2020高中数学回归课本校本教材6-7-解析几何

江苏省赣马高级中学 高中数学回归课本校本教材 2009-3-20
高中数学回归课本校本教材6
——献给2009年赣马高级中学高三考生

直线和圆的方程
（一）基础知识
1. 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜 率
k
，即
k
＝tan
?
(
?
≠90°)； 倾斜角为90°的直
线没有斜率；直线的倾斜角
?
的范围是
[0,
?
）
；在平面直角坐标系中，对于一条与
x
轴相交的直线
l
， 如果把
x
轴绕着交点按
逆时针方向转到和直线
l
重合时所转的最小正 角记为
?
，那么
?
就叫做直线的倾斜角。当直线
l
与
x
轴重合或平行时，规定倾
??
斜角为0；异面直线所成角
(0,]
；直线与平面所成角
[0,]
；二面角和两向量的夹角
[0,
?
]
；平面向量的夹角：
[0,
?
]
；直线的
22
?< br>倾斜角
[0,
?
)
；
l
1
到
l2
的角
[0,
?
)
；
l
1
与
l
2
的夹角
(0,]
.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
2
22
若圆（x－1）+（y＋1）=R上有且仅有两个点到直线4x＋3y=11的距离等于 1，则半径R的取值范围是 (1,3) 。
2.直线方程五种形式：
⑴点斜式：已知直 线过点
(x
0
,y
0
)
斜率为
k
，则直线 方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,它不包括垂直于
x
轴的直线.
⑵斜截式：已知直线在
y
轴上的截距为
b
和斜率
k
，则直线方程为
y?kx?b
,它不包括垂直于
x
轴的直线.
y?y
1
x?x
1
,它不包括垂直于坐标轴的直线.
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
⑶两点式：已知直线经过
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
两点,则 直线方程为
⑷截距式：已知直线在
x
轴和
ab
⑸一般式：任何直线均 可写成
Ax?By?C?0
(
A,B
不同时为0)的形式.
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为
0
.直线两截距相等
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点；直线两截距互为相
y
轴上的截距为
a,b
,则直线方程为
??1
,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
xy
反数
?
直线的斜率为
1
或直线过原点；直线两截距绝对值相等
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等
?
直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数
?
直线的斜率为 或直线过 ；直线两
截距绝对值相等
?
直线的斜率为 或直线过 。
如： 已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、 BC的距离乘积的最大值是 3；
过点
A(1,4)
，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条
y
轴上4.直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与直线
l
2
:A
2
x?B
2y?C
2
?0
的位置关系：⑴平行
?
A
1
B< br>2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
(在
截距)；⑵相交
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
；(3)重合
?
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
.
已知直线
l
1
:x?ay? 6?和l
2
:(a?2)x?3y?2a?0,则l
1
l
2
的充要条件是 （a=-1）
5.直线系方程：
①过两直线交点的直线系方 程可设为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
；
②与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线系方程可设为
Ax?By?m?0(m? c)
；
③与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线系方程可设为
Bx?Ay?n?0
.
C?C
2
Ax?By
0
?C
6.点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C ?0
距离公式
d?
0
；
Ax?By?C
1
?0< br>与
Ax?By?C
2
?0
平行线距离是
d?
1
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
x ?x?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
； 设三角形
?ABC
三顶点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
C(x
3
,y
3
)
,则重心
G(
12
33
7. 圆的方程：
⑴圆的标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.⑵圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx? Ey?F?0

DE1
D
2
?E
2
?4F
的圆(二元二提醒：只有当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
才表示圆心为
( ?,?)
,半径为
222
次方程
Ax
2
?Bxy?Cy2
?Dx?Ey?F?0
表示圆
?A?C?0
,且
B?0,D< br>2
?E
2
?4AF?0
).
⑶圆的参数方程：
?< br>?
x?a?rcos
?
(
?
为参数),其中圆心为
( a,b)
,半径为
r
.
?
y?b?rsin
?
? ???????
圆的参数方程主要应用是三角换元：
x
2
?y
2?r
2
?x?rcos
?
,y?rsin
?
；. ⑷以
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2< br>,y
2
)
为直径的圆的方程
(x?x
1
)(x?x< br>2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
（
A P?BP?0
）；
如：过(1,2)总能作出两条直线和已知圆
x
2
?y
2
?kx?2y?k
2
?15?0
相切，求
k
的取值范围
k?(?
8383
,?3)?(2,)

