关于高中数学选修教材4-1,4-4教材分析

关于高中数学选修教材4-1，4-4教材分析

一、宏观上对教学内容的定位
1.
选修系列4课程的作用
课标描述系 列4所涉及的内容都是基础性的数学内容，
对于系列4的学习，应提倡多样化的学习方式，
可以 是教师讲授，也可以是在教师指导下学生的自主探索和合作交流，还应鼓励学生独立阅读、写专题
总结报 告等，力求使学生切身体会“做数学”是学好数学的有效途径，独立思考是“做数学”的基础。”
2. 高考知识点要求
二、教学方法上的一些体会和感受
(一)、关于4-1《几何证明选讲》的一点教学体会
首要任务：应该是培养学生的逻辑推理能力.
教学重点：概念与性质之间的逻辑关系的探究.
知识结构


载体和策略
加强课本习题挖掘，在问题中充分调动学 生的几何知识，感受方法的多样性和思想的一致性.


(1)关于相似三角形
关键词： 相似 对应成比例 思维训练
研究方法： 寓理于算 综合推理
案例1 P6相似三角形引发的对应边成比例的思考
一个
?ABC
三条 边分别为4,5,6，线段的
a
长为2，线段
b
长为3，现在要把线段
b
截成两段，使这
两段与线段
a
组成的三角形与相似，则线段
b< br>被截得的两端长分别是____和____,若线段
b
的长为 呢
2
案例2
BC?AC?CD
形式引发的思考:
(1)结论的得到需要满足什么条件
2
1. P4-4：在
?ABC
,
AB?AC
,以
B
为圆心,
BC
为半径画弧交< br>AC
于点
D
，求证：
BC?AC?CD

思考1：题中隐含的信息：
AB?BC
，若
AB?BC
呢

例： 在
?ABC
中，
AB?AC
，以
B
为圆心，
BC
为半径画弧，
交
CA
延长线于点
D
，求证：
BC
2
?AC?CD
.

观察条件和结论，你能想到什么均是由相似三角形的性质得到的结论，那么三角形要相似，你需要
添加什 么条件
如图，在
?ABC
中，点
D
在边
AC
上， 若
?DBC??A
，则有：
BC
2
?AC?CD
。
(2)你能从结论的形式想到什么射影定理
直角三角形中用锐角三角函数会简单些，当然锐 角三角比不过是相似直角三角形之的另一种表达形
式，这种表达形式更加精炼第表达了相似直角三角形的 性质。
（3）你还能从结论的形式联想到什么切割线定理

BC是圆O的一条切线，由于弦切角定理知：
?DBC=?A
,结论显然了。
2
（4）
?ABC
中，点
D
在边
AC
上，若有< br>BC?AC?CD
，那
BC
是
?ABD
的外接圆的过点
B
切线吗
案例3 内角平分线定理--- P7-例题：已知
AT
为
?ABC
角平分线,求证：
思路一：课本（关注角相等，利用平行线截线段成比例）
思路二：利用面积比
S?
BTAB
.
=
TCAC
11
absinC?ah

22
思路三：利用正弦定理（关注角相等）

(2)关于圆锥曲线
这一段内容主要是结合平行投影的知识利用平面斜截圆柱得到椭圆并类比此方案用平面截圆锥面得
各种 圆锥曲线，从而使学生对在解析几何中所研究的在概念上相对分散的圆锥曲线建立起动态的，统一
的概念 。可让学有余力的学生自学，但要为学生指明自学章节在整个教材中的地位、知识间内在关系及
自学可能 遇到的困难，可让学生适量完成相关学习报告。总之，更多地是以高考为教学动机和参照的。
(二)、关于4-4《坐标系和参数方程》的一点教学体会
课标描述
本专题是解析几何初 步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。掌握极坐标
和参数方程的基本概念，了解曲线 的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探
究数学问题的兴趣和能力。
个人理解：本专题分坐标系和参数方程两个部分。坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用
有序 实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自
然现象，需 要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标
系，对于有些几何图 形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的 方程，如学生熟悉的平抛运动。应该说参

数方程是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式 。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方
便，如摆线。对学生而言，学习参数方程有助于学生进 一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。
知识结构

