关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

初三升高一数学教材

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 16:54
tags:高中数学课本

高中数学圆的方程攻势-高中数学必修二专项总结


第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
(1) 元素:一般地,我们把研究的对象称为元素(element)。
元素通常用小写字母a

b

c…表示。
(2) 集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。
集合通常用大写字母A,B,C…表示。
课文说“我们一般用花括号‘{}’表示集合”,也 就是赋予了符号“{}”新的含义:表
示“所有的”、“全部的”,具有共同特征的研究对象都在大括号 内。
注意:{正数}表示所有大于0的实数组成的集合。这种表示是正确的。
但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义。
(3) 元素与集合的关系:元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。
元素a属于集合A,记作a?
A;元素a不属于集合A,记作a
?
A。
① 符号
?

?
是表示元素与集合之间的关系的,不能用来表示集合与集合之间的关系。
② a
?
A与a
?
A取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只有一种成立 。
(4) 集合中元素的特征:①确定性;②互异性;③无序性。
(5) 集合的分类:①有限集;②无限集。
(6) 集合的表示方法:
① 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。
如:大于1且小于10的偶数构成的集合
注意:用自然语言描述集合不要出现花括号{}。
② 列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在花括号内表示集合的方法。
注意元素不能重复且元素之间用分隔号“,”。
如:所有正奇数的集合为{1,3,5,7,9,…}
③ 描述法:把集合中元素的共同特征 描述出来,写在花括号内表示集合的方法,它的
一般形式是{x
?
I
|P(x )},其中“x”是集合中元素的代表形式,它的范围是I;“P(x)”
是集合中元素x的共同特征, 竖线不可省略。
如不等式2x-5>1的解集可表示为{x|x > 3}或{x
?
R|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1}
④ 韦恩(Ve nn)图法:为了形象地表示集合,常画一条封闭的曲线,用它的内部来表
示一个集合的整体。
⑤ 区间法:(将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。)
(7) 特殊集合的表示:
对于一些常用的数集,我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合:
①非负整数集(或自然数集)记作N;②正整数集记作N
+
或者N*;③整数集记作Z;
④有理数集记作Q;⑤实数集记作R。
[例1]考查下列每组对象能否构成一个集合:
(1)著名数学家;
(2)月成辅导学校所有高个子同学;
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点;
(4)
?
的近似值的全体;
(5)不超过10的非负数。


[例2]用符号
?

?
填空:
{xx?11}, 23 {xx?3}
; (2)
3
(1)
23
{xx?n
2
?1,n?N
*
}

(3)
(?1, 1) {yy?x
2
}, (?1,1) {(x,y)y?x
2
}

[例3]按要求分别表示下面的集合:
(1)用自然语言描述集合{0,2,4,6,8,…};
(2)用列举法表示集合{30的正约数};
(3)用描述法表示集合“正偶数集”;
(4)用描述法表示集合{2,-4,6,-8,…,98,-100};
(5)用列举法表 示集合{(x

y)|x+y=3,x
?
N,y
?
N}。

[例4]下面三个集合:①
{xy?x
2
?1}
;②{yy?x
2
?1}
;③
{(x,y)y?x
2
?1}

(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?


?x,x,x,?
[例5]由实数
x,
A.2 B.3 C.4
2
3
x
3
所组成的集合,最多含有元素的个数为()
D.5
22
x?x?4}
,若2
?
M,求x。 [例6]已知集合M={-2,
3x?3x?4,


2a?1,a?1}
,求实数
a
的值。 [例7]若
?3?{a?3,


[例8]设集合A={1,
a
b
},B={
a

a

ab
},且 A=B,求实数
a,b



[例9]已知集合S={a,b,c}中三个元素分别是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
[例10]已知集合< br>A?{xax?3x?2?0}
,其中
a
为常数且
a
?
R。
(1) 若集合A是空集,求
a
的范围;
(2) 若集合A只有一个元素,求
a
的值;
(3) 若集合A中至多有一个元素,求
a
的范围。





2
2
2


1.1.2 集合间的基本关系
(1) 子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们
说集 合A包含于集合B,或说集合B包含集合A,记作:A
?
B(或B
?
A)。这 时我们也
说集合A是集合B的子集。
注意:①当A不是B的子集是记作AB(或BA);②任 何一个集合是它本身的子集,
即A
?
A;③空集是一个特殊的集合,它不含任何元素, 通常记为
?
;④空集是任何集合的
子集,即
?
?
A;⑤子集 具有“传递性”,即:如果A
?
B,B
?
C,那么A
?
C。
(2) 集合相等:如果集合A中的任何一个元素,都是集合B中的元素,同时集合B中的
任何 一个元素都是集合A中的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。
根据集合相等的定义可知: 要证明A=B,只要证明A
?
B且B
?
A成立即可。
(3) 真子集:如果A
?
B,且A≠B,就说集合A是集合B的真子集,记作AB
注意:空集是任何非空集合的真子集。
(4) 有限集合的子集个数问题:
n

n
个元素的集合有
2
个子集;
n

n
个元素的集合有
2?1
个真子集;
n

n
个元素的集合有
2?1
个非空真集。
2
[例11]已知集合A=
{
-1,3,2
m
-1
}
, B=
{
3,
m
}
。若
B?A
,求实数
m
的值。


[例12]已知集合
P?{xx?1}
,集 合
Q?{xax?1}
,若Q
?
P,求
a
的值。


[例13]已知集合
A?x|x?x?6?0

B?
?< br>x|mx?1?0
?
,且
B?A
,求
m
取值范围。
2
2
??



[例14]下列各组中的两个集合相等的有()

P?{xx?2n,n?Z}, Q?{xx?2(n?1),n?Z}


P?{xx?2n?1,n?N
?
}, Q?{xx?2n?1,n?N
?
}

1?(?1)
n
Q?{xx?,n?Z}

P?{xx?x?0},
2
2
A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①②


[例15]已知集合M满足{1 ,2}
?
M
?
{1,2,3,4,5},满足条件的集合M有多少个?写出所有的满足条件的集合M。



[例16]设集合M={
x
A.M=N
x?3
?0
}, 集合N={
x(x?4)(x?1)?0
},则M与N的关系是()
x?2
C. M
?
N D.M
?
N B.M
?
N
[例17]已知A={
xk?1?x?2k
},B= {
x1?x?3
},且A
?
B,求实数k的取值范围。



1.1.3 集合的基本运算
(1) 并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。
记作A∪B。读作:A并B。其含义用符号表示为:
AB?{x|x?A,或x?B}

用Venn图表示并集如下:


B
A



(2) 交集:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集。
记作:A∩B。读作: A交B。其含义用符号表示为:
A?B?{xx?A,且x?B}

用Venn图表示交集如下:


A
B



(3) 交集与并集的运算性质:

A?A?A,A?A?A


A?
?
?
?
,A?
?
?A


A?B?B?A,A?B?B?A

(A?B)?C?A?(B?C)
; ④
(A?B)?C?A?(B?C),

A?B?A?A?B,A?B?A?B?A


(4) 全集:一般地, 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个
集合为全集,通常记作U。


(5) 补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集 合A
相对于全集U的补集,简称为集合A的补集。
其含义用符号表示为:
C
U
A?{xx?U,且x?A}

用Venn图表示交集如下:

U


A
C
U
A


(6) 补集与交集、并集的性质——反演律:

C
U
(A
?
B)
?
(C
U
A)
?
(C
U
B)
;②
C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)

[例18] 设U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则M
?
N=
M
?
N= C
U
M=
C
U
N= C
U
(M
?
N)=
[例19] 设集合
A?{x|?1?x?2},集合B?{x|1?x?3},求A

[例20] 设集合A={x
?Zx
2
?px?15?0
},集合B={x
?Zx
2
?5x?q?0
},若已知
A
?
B={2,3,5},则集合A、B分别为( )
A.{3,5}、{2,3} B.{2,3}、{3,5} C.{2,5}、{3,5} D.{3,5}、{2,5}
[例21]已知全集
U?{1,2,3,4,5},A?{xx ?5x?4?0}
,求
C
U
A


[例22]已 知集合
A?{xx?4mx?2m?6?0,x?R}

B?{xx?0,x?R}< br>,若已知
2
2
B.

A?B?
?
,求实数m的取值范围。





[例23] 设A={x
x?4x?0,B?{xx?2(a?1)x?a?1?0 }
,其中x
?
R,如果A
?
B=B,
求实数
a的取值范围。




222


[例24]已知
A?


?
yy?x
?
2
?4x?6,y?N,B?yy??x
2
?2x?18 ,y?N,求AB

???
[例25]已知集合
A?xx
2
?px?q?0,B?xx
2
?px?2q?0,且A


???
B?
?
?1
?
,求AB.

[例2 6]设全集
U?{a,b,c,d,e,f,g,h}
。已知
(C
U
A)?(C
U
B)?{a,e}

(C
U
A)?(CU
B)?{a,b,c,e,f,g,h}

(C
U
A)?B? {c,g}

(C
U
B)?A?{b,f,h}

求集合A 和集合B。







[例27] 若M={
xn?
xx?1
,n?Z
},N={
xn?,n?
Z},则M
?
N等于( )
2
2
D.Z A.
?
B.{
?
} C.{0}
[例28]已知集合
A?
?
xx
2
?4x?3?0,B?xx< br>2
?ax?a?1?0,C?xx
2
?mx?1?0,

?????
且AB?A,AC?C,求a,m
的值或取值范围。








[例29]定义A—B={x|x∈ A,且x
?
B},若M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则N—M= 。

[例30]某班50个学生中,参加数学竞赛的25个,参加化学竞赛的32人,既参加数学竞
赛又参加化学竞赛的人数最多是几人?最少又是几人?


