实数集 R
集合的三要素： 1。元素的确定性; 2。元素的互异性; 3。元素的无序性
三、关于属于的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作 a?A ，相反，
a不属于集A 记作 a?A (或aA) 例： 见P4-5中例
四、练习 P5 略
五、集合的表示方法：列举法与描述法
1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来。
例：由方程x2-1=0的解集;例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合。
2. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
① 文字语言描述法：例{斜三角形}再见P6 ○2符号语言描述法：例不等式x-3>2的解集 图形语言描
述法(不等式的解集、用图形体现属于，不属于。
3. 用图形表示集合(韦恩图法) P6略
六、集合的分类
1.有限集 2.无限集
七、小结：概念、符号、分类、表示法

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八、作业 P7习题1.1
1.1 第二教时
一、 复习：(结合提问)
1.集合的概念 含集合三要素
2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3.集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4.关于属于的概念
二、 例题
例一 用适当的方法表示下列集合：(符号语言的互译，用适当的方法表示集合)
1. 平方后仍等于原数的数集
解：{x|x2=x}={0,1}
2. 不等式x2-x-6<0的整数解集
解：{x?Z| x2-x-6<0}={x?Z| -2
3. 方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集
解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (12,-23)}
4. 使函数有意义的实数x的集合
解：{x|x2+x-6?0}={x|x?2且x?3,x?R}
例二、下列表达是否正确，说明理由.
1.Z={全体实数} 2.R={实数集}={R} 3.{(1，2)}={1，2} 4.{1，2}={2，1}
例三、设集合试判断a与集合B的关系.
例四、已知
例五、已知集合，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.
三、 作业 《教材精析精练》 P5智能达标训练
1.2子集、全集、补集

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教学目的： 通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)了解集合的包含、相等关系的意义; (2)理解子集、真子集的概念;
(3)理解补集的概念; (4)了解全集的意义.
教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区
别。
教学过程:
第一课时
一 提出问题:集合与集合之间的关系.
存在着两种关系:包含与相等两种关系.
二 包含关系-子集
1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合 A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:集合A包含于集合B,
或集合B包含集合 A,记作A?B (或B?A);也说: 集合A是集合B的子集.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B (或B?A)
注意: ?也可写成?;?也可写成?;í 也可写成ì;?也可写成?。
3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ?A
三 相等关系
1. 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同
结论：对于两个集合A与B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个
元素都是集合A的元素，我们就说集合A等 于集合B， 即： A=B
2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 A?A
② 真子集：如果A?B ,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作
③ 空集是任何非空集合的真子集。
④ 如果 A?B, B?C ,那么 A?C
同样;如果 A?B, B?C ,那么 A?C

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⑤ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
四 例题：
例一 写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
例二 解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来.
练习 课本P9
例三 已知，问集合M与集合P之间的关系是怎样的?
例四 已知集合M满足
五 小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号
几个性质： A?A
A?B, B?C ==>A?C
A?B B?A==> A=B
作业：P10 习题1.2 1,2,3
1.2 第二教时
一 复习：子集的概念及有关符号与性质。
提问：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约 数}，并用适当的符
号表示它们之间的关系。
二 补集与全集
1.补集、 实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有
没有参加校运 动会同学的集合。
集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。
定义：设S是 一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中
子集A的补集( 或余集)
记作： CsA 即 CsA ={x ? x?S且 x?A}
2. 全集
定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用
U来表示。

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如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合。
例1(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA
(2)若A={0}，求证：CNA=N*。
(3)求证：CRQ是无理数集。
例2已知全集U=R，集合A={x|1≤2x+1<9｝，求CA。
例3 已知S={x|-1≤x+2<8｝，A={x|-2<1-x≤1｝，
B={x|5<2x-1<11｝，讨论A与CB的关系。
三 练习：P10(略)
1、已知全集U={x|-1
(A)a<9 (B)a≤9 (C)a≥9 (D)1
2、已知全集U={2，4，1-a｝，A={2，a2-a+2｝。如果CUA=
{-1｝，那么a的值为 。
3、已知全集U，A是U的子集，是空集，B=CUA，求CUB，CU，CUU。
(CUB= CU(CUA，CU=U，CUU=)
4、设U={梯形｝,A={等腰梯形｝,求CUA.
5、已知U=R，A={x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.
6、集合U={(x，y)|x∈{1,2｝,y∈{1,2｝｝ ,
A={(x，y)|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求CUA.
7、设全集U(UΦ)，已知集合M，N，P，且M=CUN，N=CUP，则M与P的关系是( )
(A) M=CUP，(B)M=P，(C)MP，(D)MP.
四 小结：全集、补集
五 作业 P10 4，5
1.2 第三教时
一、复习：子集、补集与全集的概念，符号

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二、讨论：1.补集必定是全集的子集，是否必是真子集?什么时候是真子集?
2.A?B 如果把B看成全集，则CBA是B的真子集吗?什么时候(什么条件下)CBA是B的真子集?
3. 研究
三、例题
例一 设集合CUA={5}，求实数a的值.
例二 设集合
例三 已知集合且A中至多只有一个奇数，写出所有满足条件的集合.
例四 设全集U={2,3,},A={b,2},={b,2},求实数a和b的值.
(a=2、-4,b=3)
四、 作业
《精析精练》P9 智能达标训练
1.3 交集与并集(3课时)
教学目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。
(1)结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念;
(2)掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集;
教学重点：交集和并集的概念
教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系
教学过程：
一、复习引入：
1.说出 的意义。
2.填空：若全集U={x|0≤x<6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么CUA= ,CUB= .
3.已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1 ，2，5，10}，那么6与10的正公约数
的集合为C= .
4. 如果集合 A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}用韦恩图表示(1)由集合A,B的公共元素组成的集合;( 2)把集
合A,B合并在一起所成的集合.

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公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
二、新授
定义： 交集： A∩B ={x|x?A且x?B} 符号、读法
并集： A∪B ={x|x?A或x?B}
例题：例一 设 A={x|x>-2},B={x| x<3},求.
例二 设 A={x|是等腰三角形},B={x| 是直角三角形},求.
例三 设 A={4，5，6，7，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.
例四 设 A={x|是锐角三角形},B={x| 是钝角三角形},求A∪B.
例五 设 A={x|-1
例六 设A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C求x,y.
解：由A∩B=C知 7?A ∴必然 x2-x+1=7 得
x1=-2, x2=3
由x=-2 得 x+4=2?C ∴x?-2
∴x=3 x+4=7?C 此时 2y=-1 ∴y=-
∴x=3 , y=-
例七 已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B.
解： ∵?A且 ?B ∴
解之得 s= ?2 r= ?
∴A={?} B={?}
∴A∪B={?,?}
练习P12
三、小结： 交集、并集的定义
四、作业：课本 P13习题1、3 1--5
补充：设集合A = {x | ?4≤x≤2}, B = {x | ?1≤x≤3}, C = {x |x≤0或x≥ },

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求A∩B∩C, A∪B∪C。
1.3 第二教时
复习：交集、并集的定义、符号
授课： 一、集合运算的几个性质：
研究题 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}
求：(CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B)
若全集U, A,B是U的子集，探讨 (CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B) 之间的
关系.
结合韦恩图 得出公式：(反演律)
(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)
(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)
另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.
(注意与实数性质类比)
例8. 设 A = {x | x2?x?6 = 0} B = {x | x2+x?12 = 0}，求 A∪B
二、关于奇数集、偶数集的概念及一些性质
例9. 已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，
求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z.
练习 P13
三、关于集合中元素的个数
规定：有限集合A 的元素个数记作： card (A) 作图 观察、分析得：
card (A∪B) ? card (A) + card (B)
card (A∪B) = card (A) +card (B) ?card (A∩B)
五、作业： 课本 P14 6、7、8

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1.3 第三教时
例1.如图(1) U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的区域，试填下表：
区域号 相应的集合 1 CUA∩CUB 2 A∩CUB 3 A∩B 4 CUA∩B 集合 相应的区域号
A 2，3 B 3，4 U 1，2，3，4 A∩B 3
图(1) 图(2)
例2.如图(2) U是全集，A，B，C是U的三个子集，图中有8个用数字标
出的区域，试填下表： (见右半版)
区域号 相应的集合 1 CUA∩CUB∩CUC 2 A∩CUB∩CUC 3 A∩B∩CUC 4 CUA∩B∩CUC 5
A∩CUB∩C 6 A∩B∩C 7 CUA∩B∩C 8 CUA∩CUB∩C 集合 相应的区域号 A 2，3，5，6 B 3，4，
6，7 C 5，6，7，8 ∪ 1，2，3，4，5，6，7，8 A∪B 2，3，4，5，6，7 A∪C 2，3，5，6，7，8 B∪C
3，4，5，6，7，8 例3.已知：A={(x,y)|y=x2+1,x?R} B={(x,y)| y=x+1,x?R }求A∩B。
例4. 设集合.
例5. 已知集合(1)判断B,C,D间的关系; (2)求A∩B.
例6. 已知集合
若.
作业： 《精析精练》P15 智能达标训练
集合 单元小结(2课时)
教学目的： 小结、复习整单元的内容，使学生对有关的知识有全面系统的理解。
一、复习：
1.基本概念：集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集
2.含同类元素的集合间的包含关系：子集、等集、真子集
3.集合与集合间的运算关系：全集与补集、交集、并集
4. 主要性质和运算律
(1) 包含关系：
(2) 等价关系：
(3) 集合的运算律：

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交换律：
结合律:
分配律:.
0-1律：
等幂律：
求补律：
反演律：(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)
(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)
5.有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为n(A). 规n(φ )=0.
基本公式：
(3)
二、例题及练习
1、用适当的符号(?，?， ， ，=，?)填空：
0 ?; 0 N; ? {0}; 2 {x|x?2=0};
{x|x2-5x+6=0} {2,3}; (0,1) {(x,y)|y=x+1};
{x|x=4k,k?Z} {y|y=2n,n?Z}; {x|x=3k,k?Z} {x|x=2k,k?Z};
{x|x=a2-4a,a?R} {y|y=b2+2b,b?R}
2、用适当的方法表示下列集合，然后说出其是有限集还是无限集。
① 由所有正奇数组成的集合; ({x=|x=2n+1,n?N} 无限集 注意自然数定义)
② 由所有小于20的奇质数组成的集合;
③ 平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;
④ 方程x2-x+1=0的实根组成的集合;( ? 有限集 )
⑤ 所有周长等于10cm的三角形组成的集合;

