市盈率公式计算从高斯公式到高斯定理

从高斯公式到高斯定理
摘要:高斯定理是静电学的一个重要定理。文章利用高等数 学中高斯公式来
推导高斯定理,比较自然地引入静电场高斯定理,从而使学生对高斯定理有更深的
理解。

关键词:高斯公式;高斯定理;叠加原理

中图分类号:O441.1 文献标识码:B 文章编号:1000-8136(2010)30-0012-02
俗话说,“数理不分家”,主要是 说数学中的理论来源于物理实践,反过来又可
以应用于物理。理论上,大学物理教师的主要任务是提出物 理概念,建立物理模型,
至于模型计算如求导积分等只要交给学生利用数学工具去解决就可以了。

数学中的高斯公式是曲面积分的一个重要公式。设空间区域V由分片光滑
的双侧封闭 曲面S围成。若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数,则:

其中S取外侧,c osα,cosβ,cosγ是Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。(1)式
称为高斯公式。 [1]高斯公式表明:高斯面上的第二型曲面积分可以转化为所围立
体内的三重积分。

而高斯定理是静电学中的一个重要定理。[2]在静电场中,高斯定理的数学表
达式为:

(2)式中 表示沿任一闭合曲面Σ的积分, 为闭合曲

面S所包围的所有电荷的电量的代数和。高斯定理表明:通过任一闭合曲面
的电场强度 通量等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和除以 ,与闭合面外
的电荷无关。

教科书上一般都是利用点电荷的电场线的特点和位于球面球心的点电荷在
球面上产生的电通量这个特例及 电场线的特点和电场强度的叠加原理来证明高
斯定理,[3]这种证明虽然较为简单,但学生较难理解。 下面利用高斯公式推导高斯
定理:

见图1,闭合曲面为球面S(方程x2+y2+ z2=R2),其所围的立体为V,单位正电荷
q放在球心。点电荷在球面上

的电场强度为 ,其中 是由点电荷q指向球面

的单位矢量。由于球面指向外侧的法向量为 =(2x,2y,2z)

=2(x,y,z),于是单位矢量 ,从而


。又d =(dydz,dzdx,

dxdy),故通过高斯面的电通量可写成:

根据高斯公式,有:

于是通过高斯面的电通量: 。

若包含 点电荷的闭合曲面为任意的,由于电场线不会在无电荷的地方中断,因
此,通过任意闭合曲面的电通量与 上式相等,若高斯面内包含多个电荷,根据矢量
叠加原理,就可以得

出高斯定理 。
图1高斯面上电场强度示意图

高斯公式和高斯定理虽然表面形式不同,但从高 斯公式推导出高斯定理,不仅
使我们在电磁学中较容易地引进高斯定理,而且使学生对高斯定理有比较准 确
地、深刻地理解,更重要的是对学生综合运用所学知识的能力的一个训练,收到较
好的效果。

参考文献

1 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2005

2 施传柱.关于高斯定律应用的探讨[J].曲靖师专学报,1996(6):20～21

3 马文蔚.物理学中册(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008
From Gauss Formula to Gauss Theorem

Chen Xiufang

Abstract:Gauss theorem is an important theorem of electrostatic. In this thesis,
Gauss formula in the advanced mathematics is adopted to derive Gauss theorem of
electrostatic. In this way Gauss theorem is introduced naturally and is understood
easily by students.

Key words:Gauss formula; Gauss theorem; superposition principle