1.2 函数的概念及其表示法
(1) 函数的定义:
①传统定义 :在某一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于在某一个范围内的任一
个x的值,都有唯一的y值与 它对应,则称y是x的函数,x叫自变量,y叫因变量。
②现代定义:设A、B是非空的数集,如果按 某个确定的对应关系f,使对于集合A中
的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对 应,那么就称f:A→B为从集
合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变 量,x的取值范围A叫
做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x) |x∈A}叫做
函数的值域。

(2) 映射的定义:一般地,设A、B是两个集合 ,如果按照某种对应关系f,对于集合A中
的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么 ,这样的对应(包括集合A、
B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f:A→B。如果
集合A中的元素a对应到集合B中的元素b,那么其中集合B中的元素b是集合A中元 素
a对应的“象”;b是a的“原象”。
由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射, 它要求
A

B
非空且皆为数集。
对应有以下几种形式:





开平方

求正弦

9

4

1
3
?3
2
?2
1
?1
30?
45?
60?
90?
1
2
2
2
3
2
1
1
?1
2
?2
3
?3
求平方

乘以2

1

4

9
1

2

3
1
2
3
4
5
6

(1) (2) (3) (4)
其中:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④)
总结:①根据映射的定义知“一对多”(如①)不是映射;②A中每一个元素都有象;
③B中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;④A中每一个元素的象唯一。

(3) 函数的定义域:函数的定义域是自变量x的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,
如果没有标明定义域,则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取
值范围,但要 注意,在实际问题中,定义域要受实际意义的制约。
如:
y?
正数;
y?< br>x
的定义域是非负实数;圆半径R与面积S的函数关系
S?
?
R
2
的定义域为
1
的定义域是非零实数……
x
注:求函数的定义域的常见类型
1.当f(x)为整式时,定义域为R;
2.当f(x)为分式时,定义域为使分母不为0的x的集合;
3.当f(x)为二次根式时,定义域为使被开方式非负的x的集合;
4.当f(x)是由几个式子组成时,定义域是使得各个式子都有意义的x的值的集合。


(4) 函数的对应法则:对应关系f是函数关系的本质特征,y=f(x)的意义是: y就是x
在关系到f下的对应值,而f是“对应”得以实现的方法和途径。


f(x)=3x+5,f表示自变量的3倍加上5。
(5) 函数的值域:函数的值域:自变量
x
在定义于内取值时相应的函数值的集合。
(6) 求函数的值域的常用方法:
1.观察法求函数值域
[例31]求下列函数值域:
2
y?1?x
x?[?1,2]
y??3x?2
(1) (2)
x?{?2,?1,0,1,2}

?
1,x?0
?< br>y?
?
0,x?0
3
y??1
?
?1,x?0
?
x
(4)(3)

2.配方法求二次函数值域
2
y?x?2x?3
,分别求它在下列区间上的值域。 [例32]已知函数
(1)
x?R
; (2)
x?[0,??)
; (3)
x?[?2,2]
; (4)
x?[1,2]

提示:(1)函数的定义域不同,值域也不同;
(2)二次函数的区间值域的求法:①配方;②作图;③求值域。





3.部分分式法求分式函数的值域(分离常数法)
[例33]求函数
y?

4.利用“已知函数的值域”求值域
[例34]求下列函数的值域:
2
y?1?3x
y?x?2x?3
; (1); (2)
2
y?25?x
(3); (4)
5x?4
的值域。
x?1
y?
1
x
2
?2x?3



5.换元法求函数值域
[例35]求函数
y?x?1?2x
的值域。



6.判别式法求函数值域
[例36] 求函数
y?1?2x?x
的值域。


(7) 两个函数相等的定义:函数的定义含有三个要素,即定义 域、值域和对应法则。当函
数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定 。因此,定义
域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同< br>时,这两个函数才是同一个函数。
[例37]试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=
x
2
,g(x)=
3
x
3

(2)f(x)=
x?0,
?
1
|x|
,g(x)=
?

?1x?0;
x
?
(3)f(x)=
x
x? 1
,g(x)=
x
2
?x

(4)f(x)=x
2
-2x-1,g(t)=t
2
-2t-1。
提示:对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数

(8) 区间的概念:设a

b是两个实数,且a① 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a

b];
② 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做闭区间,表示为(a

b);
③ 满足不等式a≤x<b和a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a

b)、(a

b
]

??)
,④ 实数集合R 可以用区间表示为
(??,

?
”读作“无穷大”,“
??
”读作“负
无穷大”。我们可以把满足不等式
x?a,x?a,x?b,x?b
的实数 x的集合分别
??), (a,??), (??,b), (??, b]
。 表示成
[a,
(9) 复合函数的定义域及其求法:若y=f(u),u=g(x),x
?
(a,b),u
?
(m,n),那么
y?f[g(x)]
称为< br>复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域。
①已知
f(x)
的定义域,求
f[
?
(x)]
的定义域,其实质是由
?
( x)
的取值范围求
x
的范围。
②已知
f[
?
(x )]
的定义域,求
f(x)
的定义域,其实质是由
x
的取值范围求< br>?
(x)
的范围。
2]
,求下列各函数的定义域: [例38]已知
y?f(x)
的定义域是
(0,
2

y?f(x)
; ②
y?f(2x?1)
; ③
y?f(x?2)




(10) 函数的表示法:
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点:简明;给自变量求函数值。
图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系。优点:直观形象,反应变化趋势。
列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点:不需计算就可看出函数值。
具体实例如:二次函数等;股市走势图; 列车时刻表;银行利率表。


[例39]某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一直分裂下去.
①用列表表示1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后,得到的细胞个数;
②用图像表示1个细胞分裂的次数n(n?N

)与得到的细胞个数y之间的关系。



(11) 分段函数:有些函数在其定义域中,对于自变量x的不同取 值范围,对应关系也不
同,这样的函数通常称为分段函数。分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两 个以上的
不同表达式,所以它的图像也由几部分构成。但是分段函数虽然由几部分构成,但它代表的是一个函数。
求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用 哪
一段的解析式。
作分段函数的图像时,则应分段分别作出其图像,在作每一段图像时,无不 管定义域的
限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可。

[例40]某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定:
⑴乘坐公共汽车5公里以内,票价2元;
⑵5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)。
已知两个相邻 的公共汽车站间相距为1公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设20
个汽车站,请根据题意,写出票 价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。
设票价为y,里程为x,则根据题意,如果某空调 汽车运行路线中设20个汽车站,那么
汽车行驶的里程约为20公里,所以自变量x的取值范围是
?
0,2
?

由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

(0?x?5)
?
2,
?
3,
?
(5?x?10)
y
=
?

(10?x?15)
?
4,
?
(15?x?20)
?
5,
根据这个函数解析式,可画出函数图象(如图)
像上面那样表示的函数称为分段函数
注意:1.表示函数的式式可以不止一个,对于分几个式子表示的函数,不是几个函数而是一个分段函数
2.函数的图象不一定是一条式几条无限长的
平滑曲线,也可以是一些孤立的点,一些线段,曲线。

(12) 函数图像的作法:①描点法;②变换作图法(平移、对称、其它)
[例41]作出下列函数的图像:
2
1?xx
?
(x?1)
2
, (x?0)
2

y?
?
; ②
y?x?2x?1
; ③
y?
2

x?1
(x?0)
?
2x,



(13) 用代入法和待定系数法求函数的解析式:
①代入法:如已知
f(x)?x?1
,求< br>f(x?x)
时有:
f(x?x)?(x?x)?1

②待定系数法 :已知
f(x)
的函数类型,要示
f(x)
的解析式时,可根据类型设解析式 ,从
而确定其系数即可。
[例42]已知
f(x)
是一次函数,且
f[f(x)]?4x?3
,求
f(x)


③换元法:已经函数
f[g(x)]

f(x)
时,令
t?g(x)
,再求f(t)
,然后用
x
代替t即可。
除上述方法以外,还有“拼凑法”、“方程组法”等。
[例43]求下列函数的解析式:
1.已知
f(x)?x?2x,

f(2x?1);
(代入法)

2.已知
f(x?1)?x?2x,

f(x)
;(换元 法,拼凑法)


3.已知
f(x)?2f()?3x?2
,求< br>f(x)
。(方程组法)


[例44]已知函数
f
?
x
?
?
?


2
22222
1
x
?
xx?0,
?xx?0,
2
试求
f{f[f(?2)]}
的值。
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
(1)如图是定义在闭区间[-5,5 ]上的函数
y?f(x)
的图象,根据图象说出
y?f(x)
的单
调 区间,及在每一单调区间上,
y?f(x)
是增函数还是减函数。
解:函数
y?f(x)
的单调区间有
?
?5,?2
?
,
?
? 2,1
?
,
?
1,3
?
,
?
3,5
?

其中
y?f(x)
在区间
?
?5,2
?

y
y
0
5 x
5
x
?
1,3
?
上是减函数,在区间
?
?2,1
?
,
?
3,5
?
上是增函数。
注意:1 单调区间的书写
2 各单调区间之间的关系

-5
-


(2)增函数与减函数的 定义:一般地,设函数
f(x)
的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值
x
1
、x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,则函数
f(x)
在区间D上是增函数;
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量的值
x
1
、x
2
,当
x
1
?x< br>2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,则函 数
f(x)
在区间D上是减函数。
根据函数的单调性的定义判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤:
①取值:在给定 区间上任取两个值
x
1

x
2
,且
x
1< br>?x
2

②作差变形:作差
f(x
1
)?f(x< br>2
)
,通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形;
③定号:判断上述差< br>f(x
1
)?f(x
2
)
的符号,若不能确定,则可分区间讨 论;
④结论:根据差的符号,得出单调性的结论。
[例45]求证:函数
f(x) ??
1
?1
在区间
(??,0)
上是单调增函数。
x
提示:按照上面所给步骤的格式进行证明。




[例46]求证:函数
f(x)?x?x
在R上是增函数。




[例47] (1)已知函数
f(x)?x?2(a?1)x?2
在区间
(??,3]
上是减函数,
求实数
a
的取值范围;
(2)已知
f(x)?x?2(a?1)x?2
的单调递减区间是(??,3]

求实数
a
的取值范围。



[例48]讨论函数
f(x)?








2
2
3
ax?1
1(a?)

(?2,??)
上的单调性。
2
x?2


(3)复合函数的单调性:

y?f(x )

u?g(x)

x?[a,b]

u?[m,n]都是单调函数,那么
y?f[g(x)]
在区

[a,b]
上也 是单调函数。并且:
①若
y?f(x)

[m,n]
上增函数,则
y?f[g(x)]
与定义在
[a,b]
上的函数
u?g(x)单调性相同。
②若
y?f(x)

[m,n]
上减函数,则
y?f[g(x)]
与定义在
[a,b]
上的函数
u?g(x)单调性相反。
即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层 函
数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)
[ 例49]已知
f(x)?x?2x?3
,试讨论函数
f(5?x)
的单调性。





(4)函数最大(小)值的定义:
一般的,设函数
y?f(x)
的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于 任意的
x?I
,都有
f(x)?M
;②存在
x
0
? I
,使得
f(x
0
)?M

那么我们称M是函数
y?f(x)
的最大值。
下图为函数
y?f( x),x?[?4,7]
的图像,指出它的最大值、最小值及单调区间。
y
3
2
-1.5
1
-4 -3 -2 -1
O
1
2
3 4 5 6
-1
-2

[例50]求下列函数的最小值:
1.
y?x?2x
2.
y?


[例51] 函数
y?x?2x?3
在闭区间
[0,m]
上有最大值3,最小值2,求m的取值范围。


2
2
22
7 x
1
,x?[1,3]
3.
y?2x?1?x

x


?
2x?3x?0
?
[例52]函数
y?
?
x?30?x?1
的最大值是多少?
?
?x?5x?1
?






[例53] 求
f(x)?





