高中数学书本基础定理和公式(有拓展)

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:
x?A ?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
? ?A?A??

2 集合
{a
1
,a
2
,L,a< br>n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
?1
个；非空子集有
2
n
?1
个；非空
的真子集 有
2
n
?2
个.
3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2) 顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)
时，设为此式）
(3) 零点式
f(x)?a(x?x
1< br>)(x?x
2
)(a?0)
；（当已知抛物线与
x
轴的交点坐 标为
(x
1
,0),(x
2
,0)
时，设为此式）
（4）切线式：
f(x)?a(x?x
0
)
2
?(kx?d),( a?0)
。（当已知抛物线与直线
y?kx?d
相切且
切点的横坐标为
x
0
时，设为此式）
4 真值表： 同真且真，同假或假
5 常见结论的否定形式;
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有
n
个 至多有（
n?1
）个
小于 不小于 至多有
n
个 至少有（
n?1
）个
对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立
p
或
q

?p
且
?q

对任何
x
，不成存在某
x
，成立
p
且
q

?p
或
?q

立
6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、
p?q
，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
（2）、
p?q
，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
(3)、p ≠> p ，且
q?p
，则P是q的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x
?
D上有定义，若对任意的

1
x
1
,x
2
?D,且x
1
?x
2
，

都有
f(x
1
)?f(x
2
)
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 x
1
,x
2
?D,且x
1
?x
2
减函 数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x
?
D上有定义，若对任意的
f(x
1
)?f(x
2
)
，都有
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是减函数。D则就是f（x）的递减
区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数 单调性
单调
内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓
外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑
复合函数 ↑ ↑ ↓ ↓
等价关系：(1)设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数. (x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)? 0
，
则
f(x)
为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：定义 ：在前提条件下，若有
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0
，
则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：定义：在前提条件下，若有
f(?x)?f(x)
，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关
于原点对称，那么这 个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是
偶函数．
9函数的周期性：

2

定义：对函数f（x），若存在T
?
0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其
中，T是f（x ）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2
m?n
；
(3)、
f(x?m)??
10常见函数的图像：
y
y
y
y
1
，此时周期为2m 。
f(x)< br>k<0
o
k>0
x
o
a<0
x
y=a
x
01
o
x
y=log
a
x
0 a>1
y=kx+b
a>0
2

y=ax+bx+c

o
1
a>1
x

11 对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)? f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?
两个函数y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
12 分数指数幂与根式的性质：
(1)
a?
n
a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
（2）
a
?
m
n
m
n
a?b;
2
b?a
对称.
2
?
1
m
n< br>?
1
n
a
（3）
(
n
a)
n
?a
.
a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且n?1
）.
?
a,a?0
（4）当
n
为奇数时，a?a
；当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
n
n
13 指数式与对数式的互化式:

log
a
N?b?a
b
?N< br>(a?0,a?1,N?0)
.
指数性质：
(1)1、< br>a
?p
?
rs
1
mnmn
0
a?(a)
a?1
； （2）、（） ； (3)、
a?0
p
a
r?s
(4)、
a?a?a
指数函数：
(a?0,r,s?Q)
； (5)、
a?
n
a
m
；
m
n
(1)、
y?a
x
(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
y?a
x
(0?a?1)
在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，
1）
对数性质：
(1)、
loga
M?log
a
N?log
a
(MN)
；（2）、
log
a
M?log
a
N?log
a
(3)、
log
a
b
m
?m?log
a
b
；(4)、
log
a
m
b
n
?

3
M
；
N
n
?log
a
b
； (5)、
log
a
1?0

m

(6)、
log
a
a?1
； (7)、
a
log
a
b
?b

对数函数： (1)、
y?log
a
x(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
y?log
a
x(0?a?1)在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点
（1，0）
(3)、
log
a
x?0?a,x?(0,1)或a,x?(1,??)

(4)、
log
a
x?0?a?(0,1)则x?(1,??)
或
a?(1,??)则x?(0,1)

14 对数的换底公式 :
log
a
N?
log
m
N
(
a?0< br>,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
对数恒等式：
a
log
a
N
?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).
n
推论
log
a
mb
n
?log
a
b
(
a?0
,且
a? 1
,

N?0
).
m
15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
M
( 1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
?log
a
M?log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M
n
?nloga
M(n?R)
; (4)
log
a
m
Nn
?log
a
N(n,m?R)
。
m
16 平均增长率的问题（负增长时
p?0
）：
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p )
x
.
17 等差数列：
通项公式： （1）
a
n
?a
1
?(n?1)d
，其中
a
1
为首项，d为公差，n为项数，
a
n
为末项。
（2）推广：
a
n
?a
k
?(n?k)d
（3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和： （1）
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
；其中
a
1
为首项，n为项数，
a
n
为末项。
2
n(n?1)
（2）
S
n
?na
1
?d