教学建议
关于极坐标系中直线，圆等曲线极坐标方程的确定值得注意的方面
核心价值：即用一个数对表示点，进而通过代数计算研究点的运动轨迹。
（1）作为圆的极坐标方程的确立，点的极角的范围讨论是不能忽略的，只是在最后书写时省去。
其次，极坐标方程处理某些主从动点问题也是比较方便的。
P14-例2从极点做圆
ρ=
2
a
cos
θ
的弦，求各弦中点轨迹方程.
课本27页的阅读材料是关于螺线的内容，如果可能，是否可让学生利用课余时间通过对螺线的研读，
使学生感受无处不在的螺线，感悟来自生活的数学，鲜活的数学，可能需要提醒学生的是阿基米德螺线
和 对数螺线不是同一种螺线。
（2）关于直线参数方程值得注意的方面
直线参数方程其一般式 为
?
?
x?x
0
?st
?
x?x
0
?tcos
?
,
，而
?
，
?
为倾斜角，参数< br>（t为参数）（t为参数）
?
y?y
0
?mt
?
y? y
0
?tsin
?
,
t
具有鲜明的几何特征，有着更广泛的 应用。
例过点P(3,0)做一条直线，使它夹在两直线2x-y-2=0,x+y+3=0间的线段 AB，恰被点P平分，求此时直
线AB方程及AB线段长，若点P为线段AB的一个三等分点呢
（3）关于圆，椭圆，抛物线等参数方程值得注意的方面
圆，椭圆，双曲线的参数方程，我们 也可理解为是一种三角换元，只是双曲线的参数方程设计正
割，故不作为考核重点。
附参考题：
4-1几何证明选讲

1.( 2013年理11 )如图，< br>AB
为圆
O
的直径，
PA
为圆
O
的切线，< br>PB
与圆
O
相交于
D
，若
PA?3
，
PD:DB?9:16
，则
PD?
，
AB?
. , 4
2. ( 2012年理5 )如图. ∠ACB=90?，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( A )
A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD? ·EB=CD?
3 .( 2011年理5 )如图，
AD
，
AE
，
BC
分别与圆
O
切于点D
，
E
，
F
，延长
AF
与圆
O
交于另一
点
G
.给出下列三个结论：
①
AD?AE?AB?BC?CA
；
②
AF?AG?AD?AE
；
9
5

③△
AFB∽
△
ADG
.
其中正确结论的序号是( A )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
4. （20 10年理12）如图，⊙
O
的弦
ED
，
CB
的延长线交于点
A
.若
BD?AE
，
AB?4
，
BC?2
，
AD?3
，则
DE?
；
CE
?
.5，
27
.
A

C

5.（2015年广东理）如图1，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为， ，过圆心做的平行线，分别
交和于点和点，则

．

6.（ 2014海淀一模）如图，
AB
切圆
O
于
B
，
AB ?

O

B

3
，
AC?1
，则
AO
的长为_______．
7.（2014东城一模）如图，
AB
是圆
O
的直径，延长
AB至
C
，使
AB?2BC
，且
BC?2
，
CD< br>是圆
O
的切线，切点为
D
，连接
AD
，则
C D?
；
?DAB?
．

8.（2 014东城二模）如图所示，
PA
与圆
O
相切于
A
，直线< br>PO
交圆
O
于
B
，
C
两点，
A
AD?BC
，垂足为
D
，且
D
是
OC
的中点，若
PA?6
，则
PC?
．

B

·
O


D

C

P

9.（2014朝阳二模）如图，
AB
为圆
O
的直径，
AB?2
,过圆
O
上一点
M
作圆
O
的切线，
交
AB
的延长线于点
C
，过点
M
作< br>MD?AB
于点
D
，若
D
是
OB
中点，
则
AC?BC
=_____．

A

10.（ 2014西城二模）如图，
AB
和
CD
是圆
O
的两条弦，< br> AB
与
CD
相交于点
E
，且
CE?DE?4
，

AE:BE?4:1
，则
AE?
______；

AC
?
______.
BD
.
O

C D

E

B

o
?C?90，AB?5，BC?4，
RtABC
11.

.（2014石景山一模）已知△中， 以
BC
为直
径的圆交
AB< br>于
D
，则
BD
的长为（ ）
A．
4
B．
D

A
91216
C． D．
555
B
C
12.（2014昌平一模）如图，已知
eO
中 ，弦
BC?23
,
BD
为
eO
直径.