1.3.2 奇偶性
引:对于f(x)

x

f(x)< br>=
x

f(x)

x

f(x)

x,分别比较f(x)与f(

x)。
(1)偶函数:一般地,如果对于函 数
f(x)
的定义域内任意一个
x
,都有
f(?x)?f(x)
那么函数
f(x)
就叫做偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数< br>f(x)
的定义域内任意一个
x
,都有
f(?x)??f(x)

那么函数
f(x)
就叫做奇函数。
(3)奇偶性:如果函数
f (x)
是奇函数或偶函数,那么就说明函数
f(x)
具有奇偶性。
(4)正 确理解函数奇偶性的定义。定义是判断或讨论函数奇偶性的依据,由定义知,若
x

定 义域中的一个数值,那么-
x
也必然在定义域中,因此,函数
y?f(x)
是 奇函数或偶函数
的一个必不可少的条件是:定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之,所给函数 的
定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性。
无奇偶性的函数是非奇非偶函数 ;若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质,则既是
奇函数,又是偶函数。
(5)两个奇偶函数四则运算的性质:
①两个奇函数的和仍为奇函数;
②两个偶函数的和仍为偶函数;
③两个奇函数的积是偶函数;
④两个偶函数的积是偶函数;
⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
234
1
的最大值为。
1?x(1?x)


[例54]判别下列函数的奇偶性:
1
3
x
f(x)=|x+1|+|x

1|

f(x)=< br>2

f(x)=x+

f(x)
=、
f(x)
x
2
,x

[-2,3]
2
x
1 ?x
x
提示:函数奇偶性判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、 比
商法判别f(x)与f(-x)的关系。
思考:f(x)=0的奇偶性?


[例55]设f(x)

ax+bx+5,已知f(-7)=-17,求f (7)的值。


[例56]已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x )

g(x)

1
,求f(x)

g(x)。
x?1
7


[例57]已知函数f(x),对任意实数x

y,都有f(x+y)

f(x)

f(y),试判别f(x)的 奇偶性。



[例58]已知f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函 数且最大值为4,那么f(x)在[-7,-3]上是 函
数,且最 值是 。

[例59]已知函数f(x)=ax
2
+bx+3a+b为偶函数,其 定义域为[a-1,2a],求函数值域。



(6)函数的奇偶性与单调性之间的关系:
一般地,若
f(x)
为奇函数, 则
f(x)
在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性;若
f(x)

偶函数,则
f(x)
在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性。请大家试 证明之。
2
[例60]定义在
(?1,1)
上的奇函数
f(x)< br>在整个定义域上是减函数,若
f(1?a)?f(1?a)?0

求实数
a
的取值范围。



[例61]已知函数
y?f(x )
是偶函数,在
x?(0,??)
上递减,且
f(x)?0
,试问:
g(x)?





1
0)
上是增函数还是减函数,并证明之。 在
(??,
f(x)


(7)奇函数、偶函数的图像的性质:
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形(奇函
数的图像不一定过 原点);反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称
图形,则这个函数是奇函数。
由于奇函数的图像关于原点对称,那么我们可以得出结论:如果奇函数
f(x)
的定义 域
为R时,那么必有
f(0)?0
,这是一个非常重要的结论,在许多与函数的奇偶性 有关的综
合题型中求解函数的一些性质时往往需要用到它。
如果一个函数是偶函数,则这个函 数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如
果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形, 则这个函数是偶函数。
根据上面的性质,我们也可以学习到画函数图像的另一种方法:如果知道一个函 数的奇
偶性,我们只要把它的定义域分成关于原点对称的两个部分,得出其中一个部分的函数图像
和性质就可以推出这个函数在另一部分上的图像和性质。
[例62]
y?f(x)
是偶函数,图像与x轴有四个交点,则方程
f(x)?0
所有实根之和是()
A.4 B.2 C.1 D.0
[例63]若函数
f(x)
是定义在R上的偶函数 ,在
(??,0]
上是减函数,且
f(2)?0

则使得
f(x)?0
的x的取值范围是( )
(A)
(??,2)
(B)
(2,??)
(C)
(??,?2)?(2,??)
(D)(-2,2)
[例64]设奇函数
f(x)

(0,??)
上为增函数,且
f(1)?0
,则 不等式
f(x)?f(?x)
?0
的解集为( )
x
,0)
(A)
(?1(1,??)




?1)
(B)
(??,
,0)
(D)
(?1(01),

?1)
(C)
(??,(1,??)

(01),

[例65]设函数
f(x)?


(x?1)(x?a)
为奇函数,则
a?

x
[ 例66]设
f(x)
是定义在R上的奇函数,且
y?f(x)
的图象关于直线
x?

f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)
=______ __________.


1
对称,
2
[例67]已 知定义域为R的函数
f(x)

(8,??)
上为减函数,且函数
y ?f(x?8)

偶函数,则( )
(A)
f(6)?f(7)
(B)
f(6)?f(9)
(C)
f(7)?f(9)
(D)
f(7)?f(10)


第一章 知识与能力同步检测(A)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.已知全集
U?
?
1,2,3,4,5,6,7
?
A?
?
2,4,5
?
,则
C
u
A?
( )
A.
?
B.
?
2,4,6
?
C.
?
1,3,6,7
?
D.
?
1,3,5,7
?

2.已知集合
A?x?1?x?3, B?x2?x?5,则A
????
B?
( )
A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] C. (-1,5) D. (-1,5]
3.图中阴影部分表示的集合是( )
A.
A
?
C
U
B
B.
C
U
A?B

C.
C
U
(A
?
B)
D.
C
U
(A?B)

4.方程组
?
U
A
B
?
x?2y?3
的解集是( )
?
2x?y?11
A .
?
51,,
?
B.
?
15
?
C.
,5
?
?

?
?
D. < br>?
?
1,
?
?
51
5.已知集合
A?xx? 3k,k?Z,B?xx?6k,k?Z
, 则A与B之间的关系是( )
A.
A?B
B.
A?B
C.
A?B
D.
A?B

6.下列函数与y=x表示同一函数的是( )
A.
y?
????
?
x
?
B.
y?
2
2
3
x
C.
y?
3
x
2
x
D.
y?

x
2
7.函数
y?x?6x
的减区间是( )
A . (
??
,2] B. [2,
??
) C. [3,
??
) D. (
??
,3]
8.函数
y?
4
在区间
?
3,6
?
上是减函数,则y的最小值是( )
x?2
A . 1 B. 3 C. -2 D. 5
9.下列说法错误的是( )
A.
y?x?x
是偶函数
B. 偶函数的图象关于y轴轴对称
C.
y?x?x
是奇函数
D. 奇函数的图象关于原点中心对称
10.函数f(x)=
32
42
x?1?4?x
的定义域是( )
[4,
??
] A.
?
B .
?
1,4
?
C.
?
1,4
?
D. (
??
,1)


11.函数f(x)=
?
,x?0
?
2x
,则
f(?2)
=( )
?
x(x?1)
,x?0
A. 1 B .2 C. 3 D. 4
12.某部队练习发射炮弹,炮弹的高度h与时间t 的函数关系式是
h
?
t
?
??4.9t
2
?14. 7t?18
则炮弹在发射几秒后最高呢( )
A. 1.3秒 B. 1.4秒 C. 1.5秒 D 1.6秒
选择题答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(每小题4分,共16分)
13.已知集合
A?
?
a, b,c,
?
,则集合A的真子集的个数是
14.函数
y?
2?x
的定义域是
x?1
53
15.已知
f
?
x
?
?x?ax?b x?8,
f
?
?2
?
?10
,则
f
?2
?
?

16. 对于函数
f(x)
,定义域为D,若存在
x
0
?D
使
f(x
0
)?x
0
,则称
(x
0
,x
0
)

f( x)
的图象
上的不动点。由此,函数
f(x)?
9x?5
的图象上不动点的坐标为
x?3

三、解答题(每大题12分,共48分)
17.已知集合
A?x?2?x?5

B?xm?1?x?2m?1

(1)当m=3时,求集合
A














??
??
B
; (2)若
B?A
,求实数m的取值范围。


18.已知
f(x )?(m?1)x?(m?1)x?n?2
,当
m,n
为何值时,
f(x)< br>为奇函数。







19 .已知函数
f
?
x
?
??x
2
?2x

(1)讨论
f
?
x
?

[1,??)
上的 单调性并证明之;
(2)当
x?
?
2,5
?
时,求
f
?
x
?
的最值。








20. 已知函数
f
?
x
?
?x?
(1)求实数m的值;
(2)判断
f
?
x
?
奇偶性;
(3) 讨论函数
f
?
x
?

[2,??)
上的单调性?并证明你的 结论。















22
m

,
且此函数图象过点(1,5)
x


第一章 知识与能力同步检测(B)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.设集合
A? {1,2}
,则满足
A?B?{1,2,3}
的集合B的个数是( )
A.1 B.3 C.4 D.8
2.已知集合M={x|
x
2
?0
},N={y|y=3x+1,x?R},则M?N=( )
3
(x?1)
A.? B.{x|x?1} C.{x|x?1} D.{x| x?1或x?0}

3.下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是( )
A.
M?{
?
}
,
N?{3.14159}
B.
M?{2,3}
,
N?{(2,3)}

C.
M?{x|?1?x?1,x?N}
,
N?{1}
D.
M?{1,3,
?
}
,
N?{
?
,1,|?3|}


4.若
A?{x| 0?x?2},B?{x|1?x?2}
,则
AB?
( )
A.
{x|x?2}
B.
{x|x?1}
C.
{x|1?x?2}
D.
{x|0?x?2}


5.设集合
M?{x|?1?x?2}

N?{x|x?k?0}
,若MN?
?
,则
k
的取值范围是( )
A.
(??,2]
B.
[?1,??)
C.
(?1,??)
D.[-1,2]

6.已知
f( x)?ax
7
?bx
5
?cx
3
?2
,且
f(?5)?m,

f(5)?f(?5)
的值为( )
A. 4 B. 0 C. 2m D.
?m?4


7.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下 的路,设在途中花的时间为
t,离开家里的路程为d,下面图形中,能反映该同学的行程的是( )

d d d d




t t t t
O O O

O

A. B. C. D.
8.定义 集合A、B的一种运算:
A?B?{xx?x
1
?x
2
,其中x1
?A,x
2
?B}
,若
A?{1,2,3}

B?{1,2}
,则
A?B
中的所有元素数字之和为( )
A.9 B. 14 C.18 D.21

9.已知函数
f(x)?ax?2ax?4(0?a?3),

x
1
?x
2
,x
1
?x
2
?1?a,
则( )


A.
f(x
1
)?f(x
2
)

C.
f(x
1
)?f(x
2
)

B.
f(x
1
)?f(x
2
)

D.f(x
1
)

f(x
2
)
的大小不能确定 < br>2
10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文
?
密文(加密),接 收方由密文
?

