高中数学必修五教师用书

2．在△
ABC
中，
a
＝
b
sin
A
，则△
ABC
一定是
A．锐角三角形
C．钝角三角形
( )
B．直角三角形
D．等腰三角形
解析：选B 由题意有＝
b
＝，则sin
B
＝1，
sin
A
sin
B
即角
B
为直角，故△
ABC
是直角三角形．
sin
A
cos
C
3．在△
ABC
中，若＝，则
C
的值为
ab
ac

( )
A．30°
C．60°
解析：选B 由正弦定理得，
sin
A
B．45°
D．90°
a
＝
sin
C
cos
C
＝，
cc
则cos
C
＝sin
C
，即
C
＝45°，故选B.
1
4．在△
ABC
中，
a
＝3，
b
＝5，sin
A
＝，则sin
B
＝
3
( )
1
A.
5
C.
5

3
5
B.
9
D．1

解析：选B 在△
ABC
中，由正弦定理＝，
sin
A
sin
B
ab
得sin
B
＝
b
sin
A
5
＝＝.
a
39
5×
1
3
5．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，且
a
＝3
b
sin
A
，则sin
B
＝( )
A.3
C.
6

3
B.
3

3
6

3
D．－
解析：选B 由正弦定理得
a
＝2
R
sin
A
，
b
＝2
R
sin
B
，所以sin
A
＝3sin
B
sin
A
，故
sin
B
＝
3
.
3
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．
①
a
＝8，
b
＝16，
A
＝30°，有两解；
②
b
＝18，
c
＝20，
B
＝60°，有一解；
- 3 -

③
a
＝15，
b
＝2，A
＝90°，无解；
④
a
＝40，
b
＝30，
A
＝120°，有一解．
解析：①中
a
＝
b
sin
A
，有一解；②中
c
sin
B
<
b
<< br>c
，有两解；③中
A
＝90°且
a
>
b
，有
一解；④中
a
>
b
且
A
＝120°，有一解．综上 ，④正确．
答案：④
7．在△
ABC
中，若(sin
A
＋sin
B
)(sin
A
－sin
B
)＝sin
C
，则△
ABC
的形状是________．
解析：由已知得sin
A
－sin
B
＝sin
C
， 根据正弦定理知sin
A
＝
＝，
2
R
所以
??
－
??
＝
??
，
?
2
R
??
2
R
??
2
R
?
即
a
－
b
＝
c
，故
b
＋c
＝
a
.所以△
ABC
是直角三角形．
答案：直角三角形
8．在△
ABC
中，若
A
＝105°，
C
＝30°，
b
＝1，则
c
＝________.
解析：由题意，知
B
＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得
c< br>＝
1×sin 30°2
＝.
sin 45°2
答案：
2

2
222222
222
2
ab
，sin
B
＝，sin
C
2
R
2
R
c
?
a
?
2
?
b
?
2
?
c
?
2
b
sin
C
＝
sin
B
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△
ABC
中，
A
＝45°，
B
＝60°，
则
C
＝180°－(
A
＋
B
)＝75°.
因为
C
>
B
>
A
，所以最小边为
a
.
又因为
c
＝1，由正弦定理得，
a
＝
c
sin
A
1×sin 45°
＝＝3－1，
sin
C
sin 75°
所以最小边长为3－1.
10．在△
ABC
中，已知
a＝22，
A
＝30°，
B
＝45°，解三角形．
解：≧＝＝，
sin
A
sin
B
sin
C
abc
2
22×
2
a
sin
B
22sin 45°
?
b
＝＝＝＝4.
sin
A
sin 30°1
2
?
C
＝180°－(
A＋
B
)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
?
c
＝
a
sin
C
22sin 105°22sin 75°
＝＝
sin
A
sin 30°1
2
＝42sin(30°＋45°)＝2＋23.
- 4 -

层级二 应试能力达标
1．在△
ABC
中，角
A< br>，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，如果
c
＝3
a
，
B
＝30°，那么角
C
等于
A．120°
C．90°
( )
B．105°
D．75°
解析：选A ≧
c
＝3
a
，?sin
C
＝3sin
A
＝3sin(180°－30°－
C
)＝3sin(30°
＋
C
) ＝3
?
1
?
3
?
sin
C
＋cos
C
?
，即sin
C
＝－3cos
C
，?tan
C
＝－3.又0°<
C
<180°，
2
?
2
?
?
C
＝120°.故选A.
2 ．已知
a
，
b
，
c
分别是△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边，若△
ABC
的周长为 4(2＋1)，
且sin
B
＋sin
C
＝2sin
A
，则
a
＝
A.2
C．4

B．2
D．22
( )
解析：选C 根据正弦定理，sin
B
＋sin
C
＝2sin
A
可化为
b
＋
c
＝2
a
，
≧△
ABC
的周长为4(2＋1)，
?
a
＋
b< br>＋
c
＝4?2＋1?，
?
?
?
b
＋
c
＝2
a
，

解得
a
＝4.故选C.
a
＋
b
＋
c
3．在△
ABC
中，
A
＝60°，
a
＝13，则等于 ( )
sin
A
＋sin
B
＋sin
C
83
A.
3
263
C.
3
239
B.
3
D．23
解析：选B 由
a
＝2
R
sin
A
，
b
＝2
R
sin
B
，
c
＝2
R
sin
C
得
＝
13239
＝.
sin 60°3
a＋
b
＋
ca
＝2
R
＝
sin
A
＋sin
B
＋sin
C
sin
A
4.如图，正方形
ABCD
的边长为1，延长
BA
至
E
，使
AE
＝1，连接
EC
，
ED
，则sin∠
CED< br>＝( )
310
A.
10
C.
5

10
B.
10

10
5

15
22
D.
解析：选B 由题意得
EB
＝
EA< br>＋
AB
＝2，则在Rt△
EBC
中，
EC
＝
EB
＋
BC
＝4＋1＝5.
- 5 -

在△EDC
中，∠
EDC
＝∠
EDA
＋∠
ADC
＝
ππ3πsin∠
CEDDC
15
＋＝，由正弦定理得＝＝＝，
42 4sin∠
EDCEC
5
5
所以sin∠
CED
＝
553π10
·sin∠
EDC
＝·sin ＝.
55410
5． 在△
ABC
中，
A
＝60°，
B
＝45°，
a＋
b
＝12，则
a
＝________.
解析：因为＝，所以＝，
sin
A
sin
B
sin 60°sin 45°
所以
32
b
＝
a
，①
22
abab
又因为
a
＋
b
＝12，②
由①②可知
a
＝12(3－6)．
答案：12(3－6)
6．在 △
ABC
中，若
A
＝120°，
AB
＝5，
BC< br>＝7，则sin
B
＝_______.
解析：由正弦定理，得＝，即
sin
C
sin
A
sin
C
＝
ABBC
AB
·sin
A

BC
5sin 120°53
＝＝.
714
11
2
可知
C
为锐角，?cos
C
＝1－sin
C
＝.
14
?sin
B
＝sin(180°－120°－
C
)＝sin(60°－
C
)
＝sin 60°·cos
C
－cos 60°·sin
C
＝
答案：
33

14
33
.
14
7．已知△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
A
－
C
＝90°，
a
＋
c
＝2
b
，
求
C
.
解：由
A
－
C
＝90°，得
A
为钝角且sin
A
＝cos
C
，利用正弦定理，
a
＋
c
＝2
b
可变形
为sin
A
＋sin
C
＝2sin
B
，
又≧sin
A
＝cos
C
，
?sin
A
＋sin
C
＝cos
C
＋sin
C
＝2sin(
C
＋45°)＝2sin
B
，
又
A
，
B
，
C
是△
ABC
的内角，
故
C
＋45°＝
B
或(
C＋45°)＋
B
＝180°(舍去)，
所以
A
＋
B< br>＋
C
＝(90°＋
C
)＋(
C
＋45°)＋
C
＝180°.
所以
C
＝15°.
- 6 -

8．在△
ABC
中，已知
c
＝10，
cos
Ab
4
＝＝，求
a
，
b
及△
ABC
的内切圆半 径．
cos
Ba
3
sin
Bb
cos
A
sin
B
解：由正弦定理知＝，?＝.
sin
Aa
cos
B
sin
A
即sin
A
cos
A
＝sin
B
cos
B
，?sin 2
A
＝sin 2
B
.
又≧a
≠
b
，?2
A
＝π－2
B
，即
A< br>＋
B
＝
π
.
2
?△
ABC
是直角三角形，且
C
＝90°，
a
＋
b
＝10，
?
?
由
?
b
4＝
?
?
a
3
222

得
a
＝6，
b
＝8.
故内切圆的半径为
r
＝
a
＋
b
－
c
6＋8－10
2
＝
2
＝2.
1．1.2 余弦定理

预习课本P5～6，思考并完成以下问题
(1)余弦定理的内容是什么？




(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？



(3)已知三角形的三边如何解三角形？



[新知初探]