< br>过点
C
作
eO
的切线，交
BD
的延长线于点
A
，
?ABC?30?
.则
AD?
____ .
< br>13.（2014大兴一模）如图所示，点
A,B
是圆
O
上的两点，< br>?AOB?120
o
，点
D
是圆周上异于
A
，
B
的任
uuuruuruuur
uuuruuruuur
意一点，线段OD
与线段
AB
交于点
C
.若
OC?mOA?nOB< br>，则
m?n?
；若
OD?
?
OA?
?
OB
，
则
?
?
?
的取值范围是 ．
4-4参数方程和极坐标
π
??
1.（2015北京理科）在极坐标系中， 点
?
2
?
?
到直线
?
cos
?
? 3sin
?
?6
的距离为
3
??
??
．1
2.（2015年广东理科）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为

3.（15年广东文科）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的 极
坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 ．
4..（2015年江苏）已知圆C的极坐标方程为
?
2
?22
?
s in(
?
?
?
4
，求圆C的半径.
6

)?4?0，
5.（2010北京）极坐标方程（-1）
(
?
?π)?0（
≥
0）表示的图形是( C )
（A）两个 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
6.（20 11北京）在极坐标系中，圆
?
??2sin
?
的圆心的极坐标是（ B ）
（A）
(1,
?
)
（B）
(1,?)
（C）
(1,0)
（D）
(1,
?
)

22
?
7.（2012北京） 直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为___2___.
π
??
8.（2013 北京）在极坐标系中，点
?
2，
?
到直线
?
sin
?
?2
的距离等于 . 1
6
??
9. （2014北京）曲线
?
?
x??1?cos
?
（
?
为参数）的对称中心（ B ）
y?2?sin
?
?
A.
在直线
y?2x
上
B.
在直线
y??2x
上
C.
在直线
y?x?1
上
D.
在直线
y?x?1
上
10.（2013上海）在极坐标系中， 曲线
?
?cos
?
?1
与
?
cos
??1
的公共点到极点的距离__.
11.（2013江西）设曲线C的参数方程为：x=t，y=t

（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x
l

轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.
2?
12.（2012上海）如图,在极坐标系中,过点
M(2,0)
的直线
l
与极轴的夹角
?
O

若将
l
的极坐标方程写成
?
?f(
?
)
的形式,则
f(
?
)?_________ .
?
6
.
M


x

13. 2015.二模.3在极坐标系中，过点
(2,?)
且平行于极轴的直线的方程是（ D ）
（A）
?
cos
?
?3

（B）
?
cos
?
??3

（C）
?
sin
?
?1

（D）
?
sin
?
??1

π
6

?
x?1?t,
14. 2014海淀一模 已 知直线
l
的参数方程为
?
(
t
为参数)，则直线
l
的普通方程为（ ）
y??1?t
?
A.
x?y?2?0
B.
x?y?2?0
C.
x?y?0
D.
x?y?2?0

15.（2014海淀二模）在极坐标系中，圆
??2sin
?
的圆心到极轴的距离为（ ）
A．
1
B.
2
C.
3
D.
2

16.（2014海淀上期末）下列极坐标方程表示圆的是（ ）
A.
?
?1
B.
?
?
?
2
C.
?
sin
?
?1
D.
?
(sin
?
?cos
?
)?1

??
x?
?
17.（2014丰台二模）直线
l
1
:x? y?22?0
与直线
l
2
:
?
?
y?
?< br>?
2
t,
2
(t
为参数）的交点到原点
O
的 距离是
2
t
2
（A）1 （B）
2
（C）2 （D）2
2

18.（2014西城一模）在极坐标系 中，过点
(2,)
且与极轴平行的直线方程是（ ）
（A）
ρ?2

（B）
θ
?
π
2
?

2
?
4
（C）
ρcosθ?2

（D）
?
sin
?
=2

19.（2014东城一 模）在极坐标系中，点
(2,)
到直线
?
cos
?
?
?
sin
?
?1?0
的距离等于（ ）
（A）
32
2
（B）
2
（C） （D）
2

2
2
20.（2014东 城二模）若直线
?
则
a
的值为
?
x?1?t,
?
x?2?2cos
?
（
t
为参数）被圆
?
（
?
为参数）所截的弦长为
22
，
?
y?a?t
?
y?2?2sin
?
（A）
1
或
5
（B）
?1
或
5
（C）
1
或
?5
（D）
?1
或
?5

（
龚禹
）