文(解密),加密规则为:明文
a,b,c,d
对应 密文
a?2b,2b?c,2c?3d,4d.
如明文
1,2,3,4
对应密 文
5,7,18,16.
当接收方收到密文
14,9,23,28
时,解密得 到明文为( )
A.
7,6,1,4
B.
6,4,1,7
C.
4,6,1,7
D.
1,6,4,7


选择题答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(每小题4分,共16分)
11.函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足 条件
f
?
x?2
?
?
53
1
,若
f
?
1
?
??5,

ff
?
5
?
?
_____
f
?
x
?
??
12.已知 函数
f(x)?x?ax?bx?8

f(?2)?10
,求
f(2 )
=__________
?
1
?
2x?3,x?0
13 .设
g(x)?
?
,则
g(g())?
__________ 2
2
?
?
x?x,x?0
?
x
??
2
?
2?x
g(x)?f?f
????
的定义域为_________ ____ 14.设
f(x)?
,则
2
2?x
???
x< br>?

三、解答题(一共四大题,共44分)
15.(本小题满分11分)
已知函数
f(x)?ax?bx?1 (a,b为实数),x?R,
F(x)?< br>?
2
(x?0)
?
f(x)

?
?f(x) (x?0)
(1)若
f(?1)?0,
且函数
f(x)
的值域为
[0, ??)
,求
F(x)
的表达式;
2]
时,
g(x)?f(x)?kx
是单调函数,求实数k的 (2)在(1)的条件下,当
x?[?2,
取值范围;
(3)设
m? n?0

m?n?0,
a?0

f(x)
为偶函数,判断< br>F(m)

F(n)
能否大于零?








16.(满分11分)
已知定义域为R的函数f(x)满足
f[f(x)?x?x]?f(x)?x?x

(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x
0
,使得f(x
0
)= x
0
,求函数f(x)的解析表达式。




22


17.(本小题满分11分)
设函数
f(x)?x
2
?4x?5

(1)在区间
[?2,6]
上画出函数
f(x)
的图像;
( 2)设集合
A?xf(x)?5,B?(??,?2]?[0,4]?[6,??)
。试判断集 合
A

??
B
之间的关系,并给出证明;
(3) 当
k?2
时,求证:在区间
[?1,5]
上,
y?kx?3k
的图像位于
f(x)
图像的上方。








18.(本小题满分11分)
设a为实数,记函数
f(x)?a1?x
2
?1?x?1?x
的最大值为g(a)。
(1)设t=
1?x?1?x
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
1
(2)试求满足
g(a)?g()
的所有实数a。
a







第二章 基本初等函数(I)
2.1 指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算
(1) 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?
归纳:若
x?a
,则
x
叫做a的平方根。同理,若
x?a
,则
x
叫做a的立 方根。
根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方
根 为
?2
,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8的立方根为―2;零的平方根、< br>立方根均为零。

(2) n次方根的概念
n次方根的定义及性质是平方根 、立方根的定义及性质的推广,根式记号是平方根、立
方根记号的推广。
n次方根:一般地,若
x
n
?a
,则x叫做a的n次方根,其中n >1,且n∈N,当n

23
为偶数时,a的n次方根中,正数用
n
a
表示,如果是负数,用
?
n
a
表示,
n
a
叫做根式.
当n为奇数时,a的n次方根用符号
n
a
表示,其中n称为根指 数,a为被开方数。
n
?
?
n为奇数, a的n次方根有一个,为a

a为正数:
?
n
?
?
n为偶数, a的n次方根有两个,为?a
?
?
n为奇数, a的n次方根只有一个,为
n
a

a为负数:
?
?
?
n为偶数, a的n次方根不存在.
零的n次方根为零,记为
n
0?0

小结:一 个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还
要分清n为奇数和偶数两种 情况。

(3) 根据n次方根的意义,可得:
(
n
a)
n
?a
,它肯定成立。而
a
n
表示a的n次方根,
nn
但是等式
a?a
一定成立吗?如果不一定成立,那么
a
等于什 么?
若n为奇数,
a?a
; 若n为偶数,
n
a
n
?|a|?
?

3
(?3)?
3
?27??3,< br>4
(?8)?|?8|?8

小结:当n为偶数时,
a
化简得 到结果先取绝对值,再根据绝对值算具体的值,这
样就避免出现错误。
n
n
34
n
n
n
n
n
n
?
a,a?0

?a,a?0
?


(4) 初中时的整数指数幂,运算性质有:
a
n
?a?a?a???a,a
0
?1(a?0),0
0
无意义

a
?n
?
1
a
n
(a?0)

a
m
?a
n
?a
m?n
;(a
m
)
n
?a
mn

(a
n
)
m
?a< br>mn
,(ab)
n
?a
n
b
n


(5) 分数指数幂:
观察以下式子,并总结出规律:
a
>0

a

a
m
n
4
5
10
?(a)?a?a

a?(a)?a?a

5
252
10
5
842 4
8
2
12
?(a)?a?a

a
4
343
12
4
5
10
?(a)?a?a

5
252
10
5
为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
)

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同。
即:
a
?
m
n
?
1
a
m
n
(a?0,m,n?N
*< br>)

规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
说明:规定 好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的
一种新的写法,而不是
a
n
m
?a?a???a(a?0)

1
m
1< br>m
1
m
由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的 ,整数指数幂
的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
1)
a?a?a
rS
rsr?s
(a?0,r,s?Q)

2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)

3)
(a?b)?ab(Q?0,b?0,r?Q)

[例1] 求下列各式的值
(1)
(1)
3
rrr
rs
(?8)
3

(2)(?10)
2

(3)
4
(3?
?
)
4

(4)(a?b)
2


[例2] 求出下列各式的值

(1)
7
(?2)

[例3] 若
a
2
?2a?1?a?1,求a的取值范围


[例4] 计算
3
(?8)
3
?
4
(3?2)4
?
3
(2?3)
3

7
(2)
3< br>(3a?3)
3
(a?1)(3)(3a?3)
4

4


1
(2
n?1
)
2
?()
2n?1
2
[例5] 计算:的结果
n?2
48
a
10
1
[例6] 若
a
3< br>?3,a
10
?384,求a
3
?[()
7
]
n?3
的值

a
3
(6) 与分数指数幂有关的混合运算:
四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整数幂的
运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。
[例7] 计算下列各式(式中字母都是正数)
(1)
(2ab)(?6ab)?(?3ab)


[例8] 计算下列各式(1)
(25?125)?25

?
2
3
9
2
3
4
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
(2)
(mn)

1
4
?
3
8
8
(2)
a
2
a.a
3
2
(a
>0)
(3)
(9)(10)?100
(4)
3?22?3?22


[例9] 计算:(1)
7
3
3?3
3
24?6
3

(2)
0.0081

(3)
a?a

3
3
2
?3
?
1
4
3
2
5
2
1
4
3
?33

9
7
0?1
3
?
3
?
2
?0.25
?[3?()]?[81?(3)]?10? 0.027
3

88
1
2
1
2
131
1
1
?(a)(a)

1
3
?5
??
(4)
a?8ab
4b?2ab?a
2
3
3
2
3
4
3
?(1?2
3
b
3
)a
; (5)
23?610?43?22

a

[例10](1)已知< br>2?2
x?xx?x
?a
(常数),求
8?8
的值;
x?y
,求(2)已知
x?y?12,xy?9,
x?y
x?y< br>1
2
1
2
1
2
1
2
的值。
(3)已知
x?x
1
2
?
1
2
?3
,求
x
2
?x
?2
?2
x?x
3
2
?
3
2
的值;
?3


2.1.2 指数函数及其性质
(1) 指数函数的定义:
函数
y?a

a
>0且
a
≠1)叫做指数函数,其中
x
是自变量,函数的定义域为R。
思考:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1)
y?2
x?2
x
(2)
y?(?2)
(3)
y??2
(4)
y?
?
(5)
y?x

x
xxx2
(6)
y?4x
(7)
y?x
(8)
y?(a?1)

a
>1,且
a?2

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因 为
a
>0,
x
是任意一个实数时,
a
是一个
确定的 实数,所以函数的定义域为实数集R。
x
?
?
当x?0时,a等于0

若a?0,
?x
?
?
当x?0时,a无意义
2
x
x
11
a
<0,如
y?(?2)
x
,先时,对于x=,x?等等,< br>在实数范围内的函数值不存在。
68

a
=1,
y?1?1,
是一个常量,没有研究的意义,只有满足
y?a(a?0,且a?1)
的形式才能称为指数函数,
a为常数,象y=2-3,y=2,y?x
x
,y ?3
x?5
,y?3
x
?1等等,

x
1
x
xx
符合
y?a
x
(a?0且a?1)的形式,所以不是指数函数

(2) 指数函数图象的研究:
先来研究
a
>1的情况。用描点法画出函数
y?2
的图象:
取点列表如下(请填写空白部分):
x
x

?3.00

?2.00

?1.00

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00


1

2
y?2
x

1
y



2
y=2
x

4













-
-
- - - - - -
-
-
- - - -
0 x


再研究,0<
a
<1的情况,完成以下表格并绘出函 数
y?()
的图象
1
2
x
x

1
y?()
x

2
?2.00?1.50?1.000.001.002.00

4


x

2

1
















?
1
?
y?
??

?
2
?
-
-
- - - - -
y
-
-
-
- - - -
0 x

(3) 指数函数图象的特征和性质:
图象特征 函数性质
a
>1 0<
a
<1

x
轴正负方向无限延伸
图象关于原点和
y
轴不对称
函数图象都在
x
轴上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右,
图象逐渐上升
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
自左向右,
图象逐渐下降
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于1
a
>1 0<
a
<1
非奇非偶函数
函数的定义域为R
函数的值域为R
+
a
0
=1
增函数 减函数
x
>0,
a
x
>1
x
<0,
a
x
<1
x
>0,
a
x
<1
x
<0,
a
x
>1

(4) 利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在
[a,b]上,f(x)=a

a
>0且
a
≠1)值域是
[f(a),f(b)]或[f(b),f (a)];

(2)若
x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;

(3)对于指数函数
f(x)?a

a
>0且
a
≠1), 总有
f(1)?a;

(4)当
a
>1时,若
x
1

x
2
,则
f(x
1
)

f(x
2
)


x
x


[例11] 已知 指数函数
f(x)?a

a
>0且
a
≠1)的图象过点(3 ,π),

f(0),f(1),f(?3)的值.


