高中数学回归课本(三角函数)

回归课本(五)三角函数
一．考试内容：
角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.
函数
y?sin(
?
x?
?
)
的图像.正切函数的图像和性质.
已知三角函数值求角.
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
二．考试要求：
(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角 的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌
握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦 、余弦的诱导公式.了解周期函数与最
小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、
正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)
理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，
会用“五点法”
画正弦函数、余弦函数和 函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A, ,的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角
【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，
一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三
角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值
等为考查热点.
三．基础知识:
1．常见三角不等式
（1）若
x?(0,
?2
)
，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x? (0,
?
2
)
，则
1?sinx?cosx?2
.
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
c os
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
3.正弦、余弦的诱导公式
n
sin(
n
?
?
(n为偶数)
2
?< br>?
)?
?
?
(?1)
2
sin
?
,

?
n?1

?
(?1)
2
cos
?
,
(n为奇数)

n
(n为偶数)
2

cos(
n
?
?< br>2
?
?
)?
?
?
(?1)co
?
s ,

(n为奇数)
?
n?1
?
(?1)
2
si
?
n,
4.和角与差角公式

sin(
?< br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
sin
?
sin
?
;
t an(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?< br>1tan
?
tan
?
.
sin(
?
??
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?s in
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)< br>(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的
象限决定,
t an
?
?
b
a
).
5.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2< br>?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
6. 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
33
?
?
)
.

c os3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(
??
3
?
?
)cos(
3?
?
)
.
tan3
?
?
3tan
?< br>?tan
3
?
1?3tan
2
?
?tan
?
tan(
?
3
?
?
)tan(
?
3
?
?
)
.
7.三角函数的周期公式
函数
y?sin (
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常
数，且A≠0，ω ＞0)的周期
T?
2
?
?
；函数
y?tan
?(x?
?
，
)
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
?
.
性质 y=sinx y=cosx y=tanx
图像的来源
及图像
定义域
值域
单调性及
递增递减区
间
周期性及
奇偶性
对称轴
对称中心
最值及指定
区间的最值
简单三角方
程和不等式

8.正弦定理
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
.
9.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
10.面积定理
（1）
S?
1
2
ah?
1
2
bh
1
ab
?
2
ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
（2）
S?
1
2
absinC?
1
2
bcsin A?
1
2
casinB
.
(3)
S
1
? OAB
?
2
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
11.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
2
??
2
?
A?B
2
?2C?2
?
?2(A?B)
.


四．基本方法和数学思想
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；
2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；
4.熟知正弦、 余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三
角函数问题勿忘三内角和等于1800
，一般用正余弦定理实施边角互化；
?
5.正弦型函数
y?Asin (
?
x?
?
)
的对称轴为
k
?
?
x?
2
?
?
?
(k?Z)
；对称
中心为
(
k
?
?
?
?
,0)(k?Z)
；类似可得余弦函数 型的对称轴和对称中心；
6.（1）正弦平方差公式：sin
2
A－sin
2
B=sin(A+B)sin(A－B);（2）三角形的内
切圆半径r=
2Sabc
?ABC
；（3）三角形的外接圆直径2R=
a?b?c
sinA
?
sinB
?
sinC
;

五．高考题回顾
1.（天津卷）函数
y?Asin(?x??)( ??0,??
?
2
,x?R)
的部分
图象如图所示，则函数表达式为 （ ）
（A）
y??4sin(
?
8
x?
?
4
)

（B）
y?4sin(
?
8
x?
?
4
)
（C）
y??4sin(
????
8
x?4
)
（D）
y?4sin(
8
x?
4
)

2.
（江西卷）设函数
f(x)?sin3x?|sin3x|,则f(x)
为
A．周期函数，最小正周期为
2
?
?
3
B．周期函数，最小正周期为
3

C．周期函数，数小正周期为
2
?
D．非周期函数
3.
（04年天津卷.理9）函数
y?2sin(
?
6
?2x)(x?[0,?
])
为增函数的区间是
A.
[0,
?
3
]
B.
[
?
12
,
7
?
12
]
C.
[
?
3
,
5
?
6
]
D.
[
5
?
6
,
?
]

4.
（山东卷）已知函数
y?sin(x?
?
12
)co s(x?
?
12
)
，则下列判断正确的是
（A）此函数的最 小正周期为
2?
，其图象的一个对称中心是
(
?
12
,0)