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3、已知集合A={x,x2,y2-1}, B={0,|x|,y} 且 A=B求x,y。
4、求满足{1} A?{1,2,3,4,5}的所有集合A。
5、设U={x?N|x<10}, A={1,5,7,8}, B={3,4,5,6,9}, C={x?N|0≤2x-3<7} 求：
A∩B,A∪B,(CUA)∩(CUB), (CUA)∪(CUB),A∩C, [CU(C∪B)]∩(CUA)。
6、设A={x|x=12m+28n,m、n?Z}, B={x|x=4k,k?Z} 求证:1。 8?A 2。 A=B
7、设 A∩B={3}, (CUA)∩B={4,6,8}, A∩(CUB)={1,5}, (CUA)∪(CUB)
={x?N*|x<10且x?3} , 求CU(A∪B), A, B。
8、设A={x|?3≤x≤a}, B={y|y=3x+10,x?A}, C={z|z=5?x,x?A}且B∩C=C求实数a的取值范围。
9、设集合A={x?R|x2+6x=0},B={ x?R|x2+3(a+1)x+a2?1=0}且A∪B=A求实数a的取值范围。
10、方程 x2?ax+b=0的两实根为m,n,方程x2?bx+c=0的两实根为p,q,其中m、n、p、q互不相 等，集合
A={m,n,p,q},作集合S={x|x=?+?,??A,??A且???}，P={ x|x=??,??A,??A且???},若已知
S={1,2,5,6,9,10},P={?7, ?3,?2,6,
14,21}求a,b,c的值。
1.5一元二次不等式(4课时)
教学目的：
1.理解三个二次的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法;
2.初步掌握高次不等式、分式不等式的解法;
3.用数形结合的思想方法,处理简单的一元二次方程根的分布问题.
4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力;
教学重点：图象法解一元二次不等式。
教学难点：字母系数的讨论;一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系。一元二次方程根的分布.
关键: 弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
教学过程：
第一课时
一、复习引入：

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讨论不等式3x-15>0(或<0)的解法。(分别用图象解法和代数解法)
二、讲解新课：
1. 画出函数的图象，利用图象讨论：
(1)方程=0的解是什么; (2)x取什么值时，函数值大于0;
(3)x取什么值时，函数值小于0。
2. 一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢? 关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号。
3.结论：
二次函数
()的图象 一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
三、讲解范例：
例1 (课本第19页例2)解不等式
例2 .
例3 (课本第19页例3)解不等式.
例4 (课本第20页)解不等式.
例5 解关于x的不等式
四、课内练习
(课本第21页)练习1-3.
五、作业:

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课本第21页 习题1.5 1. 3. 5
1.5 第二课时(高次不等式、分式不等式解法)
一、复习引入：
1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
2.一元二次不等式的解法步骤。
一元二次不等式的解.
3. 乘法(除法)运算的符号法则.
二、讲解新课：
⒈特殊的高次不等式解法
例1 解不等式.
分析：由乘法运算的符号法则结合数轴引导学生导出简单高次不等式的根轴法.
思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数的特征图像
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)...(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化为了统 一方便)
②求根，并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化后)是则找线在x轴上方的区间;若不等式是则找线在x轴
下方的区间.
例2 解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.
例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
例4 解不等式：.
结论：分式不等式的解法
移项通分化为>0(或<0)的形式，转化为：
例5 解不等式：.

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三、课堂练习：1.课本P21练习：3⑴⑵;2.解不等式.
2解不等式：.
四、作业
1. 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.
2.若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.
1.5 第三课时(含参一元二次不等式)
一、复习引入：
1.函数、方程、不等式的关系
2.一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项
二、讲解新课：
例1 解关于x的不等式：(x-+12)(x+a)<0.
例2 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.
例3 已知关于x的二次不等式：a+(a-1)x+a-1<0的解集为R，求a的取值范围.
例4 已知集合求实数a的取值范围
练习：已知(-1) -(a-1)x-1<0的解集为R，求实数a的取值范围.
三、作业
1.如果不等式x2-2ax+1≥(x-1)2对一切实数x都成立，a的取值范围是 。
2.如果对于任何实数x，不等式kx2-kx+1>0 (k>0)都成立，那么k的取值范围是 。
3.对于任意实数x，代数式 (5-4a-)-2(a-1)x-3的值恒为负值，求a的取值范围。
4.设α、β是关于方程 -2(k -1)x+k+1=0的两个实根，求 y= +关于k的解析式，并求y的取值范围。
1.5 第四课时(一元二次方程实根的分布1零分布
教学目的：
1.掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法
2.培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力;

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3.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神。
教学重点：用韦达定理解含参二次方程的实根分布问题的基本方法。
教学难点：韦达定理的正确使用。
教学过程：
一、复习引入：
韦达定理：
方程()的二实根为、，则
二、讲解新课：
例1 当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:
①两个正根; ②一正根和一负根;
③正根绝对值大于负根绝对值;④两根都大于1.
解 ：设方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根为、
①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：(无解)
∴此时m的集合是φ，即原方程不可能有两个正根.
②若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：
m<5.∴此时m的取值范围是m<5.
③若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：
m<2.
④错解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则正解：若方程4+(m-2 )x+(m-5)=0的两根都大于1，
则需满足：
m∈φ.
∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.
说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.
例2.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.

..
解：要原方程有两个负实根，必须:
.
∴实数k的取值范围是{k|-2
二、练习：
1.关于x的方程m+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是：
A.(-, +);B.(-,-);C.[-，+];D.(-,0)∪(0,+).
2.若方程-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.
三、小结
用韦达定理解含参二次方程的实根分布问题的基本方法
四、作业(补充)：
1、若方程有两个负根，则实数的取值范围是 。
2、若方程的一个根大于4，另一个根小于4，求实数的取值范围。
3、若方程的两个实根都在和4之间，求实数的取值范围。
4、设α、β是关于方程 -2(k -1)x+k+1=0的两个实根，求 y= +关于k的解析式，并求y的取值范围。
1.6逻辑联结词(2课时)
教学目的：了解命题的概念和含有或、且、非的复合命题的构成;理 解逻辑联结词或、且、
非的含义;理解掌握判断复合命题真假的方法;培养学生观察、推理、归纳推理的 思维能力。
教学重点(难点)：逻辑联结词或、且、非的含义及复合命题的构成、
对或的含义的理解及对命题真、假的判定.
教学过程：
第一课时
1.命题的定义：可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题，错误的叫假命题。
问题1 下列语句中哪些是命题，哪些不是命题?并说明理由：(1)12>6. (2)3是15的约数. (3)0.2是整
数. (4)3是12的约数吗?(5)x>2. (6)这是一棵大树.
命题的结构：主语-连结词(判断词)-宾语;通常主语为条件，连结词和宾语合为结论.

..
语句形式： 直言判断句和假言判断句.(把直言判断句改写成若...则...的形式)
大前提与小前提：例 同一三角形中，等边对等角.
2.逻辑连接词
问题2(续问题1) (7)10可以被2或5整除;
(8)菱形的对角线互相垂直且平分; (9)0.5非整数。
逻辑联结词：或、且、非这些词叫做逻辑联结词。
3.简单命题与复合命题：
简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题。
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s......表示命题。
如(7)构成的形式是：p或q;(8)构成的形式是：p且q;(9)构成的形式是：非p.
例1：指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员;
(3)平行线不相交 (非平行线相交
例2 分别写出由下列命题构成的或q、且q、非p形式的复合命题.
(1) p：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，q：方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.
(2) p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三、课堂练习：课本P26，1、2，
四、课时小结:(略)
五、课后作业：课本：P29，习题1.6：1 、2.;
1.6 第二课时
一、复习回顾
什么叫做命题?逻辑联结词是什么?什么叫做简单命题和复合命题?

..
二、讲授新课
P 非p 真 假 假 真 1、复合命题的真假判断
(1)非p形式的复合命题
例1：①如果p表示是10的约数，试判断非p的真假.
②p表示≤2，那么非p表示什么?并判断其真假
结论 非p复合命题判断真假的方法是：当p为真时，非p为假;当p为假时，非p为真。
(2)p且q形式的复合命题
例2：如果p表示是10的约数表示是15的约数表示是8的约数表 示是16的约数。
试写出p且q，p且r，r且s的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律。结论 如表二.
(3)p或q形式的复合命题
p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假
例3：如果p表示是12的约数表示是15的约数表示是8的约数表示是10的约数，试写
出，p或r， q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律。
结论如表三.
(表二) (表三)
上述三个表示命题的真假的表叫做真值表。
2、运用举例
例4：分别指出由下列各组命题构成的或q，且q，非p形式的复合命题的真假.
(1)p：2+2=5;q：3>2; (2)p:9是质数;q：8是12的约数;
(3)p：1∈{1，2};q：{1}{1，2};(4)p：?{0};q：?={0}。
例5：由下列各组命题构成或q、且q、非p形式的复合命题中，或q为真，且q为
假，非p为真的是( )
A、p：3是偶数，q：4为奇数; B、p：3+2=6，q：5>3;
C、p：a∈{a,b}，q：{a}{a,b} D、p：QR，q：N=Z
三、课堂练习：课本P28，1、2
四、作业：课本P29，习题1.6,3、4;

..
1.7四种命题(3课时)
教学目的：
1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示;理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真
假。
2.理解反证法的基本原理;掌握运用反证法的一般步骤;并能用反证法证明一些命题;
教学重点：四种命题的概念;理解四种命题的关系。
教学难点：逆否命题的等价性。
教学过程：
第一课时
一、复习回顾
什么叫做命题的逆命题?
二、讲授新课
1、四种命题的概念
阅读课本P29-30，思考下列问题：
(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义分别是什么?
(2)原命题的形式表示为若p则q，则其它三种命题的形式如何表示?
如果原命题为：若p则q，则它的：
逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题;
否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题;
逆否命题为：若┐q则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.
例 把下列三个命题改写成若p则q的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题：
(1)两直线平行，同位角相等;
(2)负数的平方是正数;
(3)四边相等的四边形是正方形.

