高中数学教材分析1

For personal use only in study and
research; not for commercial use


第一章 集合
肄

芄
数学是刻画自然规律和社会规律的科学语 言和有效工具，符号化、形式化是
数学的显著特点，从某种意义上来说，学习数学就是学习一种有特定含 义的形式
化语言，以及用这种形式化语言去表述、解释、解决各种问题。集合论是德国数
学家康 托在19世纪末创立的。集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以
简洁、准确地表述数学内容。

莂
一、本章的教育目标

羈
通过本章学习，使学生感受 到用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮
助学生学会用集合语言表示数学对象，为以后的学习奠定 基础。
1．
2．
螆
了解集合的含义，体会元素与集合之间的属于关系，并 初步掌握集合的
表示方法；
3．
4．
肃
理解集合间包含与相等 的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空
集的含义；
5．
6．
蒂
理解补集的含义，会求补集；
7．
8．
荿
理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；
9．
10．
芄
渗透数形结合、分类等数学思想方法；
11．
12．
螂
在引导学生观察、分析、抽象、类比得到集合、集合间的关系等数
学知识的过程中，培养学生的思维能力；
13．
14．
薁
通过本章的 学习，使学生初步感受到运用集合语言表述数学对象时
的简洁和准确，体会数学的简洁美。

薆
二、本章的设计意图

羆
本章内容包含了集合的含义、表示和运算等三部分内容。

教材首先设置问题情境“设计自己”，使学生感受到集合概念就在我们的身边，
与我们的生活息息相关 。通过实例引导学生理解集合的特征，并从不同的角度学
习和理解集合的表示方法；通过观察具体的集合 ，从“数”和“形”两个方面使
学生感受并归纳出集合与集合之间包含关系。

蚁< br>与传统的教材处理不同，本章教材通过观察具体集合使学生感受并得到集合
的补集的概念后，上升 到数学的内部，将“补”理解为集合间的一种“运算”。
在此基础之上，通过实例，使学生感受和掌握集 合之间的另外两种“运算”——
“交”和“并”。本章整体设计思路是从具体到理论，再回到具体，螺旋 上升。

羇
本章充分利用Venn图和数轴等帮助学生形象地理解集合的含义与运算， 体
现了数形结合的思想。

莄
本章内容的呈现，充分考虑到学生的认知规律 ，在集合概念的呈现过程中，
从学生最熟悉的例子入手，并通过旁白，鼓励学生自己举例，整个设计为学 生和
教师的积极活动提供了空间和可能。

薄
本章设置了“思考”、“阅读 ”等栏目，为拓宽学生的思维和进一步学习提供
薁
了载体。例如，引导学生思考A
?< br>B与B
?
A能否同时成立，来探索集合相等的
证明方法。

螁
为了适应不同层次学生的需要，本章在习题和复习题部分设置了探究和拓展
类的问题，例如， 要求学生探究并证明
C
U
(A
?
B)
=(
C
U
A
)
?
(
C
U
B
)等。

莈
本章注意体现数学的文化价值。如通过旁白介绍集合论的创始人康托尔，设
置阅读介 绍无限集的历史背景和含义等以提高学生的学习兴趣和数学素养。

肆
三、本章教学建议

莃
集合作为一种数学语言，在后续的学习中是一种重要的工具（ 如用集合的语
言表示函数的定义域和值域、方程和不等式的解、曲线等）。在数学学习中，经
常 通过语义转换将一个问题转换为较简单明了的问题。因此，在本章的教学过程
中，要能针对具体问题，引 导学生恰当使用自然语言、图形语言和集合语言来表
述相应的数学内容。要利用学生已学过的数学内容和 生活中的实例，使学生感受
运用集合语言的好处，进而发展学生运用数学语言进行交流的能力。

螁
本章教学时间约需4课时，具体分配如下（仅供参考）：

蝿
1．1集合的含义及其表示 约1课时

1．2子集 全集 补集 约1课时

膁
1．3交集 并集 约1课时

袁
小结与复习 约1课时
薃

袅
四、本章内容分析

芅
章头图、引言

羀
章头图中天坛始建于1426年，是我国现存的精美的古建筑群之一。通过观察可以发现，如此雄伟的建筑是由一些基本的空间图形组合而成。它和引言提供
了本章的主背景，唤 起了学生生活中的经验，让他们注意到现实世界中空间图形
与我们的生活息息相关的联系，是本章的知识 与方法的生长点。