余弦定理
余弦定理

公式表达

a
2
＝
b
2
＋
c2
－2
bc
cos
A
，
b
2
＝< br>a
2
＋
c
2
－2
ac
cos_
B< br>，
- 7 -

c
2
＝
a
2＋
b
2
－2
ab
cos_
C

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平
语言叙述 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积
的两倍
余弦定理

推论
b
2
＋
c
2
－
a
2
cos
A
＝，
2
bc
a
2
＋
c
2－
b
2
cos
B
＝，
2
ac
a< br>2
＋
b
2
－
c
2
cos
C
＝
2
ab

[点睛] 余弦定理的特点
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角 形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它
含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个 量．
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形( )
(2 )在△
ABC
中，若
a
>
b
＋
c
，则△< br>ABC
一定为钝角三角形( )
(3)在△
ABC
中，已知两边和其夹角时，△
ABC
不唯一( )
解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
22 2
b
2
＋
c
2
－
a
2
(2)正确 ．当
a
>
b
＋
c
时，cos
A
＝<0.
2
bc
222
因为0<
A
<π，故
A
一定 为钝角，△
ABC
为钝角三角形．
(3)错误．当△
ABC
已知两 边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△
ABC
唯一确定．
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．在△
ABC
中，已知
a
＝9，
b
＝23，
C
＝150°，则
c
等于( )
A.39
C．102
解析：选D 由余弦定理得：
B．83
D．73
c
＝9
2
＋?23?
2
－2×9×23×cos 150°
＝147
＝73.
- 8 -

3．在△
AB C
中，已知
a
＝
b
＋
c
＋
bc
， 则角
A
等于( )
A．60°
C．120°
B．45°
D．30°
222
b
2
＋
c
2
－< br>a
2
1
解析：选C 由cos
A
＝＝－，?
A
＝120°.
2
bc
2
4．在△
ABC
中，已知
A
＝30°，且3
a
＝3
b
＝12，则
c
的值为( )
A．4
C．4或8
B．8
D．无解
222
解析：选C 由3
a
＝3
b
＝12，得
a
＝4，
b
＝43，利用余弦定理可得
a
＝
b
＋
c
－2
bc
cos
A
，即16 ＝48＋
c
2
－12
c
，解得
c
＝4或
c
＝8.

已知两边与一角解三角形

π
[典例] (1)在△
ABC
中，已知
b
＝60 cm，
c
＝603 cm，
A
＝，则
a
＝________cm；
6
(2)在 △
ABC
中，若
AB
＝5，
AC
＝5，且cos
C
＝
[解析](1)由余弦定理得：
9
，则
BC
＝________.
10
a
＝ 60＋?603?－2×60×603×cos
22
22
π

6
＝4×60－3×60＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：(5)＝5＋BC
－2×5×
BC
×
所以
BC
－9
BC＋20＝0，解得
BC
＝4或
BC
＝5.
[答案] (1)60 (2)4或5


已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出
其余角；二是利用 正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理 就不存在这些问题(在(0，
π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．

[活学活用]
- 9 -
2
222
9
，
10

在△
ABC
中，
a
＝23，
c
＝6＋2，
B
＝45°，解这个三角形．
解：根据余弦定理得，
b
2
＝
a
2
＋
c
2
－2
accos
B
＝(23)
2
＋(6＋2)
2
－2×23× (6＋2)×cos 45°＝8，
?
b
＝22.
b
2
＋
c
2
－
a
2
8＋?6＋2?
2
－?23 ?
2
1
又≧cos
A
＝＝＝，
2
bc
2
2×22×?6＋2?
?
A
＝60°，
C
＝180°－(
A
＋
B
)＝75°.
已知三角形的三边解三角形

[典例] 在△
ABC
中，已知
a
＝23，
b
＝6 ，
c
＝3＋3，解此三角形．
[解] 法一：由余弦定理的推论得
b2
＋
c
2
－
a
2
?6?
2
＋ ?3＋3?
2
－?23?
2
2
cos
A
＝＝＝，
2
bc
2
2×6×?3＋3?
?
A
＝45°.同理 可求
B
＝30°，故
C
＝180°－
A
－
B
＝180°－45°－30°＝105°.
法二：由余弦定理的推论得
b
2＋
c
2
－
a
2
?6?
2
＋?3＋3?
2
－?23?
2
2
cos
A
＝＝＝，?
A
＝45°.
2
bc
2
2 ×6×?3＋3?
ab
236
由正弦定理＝知＝，
sin
A
sin
B
sin 45°sin
B
得sin
B
＝
6·sin 45°
23
1
＝.
2
由
a
>
b
知
A
>
B
，?
B
＝30°.
故
C
＝180°－
A
－
B
＝180 °－45°－30°＝105°.


(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦 定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，
角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． < br>(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例
性质，转 化为已知三边求解．
[活学活用]
在△
ABC
中，若
a
＋
b
＋
c
＝2
c
(
a
＋b
)，则角
C
＝( )
A．60°
C．135°
B．45°
D．45°或135°
444222
- 10 -

a
2
＋
b< br>2
－
c
2
解析：选D ≧cos
C
＝，
2
ab
a
4
＋
b
4
＋
c
4
－2
a
2
c
2
－2
b
2
c
2< br>＋2
a
2
b
2
?cos
C
＝.
2 2
4
ab
2
≧
a
＋
b
＋
c
＝2
c
(
a
＋
b
)，
?
a
＋
b
＋
c
－2
ca
－2
cb
＝0，
2
ab
12
?cos
C
＝
22
＝，?cos
C
＝±，
4
ab
22
2
22
44422 22
444222
?
C
＝45°或135°.
利用余弦定理判断三

角形形状
[典例] 在△
ABC
中 ，若
b
sin
C
＋
c
sin
B
＝2
bc
cos
B
cos
C
，试判断△
ABC
的形状．
解：[法一 化角为边]
将已知等式变形为
2222
b
2
(1－cos
2
C
)＋
c
2
(1－cos
2
B
)＝2
bc
cos
B
cos
C
.
由余弦定理并整理，得
?
a
＋
b
－
c
?
2
－
c
2
?
a
＋
c
－
b
?
2

b
2
＋
c
2
－
b
2
???
2< br>ac
?
?
2
ab
???
a
2
＋c
2
－
b
2
a
2
＋
b
2－
c
2
＝2
bc
××，
2
ac
2< br>ab
[?
a
＋
b
－
c
?＋?
a＋
c
－
b
?]4
a
2
?
b
＋
c
＝＝
2
＝
a
.
2
4
a
4
a
22
22222224
222222
?
A
＝ 90°.?△
ABC
是直角三角形．
[法二 化边为角]
由正弦定理，已知条件可化为
sin
C
sin
B
＋sin
C
sin
B
＝2sin
B
sin
C
cos
B
cos
C
.
又sin
B
sin
C
≠0，
?sin
B
sin
C
＝cos
B
cos
C
，即cos(
B
＋
C
)＝0.
又≧0°<B
＋
C
<180°，?
B
＋
C
＝90°，?< br>A
＝90°.
?△
ABC
是直角三角形．


利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．
2222
- 11 -

[活学活用]
在△
ABC
中，
a
cos
A
＋
b
cos
B
＝
c
cos
C
，试判断△
ABC
的形状．
b
2
＋
c
2
－
a
2
c
2
＋
a
2
－
b
2
a
2
＋
b
2
－
c
2
解：由余弦定理知cos
A
＝，cos
B
＝，cos
C
＝，代入已
2
bc
2
ca
2
ab
知条件 得
b
2
＋
c
2
－
a
2
c
2
＋
a
2
－
b
2
c
2
－
a
2
－
b
2
a
·＋
b
·＋
c< br>·＝0，
2
bc
2
ca
2
ab
通分得a
(
b
＋
c
－
a
)＋
b
(< br>a
＋
c
－
b
)＋
c
(
c
－
a
－
b
)＝0，
展开整理得(
a
－
b< br>)＝
c
.?
a
－
b
＝±
c
，即a
＝
b
＋
c
或
b
＝
a
＋c
.
根据勾股定理知△
ABC
是直角三角形.
正、余弦定理的综合应用