..
三、课堂练习：课本P31：1、2
四、课时小结：
五、课后作业：
书面作业：P33，习题1.7，1、2;预习提纲：
(1)四种命题之间的关系是什么?
(2)一个命题与其它三个命题之间的真假关系如何?
1.7 第二课时
一、复习回顾
什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?
二、讲授新课
1、四种命题之间的相互关系
请同学们讨论后回答下列问题：
(1)哪些之间是互逆关系?
(2)哪些之间是互否关系?
(3)哪些之间是互为逆否关系?
2、四种命题的真假之间的关系
例1原命题：若a=0,则ab=0.写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
原命题为真，它的逆否命题一定为真.
思考：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?
由上述讨论情况，归纳：
1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.
2.原命题为真，它的否命题不一定为真.
3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.
由上述归纳可知：两个互为逆否命题是等价命题。若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其

..
逆否命题的真假。
例2设原命题是当c>0时，若a>b，则ac>b c.写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们
的真假。
分析：当c>0是大 前提，写其它命题时应保留，原命题的条件是a>b,结论是ac三、课堂练习：课本
P32，1、2
四、课时小结
五、课后作业 书面作业：课本P33，3、4;预习：(课本P32 -33)，预习提纲：反证法证明命题的一般
步骤是什么?
1.7 第三课时
一、复习回顾
初中已学过反证法，什么叫做反证法?
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
二、讲授新课
1、反证法证题的步骤
共分三步：(1)假设命题的结论不成立，即 假设结论的反面成立;(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾;(3)
由矛盾判定假设不正确，从而肯 定命题的结论正确.
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直 接证明法比较困难或难
以证明时，可运用反证法进行证明。
例：在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。
在运用反证法证明命题中如果命题结论的 反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才
能肯定原命题的结论正确.
2、例题讲解
例3：用反证法证明：如果a>b>0,那么。
例4：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图：在⊙0中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。
求证：弦AB、CD不被P平分。

..
分析：假设弦AB、CD被P平 分，连结OP，由平面几何知识可推出：OP⊥AB且OP⊥CD。又推出：在平
面内过一点P有两条直 线AB和CD同时与OP垂直，这与垂线性质矛盾，则原命题成立。
由上述两例题可看：利用反证 法证明时，关键是从假设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与
命题的条件，或者与已学过的定义 、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是
不正确的，从而肯定了命题结论的 正确性。
例5：若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2.
证明：假设p+q>2,∵p>0,q>0.则：(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.
又∵p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：pq(p+q)>2.(1)
又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入(1)得：pq(p+q)>( p+q)(P2-pq+q2)，
但这与(p-q)2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.
三、课堂练习：课本P33 1、2
四、课时小结
五、课后作业：书面作业，课本 P34，习题1.7，5;预习提纲：充分条件与必要条件的意义是什么?命
题若p则q的真假与p是q 的充分条件，q是p的必要条件的关系是什么?
1.8充分条件与必要条件(2课时)
教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运
用 .
2.增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.
教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断。
教学难点：。充分性与必要性的推导顺序
教学过程：
第一课时
一、复习回顾： 判断下列命题的真假：
(1)若a>b,则ac>bc;(2)若a>b,则a+c>b+c;
(3)若x≥0,则x2≥0;(4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。
二、讲授新课

..
1、推断符号的含义
如果p成立，那么q一定成立，此时可记作。
如果p成立，推不出q成立，此时可记作。
2、充分条件与必要条件
定义：如果已知p==>q，那么就说：p是q的充分条件;q是p的必要条件。
应注意条件和结 论是相对而言的。由等价命题是┐q==>┐p，即若q不成立，则p就不成立，
故q就是p成立的必要 条件了。但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p
一定成立。
讨论上述问题(2)、(3)、(4)中的条件关系：
3、例题讲解
例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
(1)p：x=y;q：x2=y2;
(2)p:三角形的三条边相等;q:三角形的三个角相等;
(3)p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0;(4)p：x=2或x=3,q:x-3=.
命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p==>q,而qp;(2)必要不 充
分条件，即pq,而q==>p;(3)既充分又必要条件，即p==>q，又有q==>p;(4) 既不充分也不必要条件，即pq，
又有qp。
三、课堂练习：课本P35 1、2 四、课时小结：
五、课后作业：书面作业：课本P36，习题1.8:1(1)、(2);2：(1)、(2)、(3);
1.8 第二课时
一、复习回顾
一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类?
二、讲授新课：
1、充要条件
请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?
(1)若a是无理数，则a+5是无理数;

..
(2)若a>b,则a+c>b+c;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0。
命题(1)中 因：a是无理数==>a+5是无理数，所以是无理数是是无理数的充分条件;又因：a+5
是无理数= =>a是无理数，所以是无理数又是是无理数的必要条件。因此是无理数是是无
理数既充分又必要的条件 。
定义：如果既有p==>q，又有q==>p，就记作：pq.叫做等价符号。pq表示p== >q且q==>p。这时p
既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要 条件。
2、例题讲解
例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在充分而不必 要条件、必要而不充分条件、充要条
件、既不充分也不必要条件中选出一种)?
(1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0;
(2)p：同位角相等;q：两直线平行。
(3)p：x=3，q：x2=9;
(4)p：四边形的对角线相等;q：四边形是平形四边形。
(5);q：2x+3=x2 .
例2 设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则∈M或x∈P是∈M∩P的什么条件?
三、课堂练习：课本P36，练习题1、2
四、课时小结
五、作业 课本P37，习题1.8 1.(3)、(4) 2.(4)、(5)、(6) 3.
第一章复习与小结(3课时)
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
(一) 集合
1. 基本概念：集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

..
3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
4. 集合运算：交、并、补.
5. 主要性质和运算律
6. 有限集的元素个数
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
2.分式不等式的解法
3.含绝对值不等式的解法
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的零分布：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的非零分布：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
(三)简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
3、或、 且、 非的真值判断
4、四种命题的形式：
5、四种命题之间的相互关系：
6、充要条件 充分条件，必要条件，充要条件.
7、反证法.
三、例题
例1：集合A={x|x=, m∈Z, |m|<3, n∈N, n≤3},试用列举法将A表示出来.
例2：设全集，又集合求

..
(1); (2); (3)(C)(C);
(4)(C)(C); (5)C; (6)(C)
例3：设集合，同时满足下列条件：
(Ⅰ)(Ⅱ)，求α、β的值.
例4：解关于x的不等式.
例5：若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.
例6：已知集合A=，B=，
(1)若，求实数a的取值范围.
(2)若AB，求实数a的取值范围.
例7：指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假
(1)菱形的对角线互相垂直平分
(2)
(3)
例8：设命题为若，则关 于x的方程有实根，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的
真假。
例9：已知x，y，z均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0。
例10：命题 p：一组对边平行的四边形是平行四边形;命题q：一组对边相等的四边形是平行四边形。
写出由其构成 的或q、且q、非p形式的复合命题，并指出其真假。
α β γ δ θ λ μ π φ ω ± ? ∞ ∠ ∥ ∩ ∪ ( ( ? ? ? ?
( ≠ ≤ ≥ φ card( ) ?
第二章 函数
函数是高中数学的主线，也是高考的热点之一，根据新教材要求， 本章的教学目的要求和教学中的注
意事项如下：
一、教学目的要求
1.理解函数概念,了解映射的概念;

..
2.理解函数的单调性概念 ，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质简化函数图
象的绘制过程;
3.了解反函数的概念，了解互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数;
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质;
5.掌握指数函数的概念、图象和性质;
6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质;
7.掌握对数函数的概念、图象和性质;
8.能够运用函数的概念、函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题;
9.实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。
10.在解题和证 题过程中，通过运用有关的概念和运用函数的性质，培养学生的思维能力和运算能力;
通过揭示互为反函 数的两个函数之间的内在联系，以及指数与对数，指数函数与对数函数之间的内在联系，
对学生进行辩证 唯物主义观点的教育;通过联系实际地引入问题和解决简单的带有实际意义的某些问题，培
养学生用数学 的意识，提高分析问题和解决实际问题的能力。
二、教学中应该注意的问题
(一)注意与初中内容的衔接
函数这章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中代数中的内容没 有学习好或遗忘的过多，学习本
章就有障碍。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要 在讲授之前复习好初中函数及其
图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函 数的性质等等;又如指数概念的扩
充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有 理数指数幂就无法给出，运算性质
也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做 好初、高中数学的衔接和过渡工作。
(二)注意数形结合
本章的内容中图象占有相 当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用。通过观察函
数图象的变化趋势，可以总结 出函数的性质。函数与反函数的函数图象的关系也是通过图象变化特点来归
纳的性质，指数函数的性质、 对数函数的性质本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意
利用函数图象，使学生不仅能 从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思
维方式。在教学过程中要注意 培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，
养成利用函数图象来说明函数 的性质和分析问题的习惯。
(三)注意与其他章内容的联系
本章是在集合与简易逻 辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的
内容来学习本章，又如学会 二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易
逻辑中的充要条件在本章中 就要用到。同样本章学到的知识将在后续内容也要经常用到。因此，要注意与

..
其他章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。
2.1函数 2.函数的表示法(4课时)
教学目的：
1.理解函数及映射的概念;明确决定函数的三要素：定义域、值域和对应法则;
2. 能够正确理解和使用区间、无穷大等记号;
3.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法.
4.培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念。
5.理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：理解函数的概念，函数的三要素及其求法;
教学难点：函数的概念，简单的分段函数及复合函数.
教学过程：
第一课时(2.1，2.2概念综述)
一、复习引入：
初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?(课件第一页)
引导观察，(课件第二页)分析以上六个实例。注意讲清以下几点：
1.先讲清对应法则：然后， 根据法则，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个(或几个)元
素与此相对应。
2.对应的形式：一对多(如(5))、多对一(如(2))、一对一(如(1)、(3))、 一对0(4)
3.集合类型：数的集合与任意集合
二、讲解新课：
(一) 函数的概念
由课件第二页(1)、(2)、(3)的共性，引入函数的定义(课件第三页，函数的定义)
强调函数的三要素.
函数符号表示是x的函数，有时简记作函数.