羁
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一 门数学学科，
学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的
意 义。引言又进一步从整体到局部提出统领本章的中心问题：（1）空间几何体是
由哪些基本几何体组成的 ？（2）如何描述和刻画这些基本几何体的形状和大小？
（3）构成这些几何体的基本元素之间具有怎样 的位置关系？揭示了本章研究问
题的基本思路，为学生的学习活动提供了研究的课题，指明了方向。

芆
1.1集合的含义及其表示

螃
1．教学目标

羃
（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法；

肁< br>（2）初步了解“属于”关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、
空集的意义；

蚇
（3）初步掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合。

蒅
2．编写意图和教学建议

螂
（1）集合是数学中原始的、不定义的概念。在教材处理中，主要是通过大量

熟悉的实例 ，如“家庭”、“男生”、“女生”等，使学生感受集合的含义，并初步
了解如何用集合的语言描述对象 。

膀
集合概念的引入，除了课本上的具体实例之外，可以让学生自由举例，如“自
然数”、“有理数”等。

肈
（2）对集合的描述性概念中提到的“确定性 ”，是指任意元素是否属于这一
集合是确定的。集合中元素的互异性和无序性也可在学生举例中加以说明 。

袃
（3）集合相等（它们所含元素相同）只要求了解，不要求从集合互相包含的
角度加以理解。

蒁
（4）列举法和描述法各有优点。

芀
对于例1，教材通过用集合的语言表示一元一次不等式的解，从而得到无限
集的描述性定义 。教学中，只要求学生能判断并举一些具体的例子。

葿
通过例2，可以使学生对空集有进一步认识，教学中，可以让学生自己举例
说明。

蚅
1．2子集 全集 补集

薄
1．教学目标

莀
（1）了解集合间包含关系的意义；

蚆
（2）理解子集、真子集的概念和意义；

莇
（3）了解全集的意义，理解补集的概念和意义；

芃
2．编写意图与教学建议

莀
（1） 从分析具体的集合入手，通过对集合及其元素之间关系的分析，得到
子集、真子集的概念。

肇
教学中，可以从前一节内容出发，让学生自己举一些集合的例子，引导学生
分析它们 之间的关系，特别是元素之间的关系，要注意利用Venn图，从“形”
的角度帮助分析。

螅
“思考”中A ? B与B ? A可以同时成立，成立的条件是A =B。这两者同时

成立是证明集合相等的方法，教学过程中，可以引导学生利用Venn图加以分析，
使学生感受到这两者同时成立和集合相等的等价性。

肂
（2）通过观察比较，分析 子集、真子集、补集之间的区别和内在联系。同时，
要充分利用Venn图从“形”的角度帮助学生理解 这些不同的概念。

蒀
教材通过“思考”例2中每一组的三个集合中，A、B两个 集合中没有公共
元素，且它们的元素合在一起，恰是集合S中的元素。这个思考为学生感受和理
解补集、全集的概念奠定基础，也为从集合运算的角度理解补集埋下伏笔。

蒈
1．3交集 并集

蒆
1．教学目标

袀
（1）理解交集与并集的概念和意义；

薀
（2）理解区间的表示法；

袈
（3）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合。

羄
2．编写意图和教学建议

袃
（1）先从补集开始，提出补集是 集合的一种运算，再通过研究具体的集合关
系，得到交集和并集的概念与意义。教学中，在提出集合间的 运算后，可以让学
生通过具体例子，借助Venn图观察集合之间的关系，领会交集、并集的含义。

蚀
（2）交集和并集的概念也可以同时给出，通过对照比较，便于学习；对交集和并集的运算，可借助Venn图和数轴来理解。

羅
本章回顾


莁
主要对本章学习的内容，知识生长的过
程，重要的研究问题方法与思想方 面进行反思
与总结。是由厚到薄的过程。结构框图给出一
棵生长的数学树。



衿
本章主要学习了集合的初步知识，
包括

集合的有关概念、集合的表示、集合之
间的关系及集合的运算等。

我们从生活中的实例出发，探索用集合的语言来描述数学对象的方法。有了< br>集合的语言，可以更为清晰表达我们的思想。集合是整个数学的基础，它在以后
的学习中有着极为 广泛的应用。
螇

袆

第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ


我们生活的世界时刻都在发生变化，变化无处不在。这 些变化着的现象都可
以用数学有效地描述它们的变化规律。函数正是描述客观世界变化规律的重要数学模型，通过函数模型可以帮助我们科学地预测将发生什么，进而解决实际问
题．因此，学习函数知 识对研究客观世界、掌握事物变化规律具有重要的意义．
蒄

罿
一、本章教育目标

膈
函数是本章的核心概念，也是中学数学中 的基本概念．高中阶段不仅把函数
看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数 的思想方
法将贯穿高中数学课程的始终．

