高中数学回归课本(极限)

回归课本(十三)

极限

一．考试内容：


教学归纳法.数学归纳法应用.
数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
二．考试要求：
(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
三．基础知识:
1.特殊数列的极限
?
0|q|?1
（1）
lim
n< br>?
n??
q?
?
1q?1
.
?
?
不存在|q|?1或q??1
?
0(k?t)
（2）
lim
a
k
?a
k?1
?
k
n
k?1
n?
??a
0
n??
bn
t
?
?
?
a
t
(k?t)
.
t
?b
t?1
n
t?1
?
?
?b
0
?
b
k
?
?
不存在 (k?t)
（3）
S?lim
a
1
?
1?q
n?
a
1
n??
1?q
?
1?q
（
S< br>无穷等比数列
?
aq
n?1
1
?
(
|q|?1
)的
和）
.
2. 函数的极限定理
xlim
?x
f(x)?a
?
x
lim
0
?x< br>0
?
f(x)?
x
lim
?x
0
?
f(x)?a
.
3.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0
的附近满足：
（1）
g(x)?f(x)?h(x)
;
（2）
lim
x?x
g(x)?a,limh(x)?a
（常数）,
0
x?x
0
则
lim
x?x
f(x)?a
.本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然成立.
0
4.几个常用极限 < br>（1）
1
n
lim
??
n
?0
，
l im
n??
a
n
?0
（
|a|?1
）；
（2）
lim
x?x
x?x
11
0
0
，
l im
x?x
?
.
0
xx
0
5.两个重要的极限
（1）
lim
sinx
x?0
x
?1
；
（2）
lim
?
1
?
x
x??
?
?
1?
x
?
?
?e
(e=2.718281845…).
6.函数极限的四则运算法则
若
lim
x?x
f(x)?a，
limg(x)?b
，则
0
x?x
0
(1)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
；
x?x
0
(2)x
lim
?x
?
x
?
?g
?
x
?
?
0
?
f
?
?
?a?b
;
(3)
lim
f
?
x
?
x?x
0
g
?
x
?
?
a
b
?
b?0
?
.
7.数列极限的四则运算法则
若
lim
n??
a
n?a,
n
lim
??
b
n
?b
，则
(1)
lim
n??
?
a
n
?b
n
??a?b
；
(2)
n
lim
??
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
(3)
lim
a
n
n??
b
?
a
?
b?0
?

n
b
(4)
n
lim
??
?
c?a
n
?
?
n
lim
??
c?
n
lim??
a
n
?c?a
( c是常数).

四．基本方法和数学思想
1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步 骤是：（1）验证命题对于第
一个自然数n＝n
0
(k≥n
0
)时 成立；(2)假设n=k时成立，从而证明当n=k+1时
命题也成立，（3）得出结论。数学归纳法是 一种完全归纳法，其中两步在推
理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不 可。
五．高考题回顾
一.数列的极限
3
n?1
?2
n
1.
计算：
lim
n
=_________。
n??
3?2
n?1
*
第二步证明时要一凑假设，二凑结论；
2. 数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则
运算法则， 注意其适用条件：一是数列｛a
n
｝{b
n
}的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或
积），再求极限；（ 3）常用的几个数列极限：
lim
n??
C?C
（C为常数）；
li m
1
n??
n
?0
，
limq
n
n??< br>?0
（
a
<1,q为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式
S ?lim
n??
S
n
?
a
1
1?q
（0<
q?1
）;
3.函数的极限：
（1）当x趋向于无穷大时，函数的极限为
a
?
n
lim
???
f(x)?
n
lim
???
f(x)?a

