普通高中课程标准教科书—数学第一册苏教版

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]
2.2.2指数函数及其性质（3）
教学目标:
1、会利用指数函数解决实际问题
2、掌握指数形式的函数的单调性的证明方法及单调区间的求法。
3、通过指数函数的图象和 性质的教学，培养学生观察、分析、归纳等思维能力和数形结合
的数学思想方法.
教学重点：
应用题的审题、函数单调性的证明通法单调区间的求法.
教学难点：
指数函数的性质应用
教学方法：“学、讲、练、探”四步法
教学过程
一、自学导航：
复习1：根据下列条件确定正数a的取值范围
7
4
2
3
a?a
（2） (3) (4)
a?a
a?1
（1）
a
7.5
?a
3.9
复习2、求下列函数的定义域和值域：
?0.30.2
二、新课探究
1
x
1
y?1?a
⑴ ⑵
y?()
?3
2
x
前几课我们一起学习了指数函数的性质应用，这一 节，我们学习指数形式的复合函数的
单调性、证明方法及单调区间的求法,首先，大家来回顾一下第二章 第一单元所学的证明函
数单调性、奇偶性的基本步骤。
1.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断
说明：变形目的是为了易于 判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函
数定义的判断。
动手练练 < br>已知函数
f
?
x
?
?
?
1
?
3
?
1
（1）求函数
f
?
x
?
的定义域 ；
?
?
x
，
x
?
2?1
2
?< br> （2）讨论
f
?
x
?
的奇偶性；
（3）证明：
f
?
x
?
?0

三、例题精讲：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的 这种物质是原来的84%，画出
这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量 留是原来的一半（结
果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数 x的函数，并可列表、描点、作图，进而
求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84

-0.5
3.51
0.5
3
2.5
2
1.5
x
1
0. 5
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
根据这个函数关系式可以列表如下：
x
y
0
1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
6
0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现 < br>例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本
金加上 利息）为y元。
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%。试计算5期后的本利和。
解：（1）已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为 y=a+a×r=a(1+r),
2期后的本利和为 y= a(1+r)+ a(1+r)×r=a(1+r),
3期后的本利和为 y= a(1+r)+ a(1+r)×r=a(1+r)……
223
2
x
期后的本利和为 y= a(1+r)
x
,x∈N
*
,
即本利和y随存期x变化的函数关系式为y= a(1+r) ,x∈N ,
（2）将a=1000（元），y=2.25%，x=5代人上式得
y=1000×（1+2.25%=1000×1.0225≈1117.68（元）
）55
x*

即5期后的本利和为1117.68元。
例3： 2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右。按照这个增长速度，画出从
200 0年开始我国年国内生产总值随时间变化的图像，并通过图像观察到2010年我国年国内
生产总值约为 2000年的多少倍（结果取整数）。
解：设2000年我国年国内生产总值是1，x年后我国年国内 生产总值为y。因为国内生产
总值年平均增长7.8%，所以从2001年开始，每年的国内生产总值是 上一年的1.078倍，
则
经过1年，y=1×1.o78=1.078 ；经过2年，y=1.078×1.o78=1.078；
经过3年，y=1.078×1.o78=1.078 ；……
一般地，经过x年，我国年国内生产总值y=1.078 x∈N
画出指数函数y=1.078 的图像，从图像上可以看出，当x=10时，y=2
图形见书本P
54
答：到2010年我国年国内生产总值约为2000年的2倍。
小结提升：
这节课我们学习了利用指数函数解决一些实际生活中的问题，在日常生活中，还有 许多
问题可以归结为指数函数问题来解决。这就要求我们要把所学的知识能够灵活运用，将实际
问题数学化，数学问题生活化。从这种有机结合中去感受数学的乐趣。
三、课堂精炼
1、已 知指数函数f(x)=
a
(a>0,且a≠1）的图象经过点（3，π），求f(0)、f(1 )、f(-3)
的值.
2、比较下列各题中两个值的大小：
(1)
1.7
(2)
0.8
(3)
1.7
2.5
x
x
x*
23
2
,
1.7

,
0.8
?0.2
3
?0.1

0.3
0.9
3.1

1
的奇偶性。
2
x
?1
1
4.若函数
f
?
x
?
?a?x
为奇函数，求
a
。
2?1
3.判断函数
f
?
x
?
?1?
5、截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人 口年平均增长率控制在1%，那么经
过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
四、总结提升
会根据实际情况建立指数函数模型，解决实际问题。
五、课后作业
书本P55 5 6 11