[例12]求下列函数的定义域:(1)
y?2

[例13] 比较下列各题中的各值的大小
(1)1.7

[例14]设
x?0
,且
a?b?1

a?0

b?0
),则
a

b
的大小关系是( )
A.
b?a?1
B.
a?b?1
C.
1?b?a
D.
1?a?b

[例15]若函数
y?2
xx
2.5
x
4
x?4
(2)
y?()

2
3
|x|
与 1.7
3
(2)
0.8
?0.1

0.8
?0.2
(3) 1.7
0.3
与 0.9
3.1
?m
的图象不经过第一象限,则
m
的取值范围是( )
A.
m??2
B.
m??2
C.
m??1
D.
m??1

xx
[例16]已知函 数
y?4?3?2?3
的值域为
?
1,7
?
,则
x
的范围是( )
A.
?
2,4
?
B.
(??,0)
C.
(0,1)?
?
2,4
?
D.
?
??,0
?
?
?
1,2
?

[例17]如图为指数函数
(1)y?a,(2)y?b,(3)y?c,(4)y?d
,则
a,b,c,d
与1的大小
关系为 ( )
y

A.
a?b?1?c?d
B.
b?a?1?d?c

a

b

c

d

C.
1?a?b?c?d
D.
a?b?1?d?c

[例18]已知函数
f(x)?a?
x xxx
?x?1
x?2
(a?1)

x?1
求证:函数
f(x)

(?1,??)
上为增函数。
x
O
x




[例19]要使函数< br>y?1?2?a?4

x?
?
??,1
?

y?0
恒成立。求
a
的取值范围。
xx

[例20]已知
2
x

[例21]设函数
f(x)?2

[例22](2004全国III理)解方程
4?1?2?11

(2004全国III文)解方程
4?2


xx?2
x? 1?x?1
2
?x
?
1
?
?
??
?
4
?
x?2
,
求函数
y?2
x
?2
?x
的值域

,求使
f(x)?22

x
取值范围。
xx
?12?0


2.2 对数函数
2.2.1对数与对数运算
(1) 对数的概念:
x
一般地,若
a?N(a?0,且a?1)
,那么数
x
叫做以a为底N的对数,记作
x?l og
a
N

a
叫做对数的底数,N叫做真数。
2
如:
4?16,则2?log
4
16
,读作“2是以4为底,16的对数”;

4?2
,则
1
2
1
1

?log
4
2
,读作“是以4为底2的对数”
2
2
(2) 对数式与指数式的互化:
在对数的概念中,要注意:
1)底数的限制
a
>0,且
a
≠1
x
2)
a?N?log
a
N?x

指数式
?
对数式
幂底数←
a
→对数底数
指 数←
x
→对数
幂 ←N→真数
说明:对数式
log
a
N
可看作一个记号,表示底为
a

a
>0,且
a
≠1),幂为N的指数
或表示方程
a?N

a
>0,且< br>a
≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为
a

a
> 0,

a
≠1)幂为N,求幂指数的运算. 因此,对数式
log
a
N
又可看幂运算的逆运算。
(3) 两类特殊的对数:
① 以10为底的对数称为常用对数,
log
10
N< br>常记为
lgN
.
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对 数,
log
e
N
常记为
lnN
.
以后解题时 ,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如100的对数等于2,

lg100?2
.
(4) 对数的运算:
对数式可看作指数运算的逆运算,这样我们能从指数与对 数的关系以及指数运算性质,
得出相应的对数运算性质。
如:
a?a?a
m nm?n
m?n
,设M?a
m
,N?a
n

于是< br>MN?a,
由对数的定义得到
x
M?a
m
?m?log< br>a
M,N?a
n
?n?log
a
N

MN? a
m?n
?m?n?log
a
MN

得:
log< br>a
M?log
a
N?log
a
MN


即:同底对数相加,底数不变,真数相乘。
根据指数的性质按照以上的方法可以推出对数的其它性质:
如果
a
>0且
a
≠1,M>0,N>0,那么:
1)log
a
MN?log
a
M?log
a
N
< br>2)
log
a
M
?log
a
M?log
a< br>N

N
(n?R)

n
3)
log
a
M?nlog
a
M
4)
log
a
b?
l og
c
b
(换底公式,换的底C只要满足C>0且C≠1即可。)
log
c
a
[例23] 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
11
m
(3)
()?5.73

643
(4)
log
1
16??4
(5)
log
10
0.01??2
(6)
log
e
10?2.303

(1)5=645 (2)
2
4
?6
?
2

[例24] 求下列各式中x的值
(1)
log
64
x??

[例25] 将下列指数式与对数式互化,有
x
的求出
x
的值 .
(1)
5
?
1
2
2
2
(2)
log
x
8?6
(3)
lg100?x
(4)
?lne?x

3
?
x
1
(2)
log
5
4
2
?x
(3)
3
x
?
5
1

27
(4)
()?64
(5)
lg0.0001?x
(6)
lne?x


bN
归纳小结: ①
a?N?b?log
a
(a
>0且
a
≠1)
1
4
1的对数是零,负数和零没有对数
a?

1
a
>0且
a
≠1 ②对数的性质
lo
a
g

a
[例26](1)求
a

(2)计算
3



log
3
5
log
a
b?logb
c?log
c
N
log
a
N
?N

的值(a,b,c?R
+
,
且不等于1,N>0)
?3
log
3
1
5
的值


[例27] 判断下列式子是否正确,
a
>0且
a
≠ 1,
x
>0且
a
≠1,
x
>0,
x
y
,则有
(1)
log
a
x?log
a
y? log
a
(x?y)
(2)
log
a
x?log
a
y?log
a
(x?y)

(3)
log
a
x
?log
a
x?log
a
y
(4)
log
a
xy?log
a
x?log
a
y< br>
y
1

x
n
(5)
(log
a< br>x)?nlog
a
x
(6)
log
a
x??log
a
(7)
n
log
a
x?
1
log
a
x

n
[例28] 用
log
a
x

log
a
y

log
a
z
表示出(1)(2)小题,并求出(3)、(4)小题的值。
x
2
y
xy
75
(1)
log
a
(2)
log
a
(3)
log
2
(4?2)
(4)
lg
5
100

3
z
z
[例29]已知
3?5?c
,且

22
[例30] 设
x?1

y?1
,且
2log
x
y?2log
y
x?3?0
,求
T?x?4y
的 最小值。
ab
11
??2
,求
c
的值。
ab


[例31] 解方程
log
4
?
3x?1
?
?log
4
?
x?1
?
?log
4
?
3?x
?



[例32] 若
a?
ln2ln3ln5
,则( )
,b?,c?
235
2
(A)a[例33] 已知二次函数
f(x)?
?
lga
?
?x?2x?4lga
的最大值是3,求
a
的 值。


[例34]如果方程lg
2
x+(lg7+lg5)lg x+lg7·lg5=0的两根为α、β,求α·β的值。



[例35] 求值或化简

log
2
1?lg9?lg240< br>71
2
?log
2
12?log
2
42?1

(2)?1

482
236
1?lg27?lg
35
1


2.2.2 对数函数及其性质
(1) 对数函数的定义:
一般地 ,我们把函数
y?log
a
x

a
>0且
a
≠1)叫做对数函数,其中
x
是自变量,函
数的定义域是(0,+∞)
注意两点:
y
①根据对数与指数式的关系,知
y?log
a
x
可化为
a?x
,根据指数的概念,要使
a
y
?x
有意义,必须规定
a
>0且
a
≠1。
y
y
②因 为
y?log
a
x
可化为
x?a
,不管
y
取什么值,由指数函数的性质,
a
>0,所以
x?(0,??)

(2) 研究对数函数的图象:
根据下表用描点法画出函数
y?log
2< br>x
的图象,并在同一坐标系里按同样的方法画出
y?log
0.5
x< br>的图象。
1

x
1
2
2
1
4
2
6
2.58
8
3
12
3.58
16
4
y

y
-1 0
y?log
0.5
x




0 x



y?log
2
x


注意到:
y?log
1
x??log
2
x
,若点
(x,y)在y?l og
2
x
的图象上,则点
2
(x,?y)在y?log
1
x
的图象上. 由于(
x,?y
)与(
x,?y
)关于
x
轴对称,因此,
2
y?log
1
x
的图象与
y?log
2
x
的图象关于
x
轴对称。
2
所以,由此我们可以画出
y?log
1
x
的图象。 2
进一步探究:选取底数
a(a
>0,且
a
≠1)的若干不同的 值,在同一平面直角坐标系内
作出相应的对数函数的图象。观察下面的图象,你能发现它们有哪些特征吗 ?


4
y?log
4
x

y?log
3
x

y?log
1
x

y?log
1
x
的图象: 以下是用多媒体画出
y?log
3
x

2
34
y?log
4
x

-5
0
5
y?log
1
x

-2
y?log
1
x


3
4
(3) 对数函数性质:
-4
图象的特征
(1)图象都在
y
轴的右边
函数的性质
(1)定义域是(0,+∞)
(2)1的对数是0
(3)当
a
>1时,
y?log
a
是增函数,当
0<
a
<1时,
y?log
a
x
是减函数。 (4)当
a
>1时,
x
>1,则
log
a
x< br>>0
x
(2)函数图象都经过(1,0)点
(3)从左往右看,当
a
>1时,图象
逐渐上升,当0<
a
<1时,图象逐渐
下降。 (4)当
a
>1时,函数图象在(1,0)
点右边的纵坐标都大于0,在(1,0 )
0<
x
<1,
log
a
x
<0
a
点左边的纵坐标都小于0. 当0<<
1时,图象正好相反,在(1,0)点右当0<
a
<1时,
x
>1,则
log
a
x<0
边的纵坐标都小于0,在(1,0)点左
边的纵坐标都大于0。
0<
x
<1,
log
a
x
<0
[例36] 求下列函数的定义域
(1)
y?log
a
x
(2)
y?log
a
(4?x)

a
>0且
a
≠1)

[例37] 比较下列各组数中的两个值大小
(1)
log
2
3.4,
(3)< br>log
a
5.1,
2
log
2
8.5
(2)
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7

log
a
5.9

a
>0,且
a
≠1)
x
[例38] 已知函数
y?f(2)
的定义域为[-1,1],则函数y?f(log
2
x)
的定义域为
[例39] 求函数
y?2?log
2
x(x?1)
的值域。
[例40] 已知
log
m
7

log
n
7
<0,按大小顺 序排列m, n, 0, 1
[例41] 已知0<
a
<1, b>1, ab >1。比较
log
a
b
11
,log
a
b,log
b
的大小

bb
[例42]已知
log
54
27

a
,54=3,用
a,b表示log
108
81< br>的值


2.3 反函数
(1)指数函数与对数函数的进一步研究:
x
用列表描点法在同一个直角坐标点中画 出
y?2与y?log
2
x
的函数图象:
y?2
x

x



-3 -2 -1 0
1
1
2
2
4
3
8


y

1

8
1

4
1

2
y?log
2
x

x



-3 -2 -1 0
1
1
2
2
4
3
8


y

1

8
1

8
1

2
图象如下:

y

y?2
x

2

y?log
2
x



0 1 x



在指数函数
y?2
中,
x
是自变量,
y

x
的函数(
x?R,y?R
),而且其在R上
是单调递增函数。过
y
轴正半轴上任意一点作
x
轴的平行线,与
y?2
的图象有且只有一
x
个交点。由指数式与对数式关系,
y?2得x?log
2
y
,即对于每一个
y
,在关系式
x?
x
x?log
2
y
的作用之下,都有唯一的确定的值
x
和它对应,所以,可以把
y
作为自变量,
x
作为
y
的函数,我们说
x?log
2
y是y?2
x
(x?R)的反函数

x
从我们的列表中知道,< br>y?2与x?log
2
y
是同一个函数图象。

(2)反函数的定义:
设A、B分别为函数
y?f(x)
的定义域和值域, 如果由函数
y?f(x)
所解得的
x?g(y)
也是一个函数(即对任意的< br>y?B
,都有唯一的
x?A
与之对应),那么就称函数
x?g(y)< br>是