2
（3）
S
n
?S
n?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
（4）
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等差中项，则 有2
a
m
?a
n
?a
p
?
n、m、p成等 差。
（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等差数列，则
?
a
n
?b
n
?< br>为等差数列。

4

（3）、
?
a
n
?
为等差数列，
S
n
为其前n项和，则
S
m,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
也 成等差数列。
（4）、
a
p
?q,a
q
?p,则a
p?q
?0
；
（5） 1+2+3+…+n=
等比数列：
通项公式：（1）
a
n
?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n?N
*
)
，其中
a
1
为首项，n为项数，q为公比。
q
n(n?1)

2
（2）推广：
a
n
? a
k
?q
n?k

（3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用） 前n项和：（1）
S
n
?S
n?1
?a
n
(n ?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
（2）
S
n
?a1
?a
2
?L?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
?
na
1
?
（3）
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
1? q
?
(q?1)
(q?1)

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等比中项，则 有
a
m
2
?a
n
?a
p
?
n、 m、p成等比。
（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等比数列，则
?
a
n
?b
n< br>?
为等比数列。
ab(1?b)
n
18分期付款(按揭贷款) ：每 次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
n
(1?b)?1
19三角不等式：（1）若
x?(0,)
，则
sinx?x?tanx
.
2
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
20 同角三角函数的基本关系式 ：
sin
2
?
?cos
2
?< br>?1
，
tan
?
=
sin
?
，
cos
?
?
?
21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22 和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?< br>)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
tan(
?
?< br>?
)?
.
1
m
tan
?
tan
?
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b2
sin(
?
?
?
)

(辅助角
?< br>所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?

5
b
).
a

23 二倍角公式及降幂公式
2tan
?
.
sin2
?
?sin
?
c os
?
?
1?tan
2
?
1?tan
2
?
.
cos2
?
?cos
?
?sin
?
? 2cos
?
?1?1?2sin
?
?
2
1?tan
?
2tan
?
sin2
?
1?cos2
?
.
tan2
?
?tan
?
??
1?tan
2
?
1?cos2
?
sin2
?
1?cos2
?
1? cos2
?

sin
2
?
?,cos
2
?
?
22
24 三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x??
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周
2
?
?
期
T?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z
(A,ω,
?
为 常数，且A≠0)的周期
|
?
|
2
2222
T?
?
.
|
?
|
三角函数的图像：
y=sinx
-π 2
-2π
-3π2
-π
y
1
y=cosx
π2π
3π2
2π
y
1
o
-1
x
-2π< br>-3π2
-π
-π2
o
-1
π2
π
3π2< br>2π
x
abc
???2R
（R为
?ABC
外接圆的半 径）.
sinAsinBsinC
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2Rsin C
?a:b:c?sinA:sinB:sinC

26余弦定理：
a2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
27面积定理：
111
（1）
S?ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?abs inC?bcsinA?casinB
.
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|? |OB|)?(OA?OB)
.
2
a?b－c
斜边
2S
?
r
?内切圆
?,r
直角?内切圆
?

a?b?c2
28三角形内角和定理 ：
在△ABC中，有
A?B?C?< br>?
?C?
?
?(A?B)

C
?
A?B???
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
rr
(1) 结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
;
rrr
(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;
r
r
rr
(3)第二分配律：λ(
a
+
b
)=λ
a
+ λ
b
.
r
r
r
r
r
r
30a
与
b
的数量积(或内积)：
a
·
b
=|a
||
b
|
cos
?
。
31平面向量的坐标运算：
r
rr
r
(x,y)
(x,y )
b
(1)设
a
=
11
,=
22
，则a
+
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.