33
8点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点
P(x
0
,y< br>0
)
及圆的方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
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1

江苏省赣马高级中学 高中数学回归课本校本教材 2009-3-20
①
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点
P
在圆外；②
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点
P
在圆内；
③
(x
0
? a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点
P
在圆上.
9圆上一点的切线方程：点
P(x
0
,y
0
)
在圆
x
2
?y
2
?r
2上,则过点
P
的切线方程为：
x
0
x?
；
y
0
y?r
2
（
OP
0
?P
0
P? 0
）
?????????
过圆
(x?a)
2
?(y?b)< br>2
?r
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
切线方程为
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y? b)?r
2
.
过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一 条就是与
x
轴垂直的直线.
10直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关 系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.
①
d?r?
相离 ②
d?r?
相切 ③
d?r?
相交
11.圆与圆的位置关系,经 常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为
d
,两圆的半径分别为r,R
：
d?R?r?
两圆相离；
d?R?r?
两圆相外切；
|R?r|?d?R?r?
两圆相交；
d?|R?r|?
两圆相内切；
d?|R?r|?
两圆内含；
d?0?
两圆同心.
12.过圆C
1
：
x
2
?y
2
?D
1
x ?E
1
y?F
1
?0
,
C
2
：
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆(相交弦)系方程为
(x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
)?
?
(x2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2< br>)?0
.
?
??1
时为两圆相交弦所在直线方程.
13.解 决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线 长定理、
割线定理、弦切角定理等等). （注意利用几何性质）
（二）基本计算
1. 求倾斜角：定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.；直线方程法 ：ax+by+c=0的斜率
k??
方向向量法：
a?(1,k)
若
a
=（
m
，
n
）为直线的方向向量，则直线的斜率
k
=
?
a
。直线的
b
n
.过两点
(x
1< br>,y
1
)(x
2
,y
2
)
的直线
m
x
2
y
2
y
2
?y
1
b
2
x
0
的斜率
k?
；求导数；点差法：如
2
?2
?1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中 点的弦所在直线斜率
k??
2

ab
x
2
?x
1
ay
0
2. 设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距
b
，常设其方程为
y?kx?b
；
（ 2）知直线横截距
x
0
，常设其方程为
x?my?x
0
(它 不适用于斜率为0的直线)；
（3）知直线过点
(x
0
,y
0)
，当斜率
k
存在时，常设其方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
，当斜率
k
不存在时，则其方程为
x?
（4）与直 线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为
Ax?By?C
1
? 0
；
（5）与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为
B x?Ay?C
1
x
0
；
?0
.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解；

3. 点
?
x
0
,y
0
?
关于直线
Ax?By?C?0
的对称点
?
x,y
?
的求法：
?
y
0
?yB
?
?
?
x
0
?xA< br>点A关于直线L对称的点B：1）AB中点在L上；2）AB垂直直线L；
?
x?xy ?y
?
A
00
?B?C?0
?
22
?
如： 点Ａ（４，５）关于直线
l
的对称点为Ｂ(－2,7)，则
l
的方程是___ ______；
已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线
l
:3x－4y+4= 0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方
程是_________ 注意：⑴点
(a,b)
关于
x
轴、
y
轴、原点、直线< br>y?x
的对称点分别是
(a,?b)
,
(?a,b)
,
(?a,?b)
,
(b,a)
.
f(x,y)?0
关于下列点和直线对称的曲线方程为：
①点
(a,b)< br>：
f(2a?x,2b?y)?0
；②
x
轴：
f(x,?y) ?0
；③
y
轴：
f(?x,y)?0
；
④原点：
f(?x,?y)?0
； ⑤直线
y?x
：
f(y,x)?0
； ⑥直线
y??x
：
f(?y,?x)?0
；
⑦直线
x?a
：
f(2a?x,y)?0
.
⑵曲线
3. 圆的方程的求法：⑴待定系数法：设一般方程、设标准方程；⑵几何法；⑶圆系法。
4．求弦长：直线
x?2y?0
被曲线
x
2
?y
2
?6x?2y?15?0
所截得的弦长等于 ；
5. 求切线方程：抓住圆心到直线的距离等于半径
22
26
如：椭圆
x
?
y
?1
内有一点
P(1,1)
，F为右焦点，椭圆上的点M使得< br>MP?2MF
的值最小，则点M的坐标为
（，1）
43
3
< br>22
如：椭圆
x
?
y
?1
内有一点
P(1, 1)
，F为右焦点，椭圆上的点M使得
MP?MF
的值最小
43

