基础数学篇书本

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基础数学篇
数学基础命题思路解析 一 命题范围
数学基础能力测试的命题范围主要包括算术、代数、几何的基础知识，及其在日常
生活和实际问 题中的应用。要求考生对所列数学知识内容有一般的理性认识；比较
系统地掌握数学知识之间的内在联系 ；通过举例、解释、分析、推断以解决相关问
题；运用相关知识和逻辑推理方法分析、解决较为复杂的或 综合性的问题。 二 测
试的知识点
1 算术：数的概念和性质，四则运算与运用。
2 代数：代数等式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方；代数
表达式和因 式分解；方程的解法；不等式；数列，函数。
3 几何：三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何 图形的角度、周长、面积等
计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积 的计
算和运用；三角学；解析几何方面的知识。
4 概率与统计初步：二项式定理，排列，组合；随机事件，频率，概率；样本，平
均数，标准差。
同学们在基础数学的复习中，可以参考三校生高考的数学教材中较为基础的题目
一 代数
【基本概念和知识梳理】
1.1 数的概念
1 整数(包括：正整数、0、负整数) 和分数(包括：有限小数和无限环循小数) 都是
有理数．如：－3，
，0.231，0.737373?，

，
．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－
，
e=2.718?．有理数和无理数统称为实数． 2 绝对值：a ≥
0－3.14．
3 科学记数法：把一个数写成±a ×10n 的形式(其中1≤a ＜10，n 是整
数) ，．如：－1060010－5． ＝－1.06×105，0.000058＝5.8×
4 最大公约数：如果有一个自然数a 能被自然数b 整除，则称a 为b 的倍数，b
为a 的约数。 几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最
大的一个公约数，称为这几个自然数的 最大公约数。
丨a 丨＝a ；a ≤
丨a 丨＝－a ．如：丨－
丨＝
；丨3.14－π丨＝π
最小公倍数：两个或两个以上的数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 ，其中最小的
一个叫做这几个数的最小公倍数。 例题:
1 若光速为300 000 千米／秒，用科学记数法表示，可写作（ ) 千米／秒。 A
0.3×106 B 3×105 C 30×104 D 300×103
n
分析：科学记数法：把一个数写成±a ×10的形式(其中1≤a ＜10，n 是整数), 所
以本题选C
2 `12和16的公因数共有3个 （ ）

分析：12和16的公因数是1、2、4，共3个，所以本题正确 1.2 函数
1 一次函数 y ＝kx ＋b(k≠0) 的图象是一条直线(b是直线与y 轴的交点的纵坐标
即一次函数在y 轴上的截距) ．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，是递增函数 ；
当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，是递减函数，特别：当b ＝0时，y ＝kx(k≠0)
又叫做正比例函数(y与x 成正比例) ，图象必过原点．
2 反比例函数 y ＝(k≠0) 的图象叫做双曲线．当k ＞0时，双曲线在一、三象限，
是递减函数；当k ＜0时，双曲线在二、四象限，是递增函数．因此，它的增减性
与一次函数相反．
2
y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 3 二次函数： 2
二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元
二次方
程
ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方
程的根
的判别式判定：
①有两个交点??>0?抛物线与x 轴相交；
②有一个交点(顶点在x 轴上) ??=0?抛物线与x 轴相切；
③没有交点??<0?抛物线与x 轴相离. 例题：
1 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖棚（如图所示），则需塑料布
y （m2）与半径R （m ）的函数关系式是 分析: 需塑料布由两部分组成，前后两
端和上部 前后两端的所需的塑料布为2×12πR 2

上部所需要的面积为 30πR （展开是矩形，长为30米，宽度为半圆的周长），所
以本题的答案为 y=πR 2+30πR
2 反比例函数y=kx的图像经过点（2,1），则k= 分析：把点（2,1）代入反比例
函数y=kx， 1=k2，可得
k=2
1.3 向量与复数
1. 向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的大小叫向量的模 x 1+x 2?x
=??2
中点坐标公式：?
y +y 12?y =?2?
两向量的位置关系：
a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2） 若
ab 若a ⊥b 复数
（1）若z=a+bi，则=a -bi ，z +为实数，z -为纯虚数(b≠0).
（2）复数z=a+bi的模，
x 1y 2=x2y 1，或者x 1x2=y1y2，当比值为正数的时候同向，为负数的时候反
向 x 1x 2+y1y 2=0
例题：
1 已知向量a=（-1,2），b=（2，-4），则a 与b （ ） A 垂直 B 不垂直也不平
行 C 平行且同向 D 平行且反向
分析：x 1y 2=x2y 1，所以a 与b 平行，比值为负数，所以a 与b 反向，本题答
案D