25 正弦定理 ：

6

r
rr
r
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
-
b
=
(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
uuuruuuruuur
(x,y)
(x,y)
(3)设A
11
，B
22
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
rr
(4)设< br>a
=
(x,y),
?
?R
，则
?
a
=
(
?
x,
?
y)
.
r
rr
r
(5)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a·
b
=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
32 两向量的夹角公式：
r
r
rx
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
r
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b
=
(x
2
,y
2
)
).
cos< br>?
?
r
r
?
2222
|a|?|b|
x1
?y
1
?x
2
?y
2
33 平面两点间的距离公式：
uuuruuuruuur

d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
rr
r
r
34 向量的平行与垂直 ：设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则：
r
r
r
r
a
||
b
?
b
=λ
a

?x
1
y
2
?x
2
y
1< br>?0
.（交叉相乘差为零）
r
r
r
r
r
r
a
?
b
(
a
?
0
)
?

a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式 ：设
P
1
P2
的分点,
?
是实数，且
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)< br>，
P(x,y)
是线段
P
?
x
1
?
?
x
2
uuuruuur
x?
?
uuuruuur
uuur
OP
?
1?
?
1
?
?
OP
2
OP?
，则
PP?
?
PP
?
?
12
y?
?
y
1?
?
2
?
y?
1?
1?
?
?
uuuruuuruuur
1
（）. t?
?(1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
x?x?xy?y?y
3则△ABC的重心的坐标是
G(
123
,
12
)
.
33
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设
O
为
? ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
， 则
uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1）O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuur uuuruuurr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?O B?OC?0
.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuuruuuruuurr
（4）
O
为
?ABC
的内心< br>?aOA?bOB?cOC?0
.
uuuruuuruuur
（ 5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB ?cOC
.
38常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a< br>2
?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）
a,b?R
?
?
2
（3）
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）
a?b?a?b?a?b
.
2aba?ba
2
?b
2
（5）(当且仅当a＝b时取“=”号)。
?ab??
a?b22
39极值定理:已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
1
（2）若和
x?y
是 定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
s
2
.
4

7

（3）已知
a,b,x,y ?R
?
，若
ax?by?1
则有
1111byax
??( ax?by)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2
。
xyxyxy
ab
（4）已知
a,b,x,y?R
?
，若
??1
则有
xy
abaybx
x?y?(x?y)(?)?a?b???a?b?2ab? (a?b)
2

xyxy
40 一元二次不等式
ax
2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac?0)
，如果
a
与
ax
2
?bx?c
同号，
则其解集在两根之外；如果a
与
ax
2
?bx?c
异号，则其解集在两根之间.简言之：同 号
两根之外，异号两根之间.即：
x
1
?x?x
2
?(x ?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
.
x?a? x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
42 斜率公式 ：
y?y
k?
21
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
43 直线的五种方程：
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
（3）两点式 (
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
两点式的推广：
(x
2
?x
1
)(y?y
1
)?( y
2
?y
1
)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件 ！）
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的 横、纵截距，
a?0、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
rr
直线
Ax? By?C?0
的法向量：
l
?
?(A,B)
，方向向量：
l ?(B,?A)

44 夹角公式：
k?k
(1)
tan
?
?|
21
|
. (
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k
1
AB?A
2B
1
|
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
). (2)
tan
?
?|
12
A
1
A
2
?B
1
B2
?
直线
l
1
?l
2
时，直线
l1
与
l
2
的夹角是.
2
45
l
1
到
l
2
的角公式：
k?k
(1)< br>tan
?
?
21
.(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k2
k
1
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?
12
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A< br>2
?B
1
B
2
?0
).
A
1A
2
?B
1
B
2
?
直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
到
l
2
的角 是.
2

8

46 点到直线的距离 ：
d?|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax? By?C?0
).
47 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
y?b?rsin
?
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
48点与圆的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
? (y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种：
若
d?(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
，则
d ?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
49直线与圆的位置关系：直线
A x?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
的位置关系有三种
Aa?Bb?C
(
d?
):
2 2
A?B
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1< br>，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d
，则：
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
内含内 切
r
2
-r
1
相交
外切
相离
r
1
+r
2
o
d
d
d
d
?
x?aco s
?
x
2
y
2
cb
2
51 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
. 离心率
e??1?
2
，
ab
y?bsin
?
aa
?
b
2
a
2
准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离( 焦准距)
p?
。
c
c
b
2
过焦点且垂直于长轴的 弦叫通经，其长度为：
2
g
.
a
x
2
y
2
52 椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
ab
a
2
a
2
?FPF
PF
1
?e(x?)?a?ex< br>，
PF
2
?e(?x)?a?ex
；
S
?F
1
PF
2
?c|y
P
|?b
2
tan
1< br>。
cc
2
53椭圆的的内外部:
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)的内部
?
2
?
2
?1
.
abab
2 2
x
0
y
0
x
2
y
2
（2）点< br>P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
54 椭圆的切线方程:
x
2
y
2
xxyy
(1) 椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
xxyy
x
2
y
2
（2） 过椭圆
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y< br>0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab