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高中数学回归课本校本教材7
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圆锥曲线方程
（一）基础知识
1.椭圆：①定义
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为椭圆；
PF1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹；
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以< br>F
1
,F
2
为端点
x
2
y
2
x
2
y
2
?
x?acos
?
22
的线段 。②椭圆方程
2
?
2
?1
(a>b>0);
?
；一般方程：
Ax?By?1(A?0,B?0)
如： 已知椭圆
??1
，P在椭圆
ab169
?
y?bsin
?< br>上，若P、F
1
、F
2
是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴距 离为
9
（证明不存在以点P为直角顶点的三角形）
4
③几何性质：顶点： A
(a,0)
,B
(?a,0)
,C
(0,b)
和D
(0,?b)
.轴：对称轴：x轴，
y
轴；长轴长
AB
=
2a
，短轴长
CD
=
2b
.
焦点：
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c, 0)
焦距：
F
1
F
2
?2c
，
a
2
?b
2
?c
2
.离心率：
e?
c
(0? e?1)
.
a
2.双曲线 ：①
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为双曲线.PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹
，
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1< br>,F
2
端点一条射线
22
y
2
x
2
②一般方程：
Ax
2
?Cy
2
?1(AC?0)
，中心在 原点，焦点在x轴上：
x
2
?
y
2
?1(a,b?0)，焦点在
y
轴上：
2
?
2
?1(a,b?0)

ab
ab
③几何性质:i. 焦点在
x
轴上：顶点：
(a, 0),(?a,0)
；焦点：
(c,0),(?c,0)
；渐近线方程：
ii . 焦点在
y
轴上：顶点：
(0,?a),(0,a)
；焦点：
(0 ,c),(0,?c)
；渐近线方程：
轴：
x,y
为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.;离心率
e?
x
2
y
2
xy??0
或
2
?
2
?0
;
ab
ab< br>y
2
x
2
yx
??0
或
2
?
2
?0
，
ab
ab
cc
参数关系
c
2
?a
2
?b
2
,e?
. < br>aa
③特殊双曲线：等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离心率
e?< br>(1)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.< br>(2)互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
2
.
x
2
y
2
x
2
y
2
??
?
???
?< br> 与
a
2
b
2
a
2
b
2
x
2
y
2
??0
.(3) 双曲线
xy?k
y?ax?b
(c?0,ad?bc)
的图像是双曲线：
cx?d
a
2
b
2
①两渐近线分别直线
x??
d
(由分母为零确定) 和直线
c
(4)共渐近线的双曲线系方程：
y?
a
(由分子、分母中
x
的系数确定)；②对称中心是点
(?
d
,
a
)< br>；
ccc
22
xy
xy
x
2
y
2< br>?
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
2
?
2
?0
如果双曲线的渐近线为
??0
时，它的双曲线 方
2
ab
ab
ab
x
2
y
2
程可 设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
若< br>k?R
，则
k
ab
?
x
2
y
23
是方程
??1
表示双曲线的 条件．充分不必要
k?3k ?3
11
x
2
x
2
y
2
2
?1< br>. 例如：若双曲线一条渐近线为
y?x
且过
p(3,?)
，求双曲线 的方程？令双曲线的方程为：
?y?
?
(
?
?0)
，
?
4
82
22
3.抛物线 ①定义:|PF|=d
准；
； ②方程y=2px③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F(
④焦半径
AF? x
A
?
p
2
; y
1
y
2
=－p, x
1
x
2
=
2
2
pp
,0),准线x=-,
22
p
2
其中A(x,y)、B(x,y) 如：抛物线
y
2
?2x
上的两点A、B到焦点的距离之和
1122
4
1
2
m
x(m?0)
的焦点坐标是 （0，）
m4
▲
是5，则线段AB中点到y轴的距离是 2；抛物线
y?4.直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
F
1
y
4
3
2
1
F
2
x
5
3
3
2009-3-12 编写：王怀学 审核： 高三27班全体同学 版权个人所有 翻印复制上传必究
3