函数
y?f(x)
的反函数,记作
x?f

y?f
?1
?1
(y)
,其中y是自变题,x是因变量,习惯上常改 写
(x)(x?B,y?A)

由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数。
x

y?a (a?1且a
>1)的反函数是
y?log
a
x(a
>0且
a?1)


(3)反函数的性质:
①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
②若函数
y?f(x)
有反函数,且该函数上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数的图象
上,反之若(b,a)在 反函数图象上,则(a,b)必在原函数图象上。

(4)当函数
y?f(x)
存在反函数时,求反函数的程序是:
① 由
y?f(x)
解出
x?f
② 将
x?f
?1
?1
(y)

?1
(y)
中的x与y互换位置,得
y?f
?1
(x)

③ 由
y?f(x)
的值域,确定
y?f(x)
的定义域。
④ 求出反函数以后切记:一定要标明反函数的定义域!
[例43] 求下列函数的反函数:(1)
y?5
(2)
y?log
0.5
x

2
x
?
x ,(?1?x?0)
2?1
?
2
(3)
f(x)?lg(x?x?2 )?lg2
(4)
y?
x
(5)
y?
?
2

2?1
?
(0?x?1)
?
x?1,
x








2.4 幂函数
(1)幂函数的定义:
一般地,形如
y?x

x?
R)的 函数称为幂孙函数,其中
x
是自变量,
?
是常数.

y?x,y?x,y?x
本初等函数。
2
1
3
?
1
4
?
等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基


(2)幂函数的图象:
用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图象。

总结如下表:

定义域
奇偶性
y?x

R

y?x
2

R

y?x
3

R

y?x

1
2
y?x

R
R
1
3
y?x
?1

?
x|x?0
?

非奇非偶
单调递增
(1,1)
?
x|x?0
?


在第Ⅰ象限单调递增
单调增减性
定点 (1,1)

(3)幂函数的性质:
单调递增 单调递增
(1,1) (1,1)
单调递增 单调递减
(1,1) (1,1)
①所有的幂函数在(0,+∞)都有 定义,并且图象都过点(1,1)(原因:
1?1
);
②α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数;
③α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数;
在第一家限内,当x
向原点靠近时,图象在
y
轴的右方无限逼近
y
轴正半轴,当< br>x
慢慢
地变大时,图象在
x
轴上方并无限逼近
x
轴的 正半轴。
[例44] 证明幂函数
f(x)?


[例45] 利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小
(1)
2,
1
6
x
x在[0,??]
上是增函数。
3
(2)
(x?1),x
1
6
3
23
2
(x?0)
(3)
(a?4),4

2< br>?
2
4
?
2
4
分析:利用幂函数的单调性来比较大小 。


[例46]画出
y?x
的大致图象,并求出其定义域、 奇偶性,并判断和证明其单调性。





[例47] 已知函数
f(x)?x
?2m
2
2
3
?m?3
(m ?Z)
为偶函数,且
f(3)?f(5)

(1) 求m的值,并确定
f(x)
的解析式
(2) 若
g(x)?log
a
[f(x)?ax](a?0,a?1)
,是否存在实数a,使得
g(x)
在区间[2,3]
上为增函数。









学法指津数形结合思想的应用
1.数形结合是数学解题中常 用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,
且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与 形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解
决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以 形助数,以数解形”,使复杂问题
简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学 问题的本质,它是数
学的规律性与灵活性的有机结合。
2.实现数形结合,常与以下内容有关 :①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图
象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素 和几何条件为背景,建立起来的概
念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几 何意义。
22

如等式(x?2)?(y?1)?4
3.纵观多年来 的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可
起到事半功倍的效果,数形结合 的重点是研究“以形助数”。
4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式 问题中,在求函数的值
域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发 现解题途
径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取“胸中有图,见数想图”,以开拓自己的思维视野。


[例48] 若关于x方程
x?2kx?3k?0
的两根都在-1和3之间,求k的取值范围。
分析:令
f(x)?x?2kx?3k
,其图象与x轴交点的横坐标就是方程
f(x) ?0
的解。

y?f(x)
的图象可知,要使二根都在-1,3之间,只需要 f(-1)>0,f(3)>0,f(-k)<0同时成
立即可,解得-12
2

[例49]
解不等式x?2?x


?
x?0
解:法一、常规解法:
原不等式等价于(I)
?< br>x?2?0
?
?
x?2?x
2
?
?
x?0< br>
或(II)
?
?
x?2?0

解(I),得0?x?2;解(II),得?2?x?0


综上可知,原不等式的解集为{x|?2?x?0或0?x?2}?{x|?2?x?2}

法二、数形结合解法:

令y
1
?x?2,y2
?x,则不等式x?2?x的解,就是使y
1
?x?2的图象

在y
2
?x的上方的那段对应的横坐标,
而x
B
可由x?2?x, 解得,x
B
?2,x
A
??2,
故不等式的解集为{x|?2?x? 2}。

[例50]


知0?a?1,则方程a?|logx|的实根个数为()
a
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
|x|
|x|
分析 :
判断方程的根的个数就是判断图象y?a与y?|log
a
x|的交点个数,画
出两个函数图象知只有两个交点,故方程有2个实根。
数形结合思想是解答数学试题的 一种常用方法,特
别是在解决选择、填空题时有奇特功效,复习中要以熟
练技能、方法为目标, 加强这方面的训练,以提高解题
能力和速度。


[例51]方程
l
的实根的个数为( )
gx?sinx
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
[例52]函数
y
的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是( )
?a|x|与y??xa
A.
(1,??)
B.
(?1,1)
C.
(??,?1]?[1,??)
D.
(??,?1)?(1,??)

[例53]若不等式
x
的解集为< br>{x|m?x?n},且|m?n|?2a,
则a为( )
?a?x(a?0)
A. 1 B. 2 C. 3
2
D. 4
[例54]若
x?
恒成立,则a的取值范围为( )
(1,2)
时,不等式
(x?1)?log
a
x
A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]
[例55]定义在R上 的函数
y
上为增函数,且函数
y
的图象
?f()x在(??,2)< br>?f(x?2)
的对称轴为
x?
,则( )
0
A.
f(?1)?f()3

2
B.
f(
D.
f(
?1)?f(?3)
0)?f()3
C.
f(
2)?f()3

[例56]若
f(
对任意实数t,都 有
f
,则
f()1、f(?3)

x)?x?bx?c
(2 ??t)f(2?t)
f(4)
由小到大依次为___________。
[例57]若关于x的方程
x?
有四个不相等的实根,求实数m的取值范围。
4|x|?5?m



[例58]求函数
y
的最小值。
?x?2x?2?x?6x?13



[例59]若方程
l
上有唯一解,求m的取值范围。
g(?x?3x?m)??lg(3x)在[0,3]








2
22
2


第二章 知识与能力同步检测(A)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列函数与
y?x
有相同图象的一个函数是( )
A.
y?x
2
B.
y?
x
2
logx
x
x
C.
y?a
a
(a?0且a?1)
D.
y?log
a
a

2.下列函数中是奇函数的有几个( )
?
a
x
?1
lg(1?x
2

y)
x
1?x
a
x
?1

y?
x?3?3

y?
x

y?log
a
1?x

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.函数
y?3
x

y??3
?x
的图象关于下列那种 图形对称( )
A.
x
轴 B.
y
轴 C.直线
y?x
D.原点中心对称
33
4.已知
x?x< br>?1
?3
,则
x
2
?x
?
2
值为( )
A.
33
B.
25
C.
45
D.
?45

5.函数
y?log
1
(3x?2)
的定义域是( )
2
A.
[1,??)
B.
(
2
,??)
C.
[
2
33
,1]
D.
(
2
3
,1]

6.三个数
0.7
6
,6
0.7
,log
0.7
6
的大小关系为( )
A.
0.7
6
?log
0.7

B.
0.7
6
?6
0.7
0.7
6?6?log
0.7
6

C.
log
0.766
?6
0 .7
0.7
6?6?0.7

D.
log
0.7
6?0.7

7.若
f(lnx)?3x?4
,则
f(x)
的表达式为( )
A.
3lnx
B.
3lnx?4
C.
3e
x
D.
3e
x
?4

8.函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上最大值是最小值的
3
倍,则
a
的值为( )
A.
2
1
4
B.
2
2
C.
1
4
D.
2

9.已知
f( x
6
)?log
2
x
,那么
f(8)
等于( )
A.
4
3
B.
8
C.
18
D.
1
2

10.函数
y?lgx
( )
A.是偶函数,在区间
(??,0)
上单调递增 B.是偶函数,在区间
(??,0)
上单调递减
C.是奇函数,在区间
(0,??)
上单调递增 D.是奇函数,在区间
(0,??)
上单调递减


11.函数
f(x)?log
a
x?1

(0,1)
上递减,那么
f( x)

(1,??)
上( )
A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值
12.若函数
y? log
a
(x?b)(a?0,a?1)
的图象过两点
(?1,0)

(0,1)
,则( )
A.
a?2,b?2
B.
a?

选择题答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12
2,b?2
C.
a?2,b?1
D.
a?2,b?2


二、填空题(每小题4分,共16分)
13. 计算:
(log
2
5)?4log
2
5?4?lo g
2
22
2
1
= 。
5
x
14. 已知
x?y?4x?2y?5?0
,则
log
x
(y)
的值是 。
15. 设
A?1,y,lg
?
xy
?
,
B?0,x,y
,且
A?B
,则
x?

y?

16. 已知
log
14
7? a,log
14
5?b,
则用
a,b
表示
log
3 5
28?