芄
1．了解函数概念产生的背景 ，学习和掌握函数的概念和性质，能借助函数
的知识表述、刻画事物的变化规律．

膃
2．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的
概念、图象和性质 ；

罿
3．理解对数的概念和意义，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、< br>图象和性质；

蕿
4．了解幂函数的概念和性质．

肆
5．知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学
模型．

羂
6．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；
了解函数模型及其意义；

聿
7．本章内容培养学生的理性思维能力、辩证思维能 力、分析问题和解决问
题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流能力．

蚆
8．通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界
的有效手 段和工具。

蒄
6．体验数学的文化价值，使学生感受数学的美，培养学生利用运动 变化的
观点观察事物，进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观．

螁
二、本章设计意图

本章立足于现实生活，从具体问题入 手，以问题为背景，按照“问题情境—
—数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思 ”的顺序结
构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问
题。 运用集合的观点，理解函数的概念，研究函数的性质，最后利用函数的知识
和思想解决相关问题，体会函 数与方程的有机联系．通过函数知识的学习，使学
生进一步感受函数是探索自然现象、社会现象基本规律 的工具和语言，学会用函
数的思想、变化的观点分析问题、解决问题，达到培养学生的创新思维的目的．

肇
本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、
实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等；二是数学中常用的数学思想方
法，如函数与方程、数 形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。

膅
围绕教育目标和数学思想方法，本章有针对性地进行如下设计：

螄为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观
世界的体验，本章采用“ 突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为
主线，由浅入深，将函数的知识串联起来，既完 善了知识体系完整性、系统性，
又体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段．
艿
函数引入中的三个问题：我国从1949年到1999年的人口数据表、自由落体
运动中 物体下落的距离与时间关系式、某城市一天24小时内的气温变化图，既
与初中时学习的函数内容相联系 ，又蕴含了函数的三种表示方法——列表法、解
析法、图象法，起到了承上启下的作用．这三个实际问题 背景，既是函数知识的
生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础．而某城市一< br>天24小时内的气温变化将函数概念、函数的图象、函数的单调性、函数的零点
有机地贯通。

蒇
为了所有学生都能参与到数学学习中来，激发每一个学生的学习热情和学习
兴趣，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力，教材设置了旁白、思考、探
究、实验、阅读、链接 等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空
间，从而促使教学方式和学生学习方式的改变．

蚃
为了适应学生个性发展的需要，教材在练习的基础上，将习题分为“感受·理解、思考·运用、探究·拓展”三个部分．“感受·理解”面向全体学生，体现
了本章的基本要求， 初步理解函数知识，并用来解决一些简单的问题；“思考·运
用”面向多数学生，深化对函数概念的理解 ，并能运用函数函数知识解决一些较
复杂问题；“探究·拓展”为学生提供一些富有挑战性的问题，以激 发学习兴趣，
拓宽视野，提高数学素养。

薂
本章注重信息技术与相关知 识的整合。利用信息技术在信息收集、资源获取、
数据计算、视觉显示等方面的优势，丰富学习手段，呈 现以往教学中难以呈现的
课程内容。如在作指数函数、对数函数、幂函数的图象以及探索方程根的存在性
与二分法求方程的近似解、数据拟合等活动中，多次利用Excel等现代信息技术，
腿

并且通过旁白、阅读等作了使用信息技术的提示，鼓励学生运用计算机、计算器
等进行 探索和发现，感受现代技术手段在数学学习中的作用，促进学习，帮助学
生认识数学的本质．

荿
为了使学生了解掌握函数的基本研究方法，本章多次设计了让学生观察、思
考、判断 的情境．如在函数的单调性、奇偶性的学习过程中，引导学生观察函数
的图象，由图象的直观性理解数学 的本质，培养学生的观察、判断、抽象、概括
能力．在基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的 性质、方程的解与函
数的零点的关系、二分法求方程的近似解等知识点，也进行了多次的探索．

袈
为了使学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明发展
中的作用，体现数学的文化价值。本章在旁白、阅读材料、探究案例中介绍了无
理指数幂、对数的发明 者与发展历史及其价值、开普勒、钢琴与指数曲线等，使
学生感受到数学对推动社会发展的作用，明白数 学的社会需求是数学发展的动
力，了解数学家的创新精神，逐步形成正确的数学观，激发学生学习数学的 兴趣．

