高中数学课本相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明
正弦定理证明
内容 ：在
?ABC
中，
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边， 则
abc

??.
sinAsinBsinC
证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据锐角三角 函数的定义，有
CD?bsinA
CD
?
a
sin
B
。
由此，得
故有
a
a
sin
A
?
?
C
b
sin
B
，
c
sin
C
同理可得
c
sin
C
?
b
sin
B
b a
，
A
B
C
sin
A
?
b
sin
B
.
D
从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当
?
ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，
交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，
有
CD
?
a< br>sin?
CBD
?
a
sin?
ABC
，
CD ?bsinA
。

b
b
由此，得
a
?
同理可得
c
?

sin
A
sin?
ABC
，
sin
C
sin?
ABC
故有
b
a
A
B
D
a
sin
A
?
b
sin?
ABC
?
c
sin
C
.
（3）在
Rt?ABC
中，
sinA?
ab
,sinB?,

cc
?
ab
??c
，
sinAsinB
abc

??.
sinAsinBsinC

?C?90?,sinC?1.
?
由(1)(2)（3）可知，在
?
ABC中，
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
成立.
2.外接圆证明正弦定理
在△
ABC
中,已知BC=a,AC=b ,AB=c,作△
ABC
的外接圆,
O
为圆心,
连结
BO
并延长交圆于
B′
,设
BB′
=2R.则根据直径所对的圆周
角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到
∠
BAB′
=90°，∠
C
=∠
B′
，
∴sin
C
=sin
B′
=
sinC?sinB
?
?
?∴
?

3.向量法证明正弦定理
c
.
2R
abc
c
? ??2R
.
?2R
.同理,可得
a
?2R,
b
?2 R
.∴
sinC
sinAsinBsinC
sinAsinB
??? ??????
OC'?ACcos(A?90
?
)?bsinA
，
? ????????
OC'?BCsinB?asinB

asinB?bsinA



1

a
sin
A
?
b
c
sin
B
同理
sin
C
?
b
sin
B
故有
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
s in
C
.
余弦定理证明
内容：在
?ABC
中，
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边，则
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
222
?
b?a?c?2accosB

?
c
2
?a
2
? b
2
?2abcosC
?
证明：如图在
?ABC
中，
a
2
?a?BC?(AC?AB)(AC?AB)

22
? AC?2AC?AB?AB
2
22
?AC?2AC?ABcosA?AB
22
2


?b?c?2bccosA

222
?
a?b?c?2bccosA
222
?
?
2
?
a?b?c?2bccosA
22
同理可证：
?
2 所以
b?a?c?2accosB

?
22
??
c?a?b?2abcosC
?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
数列部分
内容：
?
a
n
?
是等差数列，公差为
d
，首项为
a
1
，
S
n
为其
n
前项和，则
S
n
?a
1
n?
证明：由题意，
S
n
?a
1
?(a1
?d)?(a
1
?2d)?.......?(a
1
?(n? 1)d)
①
反过来可写为：
S
n
?a
n
?(a< br>n
?d)?(a
n
?2d)?.......?(a
n
?(n ?1)d)
②
①+②得：2
S
n
?a
1
?n?a
1
?n.......?a
1
?n
，所以，
S
n< br>?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d?
22
???????????
n个
n(a
1
?an
)
③，
2
把
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入③中，得
S
n
?a
1
n?
n( a
1
?a
n
)
n(n?1)
d?

22< br>?
na
1
,(q?1)
?
内容：
?
a
n
?
是等比数列，公比为
q
，首项为
a
1
，S
n
为其
n
前项和，则
S
n
=
?a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)

?
1?q
?
1?q
,(q?1)
?
证明：
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q?.......?a
1
q
2n?1
①，
qS
n?a
1
q?a
1
q?a
1
q?.......?a1
q
②
23n


2

a
1
?a
1
q
n
a
1
(1?q< br>n
)
①—②得：
(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
， 当
q?1
时，
S
n
?
③
?
1?q1?q
n
把
a
n
?a
1
q
n?1
代入③ 中，得
S
n
?
a
1
?a
n
q
当
q?1
时。很明显
S
n
?na
1

1? q
?
na
1
,(q?1)
?
所以，
S
n< br>=
?
a
1
?a
n
q
a
1
( 1?q
n
)

?,(q?1)
?
1?q1?q
?
立体几何部分
三垂线定理及其逆定理
内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平 面内的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直。
证明：已知：如图（9），直线
l
与平面
?
相交与点A，
l
在
?
上的射影OA垂 直于
a,a?
?

求证：
l
⊥
a

证明： 过P作PO垂直于
?