题点一：利用正、余弦定理解三角形
1．△< br>ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为a
，
b
，
c
，
a
sin
A
＋
c
sin
C
－2
a
sin
C
＝
b
sin
B
.
(1)求角
B的大小；(2)若
A
＝75°，
b
＝2，求
a
，
c
.
解：(1)由正弦定理得
a
＋
c
－2
ac
＝
b
.
由余弦定理得
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
.
故cos
B
＝
2
，因此
B
＝45°.
2
222< br>222
2224222222222
222222222222
(2)sin
A
＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
sin
A
故由正弦定理得
a
＝
b
·＝1＋3.
sin
B
由已知得，
C
＝180°－45°－75°＝60°，
2＋6
.
4
c
＝
b
·
sin
C
sin 60°
＝2×＝6.
sin
B
sin 45°
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
2．在△
ABC
中，求证
a
sin 2
B
＋
b
sin 2
A
＝2
ab
sin
C
.
证明：法一：(化为角的关系式)
22
a
2
sin 2
B
＋
b
2
sin 2
A
＝(2
R
·sin
A
)
2
·2sin
B
·cos
B
＋(2
R
·sin
B
)
2
·2sin
A
·cos
A
＝8
R
sin
A
·sin
B
(sin
A
·cos
B
＋cos
A
sin
B
)＝8
R
sin
A
sin
B
sin
C
＝2·2
R
sin
A
·2
R
sin
22
B
·sin
C
＝2
ab
sin
C
.
?原式得证．
法二：(化为边的关系式)
- 12 -

2
ba
＋
c
－
b
2
ab< br>＋
c
－
aab
2
左边＝
a
·2sin
B
cos
B
＋
b
·2sin
A
cos
A
＝
a
··＋
b
··＝
2
R
2< br>ac
2
R
2
bc
2
Rc
222
22 2222
(
a
＋
c
－
b
＋
b
＋< br>c
－
a
)＝·2
c
＝2
ab
·＝2
ab
sin
C
＝右边，
2
Rc
2
R
?原式得证．
题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用
3．在△
ABC
中 ，
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
(1)求
C
的大小；
sin
A
222222
ab
2
c
a
＝
3cos
C
c
.
????????
(2)如果
a
＋
b
＝6，
CA
·
CB
＝4，求
c
的值．
解：(1)≧
a
sin
A
＝
c
sin
C
sin
A
3cos
C
，＝，
ac
?sin
C
＝3cos
C
．?tan
C
＝3.
π
又≧
C
∈(0，π)，?
C
＝.
3
? ???????????????
1
(2)≧
CA
·
CB
＝ |
CA
|·|
CB
|cos
C
＝
ab
，
2
????????
又≧
CA
·
CB
＝4，?ab
＝8.
又≧
a
＋
b
＝6，
由余弦定理 知
c
＝
a
＋
b
－2
ab
cos
C
＝(
a
＋
b
)－3
ab
＝12，
?
c
＝23.


正、余弦定理是解决三角形问题的两个 重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变
换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为18 0°、大边对大角等．


层级一 学业水平达标
1．在△< br>ABC
中，已知(
a
＋
b
＋
c
)(
b
＋
c
－
a
)＝3
bc
，则角
A
等于( )
A．30°
C．120°
2222
2222
B．60°
D．150°
2
解析：选B ≧(
b
＋
c
)－
a
＝b
＋
c
＋2
bc
－
a
＝3
bc
，
?
b
＋
c
－
a
＝
bc
，
222
b
2
＋
c
2
－
a
2
1
?cos
A
＝＝，?
A
＝60°.
2
bc
2
- 13 -

13
2．在△< br>ABC
中，若
a
＝8，
b
＝7，cos
C
＝，则最大角的余弦值是( )
14
1
A．－
5
1
C．－
7
解析：选C 由余弦定理，得
1
B．－
6
1
D．－
8
c
2
＝
a< br>2
＋
b
2
－2
ab
cos
C
＝8
2
＋7
2
－2×8×7×＝9，
所以
c
＝3，故
a
最大，
所以最大角的余弦值为
13
14
b
2
＋
c
2
－
a
2< br>7
2
＋3
2
－8
2
1
cos
A
＝＝＝－.
2
bc
2×7×37
c
2
－
a
2
－
b
2
3．在△
ABC
中，角A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b，
c
，若>0，则△
ABC
( )
2
ab
A．一定是锐角三角形
C．一定是钝角三角形
B．一定是直角三角形
D．是锐角或直角三角形
c
2
－
a
2
－
b
2
解析：选C 由>0得－cos
C
>0，
2
ab
所以cos
C
<0，从而
C
为钝角，因此△
ABC
一定是钝角三角形．
4．若△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
所对的边
a
，
b
，
c
满足(
a
＋
b
)－
c
＝4，且
C
＝60°，则
ab
的值为( )
4
A.
3
C．1
222
22
B．8－43
2
D.
3
22222
解析：选A 由(
a
＋
b
)－
c
＝4，得
a
＋
b
－
c
＋2
ab
＝4，由余弦定理得
a
＋
b
－
c
＝2
ab
cos
C
＝2
ab
cos 60°＝
ab
，则
ab
＋2
ab
＝4，?
ab＝.
5．锐角△
ABC
中，
b
＝1，
c
＝2 ，则
a
的取值范围是( )
A．1<
a
<3
C.3<
a
<5
2
4
3
B．1<
a
<5
D．不确定
2222
解析：选C 若
a
为最大边，则
b
＋
c
－
a
>0，即
a
<5，?
a
<5，若
c
为最大边，则
a
＋
b
>
c
，即
a
>3，?
a
>3，故3<
a
<5.
6．已知
a
，
b
，
c
为△
ABC
的三边，
B
＝120°，则
a
＋
c
＋ac
－
b
＝________.
解析：≧
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝
a
＋
c
－2
ac
cos 120°
＝
a
＋
c
＋
ac
，
- 14 - < br>22
22222
222
222

?
a
＋
c
＋
ac
－
b
＝0.
答案：0
7．在 △
ABC
中，若
b
＝1，
c
＝3，
C
＝< br>解析：≧
c
＝
a
＋
b
－2
ab
co s
C
，
2π
222
?(3)＝
a
＋1－2
a
×1×cos ，
3
?
a
＋
a
－2＝0，即(
a
＋2) (
a
－1)＝0，
?
a
＝1，或
a
＝－2(舍去)．?
a
＝1.
答案：1
1
8．在△
ABC
中，若
a
＝2，b
＋
c
＝7，cos
B
＝－，则
b
＝________.
4
解析：因为
b
＋
c
＝7，所以
c
＝7－
b
.
由余 弦定理得：
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
，
222
2
222
222
2π
，则< br>a
＝________.
3
?
1
?
22
即
b
＝4＋(7－
b
)－2×2×(7－
b
)×
?< br>－
?
，
?
4
?
解得
b
＝4.
答案：4
9．在△
ABC
中，
A
＋
C
＝ 2
B
，
a
＋
c
＝8，
ac
＝15，求b
.
解：在△
ABC
中，≧
A
＋
C
＝2
B
，
A
＋
B
＋
C
＝180°，
?
B
＝60°.
由余弦定理，
得
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝(
a
＋
c
)－2
ac
－2
a c
cos
B

1
2
＝8－2×15－2×15×＝19.
2
?
b
＝19.
10．在△
ABC
中，已知a
＝7，
b
＝3，
c
＝5，求最大角和sin
C
.
解：≧
a
>
c
>
b
，?< br>A
为最大角．
由余弦定理的推论，得
2222
b
2
＋
c
2
－
a
2
3
2
＋5
2－7
2
1
cos
A
＝＝＝－.
2
bc
2×3×52
又≧0°<
A
<180°，
?
A
＝120°，
?sin
A
＝sin 120°＝
3
.
2
- 15 -

由正弦定理，得sin
C
＝
c
sin
A
＝
a
5×
7
3
2
＝
53
.
14
?最大角
A
为120°，sin
C
＝
53
.
14
层级二 应试能力达标
1．在△
ABC
中，有下列关系式：
①
a
sin
B
＝
b
sin
A
；②
a
＝
b
cos
C
＋
c
cos
B
；③
a
＋
b< br>－
c
＝2
ab
cos
C
；④
b
＝
c
sin
A
＋
222
a
sin
C
.
一定成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin
A
＝sin(
B
＋
C
)＝sin
B
cos
C
＋sin
C
cos
B
，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin
B
＝sin
C
sin
A
＋sin
A
sin
C
＝2sin
A
sin
C
，又sin
B
＝sin(
A
＋
C
)＝cos
C
sin
A
＋cos
A
sin
C
，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.
2．在△
ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
C
＝120°，
c
＝2a
，则
a
，
b
的大小关系为( )
A．
a
>
b

B．
a
<
b

C．
a
＝
b

D．不能确定
解析：选A 在△< br>ABC
中，
c
＝
a
＋
b
－2
ab< br>cos 120°＝
a
＋
b
＋
ab
.≧
c< br>＝2
a
，?2
a
＝
222222
a
2
＋
b
2
＋
ab
，?
a
2
－
b< br>2
＝
ab
>0，?
a
2
>
b
2，?
a
>
b
.
a
＋
c
2
B
3．在△
ABC
中，cos＝，则△
ABC
是( )
22
c
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
a
＋
c
cos
B
＋1
a
＋
c
2
B
解析：选B ≧cos＝，?＝，
22
c
22
c
aa
2
＋c
2
－
b
2
a
2222
?cos
B
＝，?＝，?
a
＋
c
－
b
＝2
a
，
c
2
acc
即
a
＋
b
＝
c< br>，?△
ABC
为直角三角形．
4．在△
ABC
中，
AB
＝5，
BC
＝7，
AC
＝8，则
AB
―→·< br>BC
―→的值为( )
222
- 16 -

