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如何编写公式对高斯定理的深入学习

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 16:36
tags:高斯公式

绝对值的性质-感谢朋友的话语经典








对高斯定理的深入学习




北京交通大学
生医1301
13282023
张宇婷


















通过学习,我了解到了高 斯定理在物理研究中的重要作用,同时也加深了我对高斯定理
的研究兴趣。通过网上的搜索调查,我对高 斯定理有了更加深刻的认识。
高斯定理(Gauss Law)也称为高斯公式(Gauss For mula),该公式指出矢量场的面
积分及其散度之间的关系。其内容为:设空间有界闭合区域,其边界
面。函数
为分片光滑闭曲
及其一阶偏导数在上连续,那么:

或记作:

其中的正侧为外侧,为的外法向量的方向余弦。式中

称向量场的散度(divergence)。
即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度 对闭合面所包围的体积的积分。它给
出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系,是矢量分析中的重要 恒等式,也是研究场的
重要公式之一。
静电场中的高斯定理:
静电学中的高斯定理指出:穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正
比:

它表示,电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和,与曲面
内电荷的位置分布情况无关,与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封
闭曲面内 的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和
极化电荷的总和。
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方,必有电力线发出;
凡是有负电 荷的地方,必有电力线会聚。正电荷(或无穷远处)是电力线的源头,负电荷(或
无穷远处)是电力线的 尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的,它完全依赖于电荷间作用力的平方反比律。把高
斯 定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体,就得到导体内部无净电荷的结论,因而测定
导体内部是否有 净电荷是检验库仑定律的重要方法。
当空间中存在电介质时,上式亦可以记作

式中为曲面内自由电荷总量。
,与自由电它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和
荷的分布情 况无关,与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量,因而电位移亦
称电通密度。对于各向同 性的线性的电介质,如果整个封闭曲面S在一均匀的相对介电常
数为的线性介质中,则电位移与电场强度 成正比,
介电常数,这是一个无量纲的量。
给予空间的某个区域内任意位置的电场,原则上 ,应用高斯定律,可以计算出电荷的
分布。只要积分电场于任意区域的表面,再乘以真空电容率,就可以 得到那区域内的电荷数
量。
磁场中的高斯定理:
磁场的高斯定理指出,无论对于稳恒磁场还是时变磁场,总有:

由于磁力线总是闭 合曲线,因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内
部出来,否则这条磁力线就不会闭合起 来了。如果对于一个闭合曲面,定义向外为正法线的
指向,则进入曲面的磁通量为负,出来的磁通量为正 ,那么就可以得到通过一个闭合曲面的
总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理,因此也称为高 斯定理。
与静电场中的高斯定理相比较,两者有着本质上的区别。在静电场中,由于自然界中
存在着独立的电荷,所以电场线有起点和终点,只要闭合面内有净余的正(或负)电荷,穿
过闭合面的电 通量就不等于零,即静电场是有源场;而在磁场中,由于自然界中没有磁单极
子存在,N极和S极是不能 分离的,磁感线都是无头无尾的闭合线,所以通过任何闭合面
的磁通量必等于零。
其他高斯定理:
高斯定理2(代数学基本定理)
定理:凡有理整方程
推论:一元n次方程
至少有一个根。
有且只有n个根
,式中称为介质的相对
(包括虚根和重根)。
高斯定理3(数论)
正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件[1]为n的一切形如4k +3形状的质因子
的幂次均为偶数。
矢量分析:
由于磁力线总是闭合曲 线,因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内
部出来,否则这条磁力线就不会闭合起来了 。如果对于一个闭合曲面,定义向外为正法线的
指向,则进入曲面的磁通量为负,出来的磁通量为正,那 么就可以得到通过一个闭合曲面的
总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理,因此也称为高斯定 理。
与静电场中的高斯定理相比较,两者有着本质上的区别。在静电场中,由于自然界中
存在 着独立的电荷,所以电场线有起点和终点,只要闭合面内有净余的正(或负)电荷,穿
过闭合面的电通量 就不等于零,即静电场是有源场;而在磁场中,由于自然界中没有单独的
磁极存在,N极和S极是不能分 离的,磁感线都是无头无尾的闭合线,所以通过任何闭合面
的磁通量必等于零。
电场E(矢量 )通过任一闭曲面的通量,即对该曲面的积分等于该曲面所包围的总电荷
量除以真空介电常数。公式表达 :
给予空间的某个区域内,任意位置的电场。原则上,应用高斯定律,可以很容易地计算出电
荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面,再乘以真空电容率,就可以得到那区域内的电
荷数量。 < br>但是,更常遇到的是逆反问题。给予电荷的分布,求算在某位置的电场。这问题比较难
解析。虽然 知道穿过某一个闭合曲面的电通量,这资料仍旧不足以解析问题。在闭合曲面任
意位置的电场可能会是非 常的复杂。
假若,问题本身显示出某种对称性,促使在闭合曲面位置的电场大小变得均匀。那么,就可以借着这均匀性来计算电场。像圆柱对称、平面对称、球对称等等,这些空间的对称性,
都能帮 助高斯定律来解析问题。
通过对高斯定理的深入学习,我对高斯定理在电场和磁场中的应用有了更加深 刻的认识
与理解,相信通过以后的学习和积累,我会更加熟练地掌握如何应用高斯定理。

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