..
(二) 映射的概念(课件第三页，映射的概念、 一 一映射)
对映射的概念要强调下列两点：
1.映射的三要素;
2. 由映射的定义的关键字词概括出映射的特征：
①到B：映射是有方向的，A到B的对应与B到A的 对应往往不是同一个对应,如若A到B是求平
方，则B到A则是开平方，因此映射是有序的;
②任一：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性;
③唯一：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性;
④在集合B中：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.
(三)函数与映射的关系：
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射 .这里 A, B为非空的数集.
映射对集合A,B没有规定非空，集合A,B可以是数集，也可以是其它集合.
(2)A：定义域，原象的集合;值域，象的集合,其中 ? B
：对应法则，?A， ?B
(四)已学函数的定义域和值域
1.一次函数:定义域, 值域;
2.反比例函:定义域, 值域;
3.二次函数:定义域,值域：当时，;当时.
(五)区间概念和记号(课件第四页)
(六)函数的表示法(参考课件第五页)
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系 ，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解
析式. 例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应 的
函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

..
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，学生的身高 单位：厘米
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 数学用表中的平方表、平方
根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表 等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价
表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时 间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂
的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函 数关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可 以通过图象来
研究函数的某些性质.
三、例题
例1 求下列函数的定义域：
① ② ③ . ○4
四、作业
习题2.1 1，2，3
第二课时(2.1函数,2.2函数的表示法)
教学目的：
1. 理解函数的概念，映射的概念;
2. 初步掌握函数的表示法.
教学重点难点：函数，映射的三要素，分段表示函数的解析式.
教学过程：
一、复习：函数的概念，映射的概念，函数的表示法
二、例题
例1 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).
例2下列函数中哪个与函数是同一个函数?

..
⑴;⑵;⑶
例3 下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
①
②
③
○4
例5某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y( 元)，试写出以x为自变量的函数y的
解析式，定义域，值域，并画出这个函数的图像。
例6 国内投寄信函(外埠)，每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分 ，依
次类推，每封x g(0
三、课堂练习：课本P51练习1，5，6; P56练习 1，2，3
四、作业 习题2.1 4，5，6(3)(4)(6)8
第三课时(2.1,2.2)
教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，定义域，值域.
2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.
重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.
教学过程：
一、 复习 函数的概念，函数的表示法
二、 例题
例1. 已知 . 求f(f(f(-1)))
(从里往外拆
例2. 已知f(x)=x2?1 g(x)=求f[g(x)]
(介绍复合函数的概念)
例3. 若函数的定义域为[?1，1]，求函数的定义域。
例4作出函数的图像

..
(先化为分段函数，再作图象)
例5.作函数y=|x-2|(x+1)的图像.
(先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页)
例6.作出函数的图象
(用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象. 图象见课件第二页，进一步介绍函
数的图象，见课件第三页)
三、 课堂练习 课本P56 习题2.1 3，6
四、 作业 课本P56 习题2.1 4，5 ，《精析精练》P65 智能达标训练
第四课时(2.1，2.2)
教学目的：
1.掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次 函数在某
一给定区间上的值域(最值)的求法.
2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力;
教学重点：值域的求法
教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法
教学过程：
一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则;
定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定。 已学过的函数的值域
二、讲授新课
1.直接法：利用常见函数的值域来求
例1.求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②
③ ④
2.二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

..
①; ②;
③; ④;
3.判别式法(△法)：
判别式法一般用于分式函 数，其分子或分母中最高为二次式且至少有一个为二次式，解题中要注意二
次项系数是否为0的讨论及函 数的定义域.
例3.求函数的值域
4.换元法
例4.求函数的值域
5.分段函数
例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
三、单元小结：函数的概念，解析式，定义域，值域的求法.
四、 作业：《精析精练》P58智能达标训练
2.3 函数的单调性(3课时)
教学目 的：理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性;能利用函数的单调性及对称性作
一些函数 的图象.
教学重点：函数单调性的概念.
教学难点：函数单调性的证明
教学过程：
第一课时
教学目的：
(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思。
(2 )理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念;并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区
间。
(3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性。
教学重点：函数的单调性的概念;

..
教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性。
一、复习引入：
观察 二次函数y=x2 ，函数y=x3的图象，由形(自左到右)到数(在某一区间内，当自变量增大时，函
数值的变化情况)(见课件第一页图1，2)
二、讲授新课
⒈ 增函数与减函数
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当<时，都有f()
⑵若当<时，都有f()>f(),则说f(x) 在这个区间上是减函数(如图4).
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言 的.有的函数在一些区间上是增函数，而
在另一些区间上不是增函数.例如函数y=(图1)，当x∈[ 0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或 减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这
一区间叫做函数y=f(x)的 单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
三、讲解例题：
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间 ，以及在
每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
例3 证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数.
例4.讨论函数在(-2,2)内的单调性.
三、练习 课本P59练习1，2
四、作业 课本P60 习题2.3 1，3，4
2.3 函数的单调性(第二课时)
教学目的：
1.. 巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断
方法.

..
2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.
教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.
教学难点：单调性的综合运用
一、复习引入：
1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.
2.判断证明函数单调性的一般步骤：(区间内)设量，作差(或比)，变形，比较，判断.
二、讲解新课：
1.函数单调性的判断与证明
例1.求函数的单调区间.
2.复合函数单调性的判断
对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在 区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有
单调性的规律见下表：
增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：同向得增，异向得减或同增异减
证明：①设，且
∵在上是增函数，
∴，且
∵在上是增函数，∴.
所以复合函数在区间上是增函数.
(同理可证其余三种情况)
例2.求函数的值域，并写出其单调区间。
解：题设函数由和复合而成的复合函数，
函数的值域是，
在上的值域是.
故函数的值域是.

..
对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数;
二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数。
当时，，即，或.
当时，，即，.
x [-1,0] (0,1) u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 减 增 y=f(g(x)) 增 减 增 减 综上所述，
函数在区间、上是增函数;在区间、上是减函数。
三、课堂练习：课本P60练习：3，4
四、作业： 课本P60 习题2.3 6(2)，7
补充，已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)
2.3函数的单调性(第三课时)
教学目的：函数单调性的应用
重点难点：含参问题的讨论，抽象函数问题.
教学过程
一、 复习引入 函数单调性的概念，复合函数的单调性.
二、 例题.
例1. 如果二次函数在区间内是增函数，求f(2)的取值范围.
分析：由于f(2)=22-(a-1) ×2+5=-2a+11,f(2)的取值范围即一次函数y= - 2a+11的值域，固应先求
其定义域.
例2. 设y=f(x)在R上是单调函数，试证方程f(x)=0在R上至多有一个实数根.
分析：根据函数的单调性，用反证法证明.
例3. 设f(x)的定义域为，且在上的增函数，
(1) 求证f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);
(2) 若f(2)=1,解不等式
分析：利用f(x)的性质，脱去函数的符号，将问题化为解一般的不 等式;注意，2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).
例4. 已知函数.

..
(1) 当时，求函数f(x)的最小值;
(2) 若对任意恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：(1)利用f(x)的单调性即可求最小值;
(2)利用函数的性质分类讨论解之.
例5.求函数的单调区间.
分析：利用复合函数的单调性解题.
令即函数的定义域为[-3，1];
再根据复合函数的单调性求出其单调区间.
三、作业：《精析精练》P73智能达标训练.
2.4反函数(三课时)
教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数
2.互为反函数的图象间的关系.
3.反函数性质的应用.
教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.
教学难点：反函数的定义，反函数性质的应用.
教学过程：
第一课时
教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数
2.互为反函数的图象间的关系.
教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.
教学难点：反函数的定义和求法。
教学过程：
一、复习引入：
由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,(其中速度v是常量)s是时间t的函数;可以变形为 ：，这时，

..
位移s是自变量，时间t是位移s的函数.
又如，在函数中，x是自变量，y是x的函数. 由中解出x，得到式子. 这样，对于y在R中任何一个
值，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，
定义域是yR，值域是xR.
上述两例中，由函数s=vt得出了函数;由函数得出了函数，不难看出，这两对函数中，每一对中两函
数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的;②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后
者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.
二、讲解新课：
反函数的定义
设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的
任何一个值，通过x=(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y
的函数，这样的函数x= (y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样记为，则它的反函数为：.
从映射的角度看，若确定函数y=f(x)的映射是定义域A到值域C的一一映射，则它的逆映射f -1: (x=f
-1(y)) C→A 确定的函数x=f -1(y)(习惯上记为y=f -1(x))叫做函数y=f(x)的的反函数.
即，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，由此可知：
1. 只有一一映射确定的函数才有反函数.如(x?R)没有反函数,
而,有反函数是
2.互为反函数的定义域和值域互换.即函数的定义域正好是它的反函数的值域;函数的值域正好是它的
反函数的定义域.且(如下表)：
函数 反函数 定义域 A C 值 域 C A 3. 函数与互为反函数。即
若函数有反函数，那么函数的反函数就是.
三、例题：
例1.求下列函数的反函数：
①; ②;
③; ④.
小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明

..
⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到。
⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射。
例2.求函数()的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。
解：(略)
它们的图像为： 由图象看出，函数
()和它的反函数的图象关于直线y=x对称.
一般地，函数 的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称..
例3求函数 (?1
例4 已知= -2x(x≥2),求.
解法1：⑴令y=-2x，解此关于x的方程得，
∵x≥2，∴，即x=1+--①,
⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0--②,
⑶由①②得=1+(x≥0，x∈R);
解法2：⑴令y=-2x=-1，∴=1+y，
∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=--①,即x=1+,
⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0,
⑶∴函数= -2x(x≥2)的反函数是=1+(x≥0);
说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求 根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注
意原来函数的定义域.
四、课堂练习：课本P63练习：1-4
五、课后作业：课本第64习题2.4：1(2)(3)(4)(6)(7)(8);2.
2.4. 反函数(第二课时)
教学目的：
会利用互为反函数的定义，函数图象间的关系及相关性质解决有关问题.