A．79
C．5
解析：选D 由余弦定理得：
B．69
D．－5
AB
2
＋
BC
2－
AC
2
5
2
＋7
2
－8
2
1
cos∠
ABC
＝＝＝.
2
AB
·
BC
2×5×77
????
因为向量
AB
AB
―→与
BC―→的夹角为180°－∠
ABC
，
所以
AB
―→·
BC
―→＝|
AB
―→|·|
BC
―→|cos(180°－∠ABC
)
?
1
?
＝5×7×
?
－
?
＝－5. ?
7
?
5．在△
ABC
中，
AB
＝2，
AC
＝6，
BC
＝1＋3，
AD
为边
BC
上的高 ，则
AD
的长是________．
BC
2
＋
AC
2
－
AB
2
22
解析：≧cos
C
＝＝，?sin
C
＝，
2
BC
·
A C
22
?
AD
＝
AC
sin
C
＝3.
答案：3
6．在△
ABC
中，
A
＝120°，
A B
＝5，
BC
＝7，则
2
sin
B
的值为________．
sin
C
解析：由余弦定理可得4 9＝
AC
＋25－2×5×
AC
×cos 120°，整理得：
AC
2
＋5·
AC
－24＝0，
解得
AC
＝3或
AC
＝－8(舍去)，
sin
BAC
3
再由正弦定理可得＝＝.
sin
CAB
5
3
答案：
5
7．在△
ABC
中 ，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，b
，
c
.已知
sin
C
(1)求的值；
sin
A
1
(2)若cos
B
＝，△
ABC
的周长为5，求
b
的长．
4
解：(1)由正弦定理可设＝＝＝
k
，
sin
A
sin
B
sin
C
2
c
－
a
2
k
sin
C
－
k
sin
A
2sin
C
－sin
A
则＝＝，
bk
sin
B
sin
B
所以
cos
A
－2cos
C
2sin
C
－sin
A
＝，
cos
B
sin
B
cos
A
－2cos
C
2
c
－
a
＝.
cos
Bb
abc
即(cos
A
－2cos
C
)sin
B
＝(2sin
C
－sin
A
)cos
B
，
化简可得sin(
A
＋
B
)＝2sin(
B
＋
C
)．
- 17 -

又
A
＋
B
＋
C
＝π，所以sin
C
＝2sin
A
，
因此
sin
C
＝2.
sin
A
sin
C
(2)由＝2，得
c
＝2
a
.
sin
A
1
由余弦定理及cos
B
＝，
4
1
2222222
得
b
＝
a
＋
c
－2
ac< br>cos
B
＝
a
＋4
a
－4
a
×＝ 4
a
，
4
所以
b
＝2
a
.
又
a
＋
b
＋
c
＝5，所以
a
＝1，因此b
＝2.

43
8．在△
ABC
中，已知
B C
＝15，
AB
∶
AC
＝7∶8，sin
B
＝，求
BC
边上的高
AD
的长．
7
解 ：由已知设
AB
＝7
x
，
AC
＝8
x
.
7
x
8
x
在△
ABC
中，由正弦定理，得＝，
sin
C
sin
B
?sin
C
＝
7
x
sin
B
7433
＝×＝，
8
x
872
?∠
C
＝60°(∠
C
＝12 0°舍去，否则由8
x
>7
x
，知
B
也为钝角，不合要求) ．
再由余弦定理，得
AB
＝
AC
＋
BC
－2AC
·
BC
·cos
C
，即(7
x
)＝(8
x
)＋15－2×8
x
×15cos
60°，
?
x
－8
x
＋15＝0，?
x
＝3或
x
＝5，
?
AB
＝21或
AB
＝35.
在Rt△
ADB
中，
AD
＝
AB
sin
B
＝
?
AD
＝123或
AD
＝203.
43
AB
，
7
2
222222

应用举例

第一课时 解三角形的实际应用举例

预习课本P11～16，思考并完成以下问题
(1)方向角和方位角各是什么样的角？


- 18 -

(2)怎样测量物体的高度？


(3)怎样测量物体所在的角度？


[新知初探]

实际测量中的有关名称、术语
名称

仰角

定义

在同一铅垂平面内，视线在水平线
上方时与水平线的夹角

在同一铅垂平面内，视线在水平线
下方时与水平线的夹角

从指定方向线到目标方向线的水平
方向角

角(指定方向线是指正北或正南或
正东或正西，方向角小于90°)

错误!
从正北的方向线按顺时针到目标方
向线所转过的水平角





图示
俯角

方位角

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( )
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( )
(3)方位角和方向角是一样的( )
解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．
(2)错误，两个不 可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、
距离求得．
(3)错误． 方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测
者的位置为中心，将正北或正 南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐
角)．
答案：(1)× (2)× (3)×
- 19 -

2．若
P
在
Q
的北偏东44°50′方向上，则
Q
在
P
的( )
A．东偏北45°10′方向上
C．南偏西44°50′方向上
解析：选C 如图所示．
B．东偏北45°50′方向上
D．西偏南45°50′方向上

3．从
A
处望
B
处的仰角为
α
，从B
处望
A
处的俯角为
β
，则
α
，
β< br>的关系为( )
A．
α
＞
β

C．
α
＋
β
＝90°
B．
α
＝
β

D．
α
＋
β
＝180°
解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知
α
＝
β
，故应选B.

4．两灯塔
A
，
B
与海洋观察站
C
的距 离都等于
a
(km)，灯塔
A
在
C
北偏东30°，
B
在
C
南偏东60°，则
A
，
B
之间距离为( )
A.2
a
km
C．
a
km
B.3
a
km
D．2
a
km
解析：选A △< br>ABC
中，
AC
＝
BC
＝
a
，∠
A CB
＝90°，
所以
AB
＝2
a
.

测量高度问题

[典例] 如图，测量河对岸的塔高
AB
时，可以 选与塔底
B
在同一水平
面内的两点
C
与
D
.现测得 ∠
BCD
＝
α
，∠
BDC
＝
β
，
CD
＝
s
，并在点
C
测得塔
顶
A
的仰角为
θ
，求塔高
AB
.
[解] 在△
BCD
中，
∠
CBD
＝π－(
α
＋
β
)．
由正弦定理得＝.
sin∠
BDC
sin∠
CBD
BCCD
- 20 -

?
BC
＝
CD
sin∠
BDCs
· sin
β
＝.
sin∠
CBD
sin?
α
＋< br>β
?
s
·sin
β
tan
θ
.
sin?
α
＋
β
?
在Rt△
ABC
中，
AB
＝
BC
tan∠
ACB
＝


测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问 题，因此先要选好所
求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思
路．
[活学活用]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高 度，某
人在喷水柱正西方向的
A
处测得水柱顶端的仰角为45°，沿
A
向北偏东30°方向前进100 m
到达
B
处，在
B
处测得水柱顶 端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
解析：选A 如图，设水柱高度是
h
m，水柱底端为C
，则在△
ABC
中，
A
＝60°，
AC
＝< br>h
，
AB
＝100，
BC
＝3
h
，根据余弦 定理得，(3
h
)
222
2
＝
h
＋100－2×< br>h
×100×cos 60°，即
h
＋50
h
－5 000＝ 0，解得
h
＝
50或
h
＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.

2.如图所示，在山底
A
处测得山顶
B
的仰角∠< br>CAB
＝45°，沿倾
斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达
S点，又测得山顶仰角∠
DSB
＝75°，则山高
BC
为________ m.
解析：因为∠
SAB
＝45°－30°＝15°，
∠
SBA
＝∠
ABC
－∠
SBC
＝45°－(90°－75°)＝30°，
所以∠
ASB
＝180°－∠
SAB
－∠
SBA
＝ 135°.
2
1 000×
2
AS
·sin 135°
在△
ABS
中，
AB
＝＝＝1 0002，
sin 30°1
2
所以
BC
＝
AB
·sin 45°＝1 0002×
答案：1 000

2
＝1 000(m)．
2
- 21 -

测量角度问题

[典例] 如图所示，
A
，
B
是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n
m ile的两个观测点．现位于
A
点北偏东45°方向、
B
点北偏西60°方< br>向的
D
点有一艘轮船发出求救信号，位于
B
点南偏西60°且与
B
点相
距203 n mile的
C
点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n
mileh，则该救援船到达
D
点需要多长时间？
[解] 由题意，知
AB
＝5(3＋3) n mile，
∠
DBA
＝90 °－60°＝30°，∠
DAB
＝90°－45°＝45°，
?∠
ADB
＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△
DAB
中，由正弦定理得＝，
sin∠
DAB
sin ∠
ADB
即
BD
＝
BDAB
AB
sin∠
DAB
5?3＋3?sin 45°
＝
sin∠
ADB
sin 105°
5?3＋3?sin 45°
＝
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝103 n mile.
又∠
DBC
＝∠
DBA
＋∠
ABC
＝60°，
BC
＝203 n mile，
?在△
DBC
中，由余弦定理，得
CD
＝
BD
2
＋
BC
2
－2
BD
·
BC
cos∠
DBC