9

x
2
y
2
（3）椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2< br>.
ab
x
2
y
2
a
2
cb
2
55 双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的离心率
e??1?
2
，准线到中心的距离为，焦点
ab
c
aab
2
b
2
2
g
.
到对应准线的距离(焦准距 )
p?
。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：
c
a
a
2
a
2
焦半径公式
PF
1
?|e(x?)|?|a?ex |
，
PF
2
?|e(?x)|?|a?ex|
，
cc?FPF
两焦半径与焦距构成三角形的面积
S
?F
1
PF
2
?b
2
cot
1
。
2


56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
x
2
y
2
x< br>2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x< br>.
ab
ab
a
x
2
y
2
xyb
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲 线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??

abab
（
??0
，焦点在x轴上，
? ?0
，焦点在y轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是
b
。
57双曲线的切线方程:
x
2
y
2
xxyy
( 1)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x< br>0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
xxyy
x
2
y
2
( 2)过双曲线
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0< br>2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（3）双曲线
2
?
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2< br>.
ab
58抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式:
p
抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1< br>??x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
b
2
4ac?b
2
2
59二次函数
y?ax? bx?c?a(x?)?
(a?0)
的图象是抛物线：
2a4a
b4ac? b
2
b4ac?b
2
?1
)
；
)
； （1 ）顶点坐标为
(?,
（2）焦点的坐标为
(?,
2a4a2a4a
4 ac?b
2
?1
（3）准线方程是
y?
.
4a
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

或
AB?(1?k
2
)[(x
2
?x
1
)
2
?4x
2
?x
1
]?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
| 1?cot
2
?

?
y?kx?b
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?
消去y得到
ax
2
?bx?c?0

?
F(x,y)?0

10

??0
,?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率，
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
64 向量的直角坐标运算：
r
r
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则：
r
r
(1)
a
＋
b
＝
(a
1< br>?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b< br>3
)
；
r
r
(2)
a
－
b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
r
(3)λ
a＝
(
?
a
1
,
?
a
2
,?
a
3
)
(λ∈R)；
r
r
(4) a
·
b
＝
a
1
b
1
?a
2< br>b
2
?a
3
b
3
；
65 夹角公式： < br>r
r
r
r
设
a
＝
(a
1
, a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1,b
2
,b
3
)
，则
cos?a,b??
a< br>1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b ?b?b
2
1
2
2
2
3
.
66 异面直线间的距离 ：
uuuruur
r
|CD?n|
r
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
，
C 、D
是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l
1
,l
2
间的
d?
|n|
距离).
67点
B
到平面
?
的距离：
uuuruur
|A B?n|
r
r
（
n
为平面
?
的法向量，
A ?
?
，
AB
是
?
的一条斜线段）.
d?
|n|
4
68球的半径是R，则其体积
V?
?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直
径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
6
a
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为
a
的正四面体 的内切球的半径为
12
666
13
a
的),外接球的半径为
a
(正四面体高
a
的). (正四面体高
343
44
70 分类计数原理（加法原理）：
N?m
1
?m
2
?L?m
n< br>.
分步计数原理（乘法原理）：
N?m
1
?m
2
? L?m
n
.

11

71排列数公式 ：
A
n
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
m
n< br>n！
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．规定
0!?1
.
(n?m)！
n！
A
nm
n(n?1)?(n?m?1)
72 组合数公式：
C
=
m< br>==(
n
∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！
1?2???m
A
m
mn?mm0?1
. 组合数的两个性质:(1)
C
n
=
C
n
(2)
C
n
+
C
n
m?1
=
C
n
m< br>?1
.规定
C
n
0n1n?12n?22rn?rrnn
a? C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n< br>b
73 二项式定理
(a?b)
n
?C
n
r n?rr
ab
(r?0，
二项展开式的通项公式
T
r?1
? C
n
1，2?，n)
.
f(x)?(ax?b)
n
?a< br>0
?a
1
x?a
2
x
2
?L?a
n
x
n
的展开式的系数关系：
a
0
?a
1
?a
2
?L?a
n
?f(1)
；
a
0
? a
1
?a
2
?L?(?1)
n
a
n
?f( ?1)
；
a
0
?f(0)
。
74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n
个互斥事件分 别发生的概率的和：P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
)．
75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
kk
P(1?P)
n?k
.
76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
P
n
(k)?C
n
77 数学期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?L?x
n
P
n
?L

数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （ 2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.
(3) 若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g( k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
222
1
.
p
78方差：
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2?E
?
?
?p
2
?L?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?L

标准差：
??
=
D
?
.
方差的性质：
(1)
D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；
(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3) 若
?
服从几何分布,且< br>P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
D< br>?
?
方差与期望的关系：
D
?
?E
?
2?
?
E
?
?
.
1
2
e
26
,x?
?
??,??
?
，
2
?
6
式中的实数μ，
?
（
?
>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
?
x?
?
?
对于
N(
?
,
?2
)
，取值小于x的概率：
F
?
x
?
????
.
?
?
?
P
?
x
1
? x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P
?
x?x
1
?