..
教学重点：反函数性质的应用
教学难点：反函数性质的应用.
教学过程：
一、复习引入：
1.反函数的定义;
2.互为反函数的两个函数与间的关系：
定义域、值域互换，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称;逆命题成立：若两个函数的图象关于直线
y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.
3.反函数的求法：一解、二换、三注明
二、例题：
例1.求函数的值域.
分析：用函数思想求值域，即由y=f(x)求出x=,则使 有意义的y值的集合为原来函数的值域.
例2. 已知=(x<-1)，求;
解法1：⑴令=y=，则=，∵x<-1，∴x=-;且y=<0
∴= -(x<0);∴ =-2.
分析：由反函数的定义可知y=与y=中，x,y互换，即 y=中的x为y=中的y, y=中的y为y=中的x，
反之亦然.本题要求，即在函数=y=(x<-1)中，当y=时，求x的值 .
解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.
例3.如果单调增函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则交点必在直线y=x上.
证明：若点(a,b)是函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则b=f(a),b=,.
(1) 若a>b,则a=f(b)>b=f(a),即f(b)>f(a).
∵y=是增函数，∴b>a,这与a>b矛盾，∴a>b不成立.
(2)若a∵y=是增函数，∴bb矛盾，∴a
综(1)，(2)可得：a=b,即交点(a,b)在直线y=x上.
说明：题中的y=是单调增函数的条件不可少，反例见课件.

..
由例 3的结论可知，若y=是单调增函数，则方程利用这一点，可以帮助解决一类较复杂的方程问题，
如方程 不易求解，这里，是单调增函数，且它的反函数是原方程等价于易得其解集为{1，2}.
例4.已知试求F(x)的最小值.
解：
∴F(x)的最小值是-90.
三、练习：课本P63-64练习：5，6，7
四、作业：课本P64习题2.4：3，4，5，6
2.4 反函数(第三课时)
教学目的：
1.求分段函数的反函数及较复杂函数的反函数;
2. 利用反函数解决相关综合问题。
教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用
教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。
教学过程：
一、复习引入：
1.反函数的定义;求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明
互为反函数的两个函数间的关系：
定义域，值域互换;x,y互换;
函数与的图象关于直线对称.
在对应区间同增 同减.
注意：反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到
2.函数、、、间的关系：
与、与互为反函数;
与、与为同一函数。

..
二、讲解例题：
例1. 设函数y==，求它的反函数.
分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式 ，因此，也应在不同的x范围内求
其反函数.
(答案=.)
例2. 若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的值.
分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，注意到原来函数与其反函数x,y互换，则 A(1,2)和A'(2，
1)都在图象上.
解：由A(1,2)在=上，则有--①;
由A(1,2)在其反函数图象上，可知(2,1)也在函数=图象上，∴又有--②，
解联立①②的方程组得a=-3,b=7.
例3.若，试求反函数.
分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式.
注意：在利用换元解题时，一定要注意新元(中间变量)的取值范围.
例4.若函数有反函数，求a的取值范围.
略解：
例5.若函数的图象与其反函数的图象总有公共点，求a的范围.
略解：问题等价于关于x的方程有实数解，求a的范围.
，注意到设一元二次方程的两根为x1,x2， ∵x1+x2=3, 方程x2-3x+a=0有正根的条件是
例6.已知函数且函数f(x)具有反函数，求常数a 的取值范围.设a0 是满足上述条件的a的最大值，
当a= a0时，求f(x)的反函数.
略解：由题意知，f(x)在(-∞,-1]必为单调函数，故
当a= a0=2时，
则故其反函数为
三、作业：《精析精练》P78 智能达标训练

..
二次函数在区间上的最值问题
教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值;
2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.
教学重点：二次函数在区间上的最值问题
教学难点：含参问题的讨论.
教学过程：
一、 复习引入
1. 二次函数的概念和性质;
2. 单调函数的概念.
二、 例题
例1. 求函数当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.
(1)
例2. 求函数在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.
例3关于x的方程有两个实根α，β，求α2+β2的最值.
例4.已知函数在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).
(1) 求g(a)的表达式;
(2) 求g(a)的最大值.
三、 作业
1. 函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.
2. 关于x的不等式上恒成立，求实数a的取值范围.
3. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情 得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市
时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的 种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
(I)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t);
写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);

..
(II)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
(注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天)
2.5 指数(第一课时-根式)
教学目的：掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中。
教学重点：根式的概念性质
教学难点：根式的概念
教学过程：
一、复习引入：
1.整数指数幂的概念。
2.运算性质：
3.注意
① 可看作可归入性质(1) ∴==;
② 可看作 可归入性质(3) ∴==
二、讲解新课：
1.方根
⑴计算(可用计算器)
①= 9 ，则3是9的平方根
②=-125 ，则-5是-125的立方根
③若=1296 ，则6是1296 的 4次方根
④=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .
⑵定义：
一般地，若 则x叫做a的n次方根。
2.根式
(1)根式定义：式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数

..
例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为;16的4次方根表示为±，即16 的4
次方根有两个，一个是，另一个是 -，它们绝对值相等而符号相反.
(2)实数集内方根的规定：
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数.记作：
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数).记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当a0时，0，表示算术根，所以类似= -2的写法是错误的.
3.根式的运算性质
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.
②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.
例如，=-2，=2;=3，=|-3|=3.
⑶根式的基本性质：，(a0).
注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.
用语言叙述上面三个公式：
⑴当根式有意义时，a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次 幂的n次方根是a本身;n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的
绝对值.
⑶若一 个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都
乘以或者 除以同一个正整数，根式的值不变.
三、例题：
例1(课本第71页 例1)求值
① ② ③ ④ .去掉'a>b'呢?
例2求值：

..
分析：(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质;
(2)根式的乘、除常化小数为分数;异次根式相乘要化为同次根式再相乘.
四、作业：习题2.5 1.
补充：1.计算：.
2.化简：.
2.5 指数(第二课时-分指数1)
教学目的：
1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质.
2.会对根式、分数指数幂进行互化.
教学重点：分数指数幂的概念与运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
教学过程：
一、复习引入：
1.整数指数幂的运算性质：
2.根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，(a0).
3.引例：当a>0时
①
②
③
④
二、讲解新课：

..
1.正数的正分数指数幂的意义
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.
2.规定：
(1) (a>0，m,n∈N*,且n>1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指 数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时，整数指数幂的运算
性质，对于有 理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
说明：若a>0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有 理指数幂的运算性质，对于无理数指
数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
三、讲解例题：
例1求值：.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式：
(式中a>0)
例3计算下列各式(式中字母都是正数)
分析：(1)题可以仿照 单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符
号。
(2)题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。
例4计算下列各式：
分析：(1)题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
(2)题按多项式除以单项式的法则处理，并把根式化成分数指数幂的形式
再计算。
四、练习：课本P14练习

..
五、作业：
1.课本P75习题2.5 2.(2)(4)(6)，3.(2)(4)，4.(2)(4)(6)
2.5 指数(第三课时)
教学目的：巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理 指数幂的概念及运算法则进行
相关计算。
教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质。
教学难点：准确应用计算.
教学过程：
一、复习引入：用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
二、例题：
例1 计算下列各式：
例2 化简：
例3 已知,求下列各式的值：
(1)a+a-1,
分析：利用初中学过因式分解知识，设法从整体寻求结果与条件 的联系.
例4 若.求S的值.(结果可用分数指数表示)
分析：问题则易于解决.
三、练习：
1.练习：课本第78页 练习：4;习题：*6⑴，*7⑴.
四、作业：《精析精练》P83 智能达标训练.
课 题：2.6.1 指数函数1
教学目的： 理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.

..
教学重点：指数函数的图象、性质。
教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.
教学过程：
一、复习引入：
引例(P57)：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，....... 1个这样的细胞分裂 x 次后，
得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么?
分裂次数：1，2，3，4，...，x
细胞个数：2，4，8，16，...，y
由上面的对应关系可知，函数关系是.
在中,指数x是自变量，底数2是一个大于0且不等于1的常量.
二、新授内容：
1.指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
探究1：为什么要规定a>0,且a1呢?
探究2：函数是指数函数吗?
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，的图象.
列表如下：
x ... -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 ... y= ... 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 ... y= ... 8 4 2
1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 ...
我们观察y=，y=的图象特征，就可以得到
的图象和性质。
a>1 0
图
象

..
性
质 (1)定义域：R (2)值域：(0，+∞) (3)过点(0，1)，即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，00时，0<0时，y>1. (5)在 R上是增函数 (5)在R上是减函数 三、例题：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的 这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩
留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量 留是原来的一半(结果保留1个有效数字)。
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
......
一般地，经过x年，剩留量 y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2 (课本第81页)比较下列各题中两个值的大小：
①，; ②，; ③，
四、练习：⑴比较大小： ,
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
m < n;m < n.
⑶比较下列各数的大小： ，
五、课后作业：课本P73 习题2.6 1，2, 3, 4, 5.
2.6 指数函数(第二课时)
教学目的：
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象。

..
2.掌握指数形式的复合函数的定义域、值域，判断其单调性;
教学重点：指数形式的函数定义域、值域
教学难点：判断单调性.
教学过程：
一、复习引入：
的图象和性质。(见课件)
二、讲授范例：
例1求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵ ⑶
(1) 题析解：函数由复合而成，由x-1≠0得x≠1， 所以，所求函数定义域为;
又，故函数的值域为.
(2)该函数看成由函数复合而成.
由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为;
又由 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为.
(3)(略)
例2求函数的单调区间，并证明
解法1(定义法，求商比较)
解法二、(用复合函数的单调性)：
设： 则：.根据二次函数和指数函数的单调性，列表：
x 减 减 减 增 增 减 ∴在是增函数，在 是减函数
引申：求函数的值域 ()
例3设a是实数，