＝
1
300＋1 200－2×103×203×
2
＝30 n mile，
则救援船到达
D
点需要的时间为


测量角度问题主要是指 在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建
筑物的视角等．
解决它们的关 键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角
形中已知哪些量，需要求哪些量 ．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，
然后通过解这些三角形，得到所求的量，从 而得到实际问题的解．

[活学活用]
30
＝1 h.
30
- 22 -

在海岸
A
处，发现北偏东45 °方向，距离
A
处(3－1)n mile的
B
处有一艘走私船，在
A
处北偏西75°的方向，距离
A
2 n mile的
C
处的缉私船奉命以103 n mile的速度追截
走私船．此时，走私船正以10 n mileh的速度从
B
处向 北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿
什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私船用
t
h在
D
处追上走私船，画出示意图，
则有
CD
＝103
t
，
BD
＝10
t
，
在△
ABC
中，≧
AB
＝3－1，
AC
＝2，∠< br>BAC
＝120°，
?由余弦定理，得
BC
＝
AB
＋
AC
－2
AB
·
AC
·cos∠
BAC
＝(3－1)
＋2－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，
?
BC
＝6，且sin∠
ABC
＝
2
2222
AC
232
·sin∠
BAC
＝·＝，
BC
2
6
2
?∠ABC
＝45°，
BC
与正北方向成90°角．
≧∠
CBD< br>＝90°＋30°＝120°，在△
BCD
中，由正弦定理，得sin∠
BCD
＝
＝
10
t
sin 120°
103
t
1
＝，
2
BD
·sin∠CBD
CD
?∠
BCD
＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追 上走私船.
测量距离问题


题点一：两点不相通的距离
1. 如图所示，要测量一水塘两侧
A
，
B
两点间的距离，其方法先选
定适 当的位置
C
，用经纬仪测出角
α
，再分别测出
AC
，
BC
的长
b
，
a
，
则可求出
A
，
B
两点间的距离．
即
AB
＝
a
＋
b
－2
ab
cos
α
.
若测得
CA
＝400 m，
CB
＝600 m，∠
ACB
＝60°，试计算
AB
的长．
解：在△
ABC
中，由余弦定理得
22
AB
2
＝
AC
2
＋
BC
2
－2
AC
·
BC
cos∠
ACB
，
?
AB
＝400＋600－2×400×600cos 60°＝280 000.
?
AB
＝2007 (m)．
即
A
，
B
两点间的距离为2007 m.
题点二：两点间可视但有一点不可到达
2.如图所示，
A
，
B两点在一条河的两岸，测量者在
A
的同侧，且
222
B
点不可到 达，要测出
A
，
B
的距离，其方法在
A
所在的岸边选定一点
- 23 -

C
，可以测出
A
，
C的距离
m
，再借助仪器，测出∠
ACB
＝
α
，∠
CAB
＝
β
，在△
ABC
中，运用
正弦定理就可以求出< br>AB
.
若测出
AC
＝60 m，∠
BAC
＝75° ，∠
BCA
＝45°，则
A
，
B
两点间的距离为_____ ___ m.
解析：∠
ABC
＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
sin
C
sin
B
?
AB
＝
ABAC
AC
·sin
C
60×sin 45°
＝＝206(m)．
sin
B
sin 60°
即
A
，
B
两点间的距离为206 m.
答案：206
题点三：两点都不可到达
3.如图，
A
，< br>B
两点在河的同侧，且
A
，
B
两点均不可到达，测出
A
，
B
的距离，测量者可以在河岸边选定两点
C
，
D
，测得
CD
＝
a
，同时在
C
，
D
两点分 别测得∠
BCA
＝
α
，∠
ACD
＝
β
，∠
CDB
＝
γ
，∠
BDA
＝
δ
.在△
ADC
和△
BDC
中，由正弦定理分别计算出
AC
和
BC
，再在△
ABC
中，应用余弦定理计算出
AB
.
若测得
CD
＝
间的距离．
解：≧∠
ADC
＝∠< br>ADB
＋∠
CDB
＝60°，∠
ACD
＝60°，
?∠
DAC
＝60°，
?
AC
＝
DC
＝
3
.
2
3
km，∠
ADB
＝∠
CDB
＝30°，∠< br>ACD
＝60°，∠
ACB
＝45°，求
A
，
B两点
2
3
2
DC
在△
BCD
中，∠
D BC
＝45°，由正弦定理，得
BC
＝·sin∠
BDC
＝·sin
sin∠
DBC
sin 45°
30°＝
6
.
4
在△
ABC
中，由余弦定理，得
AB
2
＝AC
2
＋
BC
2
－2
AC
·
BCcos 45°
333623
＝＋－2×××＝.
482428
?
AB
＝
6
(km)．
4
6
km.
4
?
A
，
B
两点间的距离为

- 24 -

当
A
，
B
两点之间的距离不能直接测 量时，求
AB
的距离分为以下三类：
(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取 某点
C
，使得
A
，
B
与
C
之间的距离可直 接测
量，测出
AC
＝
b
，
BC
＝
a
以及∠
ACB
＝
γ
，利用余弦定理得：
AB
＝
a
2
＋
b
2
－2
ab
cos
γ
.
(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与
B
同侧的 点
C
，测出
BC
＝
a
以及∠
ABC
和∠
ACB
，先使用内角和定理求出∠
BAC
，再利用正弦定理求出
AB
.
(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在 一侧选
取两点
C
，
D
，测出
CD
＝
m，∠
ACB
，∠
BCD
，∠
ADC
，∠
ADB
，再在△
BCD
中求出
BC
，在△
ADC
中求出< br>AC
，最后在△
ABC
中，由余弦定理求出
AB
.


层级一 学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得
AC
的长度为
4 m，∠
A
＝30°，则其跨度
AB
的长为( )
A．12 m
C．33 m
B．8 m
D．43 m
解析：选D 由题意知，∠
A
＝∠
B
＝30°，
所以∠
C
＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，
sin
C
sin
B
即
AB
＝
ABAC
AC
·sin
C
4·sin 120°
＝＝43.
sin
B
sin 30°
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔
P
的南偏西75°距塔 68 n mile
的
M
处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的
N
处，则这只船的航行速度为( )
176
A. n mileh
2
172
C. n mileh
2
B．346 n mileh
D．342 n mileh
＝，
sin 45°sin 120°
解析：选A 如图所示，在△
PMN
中，
PMMN
- 25 -

?
MN
＝
68×3
2
＝346，?
v
＝
MN
176
4
＝
2
n mileh.
3．若某人在点
A
测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走 了80米到达点
B
，
测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略 人的身高)( )
A．110米
C．220米
B．112米
D．224米
解析：选A 如图，设
CD
为金字塔，
AB
＝80米 ．设
CD
＝
h
，则由已知
得(80＋
h
)×
故选A.
4．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶 的
俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
403
A．203 m， m
3
C．10(3－2)m,203 m

解析：选A 由题意，知
h
甲
＝20tan 60°＝203(m)，
B．103 m,203 m
D.
153203
m， m
23
3
＝
h
，
h
＝40(3＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，< br>3
h
乙
＝20tan 60°－20tan 30°＝
403
(m)．
3
5．海上的
A
，
B
两个小岛相距10 n mile，从
A
岛望
C
岛和
B
岛成60°的视角，从
B
岛
望
C
岛和
A
岛成75°的视角，则
B
岛与
C
岛之间的距离是( )
A．103 n mile
C．52 n mile
B.
106
n mile
3
D．56 n mile
解析：选D 由题意，做出示意图，如图，在△
ABC
中，
C
＝18 0°－60°
－75°＝45°，由正弦定理，得
mile)．
6．某人从
A
处出发，沿北偏东60°行走33 km到
B
处，再沿正东方向行走2 km到
C
处，则
A
，< br>C
两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知
AB< br>＝33，
BC
＝2，∠
ABC
＝150°.
BC
sin 60°
＝
10
，解得
BC
＝56(n
sin 45°
- 26 -