莅
在学生的能力培养上，本章也进行了整体设计．通过对函数知识的运用， 培
养学生的理性思维能力；通过探究、思考，培养学生的实践能力、观察能力、判
断能力；通过 揭示对象之间的内在联系，培养学生的辩证思维能力；通过实际问
题的解决，培养学生分析问题、解决问 题和交流的能力；通过案例探究，培养学
生的创新意识与探究能力；通过实习作业，培养学生的数学建模 能力和实践能力．

莁
三、本章的教学建议

葿
函数是 中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础．学生学习函数
的知识分四个阶段。第一个阶段是在 初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌
握了一些简单函数的表示法、性质、图象．本章是第二个阶段 （数学1），第三
个阶段将学习三角函数（数学4）、数列（数学5），第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都仍然要涉及
函数知识的再认识 ，是对函数及其应用研究的深化和提高．本章在学生学习函数
知识的过程中只是一个中间环节．为了使学 生为后续阶段的学习打下良好的基
础，这里应该在初中学习的基础上，系统学习函数知识，培养学生应用 函数知识
的意识．

艿
对于函数概念的引入，教材通过具体实例，让学生体 会函数是数集之间的一
种特殊的对应关系。教学应从学生已有的函数知识入手，引导学生联系自己的生< br>活经历和实际问题，尝试列举各种各样的变化，在集合的基础上，构建函数的一
般概念．如：

螃
(1)随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；

莄
(2)打电话时，通话费用与通话时间之间的关系；

蒈
(3)中国的国内生产总值正在逐年增长；

蒆
(4)汽车行驶中，耗用的汽油与路程的关系；

等等．

膃
形式化、符号化，是数学的重要特征，如所有的函数关系都可以用y＝f(x)来
表 示，不仅简单，而且深刻。又如在说明单调增函数时，符号语言“当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＜f(x
2
)”是对自然语言“随着x的增大，f(x )也增大”的精确刻画。
这样，学生在说明函数的单调性时，就有了一个形式化的模式，便于书写说明． 教
学时应将这两种描述方式进行对比，使学生体会到使用符号语言的优点和美感，
养成运用符号 语言的习惯．

薈
数学的发展引起了计算工具的改革和进步，反过来，计算工具的广 泛应用，
又促进了数学的发展．为了帮助学生体会函数是刻画现实世界中变量之间依赖关
系的数 学模型，充分利用现代信息技术体现数学的应用功能，教学中，教师应有
意识地利用适当的信息技术辅助 教学．

袇
在教学过程中，应突出本章的核心——函数，其本质是两个变量之间的相 互
依赖关系，体现函数对应法则的“输入、输出”功能，函数的性质只是对应法则
在函数定义域 上的表现，离开了函数的定义域谈函数的性质是没有意义的．应重
视问题提出的背景，充分发挥这些问题 的载体作用，体现它们的数学价值．

蚂
本章的教学大约安排32课时．具体如下：

芇
2．1 函数的概念与图象 约10课时

肄
2．2 指数函数 约5课时

蚃
2．3 对数函数 约5课时

肀
2．4 幂函数 约2课时

肆
2．5 函数与方程 约3课时

膄
2．6 函数模型及其应用 约3课时

肄
数学探究案例——钢琴与指数曲线 约1课时

袂
实习作业 约1课时

聿
小结与复习 约2课时
薅

芄

四、本章教材分析

膁
2．1 函数的概念与图象
1．
2．

芀
教学目标

袈
（1）体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念；

莃
（2）了解构成函数的要素有定义域、值域、对应法则，会求一些简单函数的
定义域 和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据
不同的需要选择恰当的方法表示 函数；了解简单的分段函数，并能简单地应用；

薂
（3）理解函数的单调性、最大 (小)值及其几何意义，能判别或证明一些简单
函数的单调性；了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性 ，能证明一些简单函数
的奇偶性；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

羂
（4）了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射；

蚇
（5）通过本节的学习，使学生学会用运动、发展、变化的观点认识世界．

蚇
2．编写意图与教学建议

羃
（1）函数的概念
< br>蒀
以生活中的现象为背景，引出描述两个量之间依赖关系的必要性，上承集合，
下引函数 ．描述三个问题的方法各不相同，与函数的三种表示方法相对应．通过
背景设计激发学生在集合的基础上 研究两个量之间关系的欲望和兴趣．这三个问
题是这一章的核心背景，后面将多次引用．
< br>蚀
函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数概念的本
质．函数概念 的引入，一般有两种方式，一种方式是先学习映射，再学习函数；
另一种方式是通过具体实例，体会两个 非空数集之间的一种特殊的对应关系（单
值对应），即函数．考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助 于他们对函数概
念本质的理解，教材采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性
定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，
构建函数的一般概念．

螇
通过本节的学习，使学生养成用运动变化的观点认识世界。