..
试证明对于任意a,为增函数;
分析：此题虽形式较 为复杂，但应严格按照单调性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解
答方法。
(1)证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数。
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。
三、练习：
求下列函数的定义域和值域：
⑴ ⑵
四、作业：课本P73习题2.6 3，4，5
2.6 指数函数(第三课时)
教学目的：了解函数图象的变换;能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.
教学重点：函数图象的变换;指数函数性质的运用
教学难点：函数图象的变换;指数函数性质的运用.
教学过程：
一、复习引入：指数函数的定义、图像、性质(定义域、值域、单调性)
二、新授内容：
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 0.25 0.5 1 2 4 8 16 0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5
1 2

..
比较函数y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，
比较函数y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象。
例2 ⑴已知函数 ，求定义域、值域，并探讨与图像的关系。
解： 定义域：x?R 值域：
关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称.
⑵已知函数 作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系。
解： 定义域：x?R 值域：
关系：将(x>1)的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数 图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图或翻转等方法，得到我们
所要求作的 复合函数的图象，目前，我们遇到的有以下几种形式：
函 数 y=f(x) y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位;a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位;a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)
的图象关于y轴对称. y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)
y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|) y=f(|x |)的图象关于y轴对称，x0时函数
即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图 象关于y轴对称. y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的
图象是y=f(x)图象局 部翻转(x轴下方部分翻转1800)所得图象的组合. y= y=与y=f(x)的图象关
于直线y=x对称. 例3观察函数和 的图象的关系，(课件第3页)并证明关于y轴对称。
例4利用函数 的图象作函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程无解?有一解?有两解?
(见课件第4页)
四、课后作业：
课本P102复习参考题二 A组 13 B组 1，2，6.
2.6指数函数(第四课时)
教学目的：利用指数函数的概念和性质解题
重点难点：综合应用相关概念和性质
教学过程：
一、 复习：复习指数函数的性质，二次函数的单调性.

..
二、 例题
例1. 求函数的单调区间和值域.
分析：由的单调性，根据复合函数单调性的求法确定函数的单调区间.
由及y=3u的单调性求函数的值域;注意y>0学生容易遗漏.
例2. 设.x为何值时，有(1)y1=y2 ;(2)y1分析：(1)利用同底数幂相等，指数相等，把问题转化为代
数方程求解.
(2)注意分类讨论，根据指数函数的单调性转化为一元二次不等式求解.
例3.已知函数.
(1)求f(x)的定义域和值域; (2)讨论f(x)的单调区间.
思路引导：(1)求值域中，由题设得后应注意到ax>0;问题转化为关于y 的分式不等式.
(2)无论a>0还是0
例4.已知试求函数的定义域.
分析：再分b>a和a
三、作业：《精析精练》P88 智能达标训练
2.7对数(第一课时， 对数的概念)
教学目的：理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化;
教学重点：对数的概念
教学难点：对数概念的理解.
教学过程：
一、实例引入：
假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多 少年国民生产总值是2002
年的2倍?
抽象出： =2x=?
也是已知底数和幂的值，求指数。怎样求呢?
二、新授内容：

..
1.对数的定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作 ，a
叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：

根据对数的定义可知：底数的取值范围;真数的取值范围范围，即负数与零没有对数.
2.对数中几个常用的恒等式：
(1); (2)
(3)对数恒等式
如果把 中的 b写成 , 则有
3.常用对数和自然对数：
(1)常用对数.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数简记作lgN.
例如：简记作lg5 简记作lg3.5.
(2).自然对数：在科学技术中常 常使用以无理数e=2.71828......为底的对数，以e为底的对数叫自
然对数，为了简便， N的自然对数简记作lnN.
例如：简记作ln3 简记作ln10
三、讲解范例：
例1将下列指数式写成对数式：
(1)=625 (2)= (3)=27 (4) =5.73
例2 将下列对数式写成指数式：
(1); (2)128=-7;
(3)lg0.01=-2; (4)ln10=2.303
例3计算： ⑴，⑵，⑶，⑷
四、练习：课76 1-4
1.把下列指数式写成对数式
(1) =8 (2)=32 (3)=(4)

..
2.把下列对数式写成指数式
(1) 9=2 (2)125=3
(3)=-2 (4)=-4
五、作业：课本P79 习题2.7 1，2
2.7(第二课时，对数的运算性质)
教学目的：
1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程;
2.能较熟练地运用法则解决问题;
教学重点：对数运算性质
教学难点：对数运算性质的证明方法.
教学过程：
一、复习引入：
1.对数的定义 其中 a 与 N。
2.指数式与对数式的互化
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数; ⑵， ⑶对数恒等式
4.指数运算法则
二、新授内容：
1.积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：
运算法则推导 用定义法：运用转化的思想，先通过假设， 将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质
进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式。( 推导过程略)
注意事项：
1?语言表达：积的对数 = 对数的和简易表达-- 记忆用)

..
2?注意有时必须逆向运算：如
3?注意定义域： 是不成立的
是不成立的
4?当心记忆错误：
2.常用对数的首数和尾数 (大纲未要求，只用实例介绍)
科学记数法：把一个正数写成10的整数次幂乘一位小数的形式，即
若N>0,记，则lgN=n +lgm,其中这就是说，任何一个正数的常用对数都可以写成一个整数加上一个零或
正纯小数的形式. 我们称这个整数为该对数的首数，这个零或正纯小数为该对数的尾数.
如：已知则
三、例题：
例1 计算
(1)25， (2)1， (3)(×)， (4)lg
例2 用，，表示下列各式：
例3计算：
(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3)
(1) 分别用对数运算性质和逆用运算性质两种方法运算(答案：0).
四、课堂练习：课本P78 1，3
1. 用lgx，lgy，lgz表示下列各式：
(1) lg(xyz); (2)lg; (3); (4)
2.求下列各式的值：
(1)6-3 (2)lg5+lg2
(3)3+ (4)5-15
五、作业：课本P79习题2.7 3.(1)(3)(5)，4.(1)(5)(6)，5.(3)(5)(6)，6.(3)(4)
2.7(第三 课时 对数的换底公式)

..
教学目的：掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
教学重点：换底公式及推论
教学难点：换底公式的证明和灵活应用.
教学过程：
一、 复习：对数的运算法则
导入新课：对数的运算的前提条件是同底，如果底不同怎么办?
二、新授内容：
1.对数换底公式：
( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)
证明：设 N = x , 则 = N
两边取以m 为底的对数：
从而得： ∴
2常用的推论:
①，
② ( a, b > 0且均不为1,m≠0)
○3
三、例题：
例1 已知 3 = a， 7 = b, 用 a, b 表示 56
例2计算：① ②
例3设 且
(1) 求证 (2) 比较的大小。
例4已知x=c+b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解;另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存
在 使变形产生困难，故可考虑将c移到等式左端，或者将b变为对数形式。

..
例5 计算：
例6.若 求 m
四、课后作业：
1.证明：
2.已知
求证：
提示：用换底公式和等比定理
2.7(第四课时 习题课)
教学目的：应用对数的概念和性质较简单的综合题
重点难点：对数的概念和性质和灵活应用
教学过程：
一、 复习：对数的定义，运算法则，换底公式及推论
二、 例题：
例1. 已知lg2=0.3010,求小数点后第几位开始是有效数字.
解：设则
故小数点后第七位开始是有效数字.
例2. 如果方程的两个根是，求的值.
分析：原方程是关于x 的方程，用换元法，转化成关于lgx的方程，易得 分别等于- lg7,-lg5(注意：
不是分别等于- lg7,-lg5);应用韦达定理和对数的运算法则解之.(答案：).
例3.求函数的定义域.
分析：易得，问题化为，这里含有两个参数a和k，要根据问题的需要恰 当的作好逻辑划分，进行分
类讨论.
例4.设a,b,c均是不等于1的正数，且求abc的值.
略解：则
三、作业：《精析精练》P93 智能达标训练.

..
2.8(第一课时 对数函数的定义、图象和性质)
教学目的：
1.了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系;
2.会求对数函数的定义域;
3.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。
教学重点：对数函数的定义、图象、性质
教学难点：对数函数与指数函数间的关系.
教学形式：计算机辅助教学
教学过程：
一、复习引入：
对于函数=，根据对数的定义，可以写成对数的形式，就是
如果用表示自变量，表示函数，这个函数就是
由反函数概念可知， 与指数函数互为反函数。
二、新授内容：
1.对数函数的定义：
函数叫做对数函数;它是指数函数 的反函数。
对数函数 的定义域为，值域为。
2.对数函数的图象
由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称。因 此，我们只要画出和的
图象关于对称的曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质 。
3.对数函数的性质
三、例题：
例1求下列函数的定义域：[(1)-(3) 课本P83例1]
(1); (2); (3)

..
(4)
例2求下列函数的反函数
(1) (2)
四、练习：
1.画出函数y=x及y=的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质..
2.求下列函数的定义域：
(1)y=(1-x) (2)y=
(3)y=
五、作业：习题2.8 1，2
2.8 (第二课时 对数函数性质的应用)
教学目的：
1.巩固对数函数性质，掌握比较同底数对数大小的方法;
2.，能够运用对数函数的性质解决具体问题;
教学重点：对数函数性质的应用
教学难点：对数函数性质的应用.
教学过程：
一、复习引入：
1.对数函数的性质：
(见课件)
二、例题：
例1比较下列各组数中两个值的大小：(课本P83 例2)
⑴; ⑵;
⑶
例2 比较下列各组中两个值的大小：(课本P84 例3)

..
⑴; ⑵
例3 求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
三、练习：比较大小
⑴ ⑵ ⑶
四、作业：习题2.8 3，4
2.8(第三课时 对数形式的复合函数)
教学目的：
1.掌握对数形式的复合函数单调性的判断及证明方法;
2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。
教学重点：函数单调性证明通法
教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.
教学过程：
一、复习引入：三、练习：
1.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设-作差-变形-判断
2.对数函数的性质：
二、新授内容：
例1 ⑴证明函数在上是增函数。
⑵函数在上是减函数还是增函数?
例2 (1)求函数的单调区间，并用单调定义给予证明。
(2).已知y=(2-)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.
三、练习 求函数y=(-4x)的单调递增区间
四、作业：习题2.8 3，4

