高一数学教材解析

乐学 高中教材解析

高一数学各章知识点总结
{新课改}



第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ ? } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c??}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合
的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
2
实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1
? 有n个元素的集合，含有2
个子集，2个真子集









- 1 -
B(或

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三、集合的运算
运算交 集 并 集 补 集
类型
定
由所有属于A且属由所有属于集合A或
设S是一个集合，A是
义
于B的元素 所组成属于集合B的元素所
S的一个子集，由S中
的集合,叫做A,B的组成的集合，叫做A, B
所有不属于A的元素组
成的集合，叫做S中子
交集．记作A
?
B（ 读的并集．记作：A
?
B
集A的补集（或余集）
作‘A交B’），即（读作‘A并B’），
记作
C
S
A
，即
A
?
B=｛x|x
?
A，且即A
?
B ={x|x
?
A，
x
?
B｝． 或x
?
B})．
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

韦
恩
A
B
A
B
S
图
A

示
图1

图2

性
A
?
A=A A
?
A=A
(C
u
A)
?
(C
u
B)

A
?
Φ=Φ A
?
Φ=A
= C
u
(A
?
B)

A
?
B=B
?
A A
?
B=B
?
A

A
?
B
?
A A
?
B
?
Ａ
(C
u
A)
?
(C
u
B)
质
A
?
B
?
B A
?
B
?
B
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若 集合M={y|y=x
2
-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0}，则M 与N的关系是 .
4.设集合A=
?
x1?x?2
?< br>，B=
?
xx?a
?
，若A
?
B，则
a的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得 有
人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x
2
+2x-8=0}, B={x| x
2
-5x+6=0}, C={x|
x
2
-mx+m
2
-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值








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二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，
使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它
对应，那么就 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，
x∈A．其中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值
相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么，它的定义域
是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母
无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标，
函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
y)
的集合C，叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图
象．C上每一点 的坐标
(x
，
y)
均满足函数关系
y=f(x)
，反过来， 以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x，
y)
，均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应法则f，
使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f
（对应 关系）：A（原象）
?
B（象）”
对于映射
f
：
A
→
B
来说，则应满足：
(1)集合
A
中的每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。




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6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g
的复合函数。

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y =f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间
D上是增函数.区间D称为y=f(x)的 单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为y=f( x)的单调
减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x )
在这
一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上
升的 ，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
○
2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数< br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
，y=f(u)
的单调性密
切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的
区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么
f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那
么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是
○
偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．



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注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看
函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对
称，(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判
定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函 数关
系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f(x )在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函
数y=f(x)在x=b处有最大值 f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函< br>数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴
y?
x?1
2

x
2
?2x?15
⑵
y?1?()
x?1
x?3?3
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]
，则 函数
f(x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f (x?1)
的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)
的定义 域是
?
x?2(x??1)
4.函数
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x
=
?
?
2x(x?2)
?
5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

6.已知函数
f(x?1) ?x
2
?4x
，求函数
f(x)
，
f(2x?1)
的解析式
7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4< br>，则
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=

f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1

10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论．
11.设函数
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证：
f(
1
)??f(x)
．
1?x
x




- 5 -
2

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第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果
x?a
，那么< br>x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，
*
且
n
∈
N
．
? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
n
?
a(a?0)

? a(a?0)
?
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
a
?
m
n
m
n
，
?
1
a
r
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
a
·
a?a

(a?0,r,s?R)
；
rsrs
(a)?a
（2）
rr?s

(a?0,r,s?R)
；

rrs
(ab)?aa
（3）
(a?0,r,s?R)
．
（二）指数函数及其性质
1、指数函 数的概念：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1 066
55
44
33
22
1< br>1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2

0
-1
246

定义域 R
值域y＞0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定
点（0，1）
定义域 R
值域y＞0
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
点（0，1）



注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：



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（1）在[a，b]上，
f(x)?a
x
(a?0且 a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
（3）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
，总有
f(1)?a
；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
a?N
(a?0,a?1)，那么数
x
叫做以
．
a
为
．
底
．N
的对数，记作：
x?log
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对
数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
2
a
x
?N?log
a
N?x
；
○
3 注意对数的书写格式．
○
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

x
log
a
N

2 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
○
a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，< br>M?0
，
N?0
，那么：
1

log
a< br>(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； ○
M
?
log
a
M
－
l og
a
N
；
N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
． ○
2

log
a
○
注意：换底公式
log
a
b?
log
c
b
（
a?0，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0）．
log
c
a
1
n
．
log
a
b
；（2）
log
a
b?
m
log
ba
利用换底公式推导下面的结论
（1）
log
a
m
b
n
?
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a ?1)
叫做对数函数，其
中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
2 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○



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2、对数函数的性质：
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点（1，0）

（三）幂函数
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
（1，0）
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
?
?0< br>时，（2）幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特
别 地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上
凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，
当
x
从右边趋向原点时， 图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋
于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=a
x
与y=log
a
(-x)的图象只能是 ( )



log27?2log
5
2
2.计算： ①
log
3
2
?
;②
2
4?log3
= ；
25
3
5
=
2
1
log
27
64
1
3
③
0.064
?
1
7
?
4
?(?)
0
?[(?2)
3
]
3< br>?16
?0.75
?0.01
2
=
8
3.函数y=log
1
(2x-3x+1)的递减区间为
2
2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍，则a=



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5.已 知
f(x)?log
1?x
(a?0且a?1)
，（1）求
f(x)
的定义域（2）求使
f(x)?0
的
x
的取值范围
a
1?x

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0成立的实
数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。 2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实 数根，亦
即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图 象与
x
轴有交点
?
函
数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的
○
图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
（1）△＞ ０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴
有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相 等实根，二次函数的图象与
x
轴
有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交
点，二次函数无零点．
5.函数的模型
























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2
2
2
收集数据
画散点图
不
符
合
实
际
选择函数模型

求函数模型
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题