（B）此函数的最小正周期为
?
，其图象的一个对称中心是
(
?
12
,0)

（C）此函数的最小正周期为
2?，其图象的一个对称中心是
(
?
6
,0)

（D） 此函数的最小正周期为
?
，其图象的一个对称中心是
(
?
6
,0)

5.
(天津卷）要得到函数
y?2cosx
的图象，只需 将函数
y?2sin(2x?
?
4
)
的图象上所有的点的
(A)横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变）,再向左平行移动
?
8
个单位长度
(B)横坐标缩短到原来的
1
?
2
倍（纵 坐标不变），再向右平行移动
4
个单位长度
(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标 不变），再向左平行移动
?
4
个单位长度
(D)横坐标伸长到原来的2倍（ 纵坐标不变），再向右平行移动
?
8
个单位长度
6.
.（江西卷 ）在△OAB中，O为坐标原点，
A(1,cos
?
),B(sin
?
,1),
?
?(0,
?
2
]
，
则当△OAB的面 积达最大值时，
?
?
A．
?
6
B．
?
??
4
C．
3
D．
2

7.
（全国卷Ⅰ）当
0?x?
?
1?cos2x?8sin
2
x
2
时， 函数
f(x)?
sin2x
的最小值
为 （A）2 （B）
23
（C）4 （D）
43

8.
锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -
1
sin2A
= tan B,则有 （A）sin 2A
–cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0
9.
设
0?x?2
?
,且
1?sin2x?sinx?cosx
,则
(A)
0?x?
?
(B)
?
4
?x?
7
?
?
4
(C)
4
?x?
5
?
?
4
(D)
2
?x?
3
?
2

10.
若
s in
?
?cos
?
?tan
?
(0?
?
?
?
2
),则
?
?

A．
(0,
?
)
B．
(
?
,
?
)
C．
(
?
,
?
)
D．
(
?
,
?
664 4332
)

11.
(湖南卷）设函数f (x)的
图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面
积，已知函数y＝sinnx在[0，
?
]上的面积为
2
（n∈N< br>*
）（，i）y＝sin3x在[0,
2
?
nn3
]
上的面积为 ；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[
?
4
?
3，
3
]上的面积为

六.课本中习题归纳
一、任意角的三角函数
1 已知
?
是锐角,则
2
?
是 ( )
A,第一象限角 B, 第二象限角 C,小于
180
0
的正角 D,不大于直角的正角
2 已知
?
是钝角,则
?
2
是 ( )
A, 第四象限角 B, 第二象限角 C, 第一、三象限角 D, 锐角
3 已知
?
是第二象限角, 则
?
2
是 ( )
A, 第一象限角 B, 第一、三象限角 C, 第二、四象限角 D, 锐角
4 设
f(x)
为偶函数,且
x?(0,1)
时,
f(x)??x?2< br>,则列说法正确的是
A,
f(0.5)?f(30
0
)
B,
f(sin0.5)?f(sin30
0
)

C,
f(sin1)?f(cos1)
D,
f(sin2)?f(cos2)

5 角
?
为第一或第二象限角的充要条件是 ( )
A,
sin
?
?0
B,
|sin
?
|?sin
?
C,
cos
?
tan
?
?0
D,
?
为锐角或钝角
6 已知
sin
?
=
4
5
,则
cos
?
?
,
tan
?
?
,
cot
?
?
,
sec
?
?
,
7 已知
cos
?
??
8
17
,则
s in
?
=
,
tan
?
?
.
8 已知
tan
?
??3
,则
sin
?
=
,
cos
?
?
,
cot
?
?
,
9 下列等式不正确的是 ( )
A,
cos
?
1?sin
?
?
1?sin?
cos
?
B,
sin
4
?
? sin
2
?
cos
2
?
?cos
2
??1

C,
tan
2
?
?sin
2
?
?tan
2
?
sin
2
?
D,
1?si n
?
?cos
?
1?cos
?
?sin
?
?tan
?
2

10 已知
tan
?
?2
，则
sin
?
?cos
?
sin
?
?cos
?
。
11 化简（1）
1?sin
?
1?s in
?
?
1?sin
?
1?sin
?
?
，（2）
1?sin
?
1?cos
?
?
。
12 化简:
sin(2
?
?
?
)cos(
?
?
?
)
cos(180
0
?
?
)sin( 3
?
?
?
)sin(?
?
?
?
=
2
)
二、两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。
1 已知
si
?
n?
2
3
，
?
?(
?
33
?
2
,
?
)
，
cos
???
4
，
?
?(
?
,
2
)
， 则
sin
?
(?
?
?