..
2.8(第四课时 对数函数的综合应用)
教学目的：应用对数函数的概念和性质解决一些较简单的问题
重点难点：对数概念和性质的综合应用
教学过程：
一、 复习引入
对数函数的性质：
二、 例题
例1 如右图，的曲线是对数函数y=logax的 图象，已知a的取值则相应于曲线C1,C2,C3,C4的a值依
次为
分析：指数函数 的图象在第一象限内从下到上对应的底数从小到大;(见课件第1页)对数函数的图象在
第一象限内从左 到右的底数从小到大.见课件第2页)
答：选A.
例2 若a2>b>a>1,试比较的大小.
解：
例3 求函数的定义域、值域和单调区间.
解：要使y有意义，须 -x2+2x+3>0,解得-1
设t=-x2+2x+3 由0<-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,知0
又∵是单调减函数，∴y≥-2,即所求函数的值域是[-2，+∞).
因为函数t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4在(-1，1]上递增。而在[1，3)上递减，
所以函数的单调减区间是(-1，1],单调增区间是[1，3).
例4 已知f( x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值，及y取得最大值时x的 值.
解：
∵函数f(x)的定义域为[1，9]，∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义，须
当log3x=1,即x=3 时，y=13.
∴当x=3时，函数y=[f(x)]2+f(x2)取最大值13.

..
例5 求的定义域.
解：欲使f(x)有意义，须 ○1
当k≤0时，○1恒成立，即定义域为R;
当k>0时：
1) 若>1,即a>2,欲使○1成立，须x>;
2) 若=1，即a=2,则f(x)=lg[2x(1-k)],易知，在0
3) 若0<<1,即0<.
三、作业 《精析精练》P99 智能达标训练
2.9函数应用举例
教学目的：1.运用所学的函数知识和方法解决实际问题.
2.培养学生用数学的意识分析问题解决问题的能力.
教学重点：根据已知条件建立函数关系式
教学难点：数学建模意识.
课时安排：四课时
第一课时
关于函数的应用问题主要抓住以下几个步骤：
1.读懂题意;2.正确建立函数关系;3.转化为函数问题解决;4.做好最后的结论回答.
一、例题
例1按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y
随存期x 变化的函数关系式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少?
复利：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。
解：1期后
2期后 ......
∴x 期后，本利和为：

..
将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式：
由计算器算得：y = 1117.68(元)
例2某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增 长1.2%，粮食总产量平均每年
增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x 的解析式.
分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体 解答可以仿照
例子.
解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量360M
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)，人口量为M(1+1.2%)
则人均占有粮食为
经过2年后,人均占有粮食为
......
经过x年后，人均占有粮食
y=,
即所求函数式为：y=360()
评述：例2是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为R，则对于时
间 x的总产值y可以用下面的公式，即y=N(1+P)
解决平均增长率的问题，常用这个函数式.
例3已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数。
1. 当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大?
2. 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围。
解：1.设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。
由题设：当价格上涨x%时，销售总额为
即
取得：
当 x = 50时，

..
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。
2.∵二次函数
在 上递增，在上递减
∴适当地涨价，即 x > 0 , 即
就是 0 < k <1 , 能使销售总金额增加。
例4北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是 每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30
元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社 。在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，
其余10天每天只能卖出250份，但每 天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能
使每月所获的利润最大?并计算他 一个月最多可赚得多少元?
解：若设每天从报社买进()份，则每月共可销售份，每份可获利润0 .10元，退回报社份，每份亏损0.15
元，建立月纯利润函数，再求的最大值，可得一个月的最大利 润.
设每天从报社买进份报纸，每月获得的总利润为元，则依题意，得
函数在上单调递增，时，(元)
即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元。
小结：①在实 际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定，准确确定函数的定义
域是建立函数模型 解答实际问题的一个关键环节，不可忽视;②闭区间上的单调函数的最值常在区间的端点
取得。
二、练习：
课本P88练 3，4
3.一种产品的年产量是a件，在 今后的m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加P%，写出年产量
随经过年数变化的函数关系式.
解：设年产量经过x年增加到y件，则y=a(1+P%) (x∈N*且x≤m)
4.一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低P%，写出成本随经
过年数变化的函数关系式.
解：设成本经过x年降低到y元，则y=a(1-P%) (x∈N*且x≤m)
三、作业：
课本P89习题2.9 1，2，3

..
2.9 函数应用举例(第二课时)
教学目的：
1.使学生适应各学科的横向联系.
2.能够建立一些物理问题的数学模型.
3.培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学重点：数学建模的方法
教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.
教学过程：
一、例题
例1(课本第86页 例2)设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ，其中 c，k
为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000 m高空的大气压为Pa，求：600 m高空的大气压强。
(结果保留3个有效数字)
解：将 x = 0 , y =;x = 1000 , y =， 代入 得：
将 (1) 代入 (2) 得：
计算得： ∴
将 x = 600 代入, 得：
计算得：=0.943×105(Pa)
答：在600 m高空的大气压约为0.943×105 Pa.
说明：(1)此题利用数学模型解决物理问题;(2)需由已知条件先确定函数式;(3) 此题实质为已知自变量
的值，求对应的函数值的数学问题;(4)此题要求学生能借助计算器进行比较复 杂的运算.
例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到,,......, 共n个数据，
我们规定所测量的物理量的最佳近似值是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.< br>依次规定，从,,......, 推出的a=________.(1994年全国高考试题)
分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.
解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+...+(a-) 最小
由于y=na-2(++...+)a+(++...+)

..
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.
因为n>0,二次函数f(a)图象开口方向向上.
当a= (++...+)，y有最小值.
所以a= (++...+)即为所求.
说明：此题在高考中是具有导向意义的试题 ，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中
的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学 生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符
号语言，即
y=(a-)+(a -)+...+(a-)，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自
变 量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.
例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，λ是正的常数.
(1)说明函数是增函数还是减函数;(2)把t表示成原子数N的函数;(3)求当N=时，t的值.
解：(1)由于>0,λ>0，函数N=是属于指数函数y=类型的，所以它是减函数，即原子数N 的值随时间t
的增大而减少
(2)将N=写成=
根据对数的定义有- λt=ln
所以t=- (lnN-ln)= (ln-lnN)
(3)把N=代入t= (ln-lnN)得t= (ln-ln)
= (ln- ln+ln2)= ln2.
二、练习：
1.如图，已知⊙O的半径为R，由直径 AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，
垂足为M，连AP设AP=x
⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式 ⑵求此函数的最值
解：⑴过P作PD?AB于D，连PB 设AD=a则
∴
⑵
当时

..
当时
2.距离船只A的正北方向100海里处有一船 只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60?角的方向行驶，
A船只以每小时15海里的速度向正北 方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近?
解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t
过D作DE?BC于E DE=BDsin60?=10t BE=BDcos60?=10t
∴EC=BC+BE=100-5t
CD==
∴t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。
3.一根均匀的轻质弹簧，已知 在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它
在100N的拉力作用下，长 度为0.55m,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然
长度是多 少?
解：设拉力是 x N (0≤x≤600) 时，弹簧的长度为 y m
设：y = k x + b 由题设：
∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50
∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m。
三、作业：课本P89 习题2.9 4，5，6
2.9函数应用举例(第三课时)
教学目的：
1.了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型;
2.掌握根据已知条件建立函数关系式;
3.培养学生的数学应用意识.
教学重点：根据已知条件建立函数关系式
教学难点：数学建模意识.
教学过程：
一、新授内容：

..
数学模型与数学建模
数学模型就是把实际问题用数学 语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得
出的关于实际问题的数学描述.
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的
一般数学方法.
二、例题：
例1课本P87例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高xcm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重ykg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 ⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数,
，中找到一种 函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函
数的解析式,并 求出a,b的值.
⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175
cm 体重78 kg，他的体重是否正常?
分析：根据上表的数据描点画出图象，观察 这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，
可以判断它不能用函数来近似反映.根据这些 点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似反映
图1 图 2
例2 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中为常数)。已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作
为模拟函数较好，并说明理由。
讲解：根据题意，该产品的月产量 是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4
月份该产品的产量愈接近于1.37万 件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解
析式。
注：确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键。
例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)， 若矩形底边长为2x，求此框架的
面积y与x的函数式，并写出它的定义域.
分析：所求 框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关
系的简单应用.
例4 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰 梯形ABCD的形状，它的下底 AB是⊙O
的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定 义域.