（2）当
x?x
0
时函数 的极限为a
?
x
lim
?x
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
:
0
x?x
0
（3）掌握函数极限的四则运算法则；
4.函数的连续 性：（1）如果对函数f(x)在点x=x
0
处及其附近有定义，而且
还有
l imf(x)?f(x
0
)
，就说函数f(x)在点x
0
处连续；（ 2）若f(x)与g(x)
x?x
0
都在点x
0
处连续，则f(x) ±g(x),f(x)g(x),
f(x)
g(x)
(g(x)≠0)也在点x
0
处连续；
（3）若u(x)在点x
0
处连续，且f(u)在u
0
=u(x
0
)处连续，则复合函数f[u(x)]
在点x
0
处也连续；
5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,
基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限
次四则运算和复合后所得到 的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点
处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x
0
处有极限，那么
lim
x?x
f(x)?f(x
0
)
；
0

2. (湖南卷）已知数列{log
2
(a< br>n
－1)}（n∈N）为等差数列，且a
1
＝3，a
2
＝5，
则
lim
111
n??
(
a
?
a
????
)=
2
?a
1
a
3
?
2a
n?1
?a
n
A．2 B．
3
2
C．1 D．
1
2

2n?2
3.
（山东）
lim
C
n
?2C
n
n??
(n?1)
2
?_
3
2
_________

二.函数的极限
4. （ 江西卷
若lim
f(x?1)
x?1
x?1
?1,则lim
x?1
x?1
f(2?2x)
?

A．－1 B．1 C．－
1
2
D．
1
2

5.
(辽宁卷 )极限
lim
x?x
f(x)
存在是函数
f(x)
在点x?x
0
0
处连续的
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
6.
（全国卷Ⅲ）
lim
?
x?1
?
1
?
x
2
?3x?2
?
1
?
x
2
?4x?3
??
?
( )
A
?
1
2
B
111
2
C
?
6
D
6

7.
（湖北卷）若
lim
a
x?1(
1?x
?
b
1?x
2
)?1
，则常数
a,b
的值为
A．
a??2,b?4
B．
a?2,b?? 4
C．
a??2,b??4
D．
a?2,b?4

三、无穷递缩等比数列各项和：
8（04年上海卷.4）设等比数列
{a
n
}(n?N)
的公比
q??
1
2
，且

lim
n??
(aa???a
8
1
?
3
?a
5
??
2n?1
)
?
3
，则a
1
?
.
P
1
P
2
P
3
P
4
9.（04年重庆卷.理15）如图P
1是一块半径为1的半圆形纸板，在P
1
的左下
端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形P
2
，然后依次剪去一个更小半圆（其
直径为前一个被 剪掉半圆的半径）得圆形P
3
、P
4
、…..P
n
…,记纸 板P
n
的面积
为
S
n
，则
lim
x??< br>S
n
?___
.
六.课本中习题归纳
一 数学归纳法及其应用
1(1)
1?3?5?????(2n?1)
= ;
(2)
1?2?2
2
?????2
n?1
= ;
(3)
1
2
?2
2
?3
2
???? ?n
2
=
(4)
1?4?2?7?3?10?????n(3n?1)
=
(5)
1
3
?2
3
?3
3
?????n
3
=
(6)
1
2
?3
2< br>?5
2
?????(2n?1)
2
=
(7)
1
1?3
?
1
3?5
?
1
5?7
?????
1
(2n?1)(2n?1)
=
(8)
1?2?3?2?3?4?3?4?5?????n(n?1)(n?2)
= .
2下列说法不正确的是(
n
为正整数)
A,
x
2n
?y
2n
能被
x?y
整除. B,
x
n
?y
n
能被
x?y
整除.
C,
n
3
?5n
能被6整除. D,
n
3< br>?(n?1)
3
?(n?2)
3
不一定能被9整除.
3平面 内有
n
(
n?2
)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,设交 点
的个数为
f(n)
.
(I)试求
f(2)
,
f (3)
,
f(4)
的值;(II)猜测
f(n)
的值,并给予证明.






4平面内有
n
(< br>n?2
)个圆,其中每两个圆都相交两点,每三个圆都无公共点,设交
点的个数为
f(n)
.
(I)试求
f(2)
,
f(3)
,
f(4)
的值;(II)猜测
f(n)
的值,并给予证明.