由余弦定理，得
AC
2
＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，
AC
＝7.
则
A
，
C
两地的距离为7 km.
答案：7
7．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m.
解析：如图，
BD
＝100，∠
BDA
＝45°，∠
BCA
＝30°，
设
CD
＝
x
，所以(
x
＋
DA
)·tan 30°＝
DA
·tan 45°，
又
DA
＝
BD
·cos 45°＝100×
所以
x
＝
2
＝502，
2
DA
·tan 45°
tan 30°
502×1
－
DA
＝－502
3
3
＝50(6－2)m.
答案：50(6－2)
8．一蜘蛛沿东北方向爬行
x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉
到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么
x
＝____ ____cm.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在
O
点，先爬行到
A
点，再爬行到
B
点，易知在△
AOB
中，
AB
＝10 cm，∠
OAB
＝75°，∠
ABO
＝45°，
则∠
AOB
＝60°，由正弦定理知：
x
＝
AB
·sin∠
ABO
10×sin 45°106
＝＝(cm)．
sin∠
AOB
sin 60°3
106

3
答案：
9.如图，甲船以每小时302海里的速 度向正北方向航行，乙船按固
定方向匀速直线航行，当甲船位于
A
1
处时，乙 船位于甲船的北偏西105°
方向的
B
1
处，此时两船相距20海里，当甲船 航行20分钟到达
A
2
处时，
乙船航行到甲船的北偏西120°方向的
B
2
处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．
1
解：如图，连 接
A
1
B
2
，在△
A
1
A
2B
2
中，易知∠
A
1
A
2
B
2
＝60°，又易求得
A
1
A
2
＝302×＝102
3＝
A
2
B
2
，
?△
A
1
A
2
B
2
为正三角形，
?
A
1
B
2
＝102.
在△
A
1
B
1
B
2
中，易知∠
B
1
A
1
B
2
＝45°，
?(
B
1
B
2
)＝400＋200－2×20×102×
2
2
＝200，
2
- 27 -

?
B
1
B
2
＝102，
?乙船每小时航行302海里．
10.如图所示，在地面上共线的三点
A
，
B
，
C
处测得一建筑物的仰
角分别为30°，45°，60°，且< br>AB
＝
BC
＝60 m，求建筑物的高度．
解：设建筑物的高度为
h
，由题图知，
PA
＝2
h
，
PB
＝2
h
，
PC
＝
23
h
，
3
?在△
PBA
和△
PBC
中，分别由余弦定理，
60＋2
h
－4
h
得cos∠
PBA
＝，① 2×60×2
h
4
222
60＋2
h
－
h3
cos∠
PBC
＝.②
2×60×2
h
≧∠
PBA
＋∠
PBC
＝180°，
?cos∠
PBA
＋cos∠
PBC
＝0.③
由①②③， 解得
h
＝306或
h
＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306 m.
层级二 应试能力达标
1.如图，从气球
A
上测得其正前下方的河流两岸< br>B
，
C
的俯角分
别为75°，30°，此时气球的高度
AD< br>是60 m，则河流的宽度
BC
是
( )
A．240(3－1)m
C．120(3－1)m
B．180(2－1)m
D．30(3＋1)m
222
解析：选C 由题意知，在Rt△
ADC
中，∠
C
＝30°，
AD
＝60 m，?
AC
＝120 m．在△
ABC
中，∠
BAC
＝75 °－30°＝45°，∠
ABC
＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC
2
2
AC
sin∠
BAC
＝＝＝120(3－1) (m)．
sin∠
ABC
6＋2
4
120×
2.如图所示 为起重机装置示意图．支杆
BC
＝10 m，吊杆
AC
＝15 m，
吊索
AB
＝519 m，起吊的货物与岸的距离
AD
为( )
A．30 m
C．153 m
153
B. m
2
D．45 m
解析：选B 在△
ABC
中，
AC
＝15 m，
AB
＝519 m，
BC
＝10 m，
- 28 -

AC
2< br>＋
BC
2
－
AB
2
由余弦定理得cos∠
A CB
＝
2×
AC
×
BC
15＋10－?519?13＝＝－，?sin∠
ACB
＝.
2×15×1022
又∠
ACB
＋∠
ACD
＝180°，
?sin∠
ACD
＝sin∠
ACB
＝
3
.
2
3153
＝ m.
22
222
在Rt△
ADC
中，
AD
＝
AC
·sin∠
ACD
＝15×
3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔
AB
的高度，在塔
的同一侧选择C
，
D
两个观测点，且在
C
，
D
两点测得塔顶 的仰角分别
为45°，30°，在水平面上测得∠
BCD
＝120°，
C，
D
两地相距500 m，
则电视塔
AB
的高度是( )
A．1002 m
C．2003 m
B．400 m
D．500 m
解析：选D 设
AB
＝
x
，在Rt△
AB C
中，∠
ACB
＝45°，
?
BC
＝
AB
＝
x
.在Rt△
ABD
中，∠
ADB
＝30°，?
BD
＝3
x
.在△
BCD
中，∠
BCD
＝120 °，
CD
＝500 m，由余弦定理得(3
x
)
2
＝
x
2
＋500
2
－2×500
x
cos 120°，解得
x
＝500 m.
4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站
A
，发现其北偏东45°，
与观测站
A
距离202海里的
B
处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，
又测得该货船位于观测站
A
东偏北
θ
(0°<
θ
<45°)的
C
处，且cos
θ
4
＝.已知
A
，
C
两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )
5
A．485 海里小时
C．27 海里小时
B．385 海里小时
D．46 海里小时
4324
解析：选A 因为cos
θ
＝，0°<
θ
<45°，所以sin
θ
＝，cos(4 5°－
θ
)＝×
5525
＋
237272
222
× ＝，在△
ABC
中，
BC
＝(202)＋10－2×202×10×＝340 ，所以
BC
＝
251010
285
285，该货船的船速为＝485 海里小时．
1
2
5.如图所示，客轮以速度2
v
由
A至
B
再到
C
匀速航行，货轮从
AC
的
中点D
出发，以速度
v
沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知
AB
⊥
BC
，
且
AB
＝
BC
＝50 n mile，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距
C
点
- 29 -

________n mile(结果精确到小数点后一位)．
解析：由题易 知两船相遇之处
M
位于
BC
上，如图，设|
MC
|＝
d
，
100±
dd
＋?252?±2·
d
·252cos 45°
则＝(
M
位于
BC
延长
2
vv
线上取“＋”，< br>M
位于
BC
上取“－”)，
所以(100±
d
)＝ 4[
d
＋(252)±50
d
]，即3
d
＝100－5 000，所以
d
＝
40.8(n mile)．
答案：40.8
6．甲船在
A
处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的
B
处，两船相距< br>a
n mile，乙
船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿____ ____方向行驶才能追上乙船；
追上时甲船行驶了________n mile.
解析： 如图所示，设在
C
处甲船追上乙船，乙船到
C
处用的时间为
2222 22
22
5 000
，即
d
≈
3
t
，乙船 的速度为
v
，则
BC
＝
tv
，
AC
＝3< br>tv
，又
B
＝120°，则由正弦定
理
BC
sin∠
CAB
＝
131
，得＝，?sin∠
CAB
＝，
sin
B
sin∠
CAB
sin 120°2
AC
?∠
CAB
＝30°，?甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠
ACB
＝1 80°
－120°－30°＝30°，?
BC
＝
AB
＝
a< br> n mile，?
AC
＝
AB
2
＋
BC
2
－2
AB
·
BC
cos 120°
＝
a
2
＋
a
2
－2
a
2
·
?
－?
＝3
a
(n mile)
3
a

?
1
?
?
2
?
答案：北偏东30°
7. 如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点
A
处
发现桃树顶端点
C
的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点
B
处发现桃树顶端点
C
的仰角大小为75°.
(1)求
BC
的长；
(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点
C
离地面的高度(精确到0.01 m，其中3≈
1.732)．
解：(1)在△
ABC
中，∠
CAB
＝45°，∠
DBC
＝75°，
则∠
ACB
＝75°－45°＝30°，
AB
＝4，
BC
4
由正弦定理得＝，
sin 45°sin 30°
解得
BC
＝42(m)．即
BC
的长为42 m.
(2)在△
CBD
中，∠
CDB
＝90°，
BC
＝42，
- 30 -

所以
DC
＝42sin 75°.
因为sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝
则
DC
＝2＋23.
所以
CE
＝
ED
＋
DC
＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464
≈7.16(m)．
即这棵桃树顶端点
C
离地面的高度为7.16 m.