江苏省赣马高级中学 高中数学回归课本校本教材 2009-3-20
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域 ⑤：过原点，无切线，无与渐近线平行直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一交点，可作直线数可有0、 2、3、4条.
5．圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭 圆
x
2
y
2
??1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为
a
2
b
2
2
bx< br>x
2
y
2
b
2
x
中点的弦所在直线斜率k??
2
0
；在双曲线
2
?
2
?1
中 ,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线斜率
k ?
2
0
；在抛物
ab
ay
0
ay
0
线
y
2
?2px(p?0)
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率
k?
p
.
y0
x
0
2
y
0
2
P(x
0
, y
0
),
必
??1
。抛物线
a
2
b
2
x
2
y
2
22
22
6. 若
m?n? r
，则点
P
?
m,n
?
在圆
x?y?r
的 内部；椭圆
??1
，内部任意一点
a
2
b
2
x2
?2py(p?0)
内部一点
p(x
0
,y
0
)
，
x
0
2
?2py
0
。
已知对< br>k?R
，直线
y?kx?1?0
与椭圆
x
2
y
2
??1
恒有公共点，则实数
m
的取值范围是
[1,5)?(5, ??)

5m
已知
AD
是
?ABC
中
BC
边的中线.如：M为椭圆
????????
x
2
2
PF?P F
上任意一点，P为线段OM中点。则
?y?1
12
=
3
8.特殊的双曲线：
（二）基本计算
1.求圆锥曲线方程：①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误
②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法
过两点椭圆、双曲线标准方程可设为：
mx
2
；
?ny
2
?1
（
m,n
同时大于0表示椭圆，
mn?0
时表示双曲线）
③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程 2
22
y
0
2
b
xy
共渐近线
y?? x
双曲线标准方程可设为
??
?
(
?
为参数,
?< br>≠0);抛物线y=2px上点可设为(,y
0
);

a
2 p
a
2
b
2
如:中心在原点，焦点坐标为
(0,?52)< br>椭圆被直线
3x?y?2?0
截得弦的中点横坐标为
cb
2
2 .求离心率：i公式法；e=
?1?
2
,ii方程法：建立关于
a,c
的齐次；
a
a
1
，则椭圆方程
2
x
2
y
2

??1
2575
22
如：已知点F是双曲线
x
?
y
?1(a?0,b?0)
的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于
x
轴的直线与双曲线
a
2
b
2
交于A、B两点，若△ABF是直角三角形，则该双曲线的离心率是 2;
以等边三角形顶点AB为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率： ；
3?1

a
2
b
x
2
y
23，求渐近线：渐近线
y??x
或
2
?
2
?0
;求准线方程：x=
?

a
c
ab
4.求最短距离：①椭圆 a-c，远地a+c;②抛物线y
2
=2px(p>0)，对称轴上一定点
A(a,0 )
，则：当
0?a?
小，最小值为
a
；当
a?p
时 ，有关于
x
轴对称的两点到点A距离最小，最小
2ap?
p
时，顶点 到点A距离最
p
2
。③函数最值问题
p

2
5弦长 ⑴焦半径：椭圆：
PF
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
（e为离心率）； （左“+”右“-”）；抛物线：
PF?x
0
?
2
⑶通径
2b
, 2p,焦点弦
AB
＝x
1
+x
2
+p; 2）弦长
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x2
]
?1?
1
?y?y?(1?
1
)?[(y?y)< br>2
?4yy]

211212
a
k
2
k2
6焦点三角形面积：公式：
S
?PF
1
F
2
=
b
2
cot
7.直线与圆锥曲线问题解法：
?
2
⑦
S
?PF
1
F
2
=b
2
tan
?
2
；定义、余弦定理、面积公式等；
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：①联 立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了 吗？③判别式验证了吗？⑵设而
AB
不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题： 步骤如下：①设点A(x
1
，y
1
)、B(x
2
,y
2
)；②作差得
k
8．求轨迹的常用方法：
（1）定义法： （2）直接法；（3）转移法；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。
?
y
1
?y
2
???
；
x
1
?x
2

2009-3-12 编写：王怀学 审核： 高三27班全体同学 版权个人所有 翻印复制上传必究
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