80
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率）：
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim?lim
.
?x?0
?x
?x?0
?x
?ss(t??t)?s(t)
?lim
瞬时速度：
?
?s
?
(t)?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
?vv(t??t)?v(t)
?lim
瞬时加速 度：
a?v
?
(t)?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
81 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：
2
q
.
p
2
79正态分布密度函数：
f
?
x
?
?
?
?
x?
?
?
2

12

函数
y?f(x)
在点
x
0处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0< br>))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x ?x
0
)
.
82 几种常见函数的导数：
(1)
C
?
?0
（C为常数）.(2)
(x
n
)
?
?nx
n?1
(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.
1
1
(4)
(cosx)
?
??sinx
. (5)
(lnx)
?< br>?
；
(log
a
x)
?
?log
a
e
.
x
x
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
83 导数的运算法则：
u
'
u
'
v?uv
'< br>''''''
(v?0)
. （1）
(u?v)?u?v
.（2）(uv)?uv?uv
.（3）
()?
vv
2
84 判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法：
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
85 复数的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a ,b,c,d?R
）
86 复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
| z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
87 复平面上的两点间的距离公式：
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
，
?b?b< br>2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2< br>?
;
2a
b
②若
??b
2
?4ac?0< br>,则
x
1
?x
2
??
;
2a
③若
??b
2
?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复 数集
C
内有且仅有两个共轭复
2
?b??(b
2
?4ac) i
2
数根
x?(b?4ac?0)
.
2a






高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},
集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x
2
,x∈
R},N={y｜y=x
2
+1,x∈R},求M∩N；与集合M={ （x,y）｜y=x
2
,x∈R},N={(x,y)｜y=x
2
+1,x
∈R}求M∩N的区别。
3． 集合 A、B，
A?B??
时，你是否注意到“极端”情况：
A??< br>或
B??
；求集合的子
集
A?B
时是否忘记
?
. 例如：
?
a?2
?
x
2
?2
?
a? 2
?
x?1?0
对一切
x?R
恒成立，求a
的取植范围，你 讨论了a＝2的情况了吗？

13

4． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为
2
n
，

2
n
?1，

2
n
?2.
如满足条件{1}?M?{1,2,3,4}
的集合
M
共有多少个
2
n
?1，
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名 成员,每人至少会唱歌和跳舞
中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一 人，表演一个
唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？
6． 两集合之间的关系。
M?{xx?2k?1,k?Z},N?{xx?4k?1,k?Z}

7． (C
U
A)∩( C
U
B) = C
U
(A∪B) (C
U
A)∪( C
U
B) = C
U
(A∩B)；
A?B?B?B?A
；
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）

p q P且q P或q
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 假 真
假 假 假 假
9、 命题的四种形式及其相互关系:

原命题


互 逆
逆命题

若p则q 若q则p
互 互
互 为 互
否 逆 逆 否
否 否
否命题 逆否命题
否 否
若﹃ｐ则﹃q 若﹃ｑ则﹃ｐ
否 互 逆


原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对 映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的
唯一性，哪几种对应 能够成映射？
11、函数的几个重要性质：
①如果函数y?f
?
x
?
对于一切
x?R
，都有f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
或f（2a-x）=f（x），那么
函数
y ?f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称.
②函数
y?f
?
x
?
与函数
y?f
?
?x
?
的图象关于直线
x?0
对称；
函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
x
?
的 图象关于直线
y?0
对称；
函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
?x
?
的图象关于坐标原点对 称.
③若奇函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是递增函数，则
y?f
?
x
?在区间
?
??,0
?
上也是递增
函数．
④ 若偶函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是递增函数，则
y?f
?
x
?
在区间
?
??,0
?
上是递减函
数．
⑤函数
y?f
?< br>x?a
?
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x?
的图象沿x轴向左平移a个单位得到
的；函数
y?f
?
x?a
?
(
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿x轴向右平移
a
个单位
得到的；
函数
y?f
?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f?
x
?
助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;