2 已知复数 z=1+2i，则z 的共轭复数
=（ ）
A -1+2i B 1-2i C -1-2i D1+2i 分析：若z=a+bi，则=a -bi ，所以 1.4 三角
1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终
边上任
=1-2i，本题的答案是B
y x
取一个异于原点的点P (x , y ) ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r ，cos
α=r ，
x r r y
tg α=x ，ctg α=y ，sec α=x ，csc α=y 。
2、同角三角函数的关系中，平方关系是：sin α+cos α=1 倒数关系是：tg α?ctg
α=1
2
2
tg α=
相除关系是：
sin αcos α
3 特殊角的三角函数值
例题：
1 若 sin a> 0，tan a< 0 ,则a 是（ ）

A 第一象限角 b 第二象限角 c 第三象限角 d 第四象限角
分析：sina>0，a 属于第一象限角或者第二象限角；tan a< 0，a 属于第二象限角
或者第四象限角，两者取交集，所以a 是第二象限角，选B 2 π3的正弦值是 分
析：sin π3=
1.5 数 列
1、等差数列的通项公式是=
2
a n =a 1+(n -1) d ，前n 项和公式是：
S n =
n (a 1+a n )
2
na 1+
1
n (n -1) d 2。
n -1
a =a q n 12、等比数列的通项公式是，
?na 1(q =1) ?
S n =?a 1(1-q n )
(q ≠1)
??1-q 前n 项和公式是：

{a }2、 若m 、n 、p 、q ∈N ，且m +n =p +q ，那么：当数列n 是等差数列
时，有
a m +a n =a p +a q
；当数列
{a n }是等比数列时，有a m ?a n =a p ?a q 。
二 几 何
2.1 三角形
1. 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a
2+b2=c2
勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2+b2=c2，那么这个三角形是
直角三角形 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180o 3. 全等的定义、
判定：
① 定义：能够完全重合的两个三角形就是全等三角形。 ② 判定：
定理一：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（SSS ） 定理二：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形
全等。（SAS ） 定理三：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么
这两个三角形全等。（ASA ） 定理四：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边
分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（HL ）
2.2 圆
1 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形；定点是圆心；定长是半
径 2 点与圆的位置关系：点在圆外，d>r；点在圆上，d=r；点在圆内，d
3 圆弧：圆上任意两点间的部分，简称“弧”；连接圆上任意两点的线段是弦 4.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧

5. 在同圆或等 圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦相等；如果两个圆心
角、两条弧、两条弦中有一组相等，那么 它们所对应的其余各族量都分别相等 6.
圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角；
7. 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；直径所对圆周角是直角；90o 的圆
周角所对弦是直径
8. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
9. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；过不共线三点，有且只有一个圆
10 .外接圆：三角形的三个顶点确定的圆；外接圆的圆心是三角形的外心（三边垂
直平分线交点）
11. 内切圆：与三角形三边内切的圆；内切圆的圆心是三角形的内心（三角平分线
交点） 12. 直线与圆的位置关系：相交，dr，没有交点
222
13 圆的标准方程：以点C (a , b ) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是(x -a ) +(y
-b ) =r . 222x +y =r r 圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：. 22
14 圆的一般方程：x +y +Dx +Ey +F =0 .
当D 2+E 2-4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C -
?D E ?
, -?，半径r =22??
D 2+E 2-4F .
2
三 概率与统计
【基本概念和知识梳理】

1 事件 ：必定出现的事件叫必然事件 不可能出现的事件叫做不可能事件 可能出现
也有可能不出现叫做随机事件
2 概率：某事件A 在n 次重复试验中出现了m 次， P(A)=mn
11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个 考察
对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数
目叫做样 本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个) ，叫做这组
数据的众数．③将一组数据 按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的
平均数) 叫做这组数据的中位数． 例题：
1 用1、2、3、4这四个数字，一共能组成数字不重复的三位数（ ）个 A 16 B 18
C 20 D 24 分析，本题是排列问题，共P4 3.=24个，选d
2 每100张奖券，有4张能得奖，小红从中任意抽取1张，她中奖的概率为（ ）
A 14 b 120 c125 d 1100
分析：本题是概率问题，设事件A 是小红可以中奖：P （A ）=4100=125，所
以本题选C
3 某单位举行歌咏比赛，分两场举行，第一场8名参 赛选手的平均成绩为88分，
第二场4名参赛选手的平均成绩为94分，那么这12名选手的平均成绩为 92分
（ ）
4+94×4）（4+4）=90分，所以本题错误 分析：这12名选手的平均成绩为
（88×
4 下列事件中，属必然事件的是（ ） A 男生的身高一定超过女生的身高 B 方程
x2+1=0在是实数范围内无解 C 明天数学考试，小明一定得满分 D 两个无理数相
加一定是无理数
2
分析：A 选项是随机事件，男生的身高不一定会超过女生，B 是必然事件，△=b-
4ac=-4<0,

在实数范围内无解，c 是随机事件，不能肯定小明明天的考试一定是满分，d 是随
机时间，两个无理数之和可能是有理数，例如：π+（-π）=0
5 小张和小李去练习 射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手的
成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计 两人中新手是小李（ ）
A 正确 B 错误
分析： 由图像可知，小李的成绩上下起伏很大，小张的成绩稳定，所以新手是小
李，本题答案是A