三、解答题(每大题12分,共48分)
??
??
a
3x
?a
?3x
17.(1)已知a?6?5(a?0),

x
的值。
?x
a?a
x

(2)计算
1?lg0.001?lg
2

18. 已知函数
f(x)?
1
?4lg3?4?lg6?lg0.02
的值。
3
11?x
,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。
?log
2
x1?x


19.比较下列各组数值的大小:
(1)
1.7
3.3

0.8
2.1
; (2)
3.3
0.7

3.4
0.8
; (3)
3
,log
8
27,log
9
25

2
20. 解方程:(1)
9




?x
?2?3
1?x
?27
(2)
6
x
?4
x
?9
x


第二章 知识与能力同步检测(B)
一、选择题(每小题3分,共33分)
x
1.函数
f(x)?a?log
a
(x?1)在[0,1]
上的最大值和最小值之和为
a
,则
a
的值为( )
11
B. C.
2
D.
4

42
2.已知
y?log
a
(2?ax)

[0,1]
上是
x
的减函数,则
a
的取值范围是( )
A.
A. B. C. D.
[2,+?)

(0,1)(1,2)(0,2)
3.对于
0?a ?1
,给出下列四个不等式①
log
a
(1?a)?log
a
(1?)

log
a
(1?a)?log
a
(1?)


a
1?a
1
a
1
a
?a
1?
1< br>a

a
1?a
?a
1?
1
a
其中成立的是( )
A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
4.设函数
f(x)?f()lgx?1
,则
f(10)
的值为( )
A.
1
B.
?1
C.
10
D.
1
x
1

10
5.定义在
R
上的任意 函数
f(x)
都可以表示成一个奇函数
g(x)
与一个偶函数
h(x )
之和,
如果
f(x)?lg(10
x
?1),x?R
,那么( )
lg(10
x
?1)?x
lg(10
x
?1)?x
A.
g(x)?x

h(x)?lg(10?10?1)
B.
g(x)?

h(x)?

2
2
x?x
lg(10
x
?1)?x
x
x
x
x
C.
g(x)?

h(x)?lg(10?1)?
D.
g(x)??

h(x)?

2
22
2
ln2ln3ln5
,则( )
,b?,c?
235
A.
a?b?c
B.
c?b?a
C.
c?a?b
D.
b?a?c

1
x2252x
7.若
y?x,y?() ,y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)
上述函数是幂函
26.若
a?
数的个数是( )
A.
0
个 B.
1
个 C.
2
个 D.
3

8.若
a?0,b?0,ab?1

log
1
a?ln2
,则log
a
b

log
1
a
的关系是( )
2
2
A.
log
a
b?log
1
a< br> B.
log
a
b?log
1
a
C.
log
a
b?log
1
a
D.
log
a
b?log
1
a

2222
9.某林场第一年造林
10000
亩,以后每年比前一年多造林
20%
,则第 四年造林( )
A.
14400
亩 B.
172800
亩 C.
17280
亩 D.
20736

10.方程
lgx?x?0
根的个数为( ) A.无穷多错误!未指定书签。 B.
3
C.
1

D.
0

11.若
x
1
是方程
lgx?x ?3
的解,
x
2

10?x?3
的解,则
x
1
?x
2
的值为( )
x


A.
1
32
错误!未指定书签。 B. C.
3
D.
3
23
2

3

4

5

6

7

8

9

10

11
选择题答案
1



二、填空题(每小题4分,共16分)
12.若函数
y?log
2
ax?2x?1
的定义域为
R
,则
a
的范围为__________。
若函数
y?log
2
13.求值:27?2
2
3
?
?
ax
2
2
?
?2x?1
?
的值域为
R
,则
a
的范围为_______ ___。
log
2
3
1
?log
2
?2lg(3 ?5?3?5)?
__________。
8
14.若函数
f(x)?1?
m
是奇函数,则
m
为__________。
a
x
?1
1?3
?x
?3
的解是__________。 15.方程
1?3
x


三、解答题(一共四大题,共51分)
16.(本小题满分10分)解方程:
(1)
log
4
(3?x) ?log
0.25
(3?x)?log
4
(1?x)?log
0.2 5
(2x?1)

(2)
10
(lgx)
2
?x< br>lgx
?20










17.(满分9分)
求函数
y?()?()?1< br>在
x?
?
?3,2
?
上的值域。
xx
1
4
1
2






18.(本小题满分12分)
已知
f(x)? 1?log
x
3

g(x)?2log
x
2
,试比 较
f(x)

g(x)
的大小。









19.(本小题满分10分)
已知< br>f
?
x
?
?x
?
1
??
1
?
?
?
x?0
?
,⑴判断
f
?
x
?
的奇偶性; ⑵证明
f
?
x
?
?0

x
?
2?12
?








20.(本小题满分10分)
x
已知函数
f(x)?log
a
(a?a)
(a?1)
,求
f(x)
的 定义域和值域

















第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
(1) 函数零点的概念:对 于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x< br>叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。注意以下几点:
① 函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零。
② 函数的零点也就是函数
y?f(x)(x?D)
的图象与x轴的交点的横坐标。
③ 一般我们只讨论函数的实数零点。
④ 求零点就是求方程
f(x)?0
的实数根。

(2) 函数零点与方程的根的关系:
接下来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象。
2
1
方程
x?2x?3?0
与函数
y?x?2x?3

2
2< br>方程
x?2x?1?0
与函数
y?x?2x?1

2
3
方程
x?2x?3?0
与函数
y?x?2x?3

2
2
2



根据函数零点的定义可知:函数
f(x)
的零点,就是方程
f(x)?0的根,因此判断一个
函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程
f(x)?0
是 否有实数根,有几个实数根。即:
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y? f(x)
有零点
求函数
y?f(x)
的零点:
1
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根; ○
2
(几何法)○对于不能用 求根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,
并利用函数的性质找 出零点。




(3) 函数零点具有的性质:
对于任意函数
y?f(x)
,只要它的图象是连续不间断的,则有:
1
当它通过零点时(不是二重零点)○,函数值变号。
2
在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 ○
2
注意:若方程
f(x)?0
,如
x?2x?1?0
有二重实数根,可称函数
y?x?2x? 1

2
二阶零点。

(4) 函数零点的判断:
如果函 数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线,并且有
f(a)?f(b)?0

那么函数
y?f(x)
在区间
(a,b )
内有零点,即存在
x
0
?(a,b)
使得
f(x
0
)?0
,这个
x
0
也就
是方程
f(x)?0的根。
但是要注意:如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线,且
x
0
是函数
在这个区间上的一个零点,但是不 一定有
f(a)?f(b)?0

[例1] 若函数
y?f(x)
在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程
f(x)?0
在区
间(-2, 2)上仅有一个实数根0,则
f(?1)?f(1)
的值( )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断

(5) 二分法:
所谓二分法,就 是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐
步逼近零点,进而得到零点近似值 的方法。
用二分法求函数零点近似值时,最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区
间中点的函数值等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在的区间。
二分法解题步骤:
给定精度
?
,用二分法求函数
f(x)
的零点近似值的步骤如下:
1.确定区间
[a

b]
,验证
f(a)
·
f(b)
?0
,给定精度
?

2.求区间
(a

b)
的中点
x
1

3.计算
f(x
1
)

1

f(x)
=
0
,则
x
就是函数的零点; ○
1
1


2

f(a)
·
f(x)
<
0
,则令
b
=
x
(此时零点
x?(a, x)
)○;
01
1
1
3

f(x)
·
f(b)
<
0
,则令
a
=
x
(此时零点< br>x?(x,b)
)○;
01
1
1
4.判断是否达到精度
?

即若
|a?b|?
?
,则得到零点零点值
a
(或
b
);否则重 复步骤2~4.
[例2] 求函数
f(x)?x?x?2x?2
的一个正数零点(精确到
0.1
)。 < br>分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,确定函数零点大致所
在的区间,然 后利用二分法逐步计算解答。解:(略)。
注意:
1
第一步确定零点所在的大致 区间
(a

b)
,可利用函数性质,也可借助计算机或计○
3
算器,但尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为1的区间;
2
建议列表样式如下: ○
零点所在区间
[1,2]
[1,1.5]
[1.25,1.5]
中点函数值 区间长度
1
0.5
0.25
f(1.5)
>0
f(1.25)
<0
f(1.375)
<0
如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计算的最后一步.

[例3] 用二分法求方程
x?x?3x?3?0
的无理根(精确到0.01)。
解析:由于
x?x?3x?3?(x?1)(x?3)
,所以原方程有两个有理根1和 -1,而其无
3
理根是方程
x?3?0
的根,令
g(x)?x?3< br>,以下用二分法求
g(x)
的近似零点。
3
53223
53 2
由于
g(1)??2?0,g(2)?5?0,
故可取[1,2]作为计算的初始区 间,列表如下:
区间
[1,2]
[1,1.5]
[1.25,1.5]
[1.375,1.5]
[1.4375,1.5]
[1.4375,1.46875]
[1.4375,1.45312]
[1.4375,1.45031]
[1.4375,1.4439]
中点
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.46875
1.45312
1.45031
1.4439

中点函数值
0.375
-1.047
-0.4004
-0.0295
0.1684
0.06835
0.05064
0.0103

由于区间[1.4375,1.4439]的长度1.4439-1.4375=0.0064<0.0 1,所以这个区间的两个端点均可


作为函数
g(x)
零点的近似值,取 其近似值为1.44,因此原方程的无理根是1.44。
[例4]用二分法求函数
f(x)?3?



[例5] 借助计算器或计算机用二分法求方程
2?3x?7
的近似解(精确到
0.1
) 。





[例6] 利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根:
(1)
?x?3x?5?0



(3)
x?4x?4

2
2
x< br>x
x?1
在区间[0,1]内的零点的近似值(精确到0.01)。
x?1
(2)
2x(x?2)??3

(4)
5x?2x?3x?5

22


[例7] 利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间:
(1)
f(x)??x?3x?5



(3)
f(x)?e


[例8] 已知
f(x)?2x? 7x?17x?58x?24
,请探究方程
f(x)?0
的根。如果方程有
根 ,指出每个根所在的区间(区间长度不超过1)




[例9] 用二分法求
3
3
的近似值(精确到
0.01
)。



432
x?1
3
(2)
f(x)?2xln(x?2)?3

?4x?4
; (4)
f(x)?3(x?2)(x?3)(x?4)?x




3.2 函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
(1) 数学模型为一次函数的问题:
一次函数也是最常见的一种函数模型,在初中就已经接触过。
[例10]某人开汽车以60Kmh的速度从A地到150Km远的B地,在B地停留1h,再以50Kmh的速度返回A地。把汽车离开A地的距离x(Km)表示为时间t(h)(从A地出发时开
始)的函 数,并画出函数图象;再把车速v(Kmh)表示为时间t(h)的函数,并画出函
数图象。






(2) 数学模型为二次函数的问题:
二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故
常常最优、最省 等最值问题是二次函数的模型。
[例11]渔场中鱼群最大养殖量为m吨。为保证鱼群生长空间,实际 养殖量不能达到最大养
殖量。已知鱼群年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数 为
k(k>0)。
i)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
ii)求鱼群年增长量的最大值;
iii)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围。






[例12]某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元,此外每 生产100件这种产品还需要
增加投资0.25万元。经预测知,市场对这种产品的年需求量为500件 ,且当地出售
这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为
5t?
1< br>2
t
(万元)。
2
i)若该公司的产产量为x(单位:百件)(x> 0)时,试把该公司生产并销售这种产品
是的年利润表示为当年产量x的函数;
ii)当该公司的年产量多大时,当年所得利润最大?
iii)当该公司这种产品年产量多大时,当年不会亏本?(
86.25?9.3






(3) 数学模型为指数函数的问题:

一般地,形如
y?a(a?0,a?1
的函 数叫做指数函数,而在生产、生活实际中,以
函数
y?k?a?b
作为模型的应用问题 很常见。
[例13] 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂 质2%,
每过滤一次可使杂质含量减少
x
x
1
,问至少应过滤几次才 能使产品达到市场要求?
3

(已知:
lg2?0.3010,lg3?0.4771







[例14]某城市现有人口总数为100万人,如果年增长率为1.2%,试解答下面问题:
i)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;
ii)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
iii)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)。









(4) 数学模型为对数函数的问题:
形如
y?log
a
x(a?0,a?1)的函数叫做对数函数,
a?1
时,此函数为增函数;
0?a?1
时,此函 数为减函数。虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多,但我
们知道,对数运算实际是求指数的 运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算。
[例15]在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大 速度v(ms)和燃料的质量M(kg)、火箭(除
燃料外)的质量为m(kg)的关系
v?2 000ln(1?
倍时,火箭的最大速度可达12kms?