14

函数
y?f
?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿y轴向下平移
a< br>个单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13、求 函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=
x(4?x)
lg(x?3)
2
的定义域是 ；
复合函数的定义域弄清了吗？函数
f(x)
的定义域 是[0,1],求
f(log
0.5
x)
的定义域. 函数
f(x)
的定义域是[
a,b
],
b??a?0,
求函数
F(x)?f(x)?f(?x)
的定义域
14、一个函数的奇偶性时，你注 意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了
吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是 偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个
奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数
也是判定函数单调性的一种重要方法。
a
?
a?0
?
的单调区间吗？（该函数在
??,?a
和
a,??
上单调 递增；在16、函数
y?x?
x
?a,0

?
??
?
?
和
0,a
上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
17、函数问题时，你注意到真 数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等
于1）字母底数还需讨论呀.
l og
c
b
,log
a
n
b
n
?loga
b
） 18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？（
log
a
b?
log
c
a
?
?
?
19、 你还记得对数恒等式吗？（
a
log
a
b
?b
）
20、 “实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
有实数解”转 化为“
??b
2
?4ac?0
”，你是否
注意到必须
a?0
；当a=0时，“方程有解”不能转化为
??b
2
?4ac?0
．若 原题中没有
指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
二、三角、不等式
21、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公
式:_____ ___________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,
基本的 技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
22、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定
义域 内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
23、 在三角中，你知道1等于什 么吗？（
1?sin
2
x?cos
2
x?sec
2
x?tan
2
x

42
有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；
诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）
24、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变 换．（如
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
等 ）
?
?(
?
?
?
)?
?
,
?< br>?(
?
?
?
)?
?
,

22
??
2
??
25、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数 最少、函数种类最少、分母不含三角函
数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
26、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特
殊角. 异角化同角， 异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？
22
cosx=(1+cos2x)2;s inx=(1-cos2x)2
27、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
?tanx ?cotx?tan
?
?sin
?
?cos0???
这些统称为1的 代换) 常数 “1”的种种代换

15

28、
29、
6?25?1
,sin18??
）
44
1
你还记得在弧度 制下弧长公式和扇形面积公式吗？(
l?
?
r,S
扇形
?lr
)
2
（
sin15??cos75??
6?2
,sin75?? cos15??
4
辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
? b
2
sin
?
x?
?
?
(其中
?
角所在的象限由a, b 的符
b
号确定，
?
角的值由
tan
?
?
确定)在求最值、化简时起着重要作用.
a
30、 三角函数（正弦 、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、
对称轴，取最值时的x值的集合吗？（ 别忘了k
?
Z）
三角函数性质要记牢。函数y=
Asin(
??x?
?
)?
k的图象及性质：
2
?
振幅|A|，周期T=, 若x=x
0
为此函数的对称轴，则x
0
是使y取到最值的点，反之亦
?
然，使y取到最值的x的集合为 ， 当
?
?0,A?0
时函数的增区间
为 ，减区间为 ；当
?
?0
时要利用诱导公式将
?
变为大于零后再
用上面的 结论。
?
3
?
五点作图法：令
?
x?
?
依次为
0,
?
,,2
?
求出x与y，依点
?
x,y
?
作图
22
31、 三角函数图像变换还记得吗？
?
'
?
?
x?x?h,

?
'
?
?
y?y?k.
平移公（1）如果点 P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
（2） 曲线f（x，y）=0沿向量
a ?
?
h,k
?
平移后的方程为f（x-h，y-k）=0
32、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式
33、 在用 三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们
各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是
?
?
?
?
?
0,
?
,[0,],[0,
?
]
.
2
?
2
?
②直线的倾斜角、
l
1
到
l
2
的角、
l
1
与
l
2< br>的夹角的取值范围依次是
[0,
?
),[0,
?
),(0,< br>34、
?
?
2
]
．
不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
f
?
x
?
?a
?
a?0
?
的一般解题思路是什么？35、 分式不 等式（移项通分，分子分母分解因式，
g
?
x
?
x的系数变为正值， 奇穿偶回）
36、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
?
a?b
?
37、 利用重要不等式
a?b?2ab
以及 变式
ab?
??
等求函数的最值时，你是否注
?
2
?
意到a，b
?R
?
（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一
应是定值？(一正二定三相等)
2
a
2
?b
2
a?b2ab
38、 取等号）； a、
??ab? , (a , b?R
?
)
(当且仅当
a?b ?c
时，
22a?b
b、c
?
R，
a
2
? b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c时，取等号）；
39、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底
0?a?1
或

16

a?1
）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．
40、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
41、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）
三、数列
42、 等差数列中的重要性质：（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；（2）
数列{a< br>2n?1
}, {a
2n
}, {ka
n
?b}仍成等差数列
；
S
n
, S
2n
?S
n
, S
3n
?S
2n
仍成等差数列

