最新高中数学回归课本(三角函数)

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回归课本(五)三角函数
一．考试内容：
角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.
函数
y?sin(
?
x?
?
)
的图像.正切函数的图像和性质.
已知三角函数值求角.
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
二．考试要求：
(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角 的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌
握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦 、余弦的诱导公式.了解周期函数与最
小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、
正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)
理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，
会用“五点法”
画正弦函数、余弦函数和 函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A, ,的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角
【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，
一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三
角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值
等为考查热点.
三．基础知识:
1．常见三角不等式
（1）若
x?(0,
?2
)
，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x? (0,
?
2
)
，则
1?sinx?cosx?2
.
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(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
c os
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
3.正弦、余弦的诱导公式
n
sin(
n
?
?
2
?
?
)?
?
?
(?1)
2
sin
?
,

(n为偶数)
?
n?1

?
(?1)
2
cos
?
,
(n为奇数)

?
n
(n为偶数)
2

cos(
n
?< br>2
?
?
)?
?
?
(?1)co
?
s ,
(n为奇数)
?
n?1

?
(?1)
2
si
?
n,
4.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
c os
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?< br>sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1tan
?
tan
?
.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?< br>)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin (
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a ,b)
的
象限决定,
tan
?
?
b
a
).
5.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2< br>?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
6. 三倍角公式

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sin3
?
?3s in
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(?
?
?
)sin(
?
33
?
?
).
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(
??
3
?
?
)co s(
3
?
?
)
.
3tan
?
?tan3
tan3
?
?
???
1?3tan
2
??tan
?
tan(
3
?
?
)tan(
3?
?
)
.
7.三角函数的周期公式
函数
y?si n(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?< br>x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常
数，且A≠0， ω＞0)的周期
T?
2
?
?
；函数
y?tan
?< br>(x?
?
，
)
x?k
?
?
?
?2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T ?
?
.
性质 y=sinx y=cosx y=tanx
图像的来源
及图像
定义域
值域
单调性及
递增递减区
间
周期性及
奇偶性
对称轴
对称中心
最值及指定
区间的最值
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简单三角方
程和不等式

8.正弦定理
ab
s inA
?
sinB
?
c
sinC
?2R
.
9.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
10.面积定理
（1）
S?
1
2
ah
11
a
?
2
bh
b
?
2
ch
c
（< br>h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
（2）
S?
1
2
absinC?
11
2
b csinA?
2
casinB
.
(3)
S?
1
? OAB
2
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
11.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
? C?
?
?(A?B)

?
C
2
?
?
2
?
A?B
2
?2C?2
?
?2(A?B)
.< br>

四．基本方法和数学思想
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；
2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；
4.熟知正弦、 余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三
角函数问题勿忘三内角和等于1800
，一般用正余弦定理实施边角互化；
5.正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
k
?
?
?
x?
2
?
?
(k?Z)
；对称
?
中心为
(
k
?
?
?
?
,0)(k?Z)
；类似可得余弦函数 型的对称轴和对称中心；

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6.（1）正弦平方差公式：sin2
A－sin
2
B=sin(A+B)sin(A－B);（2）三角形的内切圆半径r=
2S
a
?ABC
；（3）三角形的外接圆直径2R=
?
b
sinB
?
c
sinC
;
a?b?c
sinA

五．高考题回顾
1.（天津卷）函数
y?Asin(?x? ?)(??0,??
?
2
,x?R)
的部分
图象如图所示，则函数表 达式为（ ）
（A）
y??4sin(
?
8
x?
?4
)

（B）
y?4sin(
?
8
x??
4
)
（C）
y??4sin(
?
8
x??
4
)
（D）
y?4sin(
?
8
x?
?
4
)

2.
（江西卷）设函数
f(x)?sin3x?|sin3x|,则f(x)
为
A．周期函数，最小正周期为
2
?
3
B．周期函数，最小正周期为
?
3

C．周期函数，数小正周期为
2
?
D．非周期函数
3.
（04年天津卷.理9）函数
y?2sin(
?
6
?2x)(x?[0,?
])
为增函数的区间是
A.
[0,
?
3
]
B.
[
?
12
,
7
?
12
]
C.
[
?
3
,
5
?
6
]
D.
[
5
?
6
,
?
]

4.
（山东卷）已知函数
y?sin(x?
?
12
)co s(x?
?
12
)
，则下列判断正确的是
（A）此函数的最 小正周期为
2?
，其图象的一个对称中心是
(
?
12
,0)

（B）此函数的最小正周期为
?
，其图象的一个对称中心是
(
?
12
,0)

（C）此函数的最小正周期为
2?，其图象的一个对称中心是
(
?
6
,0)

（D） 此函数的最小正周期为
?
，其图象的一个对称中心是
(
?
6
,0)

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5.
(天津卷）要得到函数
y?2cosx< br>的图象，只需将函数
y?2sin(2x?
?
4
)
的图象上所 有的点的
(A)横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变）,再向左平行移 动
?
8
个单位长度
(B)横坐标缩短到原来的
1
?
2
倍（纵坐标不变），再向右平行移动
4
个单位长度
(C)横坐标伸长到 原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动
?
4
个单位长度
(D)横坐标 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动
?
8
个单位长度
6.
.（江西卷）在△OAB中，O为坐标原点，
A(1,cos
?
),B(sin
?
,1),
?
?(0,
?
2
]< br>，
则当△OAB的面积达最大值时，
?
?
A．
??
? ?
6
B．
4
C．
3
D．
2

7 .
（全国卷Ⅰ）当
0?x?
?
1?cos2x?8sin
2
x
2
时，函数
f(x)?
sin2x
的最小值
为 （A）2 （B）
23
（C）4 （D）
43

8.
锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -
1
sin2A
= tan B,则有 （A）sin 2A
–cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0
9.
设
0?x?2
?
,且
1?sin2x?sinx?cosx
,则
(A)
0?x?
?
(B)
?
7
?
?
5
?
?
3
?
4
?x?
4
(C)
4
?x?
4
(D)
2
?x?
2

10.
若
sin
?
?cos
?
?tan
?
(0?
?
?
?
2
),则
?
?

A．
(0,
?
)
B ．
(
?
,
?
)
C．
(
?
,
?
)
D．
(
?
,
?
6644332
)< br>
11.
(湖南卷）设函数f (x)的
图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面