)
。
cos(
?
?
?
)?
，
tan(
?
?
?
)?
。
2已知一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0,a?c)
,的两个根 为
tan
?
,tan
?
,
则
tan(
?< br>?
?
)?
.
3 当
x?[o ,
?
2
]
,函数
f(x)?cosx?3sinx
的值域是 .
4已知当
x?[?
?
2
,
?
2
]时, 函数
f(x)?cosx?asinx
的最小值为0,则
a
的取< br>值范围是 .
5下列说法不正确的是 ( )
A,
sin (
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin< br>2
?
?sin
2
?

tan(x?y )?
tan
2
B,
tan(x?y)
x?tan
2
y
1?tan
2
xtan
2
y

C,
co s(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?

D,
sin(?
?
?
)cos(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?

6.(1)
tan15
0
?
,
(2)
tan20
0
?tan40
0
?3tan20
0
tan4 0
0
?
.
7 已知
cos(
?
?
?
)??
4
5
,
cos(
?
?
?
)?
4
?
3
?
5
,
??
?
?(
2
,
?
)
,
?
?< br>?
?(
2
,2
?
)
,
则
cos2
?
?
,
cos2
?
?
,
tan2
?
?
.
8 已知锐角
?,
?
满足
co
?
s?
111
7
,cos(
?
?
?
)??
14
,则
cos
?
?
.

9 已知
si n
?
?sin
?
??
1
3
,
cos
?
?cos
?
?
1
2
,则
cos(
?< br>?
?
)?
.
10 已知
sin
??
5
13
,
?
?(
?
2
,
?
)
,则
sin2
?
?
，
cos2
?
?
，
tan2
?
?
。
11 “
A?B?
?
4
”是“
(1?tanA)(1?tanB)?2
”的 条件。
12 已知
tan
?
??
1
3
，则
2sin
?
cos
?
?cos
2
?
?
。
13 已知
sin(
?
?
?
)?
21
tan
?
3
，
sin(
?
?
?
)?
5
，则
tan
?
?
。
三、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
1（1）函数
y?cosx
的最小正周期是 。（2）函数
y?sin
2
x
的最小正
周期是 ，（3）函数
y?cos
3
x
的最小正周期是 。
2 当
x?
时，函数
y?cosx?1
有最大值 。
3 （1）函数
y?3sin
x
4
的周期是 ，（2）函数
y?tan2x
的周期是 。
4 函数
y??cosx
的单调递减区间是 ，函数
y?2
sinx
的单调递增区
间是 。
5 函数
y?cos(x?
?
2
)
，
x?R
， （ ）
A，是偶函数 B，是奇函数
C，不是奇函数也不是偶函数 D，有无奇偶性不能确定
6 （1）不等式
sinx?
3
2
的解集是 ，（2）不等式
2?2cos2x?0
的
解集是 。
（3）不等式
1?tan
x
3
?0
的解集是 ，（4）不等式
tanx?3
的解集
是 。
7（1）若
x
满足
sinx?
2
2
，则
x?
，
（2）若锐角
?
满足
tan
?
?2
，则
?
?
。
lgcos(2x?
?
8 函数
y?
3
)
tanx?1
的定义域是 。
9 将函数
y?3sin(x?
?
5
)
的图象经过怎样 的（或平移或伸缩或对称）变换，
可得到下列函数的图象？
（1）
y?sinx
（2）
y?cosx
（3）
y?3sin(x?
?
5
)

（4）
y?3sin(2x?
?
?
5
)
（5）
y?4sin(x?
5
)

10 已知函数
f( x)?sin
2
x?2sinxcosx?3cos
2
x
，
x?R

（1）求函数
f(x)
的最小正周期；
（2）求函数
f(x)
的单调区间及最值；
（3）函数
f(x)< br>的图象可由函数
y?2sin2x
，
x?R
的图象经过怎样的变
换得到？