（3）若三数成等差数列， 则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a-
3
d
、a-
1
d
、a+
1
d
、
222
a+
3
d
；
2
（4）在等差数列中,求S
n
的最大(小)值,其思路是找出某一项 ,使这项及它前面的项皆取
正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项 的和为最大(小).
即:当a
1
>0,d<0,解不等式组 a
n
≥0 a
n+1
≤0 可得S
n
达最大值时的n的值;当a
1
<0,d>0,解不等式组 a
n
≤0 a
n+1
≥0 可得S
n
达最小值时的n的值;（5）．若a
n
,b
n
是
等差数列,S
n
,T
n
分别为a
n
,b
n
的前n项和,则
a
m
S
2m?1
?
b
m
T
2m?1
。.（6）.若{
a
n
}是等差数列，
则{
a
a
n
}是等比数列，若{
a
n
}是等比数列且
a
n
?0
，则{
loga
an
}是等差数列.
43、 等比数列中的重要性质：（1）若
m?n?p?q< br>，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q；（2）
S
k
，
S
2k
?S
k
，S
3k
?S
2k
成等比数列
44、 你是否注意到在应用等比 数列求前n项和时，需要分类讨论．（
q?1
时，
S
n
?na
1
；
a
1
(1?q
n
)
）
q?1
时，
S
n
?
1?q
45、 等比数列的一个 求和公式：设等比数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，公比为
q
, 则
S
m?n
?S
m
?q
m
S
n
．
46、
47、
等差数列的一个性质：设
S
n
是数列?
a
n
?
的前n项和，
?
a
n
?为等差数列的充要条件是
S
n
?an
2
?bn
（a, b为常数）其公差是2a.
你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若
c
n
?a
n
b
n
，其中
?
a
n?
是等差
数列，
?
b
n
?
是等比数列，求?
c
n
?
的前n项的和）
48、 用
a
n< br>?S
n
?S
n?1
求数列的通项公式时，你注意到
a
1
?S
1
了吗？
111
??
49、 你还记得裂项求和吗？（如 .）
n(n?1)nn?1
四、排列组合、二项式定理
50、 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
51、 解 排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；
定位问题优先法；多元问 题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少
问题间接法，还记得什么时候用隔板法？
m
?C
n
52、 排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：
P
n
m
?m！

组合数性质：< br>C
=
C
m
n
n?m
n

C+
C
m
n
m?1
n
=
C
m
n ?1
r

?
C
n
=
2
n

r?0
n
rr?1
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
?Cn?1

0n1n?12n?22rn?rrnn
a?C
n
ab ?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b
二项式定理：
(a?b)
n
?C
n
rn?rr
ab
(r?0，
二项展开式的通项公式：
T
r?1
?C
n
1， 2?，n)

五、立体几何

17

53、 有关 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线
?
线面
?
面面，线⊥线
?
线⊥面
?
面⊥面，垂直常用向量来证。
54、 作出二面角的平面角主 要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面，
二作垂线，三作斜线，射影可见.
55、 二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量
56、 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）
57、 你记住三垂线定理及其逆定理了吗？
58、 有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常 与经度及纬度联系在一起，
你还记得经度及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角)
59、 你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V为顶点数，E是棱数，F为面< br>nF
数)，棱的两种算法，你还记得吗？(①多面体每面为n边形，则E=；②多面体每个
2
mV
顶点出发有m条棱，则E=)
2
六、解析几何
60、 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k
3
??不存在的情况？（例如：一条直线经过点
?
?3,?
?
，且被圆
x
2
?y
2
?25
截得的弦长为8，
2
??
求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）
61、 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及
?
值可要搞清）
线段的定比分点坐标公式
设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，则
x
1
?
?
x
2
x
1
?x
2
??
x?
x?
?
?
??
1?
?
2
中点坐标公式
??
y?
?
yy?y
22< br>?
y?
1
?
y?
1
?
?
1?
?
2
?
?
62、 若
A(x
1
,y
1< br>)，B(x
2
,y
2
)，C(x
3
,y
3< br>)
，则△ABC的重心G的坐标是
??
?
x
1
?x< br>2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
，
??
在利用定比分点解题时，你注意到
?
??1
了吗 ？
33
??
63、 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线 重合，而在立体几
何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
64、 直线方程的几种 形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式
的局限性.（如点斜式不适用于斜率不 存在的直线）
65、 对不重合的两条直线
l
1
:A
1
x ?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，有：
?
A< br>1
B
2
?A
2
B
1
l
1
l
2
?
?
；
l
1
?l
2
?A< br>1
A
2
?B
1
B
2
?0
．
?
A
1
C
2
?A
2
C
1
66、 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
xy
67、 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为
??1
，但不要忘记当 a=0
ab
时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．
68、 两直线
Ax?By?C
1
?0
和
Ax?By?C
2
?0
的距离公式d=——————————
69、 直线的方向向量还记得吗？直线的方向向 量与直线的斜率有何关系？当直线L的方
向向量为
m
=（x
0
，y< br>0
）时，直线斜率k=———————；当直线斜率为k时，直线的
方向向量
m
=—————