∵PO⊥α
∴PO⊥
a

又
a
⊥OA ，PO∩OA=O
∴
a
⊥平面POA
∴
a
⊥
l

求证：如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.
如图所示:已知a?
?
,a在平面
?
，
?
?
?
=b,

求证：a
?
b.

证明
?
a
?
?
,
?a和
?
没有公共点,
又
?
b在
?
内,
?a和b也没有公共点,
而a和b都在
?
内，a和b也没有公共点,

?a
?
b.

求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
如图所示:已知?
?
?
,
?
?
?
?a,
?
?
?
?b.
求证：a
?
b.

证明：
?
a和b分别在平面
?
、
?
内
且
?
?
?
，
?a和b不相交，
又
?
a和b都在平面
?
内，

?a
?
b.

求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.


3

如图所示:已知
?
??
,
?
?
?
=MN,
AB在
?
内，A B?MN于B点。
求证：AB?
?
.
则?ABC是二面角
?
-MN-
?
的
平面角，

?
?
?
?
，??ABC =90
?
，
? AB?BC
又AB?MN，
?AB?
?


证明：在平面
?
内做直线BC?MN，

求证：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
如图所示:已知a?
?
,b?
?
,垂足
分别为A、B.
求证：a
?
b.
证明：假设a和b不平行，
过B点作a的平行线b'
由异面直线垂直定义，b'与平面
?
内过
点A的任意直线都垂直，也即有b'?
?
，
b
?
b'?B,故直线b'与b与确定一个平面，记
?
，

?
?
?
=l,在平面内， 过B点有且仅有一条
直线垂直于l，故直线b'与b重合，

所以a?b.


点到直线距离公式证明
内容：已知直线
l:Ax?By?C?0,直线外一点
M(x
0
,y
0
).
则其到直线
l
的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
。
A
2
?B
2
向量法
?By?
证：如图，设直线< br>l:AxC?0(A?0,B?0)
一个法向量
n?(1,
B
)
，Q直线上任意一点，的
A
?
?????
|x?x?
B
( y?y)|
1010
|A(x
1
?x
0
)?B(y
1
?y
0
)|
|n?PQ|
A
?
d???

|n|
B
2
A
2
?B
2
1?
2< br>A
|Ax
1
?By
1
?Ax
0
?By
0
||Ax
0
?By
0
?C|
?
P
点在 直线l上,
?Ax
1
?By
1
?C?0,
从而
d? ?
22
A?BA
2
?B
2







定义法


y
P
?
n

Q
y
P
Q
l
l'
x
l

x
图1
4

证：根据定义，点P到直线

l
的距离是点P到直线

l
的垂线段的长，如图1，
设点P到直线
l
的垂线为

l
'
，垂足为Q，由

l
'
?l
可知

l
'
的斜率为

?l
'
的方程：
y?y
0
?
B

A
B
(x?x
0
)
与
l
联立方程组 A
B
2
x
0
?ABy
0
?ACA
2< br>y
0
?ABx
0
?BC
解得交点
Q(,)

2222
A?BA?B
B
2
x
0
?ABy
0
?ACA
2
y
0
?ABx
0
?BC
2< br>|PQ|?(?x
0
)?(?y
0
)
2
2222A?BA?B
|Ax
0
?By
0
?C|

22
?Ax
0
?ABy
0
?AC
2
?By
0< br>?ABx
0
?BC
2
?PQ|?
?()?()
A2
?B
2
A
2
?B
2
A
2
? B
2
A
2
(Ax
0
?By
0
?C)
2
B
2
(Ax
0
?By
0
?C)
2(Ax
0
?By
0
?C)
2
???
(A
2
?B
2
)
2
(A
2
?B
2
)
2
A
2
?B
2
2
平行向量定理
内容：若 两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则
两向 量平行。
证明：设
a,b
是非零向量，且
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)

若
ab
，则存在实数
?
使
a?
?
b
，且由平面向量基 本定理可知
x
1
i?y
1
j?
?
(x
2< br>i?y
2
j)?
?
x
2
i?
?
y< br>2
j.

?x
1
?
?
x
2
①，
y
1
?
?
y
2
② ①
?y
2
?
②
?x
2
得：
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

若
y
1< br>?0,y
2
?0
（即向量
a,b
不与坐标轴平行）则
x
1
x
2

?
y
1
y
2
平面向量基本定理
内容：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意 一向量
a
，存在唯一一对
实数
?
1
,
?
2
，使得
a?
?
1
e
1
?
?
2< br>e
2
.

