高中数学各部分难度-高中数学省队人数
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选修2-3课本例题习题改编
1.原题(选修2-3第二十七页习题1.2A组第四题)改编1
某节假日,附中校办公室要安排从一号至六号
由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一
天,但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任
丁也不能相邻,则共有多少种不同的安排方法
( )A.336 B.408 C.240
D.264
625224
解:方法数为:
A
6
?2A
2<
br>A
5
?A
2
A
2
A
4
?336,<
br>选
A.
改编2 某地高考规定每一考场安排24名考生,编成六行四列就坐
.若来自同一学校的甲、乙两名学生同
时排在“
??
考点
??
考场”
,那么他们两人前后左右均不相邻的概率是
(
)A.
119119
119119
B. C.
D.
136138
276272
解:若同学甲坐在四角的某一个位置,有
4
种坐法,此时同学乙的选择有
21
种;若同学甲坐在四边(不在
角上)的某一
个位置,有
12
种坐法,此时同学乙的选择有
20
种;若同学甲坐在中间(不
在四边、角上)
的某一个位置,有
8
种坐法,此时同学乙的选择有
19
种;故所求概率为
案选
D.
2.原题(选修2-3第二十七页习题1.2A组第九题)改编1 在正方体
4?21?12?
20?8?19119
?,
答
24?23138
ABCD?A
1B
1
C
1
D
1
的各个顶点与各棱的中点共20个点中,
任取2点连成
直线,在这些直线中任取一条,它与对角线
BD
1
垂直的概率为
_________.
解:如图,
E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,P,Q
分别为相应棱上的中点,容
2
易证明
BD
1
?
正六边形<
br>EFGHIJ
,此时在正六边形上有
C
6
?15
条,直
图4
线与直线
BD
1
垂直;与直线
BD
1
垂直
的平面还有平面
ACB
、平面
NPQ
、
2
平面
KL
M
、平面
A
1
C
1
B
,共有直线
4?C<
br>3
?12
条.正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的各个顶点与各棱的中点
22
共20个点,任取2点
连成直线数为
C
20
?12?(C
3
?1)?166
条直线
(每条棱上如直线
AE,ED,AD
其实
为一条),故对角线
BD
1
垂直的概率为
15?1227
?.
166166
改编2
考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两
个点连成
直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
1234
(A) (B)
(C) (D)
75757575
?
B
C
?
?
F
?
E
?
A
?
D
解:如图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意
2
2
选两个点连成直线,共有
C
6
C
6
?15?15?225
种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有
ACDB,ADCB,AEBF,AFB
E,CEFD,CFED
共12对,所以所求概率为
P?
124
,选
?
22575
D
.
3.原题(选修2-3第四十页复习参考题A组第三题)改编1 设集合
S?{1,2,3,
4,5,6}
,定义集合对
(A,B):A?S,B?S,A
中含有
3
个元素,
B
中至少含有
2
个元素,且
B
中最小的元素不小
于
A
中最大的
元素.记满足
AB?S
的集合对
(A,B)<
br>的总个数为
m
,满足
AB??
的集合对
(A,B)
的
总个数为
n
,
m
则
n
的值为
A. B.
C. D.
解:根据题意,
m
的个数可以这样取:
A?{1,2,3
};B?{4,5,6},{3,4,5,6}
,故
m?2,
同样得
n
的个数为
22,
故选
A.
改编2 把已知正整数
n<
br>表示为若干个正整数(至少3个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可
以按一定顺序构成
等差数列,则称这些数为
n
的一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分
拆
.如:
(1,4,7)
与
(7,4,1)
为12的相同等差分拆.问正整数3
0的不同等差分拆有 个.
解:分类讨论,当三个数时,有10个;四个数时,有2个;5
个数时,有3个;6、10、15、30个数时,
各有1个,共19个.
1,2,3
?
,N?
?
1,2,3,4
?
,4.原题(选修2-3第四十一页复
习参考题B组第1题(3))改编 已知集合
M?
?
B(2)C
定义映射<
br>f:M?N
,且点
A
?
1,f(1
?
),
?
2f,
??
,f3
?
,
.
(3)
△ABC
的外接圆圆心为D,且若
DA?DC?
?
D
?
B
?
?
?
R
,则满足条件的映射有( ) A.12个;
B.10个; C.6个; D.16
个;
解:设
K
为<
br>AC
的中点.由
DA?DC?
?
DB
?
?
?
R
?
,知
D,B,K
三点共线,结合题意知
AB?AC
,于
22
是
f(1)?f(3)?f(2)
,这样满足条件的映射有
C<
br>4
A
2
?12
种.
5.
原题(选修
2-3
第九十五页例1)改编
甲乙两个
学校高三年级分别有
1100
人,
1000
人,为了了解两个
学校全
体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了
105<
br>名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在
[120
,
150]
内为优秀,甲校:
乙校:
(I )
计算
x,y
的值
;
(II)
由以上统计
数据填写右面
2?2
列联表,若按是否优秀来判断,是否有
97.5%
的把握认为两个学校
的数学成绩有差异
.
(III)
根据抽样结果
分别估计甲校和乙校的优秀率;若把频率作为概率,现从乙校学生中任取
3
人,求
优秀
学生人数的分布列和数学期望
;
附:
解
(I
)
x?6,y?7
105(10?30?20?45)
2
(II)
K??6.109?5.024
,故有
30?75?50?55
2
97.5%
的把握认为两个学校的数学成绩有差异
.
2
(III)
甲校优秀率为
,
乙校优秀率为
11
22
,
?
?0,1,2,3,
?
B(3,)
,55
227254
0
2
01
2
1
P(
?
?0)?C
3
()(1?)
3
?;P(
?
?1)
?C
3
()(1?)
2
?;
5512555125
223628
3
2
3
P(
?
?2)?C
3
2
()
2
(1?)
1
?;P(
?
?3)?C3
()(1?)
0
?;
5512555125
分布列:
期望:
E(
?
)?3?
优秀
非优秀
总计
甲校
10
45
55
乙校
20
30
50
总计
30
75
105
?
P
0 1
2 3
27
125
54
125
36
125
8
125
26
?.
55
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