..
分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边 的长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，
只须用已知量(半径R)和腰长x把上底表示出来，即 可写出周长y与腰长x的函数式.
评述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学 符号，建立函数关系式，再研究函数关
系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上 就是建立数学模型的一种最简单的情形.
小结：(1)数学应用题的能力要求
①阅读理解能力;②抽象概括能力;③数学语言的运用能力;④分析、解决数学问题的能力;
(2)解答应用题的基本步骤
①合理、恰当假设;②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示;③ 分析、解决数学问题;④数学问题的
解向实际问题的还原.
三、练习：
1.中国人口问题
2.销售额问题
四、作业：
课本P88练习 1,2
2.9函数应用举例(第四课时)
教学目的：根据实际问题，提出不同方案，建立数学模型，选定最佳方案，解决简单的市场经济问题。
一、例题
例1 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入 100元，已知总收益
满足函数：
，其中x是仪器月产量.
(1) 将月利润表示为月产量的函数f(x);
(2) 当月产量为何值时，公司获利最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
分析：由总收益=总成本+利润，知 利润=总收益-总成本.由于R(x)是分段函数，所以f(x)也是分段 函
数，要分别求出f(x)在各段的最大值，通过比较，确定f(x)的最大值.
例2根 据市场调查，某商品在最近的40天内的价格与时间满足关系销售量与时间满足关系。求这种商品
的日销 售额(销售量与价格之积)的最大值。

..
例3 有甲、乙两种商品， 经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金
x(万元)的关系，有经验 公式：.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种
商品的资金投入分别 应为多少?能获得最大利润是多少?
分析：首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系， 求得函数解析式，然后再化为求函数最
大值的问题.
二、课后作业：《精析精练》P103 智能达标训练
函数复习小结(三课时)
第一课时
一、本章知识网络结构：
二、深刻理解函数的有关概念：
概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数三要素(对应法
则 、定义域、值域);反函数;函数的单调性，最大(小)值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.
1.映射
2.函数的概念
3.函数的单调性
4.反函数
5.方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑵.函数表达式的求法：①定义法;②换元法;③待定系数法.
⑶.反函数的求法：递解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的 定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常
涉及到的依据 为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0，底数大于零且不等于
1;④零 指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或 四次);②判别式法;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数
的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x

..
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：
① f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x )+f(-x)=0为奇;③f(-x)f(x)=1
是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移 、
翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
⑼.函数的应用举例(实际问题的解法).
解决应用问题的一般程序是：
①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系;
②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.
③求模：求解数学模型，得到数学结论.
④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.
三、二次函数的基础知识及运用：
高考对二次函数的考查主要从以下几方面：
1.二次函数解析式的三种表示方法：
(1)y=ax+bx+c(a≠0)叫做标准式;
(2)y=a(x+)+,叫做顶点式;
(3)y=a(x-x)(x-x),叫做二根式;(这 里指的是：当Δ>0时，即抛物线与x轴有两个交点(x,0)和(x,0)
时的解析式形式).
注意：以上三种形式突出了解析式的特点，运用时要有选择性.
2.二次函数的定义、二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与性质：
3.二次函数在指定区间上的最值;
4.运用二次函数的知识解决某些数学问题与实际问题.
四、指数函数与对数函数的图像和性质：
五、把握数形结合的特征和方法
本章函数中，重点讨论的指数函数、对数函数，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图
象相 互联系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括，归纳得出的，并借

..
助于函数图象所具有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中， 也常常是函数图象
的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，相互为用.
函数图象可直 观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，
对应研究函数的 性质.
六、识函数思想的实质，强化应用意识
函数是用以描述客观世界中量的存在 关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数
学对象，抽象数量特征，建立函数关系、 解决各种问题.
纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近 三年加大了应用题
的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的 学习中，一定要认
识函数思想的实质，一定要强化应用意识.
七、例题
例1已知函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的定义域是________.
解：由0≤x≤1,解得-1≤x≤1 ∴f(x)的定义域为[-1，1].
评述：针对题目中 函数关系抽象的特点，可将f(x)具体化，能有助于对问题的理解与判断.设f(x)=,
它的定义域 是[0，1]，这时，f(x)= 的定义域是[-1，1]，由此可见，列举实例是处理抽象函数有关问题的
有效方法.
例2已知函数f(x)= (-1≤x≤0),则f(0.5)=________.
解法一：先求f(x)后令x=0.5
令y=,则x=1-y,x=±,又-1≤x≤0 ∴x=-,
∴f(x)=- (0≤x≤1), ∴f(0.5)=-.
解法二：根据函数y=f(x)与反函数y=f(x)
0.5=.解之得：x=-
评述： 方法二是由于对函数f(x)与其反函数f(x)之间关系有深刻理解，因此把求f(a)的问题转化为
求f(x)=a的解的问题，在高观点指导下进行高层次的思维，解法自然也就简单多了.
八、课堂练习：
1.已知映射f:M→N,使集合N中的元素y=x与集合M中的元素x对应，要 使映射f:M→N是一一映射，
那么M，N可以是( )
A.M=R，N=R B.M=R,N={y|y≥0}
的关系，求f(0.5)的值，就是求f(x)=0.5的x值，令

..
C.M={x|x≥0},N=R D.M={x|x≥0},N={y|y≥0}
2.求下列函数的定义域：
(1)y=; (2)y=;
(3)y=; (4)y=
九、课后作业
1.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数：
(1)f(x)=-x+x-6; (2)f(x)=-;
(3)f(x)=; (4)f(x)=-x+1
2.讨论函数y=ax (a>0)的单调性，并证明你的结论：
3.自检作业订正情况
函数复习小结(第二课时)
一、例题
例1若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么( )
A.f(2)
C.f(2)
分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.
例2求f(x)=x-2ax+2在[2，4]上的最大值和最小值.
解：先求最小值.
因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：
(1)当a<2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;
(2)当2≤a<4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;
(3)当a>4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a
综上所述：f(x)min=
最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a

..
(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;
(2)当a<3时，f(2)
故f(x)max=
评述：本题属于二次函数在给定 区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，
属于轴动区间定，由于图象开口向 上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间[2，4]的位置关系，分三
种情况讨论;最大值在端点取 得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对
称轴位于区间中点的 左、右两种情况.
例3已知f(x)=|lgx|,且0
A.a<1,b<1,且c>1 B.01且c>1
C.b>1,c>1 D. c>1且
分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在(0，1)内是减函数，在(1，+∞)上为增函数.
观察图象，因为f(a)1且
评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数图象在函数单调性问题中的应用.
例4函数f(x) =x-bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b)与f(c )的大小关
系是( )
A.f(b)≤f(c) B.f(b)≥f(c)
C.f(b)f(c)
分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而 确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然
后结合b,c的大小关系及二次函数的单调区间使问题得 以解决.
三、课堂练习：
已知f(x)=x-4x-4,x∈[t,t+1](t∈R)，求f(x)的最小值φ(t)的解析式.
五、课后作业：
1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T 和Q(万元)，这两项生产与投入的
奖金a(万元)的关系是P=，该集团今年计划对这两项生产共投入 奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业
与养殖加工生产业投入应各为多少万元?最大利润为多少万元 ?
2.已知，求函数的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的的值。
3.设集合,，函数。

..
(1)设不等式的解集为C，当时，求实数的取值范围;
(2)若对任意实数，均有恒成立，求时，的值域;
(3)当时，证明
函数复习小结(第三课时)
一、例题
例1. 已知 ，求 的最大值。
例2. 画出函数 的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程 无解?有一解?有两解?
解：当 k<0或k>时，无解。
当 时，方程有唯一解 (x = 0) 。
当 k = 0时，方程有两解 (x =±1) 。
当 时，方程有四个不同解。
例3已知 (1≤x≤4)，求函数的最大
值和最小值。
例4对于任意的实数x，规定y取4?x，x+1，三个值的最小值。
1.求y与x的函数关系，并画出函数的图象。
2.x为何值时，y最大?最大值是多少?
解：1.易得A(1, 2) B(3, 1)
∴y与x的函数关系是：
2.由图：x = 1时, ymax = 2
例5 设函数的定义域为A，函 数的定义域为B，若A?B，求实数k的取值范围。
例6 已知函数
1? 求f (x)的定义域、值域。 2? 判断并证明其单调性。
二、作业：《精析精练》P107 能力测试
第三章数列教材分析

..
一、 内容与要求
1.知识点：
数列。
等差数列及其通项公式。等差数列前 n 项和公式。
等比数列及其通项公式。等比数列前 n 项和公式。
2.教学目标：
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义;了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据 递推
公式写出数列的前几项。
(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分。
在数列这一部分， 主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法。关于数列的概念，先给出
了一个描述性定义，尔 后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：从映射、函数的
观点看，数列可以看作 是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对
应的一列函数值。这 样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用
函数的观点去研究数 列。关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函
数的解析式。点破了 这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚。此外，正如并非每一函数均有解
析表达式一样，也并 非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列
的方法可使我们研 究数列的范围大大扩展。递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明
问题的基本思想实 际上也是递推。在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它
也是获得一个数列的 通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公
式。但是，这项内容 也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通
项公式等，这样就会 加重学生负担。考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步
体会一下用递推方法 给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了。
在等差数列这一部分，在讲等差 数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过
的一次函数的知识来认识等差数列的 性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条
直线上，为什么两项可以决定一个等 差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)。在推导等差数列前n项
和的公式时，突出了数列的一个重 要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认
识这一点对解决问题会带来一些方 便。
在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系。这不 仅可加
深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有 利于对
这些方法的掌握。
二、本章的特点

..
(一)在启发学生思维上下功夫
本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使 学生在获得知识的基础上，观察和
思维能力得到提高。
在问题的提出和概念的引入方面， 为了引起学生的兴趣，在本章的前言里用了一个有关国际象棋棋
盘的古代传说作为引入的例子。它用一个 涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一
个不学本章知识、难获问题答案的悬念， 又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念;在讲等差数列与等比
数列的概念时，都是先写出几个数列， 让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出
相应的定义。
在推导结 论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用。例如在讲等差数列前n项和的公式时，没
有平铺直叙地 推导公式，而是先提出问题：
1+2+3+...+100 = ?，并指出著名数学家高斯10 岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然
后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列 的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于
首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了 道路。
在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分。如3.3 例4：
已知数列的通项公式为=pn十q，其中p、q是常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如 果是，其首项
与公差是什么?又如:如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特 点?这样就增
加了题目的研究性。在讲有些例题时，加了一小段分析，通过不多的几句话点明解题的思路 。如对于上
面提到的例 4，加的一段分析是：由等差数列定义，要判定 {}是不是等差数列，只要看 是不是
一个与n无关的常数就行了。话虽不多，但突出了 从定义出发这种最基本的证明方法。
(二)加强了知识的应用
除了上面提到的研究性课题多具有应用性的特点以外还在教 材中适当增加了一些应用问题。如在
阅读材料里介绍了有关储蓄的一些计算;在所增加的应用问题里还涉 及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的
长度等。
(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练
考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能 力的培养，且在前面第一章已介绍了简易逻辑，为进
行推理论证作了准备，紧接着又在第二章函数里进行 了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面
有所加强。
(四)注意渗透一些重要的数学思想方法
由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法 较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘。
教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、
动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如复习参考题
B组 第2题便是一个典型例子。方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模
式： 已知数列满足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组.然后求解。关于递推
的 思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现。观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章