18

70、 到角公式及夹角公式———————，何时用？
71、 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1） 点到直线的距离；（2）直线方程与圆的
方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
72、 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
73、 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆
的几何性质.
74、 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？
两个 定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义
可能更为方便。（焦半 径公式：椭圆：|PF
1
|=
———— ；
|PF
2
|=
————
；双曲线：|PF
1
|=
———— ；
p
|PF
2
|=
————
（其中F
1
为左焦点F
2
为右焦点

）；抛物线：|PF|=|x
0
|+）
2
75、 在用圆锥曲线与 直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否
为零？判别式
??0
的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
??0
下进行）.
76、 椭圆中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；准线方程为
————
；焦点到相应准
线距离为
————
双曲线中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；准线方程为
————
；
焦点到相应准线距离为
————

77、 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
78、 你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何 条件代数化，特别是一些很不
起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线 段为直径的
圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程
不要忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得
画图分析哟！
79、 你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!
80、 在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，
明确 目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方
程中的y的系数变为正 值。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值范围，但也可以
不用线性规划。
七、向量
81、 向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：|< br>a
|
2
=
a
·
a
，
cosθ=
82、
x
1
x
2
?y
1
y
2

|a||b|
x
1
2
?y
1
2
x
2
2
?y
2
2
利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不 用讨论斜率不存在
a?b
?
的情况，要注意
a?b?0
是向量
a和向量b
夹角为钝角的必要而非充分条件。
83、 向量的运算要和实数运算有区别：如 两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结
合律，即
a(b?c)?(a?b)c
， 切记两向量不能相除。
84、 你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量 都可以用平
面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？
85、 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运
用，对于一个向量等式 ，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，
两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量。
86、 向量的直角坐标运算
设
a?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
,b ?
?
b
1
,b
2
,b
3
?
,则< br>a?b?
?
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
?


19 < br>????

?
a?b?
?
a
1
?b1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
?

?
a?
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
?
?
?R
?
???
??
??
??
22
?a
3
a ?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

a?a?a?a
1
2
?a
2

cos?a,b??
??
??
a
1
b
1
?a
2
b2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
22
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2
3

??
ab?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?b
3
,
?
?
?R
?
,
a?b?a< br>1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

???
设A=
?
x
1
,y
1
,z
1
?
, B=
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,
则
AB?OB?OA?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
-
?
x
1
,y
1
,z1
?
=
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
?


AB?
???
AB?AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2

八、导数
87、 导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。
88、 几个重要函数的导数：①
C
'
?0
,（C为常数）②
x
n
?nx
n?1
?
n?Q
?

'??
'
导数的四运算法则
?
?
?
?
?
?
?
'
?
?
'

89、 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f ’(x)≥0或f ’(x)≤0，带上
等号。
90、
f
?
(x
0
)=0是函数f(x)在x
0
处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在x
0
处取得极值
的充分要条件是 什么？
91、 利用导数求最值的步骤：（1）求导数
f
'
?
x< br>?
（2）求方程
f
'
?
x
?
=0的根
x
1
,x
2
,?,x
n

（3）计算极值及端点函数值的大小
（4）根据上述值的大小,确定最大值与最小值.
92、 求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出
极值 。告诉函数的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，
②函数在此点的值为定 值。
九、概率统计
93、 有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的 概率(常常采用排列组
合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率， 转化
为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但
要注 意公式的使用条件。
（1）若事件A、B为互斥事件,则P（A+B）=P（A）+P（B）
（2）若事件A、B为相互独立事件,则P（A·B）=P（A）·P（B）
（3）若事件A 、B为对立事件,则P（A）+P（B）=1一般地,
pA?1?P
?
A
?< br>
（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发n?k
kk
生K次的概率：
P
n
?
K
??C
n
p
?
1?p
?

94、 抽样方法主要 有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它
的主要特征是从总体中逐个抽 取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征
就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层 抽样，主要特征分层按比例抽样，主要
使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等。
95、 用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。
??

20