高中数学电子书——常见函数

反函数
⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y
0
时，变量
，那末变量x是变量y的函数.这个x在函数的定义域内必有一值x
0
与之对应，即
函数用来表示，称为函数的反函数.
也是函数注：由此定义可知， 函数
⑵、反函数的存在定理：若
数必然在R上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
的反函数。
在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函
例题：y=x，其定义域为(-∞, +∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±
2
.
若我们不加条 件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严
格增(减)，故其没 有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=
要求x≥0时的反函数。即是：函数在此 要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，
称的。
[来源: ]
就是y=x在
2
与的图形是关于直线y=x对
例题：函数与函数互为反函数 ，则它们的图形在同一直角坐标系中是
关于直线y=x对称的。如右图所示：
[来源:]

复合函数
复合函数的定义：若y是u的函数：
的函数值的全部或部分在
一个 函数是由函数及
，而u又是x的函数：，且
的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数， 我们称后
复合而成的函数，简称复合函数，记作，
其中u叫做中间变量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。
例题：函数
因为对于
使
与函数是不能复合成一个函数的。
的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），
都没有定义。

初等函数
⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本 初等函数，分别是：指数函数、对数函数、
幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总 结一下：
函
数
名
称
指
数
函
数
对
数
函
数
函数的记号 函数的图形 函数的性质


a):不论x为何值,y总为正数;
b):当x=0时,y=1.

a):其图形总位于y轴右侧,并过
(1,0)点
b):当a＞1时,在区间(0,1)的值
为负；在区间(-,+∞)的值为正；

在定义域内单调增.
幂
函
数
a为任意实数
令a=mn
a):当m为偶数n为奇数时,y是
偶函数;
b):当m,n都是奇数时,y是奇函

数;
这里只画出部分函数图形的 c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)
一部分。 无意义.
a):正弦函数是以2π为周期的
周期函数
b):正弦函数是奇函数且


三
角
(正弦函数)
函
这里只写出了正弦函数
数
反
三
(反正弦函数)
角
函这里只写出了反正弦函数
数
a):由于此函数为多值函数,因
此我们此函数值限制在
[-π2,π2]上,并称 其为反正
弦函数的主值.

⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理 运算及有限次的函数复合所产
生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：是初等函数。

双曲函数及反双曲函数

⑴、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)
函数的
名称
[来源:]
函数的表达式 函数的图形 函数的性质
双曲正
弦


a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是奇函数；
c)：在定义域内是单调增
双曲余
弦


a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是偶函数；
c)：其图像过点(0,1)；
[来源:]
双曲正
切

a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是奇函数；
c)：其图形夹在水平直线y=1
及y=-1之间；在定域内单调

增；
[来源: ]
我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：
双曲函数的性质

shx与thx是奇函数，chx是偶函数

它们都不是周期函数
双曲函数也有和差公式：


都是周期函数
三角函数的性质

sinx与tanx是奇函数，cosx是偶
函数


⑵、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.

a)：反双曲正弦函数
b)：反双曲余弦函数
其定义域为：(-∞,+∞)；
其定义域为：[1,+∞)；
c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；