证明：如图过平面内一点O，作
OA?e
1
,OB?e
2
,OC?a
，过点C分别作直
线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使
得
OM?
?
1
OA,ON?
?
2
OB

B
B
A
C
?OC?OM?ON
?OC?
?
1
OA?
?
2
OB
即
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.


e
2
N
a
O
M
e
1
C
P
A
共线向量定理
内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一 点，若C在直线AB上，则有


5

PC?
?
PA?(1?
?
)PB

证明：由题意，
BC
与
BA
共线，
?BC?
?
BA
< br>BC?PC?PB,BA?PA?PB
?PC?PB?
?
(PA?PB)

化简为：
PC?
?
PA?(1?
?
)PB

柯西不等式：
若
a
、
b
、
c
、
d
为实数，则
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
或
|ac?bd|?a
2
?b
2
?c
2
?d
2

证法：（综合法）< br>(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)? a
2
c
2
?a
2
d
2
?b
2c
2
?b
2
d
2


?(ac?bd)
2
?(ad?bc)
2
?(ac?bd)
2
.
证法：（向量法）设向量
m?(a,b)
，
n? (c,d)
，则
|m|?a
2
?b
2
，
|n|?c
2
?d
2
.
???
???????????????
∵
m?n?ac?bd
， 且
m
?
n?|m|
?
|n|
?
cos?m,n?< br>，则
|m?n|?|m|?|n|
. ∴
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2

???
???
诱导公式
公式：
sin(?
?
）?-sin
?

cos(?
?
）?cos
?
tan(?
?
）??t an
?
y
P(x,y)
如图：
设
?
的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交
于点P(x，y)，则角-
?
的终边与单位圆的交点必为
P?(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得
sin
?
=y， cos
?
=x, sin(-
?
)=-y, cos(-
?
)=x,
所以：sin(-
?
)= -sin
?
, cos(-
?
)= cosα
由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-
?
诱导公式。
公式：
?
M
O
?
?
x
P′(x，-y)
(4-5 -2)
?-sin
?

cos(
?
?
?
）?-cos
?
< br>sin(
?
?
?
）
?
?
?
）?ta n
?

tan(

它刻画了角180?+
?
与角
?
的正弦值（或余弦值）
M
P(x,y)
y
180
?
?
?
?
M′
x< br>P′(-x，-y)
之间的关系，这个关系是：以角
?
终边的反向延长线
为终边的角的正弦值（或余弦值）与角
?
的正弦值（或
圆交于点P( x，y)，则角
?
终边的反向延长线，即
180?+
?
角的终边与单位圆的交点必为P?(-x，-y)（如图4-5-1）．
由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin
?
=y， cos
?
=x,
sin(180?+
?
)=-y, cos(180?+
?
)=-x,
所以 :sin(180?+
?
)=-sin
?
，cos(180? +
?
)=-cos
?
．
由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。
O
(4-5-1)
相应诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：


6

sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos（2kπ+α）=cosα k∈z tan（2kπ+α）=tanα k∈z
公式二：sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα
公式三：sin（－α）=－sinα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα
公式六： π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2+α）=cosα cos（π2+α）=－sinα tan（π2+α）=－cotα
sin（π2－α）=cosα cos（π2－α）=sinα tan（π2－α）=cotα

两角差的余弦公式证明
如图在单位圆中设P（cos
?
, sin
?
）,Q（cos
?
,sin
?
）
则：< br>OP?OQ?OP?OQcos(
?
?
?
)?cos(
??
?
)

?
OP?OQ?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?


?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?

两角和的余弦公式证明
co s(
?
?
?
)?cos
?
?
?(?
?)
?


两角和（差）的正弦公式证明
内容：
sin(
?
?
?< br>)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
,sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

证明：
sin(
?
?
?
)?cos[
?
2
?(
?
?
?
)]?cos[(
?
2
?
?
)?
?
] ?cos(
?
2
?
?
)cos
?
?sin(
?
2
?
?
)sin
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin(
??
?
)?cos[
?
2
?(
?
?
?< br>)]?cos[(
?
2
?
?
)?
?
]?co s(
?
2
?
?
)cos
?
?sin(
?< br>2
?
?
)sin
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

两角和（差）的正切公式证明
tan
?
?tan
?

tan
?
?tan
?
，内容：
tan(
tan(
?
?
?
)?
?
?
?
)?
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?
证明：


7

sin
?
cos
?
cos
?
sin
?
?
tan
?
?tan
?
< br>sin(
?
?
?
)sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?
tan(
?
?
?
)?? ??
1?tan
?
tan
?
cos(
?
?
?
)cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?
cos
?
sin
?
sin
?< br>?
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?

sin
?
cos
?
cos
?
sin
?
?
tan
?
?tan
?

sin(?
?
?
)sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos
?
cos
?
cos
?< br>cos
?
tan(
?
?
?
)????
1?t an
?
tan
?
cos(
?
?
?
)cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos< br>?
cos
?
sin
?
sin
?
?
c os
?
cos
?
cos
?
cos
?



8