M
)
。当燃料质量是火箭质量的多少
m




(5) 比较函数模型的增长趋势:
[例16] 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0 .4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?



[例17]南方A市欲将一 批容易变质的水果运往B市销售,共有飞机、火车、汽车三种运输
方式,现只可选择其中一种,这三种运 输方式的主要参数如下表所示:
运输工具
飞机
火车
汽车
途中速度(千米时) 途中费用(元千米) 装卸费用(元) 装卸时间(h)
200
100
50
16
4
8
1000
2000
1000
2
4
2
这批水果在运输(包括装卸)过程的损耗为200元小时,设A、B两市间距离为s千米。
i )如果用W1,W2,W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗),
求出W1 ,W2,W3与x间的函数关系式。
ii)应采用哪种运输方式,才能使运输时的总支出费用最少?




[例18]某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别 为1万件、1.2万件、1.3万件。为了
估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一 个函数来模拟该产品的
月产量y与月份x的关系。模拟函数可以选择二次函数或函数
y?a?b ?c
(其中
,已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问用以上哪个函数作为模
a ,b,c
为常数)
拟函数较好?说明理由。




[例19] 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金
y
(单位:万元)随销售利

x
(单位:万元)的增加而增加但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%。x
现有三个奖励模型:
y?0.25x

y?log
7
x?1

y?1.002

x
问:其中哪个模型能符合公司的要求?




3.2.2函数模型的应用实例
(1)已知函数模型求解:
[例20] 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描
述问题所用的时间。 讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生
的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注 意力开始分散。分析结果和实验表明,用

f(x)
表示学生掌握和接受概念的能力,
x
表示提出和讲授概念的时间(单位:分)
可有以下的公式:
?
?0.1x
2
?2.6x?43, (0?x?10),
?
f(x)?
?
59 , (10?x?16),

?
?3x?107, (16?x?30)。
?
问开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?









(2)已知表格或图形求函数模型及解:
[例21]我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地 采用价格调控等手段来达到节约用水的目
的。某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费。 若每月用水量不超过最
低限量
a(m)
只付基本费8元和每户定额损耗费c元;若用水 量超过最低限量
3
a(m
3
)
,除了付以上的基本费和损耗费外,超 过部分每
m
3
付b元的超额费。已知
每户每月的定额损耗费不超过5元。
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:
月份
1
2
3
根据以上数据求a,b,c。






用水量(立方米)
9
15
22
水费(元)
9
19
33




(3)由已知条件建立数学模型:
[例22] 某商店将每件进价为180元的西服按每件2 80元销售时,每天只卖出10件,若每件
售价降低m元,当m=20时,其日销售量就增加15件,而 当m∈(0,20)时,其日销
售却毫无增加,为了获得最大利润,每件售价定为多少元?











(4)增减比率问题的求解:
增长率和降低率是生活中最常见的问题之一,要理解 变化率的真正含义,从而正确找出
变化前后两个量之间的关系。
若某厂去年年底产值为
a
万元,以后计划每年按年增长率p%增长,则n年后的年产值y
为多少呢?我们先看特例:
经过1年后其年产值为
a(1?p%)

经过2年后其年产值为
a(1?p%)?a(1?p%)p%?a(1?p%)

经过3年后其年产值为
a(1?p%)

归纳到一般有,经过n年后其年产值为
y?a(1?p%)

类似地有下降率的计算公式为
y?a(1?p%)

储蓄中复利计算公式为
y?a(1?r)
。复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息
和本金加在一起做 本金,再计算下一期的利息,其实质是指数函数的应用。

[例23] 按复利计算利率的一 种储蓄,本金为
a
元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,
写出本利和y随着存 期x变化的函数式。如果存入本金1000元,每期利率2.25%,
试计算5期后的本利和是多少?




n
n
n
3
2



第三章 知识与能力同步检测
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.设
f
?< br>x
?
?3?3x?8
,用二分法求方程
3?3x?8?0在x?
?
1,2
?
内近似解的过程中得
xx
f
?
1?
?0,f
?
1.5
?
?0,f
?
1.25< br>?
?0,
则方程的根落在区间( )
A.
(1,1.25)

x
B.
(1.25,1.5)
C.
(1.5,2)
D.不能确定
2.若方程
a?x?a?0
有两个实数解,则
a
的取值范围是( )
A.
(1,??)
B.
(0,1)
C.
(0,2)
D.
(0,??)

3.拟定从甲地 到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(
0.5?[m]?1
)给她出,其中m>0 ,
[m]是大于或等于的最小整数。如[4]=4、[2.7]=3,[3.8]=4,则从甲地到乙地 通话时间5.5
分钟的电话费为
A.3.71 B.3.97 C.4.24 D.4.77
4.函数
f(x)?x?x?3
的实数解落在的区间是( )
A.
[0,1]
B.
[1,2]
C.
[2,3]
D.
[3,4]

5
5.若函 数
f(x)
唯一的一个零点同时在区间
(0,16)

(0,8)< br>、
(0,4)

(0,2)
内,
那么下列命题中正确的是( )
A.
函数
f(x)
在区间
(0,1)
内有零点
B.
函数
f(x)
在区间
(0,1)

(1,2)
内有零点
C.
函数
f(x)
在区间
?
2,16
?
内无零点
D.
函数
f(x)
在区间
(1,16)
内无零点
6.北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小
蜥蜴体长1 5
cm
,体重15
g
,问:当小蜥蜴长到体长为20
cm
时 ,它的体重大约是( )
A.20
g
B.25
g
C.35
g
D.40
g
7.今有一组实验数据如右:现准备用下列函数中的
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
一个近似的表示这些数据满足的规律,其中最接
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
近的一个是:
t
2
?1
A.
V?log
2
t
B.
V?log
1
t
C.
V?
D.
V?2t?2

2
2
8.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客 车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利

y
万元与营运年数
x
(x?N)
的关系为
y??x?12x?25
,则每辆客车营运多少年
使其 营运年平均利润最大.
A.2 B.4 C.5 D.6
2




9.《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表:
个人所得税率表——(工资、薪金所得适用)
级别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
全月应纳税所得额
不超过500元部分
超过500元至2000元部分
超过2000元至5000元部分
超过5000元至20000元部分
超过20000元至40000元部分
超过40000元至60000元部分
超过60000元至80000元部分
超过80000元至100000元部分
超过100000元部分
税率
5
10
15
20
25
30
35
40
45
“全月应纳税所得额 ”是从月工资、薪金收入中减去800元后的余额,某人一月份交纳
税款26.78元,则他的当月工资 、薪金所得介于( )
A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元
10.容器中有浓度为
m
%的溶液
a
升,现从中倒出
b
升后用水加满,再倒出
b
升 后用水加
满,这样进行了10次后溶液的浓度为( )
-)
·
m
% A.
()
·
m
% B.
(1-)
·
m
% C.
()
·
m
% D.
(1
选择题答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
b
a
10
b
a
10
b
a
9
b
a
9

二、填空题(每小题4分,共12分)
11. 一个高中研究性学习小组对本地区
2 000
年至
2002
年快餐公司发展情况进行了调查,制成了
该地区快餐公司 个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图),
根据图中提供的信息可以得出 这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。


12.
1992年底世界人口达到
54.8
亿,若人口的年平均增长率为
x%
,
2005
年底世界人口

y
亿,那么
y

x
的函数关系式为 .
3
13. 用“二分法”求方程
x?2x?5?0
在区间
[2, 3]
内的实根,取区间中点为
x
0
?2.5


那么下一个有根的区间是 。

三、解答题(每大题12分,共48分)
14.建造一个容积为
8
立方米, 深为
2
米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每平方米
100
元,
池 底的造价为每平方米
300
元,把总造价
y
(元)表示为底面一边长
x
(米)的函数。



15. 某租赁公司拥有汽车100辆, 当每辆汽车的月租金为3000元时,可全部租出。当每辆
车的月租金每增加50元时,未租出的车辆会 增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费
150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元。
(1) 当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?




16.某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平
方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过
16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间池壁造价
为每米248元,池底建造单价为每平方米80元。(池壁的厚
度忽略不计,且池无盖)
(1)写出总造价
y
(元)与污水处理池长
x
(米)的函数关
系式,并指出定义域。
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价?





17. 某电器公司生产
A
种型号的家庭 电脑,
1996
年平均每台电脑的成本
5000
元,并以纯利润
2%
标定出厂价.
1997
年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生 产成
本逐年降低.
2000
年平均每台电脑出厂价仅是
1996
年出 厂价的
80%
,但却实现了纯利润
50%
的高效率.



2000
年的每台电脑成本;
②以
1996年的生产成本为基数,用“二分法”求
1996
年至
2000
年生产成本 平均每年降
低的百分率(精确到
0.01



学而思高中数学目标满分班-高中数学名师工作室个人简介


高中数学社团活动总结-高中数学已知三角函数值求角度


高中数学 选修 学几本-高中数学小专题教学法这本书


高中数学必修1必做的12经典题-课程标准高中数学核心素养


万门中学高中数学平面向量-高中数学段奎老师在线课程解读


高中数学教师个人三年成长计划-高中数学映射知识点


江津高中数学优质课-江苏高中数学名师工作室


番禺区高中数学补习-高中数学人教必修第一册



本文更新与2020-09-15 16:54,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/397523.html

初三升高一数学教材的相关文章