二 极限及其运算
5n?1
(?1)
n
5( 1)
lim(7
n
n??
?
10
n
)
= ;(2)
lim
n??
n
= ;(3)
lim
n??
(n?1)
2
=
(4)
x
lim
1
x
1
x
x
2
? 1
??
?
(
2
)
= ;(5)
lim(
x?2
2
)
= ;(6)
lim
x?1
2x
2
?x?1
= ;
(7)
lim(
n
2
?4
n??
n?1
?n)
= ;(8)
lim
3
n
?2
n
n??
3
n< br>?2
n
= ;(9)
lim
x?1
x?1
x?1
=
( 10)
x
lim
2
111
??
?
(x?1?x)< br>= (11)
lim[
n??
n(1?
2
)(1?< br>3
)???(1?
n
)]
= .
?
6 设函数
f(x)?
?
x?1(x?0)
?
0(x?0)
,则
f(x)
=
limf(x)
=
?x
lim
?0
?
x?0
?
?
x?1(x?0)
lim
x?0
f(x)
= .
lim
1
n??
1?a
n
= lim
a
n
7已知
a?0
,则
n??
1?a< br>n
= .
8下列说法正确的是
A,若
f(x)?
1
x
,则
lim
x??
f(x)?0< br>; B若
f(x)?x?1
,则
lim
x?1
f(x)?0
;
C若
f(x)?
x
2
?2x
?
?
x(x?2
,则
lim
x??2
f(x)??2
;D,若
f (x)?
?
x?0)
?
,则
lim
?
x?1(x? 0)
x?0
f(x)?0
.

9下列函数在
x?1
处没有极限的是
A,
f(x)?
x
3
?x
2
B,
g(x)?2x
3
x?1
?1

C,
h( x)?
?
?
2x(x?1)
?
x?1(x?1)
?
0(x?1)
D,
v(x)?
?
?
?x?1(x?1)

10在求
lim
1?2?3?????n
n??
n
2
时,甲,乙两位同学得到如下两种不同的解法:
(甲) 解:
lim
1?2?3?????n1
n??
n
2
(乙)
lim
?2?3?????n
n??
n
2

1
n(n?
=
lim(
121n
1)
2
?
2
?
2
?????
2
)
=
lim
2
n??
nnnn
n??
n
2

=0+0+0+
???
+0=0 =
lim
n?11
n??
2n
=
2

我认为 的解法是错误的,错因
是 .
11在半径为R的圆内接正
n
边形中,
r
n
是边心距,
p
n
是周长,
S
n
是面积
(n=3,4,
???
).
(I)试求
S
n
与
r
n
,
p
n
之间的关系;(II)求
lim
n??
S
n< br>.




12从
?BAC
的边上一点< br>B
1
作
B
1
C
1
?AC
于
C
1
,从
C
1
再作
C
1
B
2?AB
于点
B
2
,从
B
2
再
作< br>B
2
C
2
?AC
于点
C
2
,这样无 限进行下去
???
.已知
B
1
C
1
=5,
C
1
B
2
=4.
(I)试求
B
2
C
2
的长; (II)求
lim(
n??
B
1
C
1
?C
1
B
2
?? ???B
n
C
n
)
.









三 函数的连续性
13如图,在A, B,C,D这四个图象所表示的函数中,在点
x?a
处没有定义但极限
存在的是 ;在点
x?a
处有定义,有极限,但不连续的
是 ;
lim
x?a
f(x)?f(a)
的是 ;在点
x?a
处没有极限的是 .









14要使函数
f(x)?
x< br>2
?x?6
x?3
在点
x??3
处连续,需添加的条件是 .
?
sinx?a(x?0)
15设函数
f(x)?
?
?
x
2
?1(0?x?1)
在定义区间内连续,则
a?b
= .
?
?
b(x?1)