8.在某次地震时，震中
A
(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方< br>向的城市
B
，
C
，
D
.已知
B
，< br>C
两市相距20 km，
C
，
D
相距34 km，
C
市在
B
，
6＋2
，
4
D
两市之间，如图所示．某时刻
C
市感到地表震动，8 s后
B
市感到地表
震动，20 s后
D
市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中
A< br>到
B
，
C
，
D
三市的距离．
解：在△ABC
中，由题意
AB
－
AC
＝1.5×8＝12(km)．在 △
ACD
中，由题意
AD
－
AC
＝1.5
×20＝ 30(km)．
设
AC
＝
x
km，则
AB
＝( 12＋
x
)km，
AD
＝(30＋
x
)km.在
x
2
＋400－?12＋
x
?
2
256－24
x< br>32－3
x
△
ABC
中，cos∠
ACB
＝＝＝.
2×20×
x
40
x
5
x
x
2
＋ 1 156－?30＋
x
?
2
256－60
x
64－15< br>x
在△
ACD
中，cos∠
ACD
＝＝＝.
68< br>x
68
x
17
x
≧
B
，
C
，
D
在一条直线上，?
64－15
x
32－3
x
6 4－15
x
3
x
－32
＝－，即＝.
17
x5
x
175
48132258132
解得
x
＝.?AB
＝ km，
AD
＝ km.即震中
A
到
B
，
C
，
D
三市的距离分别为 km，
7777
48258
km， km.
77
第二课时 三角形中的几何计算

预习课本P16～18，思考并完成以下问题
(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？



- 31 -

(2)已知三角形的面积如何求其他量？



[新知初探]

三角形的面积公式
1
(1)< br>S
＝
a
·
h
a
(
h
a
表示
a
边上的高)．
2
111
(2)
S
＝
ab
sin
C
＝
bc
sin
A
＝
ac
sin
B
.
222
11
[点睛] 三角形的面积公式
S
＝
ab
sin
C
与原来的面积公式< br>S
＝
a
·
h
(
h
为
a
边上 的高)
22
的关系为：
h
＝
b
sin
C
，实质上
b
sin
C
就是△
ABC
中
a
边上的高．
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)公式
S
＝
ab
sin
C
适合求任意三角形的面积( )
2
(2)三角形中已知三边无法求其面积( )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( )
1
解析：(1)正确，
S
＝
ab
sin
C
适合求任意三角形的面积．
2
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其
他边和角，再 求面积．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．在△
ABC
中，已知
a
＝2，
b
＝3，
C
＝120°，则
S
△
ABC
＝( )
A.
3

2
33
B.
2
D．3 C.3
11333
解析：选B
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝×2×3×＝.
2222
3
3．已知△
ABC
的面积为，且
b
＝2，
c
＝3，则
A
的大小为( )
2
A．60°或120°
C．120°
B．60°
D．30°或150°
- 32 -

1
解析：选A 由
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
得
2
31
＝×2×3×sin
A
，
22
所以sin
A
＝
3
，
2
故
A
＝60°或120°，故选A.
4．等腰△
ABC
中，顶角
A
＝30°，腰长
AB
＝1，则底边
BC
＝________.
解析：易知∠
B
＝∠
C
＝75°，
BC
1
由正弦定理知：＝，
sin 30°sin 75°
?
BC
＝
答案：
6－2
.
2
6－2

2


三角形面积的计算

[典例] 已知△
ABC
中，
B
＝30°，
AB
＝ 23，
AC
＝2，求△
ABC
的面积．
[解] 由正弦定理，得sin
C
＝
≧
AB
>
AC
，
?
C
＝60°或
C
＝120°.
1
当
C
＝60°时，
A
＝90°，
S
△
ABC
＝
AB
·
AC
＝23；
2
1
当
C
＝120 °时，
A
＝30°，
S
△
ABC
＝
AB
·
AC
sin
A
＝3.
2
故△
ABC
的面积为23或3.





(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，
- 33 -
AB
sin
B
23sin 30°3
＝＝.
AC
22

这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．
111
(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是
S
△
ABC< br>＝
ab
sin
C
＝
bc
sin
A
＝
ac
sin
B
，
222
即给出三角 形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面
积利用上述公式也可求 得相应的边或角，应熟练应用此公式．

[活学活用]
△
ABC
中，若
a
，
b
，
c
的对角分别为
A
，
B
，
C
，且2
A
＝
B
＋
C
，
a
＝3，△
ABC
的面积
S
△
AB C
＝
3
，求边
b
的长和
B
的大小．
2< br>解：≧
A
＋
B
＋
C
＝180°，又2
A＝
B
＋
C
，?
A
＝60°.
133
≧
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
＝，sin
A
＝，
222
?
bc
＝2.①
1
2222
又由余弦定理 得3＝
b
＋
c
－2
bc
cos
A
＝
b
＋
c
－2×2×，
2
即
b
＋
c
＝5.②
解①②可得
b
＝1或2.
由正弦定理知＝，?sin
B
＝
sin
A
sin
B
1
当
b
＝1时，sin
B
＝，
B
＝30°；
2
当
b
＝2时，sin
B
＝1，
B
＝90°.
三角恒等式证明问题
22
abb
sin
Ab
＝.
a
2

[典例] 在△
ABC
中，求证：
证明：[法一 化角为边]
a
－
c
cos
B
sin
B
＝.
b
－
c
cos
A
sin
A
c
?
a
2
＋
c
2
－
b
2
?
a
－
2
ac
a
2
－
c
2
＋
b
2
2
b
左边＝＝·
2

222
c?
b
＋
c
－
a
?2
ab
－
c
2
＋
a
2
b
－
2
bc
b
2
R
sin
B
sin
B
＝＝＝＝右边，
a
2
R
sin
A
sin
A
其中
R
为△
ABC
外接圆的半径．
?
a
－
c
cos
B
sin
B
＝.
b
－
c
cos
A
sin
A
- 34 -

[法二 化边为角]
sin
A
－sin
C
cos
B
sin?
B
＋
C
?－sin
C
cos
B
左边＝＝
sin
B
－sin
C
cos
A
sin?
A
＋
C
?－sin
C
cos
A
sin
B
cos
C
sin
B
＝＝＝右边(cos
C
≠0)，
sin
A
cos
C
sin
A
?


1．三角恒等式证明的三个基本原则：
(1)统一边角关系．
(2)由繁推简．
(3)目标明确，等价转化．
2．三角恒等式证明的基本方法
(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．
(2)把边的关 系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒
等变形．
[活学活用]
a
－
c
cos
B
sin
B
＝.
b
－
c
cos
A
sin A
a
2
－
b
2
sin?
A
－
B
?
在△
ABC
中，求证：
2
＝.
c
sin
C
sin
A
cos
B
－cos
A
sin
B
证明：右边＝
sin
C
sin
A
sin
B
＝·cos
B
－·cos
A

sin
C
sin
C
aa
2
＋
c
2
－
b
2
bb2
＋
c
2
－
a
2
＝·－·
c
2
acc
2
bc
a
2
＋
c
2
－
b
2
b
2
＋
c
2
－
a
2
＝－
22
2
c
2
c
a
2
－b
2
＝
2

c
＝左边，
a
2
－
b
2
sin?
A
－
B
?
所以
2
＝.
c
sin
C
与三角形有关的

综合问题

题点一：与三角形面积有关的综合问题
- 35 -

1．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边 分别为
a
，
b
，
c
.已知3cos(
B
－
C
)－1＝6cos
B
cos
C
.
(1)求cos
A
；
(2)若
a
＝3，△
AB C
的面积为22，求
b
，
c
.
解：(1)由3cos(
B
－
C
)－1＝6cos
B
cos
C
，
得3(cos
B
cos
C
－sin
B
sin
C
)＝－1，
1
即cos(
B
＋
C
)＝－，
3
1
从而cos
A
＝－cos(
B
＋
C
)＝.
3
122
(2)由于0<
A
<π，cos
A
＝，所以sin
A
＝.
33
1
又
S
△
ABC
＝22，即
bc
sin
A
＝22，解得
bc
＝6.
2
由余弦定理
a＝
b
＋
c
－2
bc
cos
A
，得
b
＋
c
＝13，
?
?
b c
＝6，
解方程组
?
22
?
b
＋
c
＝13，
?
22222

?
?
b
＝2，
得
?
?
c
＝3
?

?
?
b
＝3，
或
?
?
c
＝2.
?


题点二：三角形中的范围问题
2．在△
ABC
中，
B
＝3
A
，求的取值范围．
解：由正弦定理，得
b
a
b
sin
B
sin 3
A
sin?
A
＋2
A
?
＝＝＝
a
sin
A
sin
A
sin
A
sin
A
cos 2
A
＋cos
A
sin 2
A
＝
sin
A
＝cos 2
A
＋2cos
A
＝4cos
A
－1.
≧
A
＋
B
＋
C
＝π，
B
＝3
A
， ?
A
＋
B
＝4
A
<π，
?0<
A
<
π2
，?A
<1，
42
2
22
?1<4cos
A
－1<3，?∈(1,3)．
故的取值范围为(1,3)．
题点三：三角形中的最值问题
3．在△
AB C
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a< br>，
b
，
c
，设
S
为△
ABC
的面积 ，满足
S
＝
(
a
＋
b
－
c
)．
(1)求角
C
的大小；
- 36 -
222
b
a
b
a
3
4

(2)求sin
A
＋sin
B
的最大值．
解：(1)由题意可知
13
ab
sin
C
＝×2
ab
cos
C
.
24
所以tan
C
＝3.
π
因为0<
C
<π，所以
C
＝.
3
π
??
(2)由(1)知sin
A
＋sin
B
＝sin
A
＋sin
?
π－
A
－
?

3
??
?
2π
?
＝sin
A
＋sin
?
－
A
?

?
3
?
＝sin
A
＋
31
cos
A
＋sin
A

22
2π
??
π
??
＝3sin
?
A
＋
?
≤3
?
0<< br>A
<
?
.
63
????
当
A
＝< br>π
时，即△
ABC
为等边三角形时取等号，
3
所以sin
A
＋sin
B
的最大值为3.
题点四：多边形面积问题
4．已知圆内接四边形
ABCD
的边长
AB
＝2，
BC
＝ 6，
CD
＝
DA
＝4，求四边形
ABCD
的面积
S
.
11
解：如图，连接
BD
，则
S
＝
S
△
ABD
＋
S
△
CBD
＝
AB
·
AD
sin
A
＋
BC
·
CD
sin
C
.
22
≧
A
＋
C
＝180°，?sin
A
＝sin
C
，
1
?
S
＝sin < br>A
(
AB
·
AD
＋
BC
·
CD)＝16sin
A
.
2
在△
ABD
中，由余弦定理得
BD
2
＝
AB
2
＋
AD
2
－2
AB
·
AD
cos
A
＝20－16cos
A
，
在△
CDB
中，由余弦定理得
BD
2
＝
CD2
＋
BC
2
－2
CD
·
BC
cos
C
＝52－48cos
C
，
?20－16cos
A
＝52－48cos
C
.
1
又cos
C
＝－cos
A
，?cos
A
＝－，?
A
＝120°，
2
?
S
＝16sin
A
＝83.

- 37 -

(1)解决此类问题的关键是根据题意画出图形， 将图形中的已知条件与未知量之间的关
系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获解． < br>(2)三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等几个问题，用正、余弦定理作为解题
的工具进 行转化求解．在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识．
(3)解三角形时， 角的取值范围至关重要．角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖
掘很容易出错．

层级一 学业水平达标
1．在△
ABC
中，
A
＝60°，
AB
＝1，
AC
＝2，则
S
△
ABC< br>的值为( )
1
A.
2
C.3
B.
3

2
D．23
13
解析：选B
S
△
ABC
＝
AB
·
AC
·sin
A
＝.
22
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )
7
A．－
8
8
C．－
7
7
B.
8
8
D.
7
解析：选B 设等腰三角形的底边长为
a
，顶角为
θ
，则腰长为2
a
，由余弦定理得，cos
4
a
＋4
a
－
a
7
θ
＝＝. < br>2
8
a
8
1
222
3．在△
ABC
中，已知面积
S
＝(
a
＋
b
－
c
)，则角
C
的大小为( )
4
A．135°
C．60°
B．45°
D．120°
222
1
2
1
22
解析：选B ≧
S
＝(
a
＋
b
－
c
)＝
ab
sin
C
，由余弦定理得：sin
C
＝cos
C
，?tan
C
42
＝1.又0°<
C
<180°，
?
C
＝45°.
1sin
C
15
4．在△
ABC
中，若cos
B
＝，＝2，且
S
△
ABC
＝，则
b
＝( )
4sin
A
4
A．4 B．3
- 38 -

C．2 D．1
1
222222
解析：选C 依题意得 ，
c
＝2
a
，
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝
a
＋(2
a
)－ 2×
a
×2
a
×＝4
a
，
4
所以
b
＝
c
＝2
a
.因为
B
∈(0，π)，所以sin
B
＝1－cos
B
＝
×
b
×
1515＝，所以
b
＝2，选C.
44
2
1511
b
，又
S
△
ABC
＝
ac
sin
B
＝×< br>4222
5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三 角形
的面积为( )
A．403
C．402
B．203
D．202
解析：选A 设另两边长为8
x,
5
x
，
64
x
＋25
x
－14
则cos 60°＝，解得
x
＝2或
x
＝－2(舍去)．
2
80
x
故两边长分别为16与10，
1
所以三角形的面积是×16×10×sin 60°＝403.
2
16．在△
ABC
中，
a
＝32，
b
＝23，cos
C
＝，则△
ABC
的面积为________．
3
122
解析：≧cos
C
＝，0<
C
<π，?sin
C
＝，
331122
?
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝×32×23×＝43.
223
答案：43
7.如图，在△
ABC
中，已知
B
＝45°，
D
是
BC
边 上一点，
AD
＝5，
222
AC
＝7，
DC
＝3， 则
AB
＝________.
解析：在△
ADC
中，
A C
2
＋
DC
2
－
AD
2
7
2＋3
2
－5
2
11
cos
C
＝＝＝. 2·
AC
·
DC
2×7×314
又0°<
C
< 180°，?sin
C
＝
53
.
14
在△
ABC
中，＝，
sin
B
sin
C
?
AB
＝
答案：
sin
C
5356
·
AC
＝×2×7＝.
sin
B
142
56

2
- 39 -
ACAB

1
8．△
ABC
的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为________．
3
1
解析：不妨设
b
＝2，
c
＝3，cos
A
＝，
3
则
a
＝
b
＋
c
－2
bc
·cos
A
＝9，?
a
＝3.
22
2
又≧sin
A
＝ 1－cos
A
＝，
3
?外接圆半径为
R
＝＝
2sin
A
222a
3
2·
22
3
＝
92
.
8
答案：
92

8
2222
9．在△
ABC
中，求证：
b
cos 2
A
－
a
cos 2
B
＝
b
－
a
.
证明：左边＝
b
(1－2sin
A
)－
a
(1－2sin
B
)＝
b
－
a
－2(
b
sin
A
－
a
s in
B
)，
由正弦定理＝，得
b
sin
A
＝
a
sin
B
，
sin
A
sin
B
?
b
sin
A
－
a
sin
B
＝0，?左边＝
b
－
a
＝右边，
?
b
cos 2
A
－
a
cos 2
B
＝
b
－
a
.
10.如图所示，在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
＝5，
AC
＝9，∠
BCA
＝30°，∠
ADB
＝45°，求
BD
的长．
解：在△
ABC
中，
AB
＝5，
AC＝9，∠
BCA
＝30°，由正弦定理，得
2222
222222
2222222222
ab
AB
sin∠
BCA
＝，
s in∠
ABC
AC
?sin∠
ABC
＝
AC
·si n∠
BCA
9×sin 30°9
＝＝.
AB
510
≧< br>AD
∥
BC
，?∠
BAD
＝180°－∠
ABC，
于是sin∠
BAD
＝sin∠
ABC
＝
9
.
10
9
，∠
ADB
＝45°，
10
在△
ABD
中，
AB
＝5，sin∠
BAD
＝
由正弦定理，得＝ ，
sin∠
ADB
sin∠
BAD
解得
BD
＝< br>9292
，故
BD
的长为.
22
层级二 应试能力达标 < br>1．△
ABC
的周长为20，面积为103，
A
＝60°，则
BC
的边长等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
ABBD
- 40 -

解析：选C 如图，由题意得
?
?
a
＋
b
＋
c
＝20，
?
12
bc
sin 60°＝103，

?
?
a
2
＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
cos 60°，

则
bc
＝40，
a
2
＝
b< br>2
＋
c
2
－
bc
＝(
b
＋
c
)
2
－3
bc
＝(20－
a
)
2
－3×40，
?
a
＝7.
2．在△
ABC
中，已知< br>b
2
－
bc
－2
c
2
＝0，且
a< br>＝6，cos
A
＝
7
8
，则△
ABC
的面积等于(
A.
15
2
B.15 C．2 D．3
解析：选A 因为
b
2
－
bc
－2
c
2
＝0，
所以(
b
－2
c
)(
b
＋
c
)＝0，所 以
b
＝2
c
.
由
a
2
＝
b2
＋
c
2
－2
bc
cos
A
，解得
c
＝2，
b
＝4，
因为cos
A
＝
7
8
，所以sin
A
＝
15
8
，
所以
S
111515△
ABC
＝
2
bc
sin
A
＝
2
×4×2×
8
＝
2
.
3 ．在△
ABC
中，若
b
＝2，
A
＝120°，其面积
S
＝3，则△
ABC
外接圆的半径为(
A.3 B．2 C．23 D．4
解析：选B ≧
S
＝
1
2
bc
sin
A
，?3＝
1
2
×2
c
sin 120°， ?
c
＝2，?
a
＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
cos
A

＝ 4＋4－2×2×2×
?
?
1
?
－
2
?
?
?
＝23，
设△
ABC
外接圆的半径为
R
，?2
R
＝
a
23
sin
A
＝
3
＝4，
2
?
R
＝2.
4．在△
ABC
中，sin A
＝
3
4
，
a
＝10，则边长
c
的取 值范围是( )
A.
?
?
15
?
2
，＋≦?
?
?
B．(10，＋≦)
C．(0,10) D .
?
?
40
?
0，
3
?
?
?
- 41 -
)
)