最新初高中数学衔接校本教材

初高中数学衔接教材


如何学好高中数学
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难 以理解，觉得离
生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要 是以
形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、以及函数语言
等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很
多 老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，
再看什么。即使 是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自
的思维套路。因此，初中学习 中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维
形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象 化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展
是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多 高一新生感到不适应，故而导致成
绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡， 最后还需初步形成辩
证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量” 上急剧增加了。有数学1、2、
3、4、5，还有选修课，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成 学生不适应高中数学
学习，而影响成绩的提高。这就要求：
第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。
第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。
第三， 因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不
会很好，因此要学会对知识 结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使
知识结构一目了然；类化，由一例到一 类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构
于同一知识方法。
第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二 科学地进行学习
高中学 生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，
才能变被动学习为主动 学习，才能提高学习成绩。
1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好 的学习习惯？
良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系
统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳 扎稳打，它是推动主动学
习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安 排，执行过
程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，

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而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。 自学不能走过场，要讲究质量，力争在课
前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点， 尽可能把问题解决在课堂上。
(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“ 学然后知不足”，
课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过 ，该
记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
(4)及时复习是高效率学习的重要一 环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强
化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识 与有关旧知识联系起来，进行分析比
效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由 “懂”到“会”。
(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对 所学
新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学
知识由“会”到“熟”。
(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由 于思维受阻
遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做< br>错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经
常把易 错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成
自己的知识，使所学 到的知识由“熟”到“活”。
(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认 识能力的重要环
节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比 、
概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，
能 对所学知识由“活”到“悟”。
2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少 的同学容易急躁。
有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成 绩便洋
洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积
累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取
得好成绩， 其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自
动化或半自动化的熟练程 度。
3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维
能 力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有
高度的抽象性、 逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看
书不做题不行，只埋头做题 不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，
结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗 庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程
就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节 （预习、上课、作业、复习）和一个步骤
（归纳总结）是少不了的。



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一 数 与 式 的 运 算

知识要点：
1.绝对值的代数意义，绝对值的几何意义，两个数的差的绝对值的几何意义。
2.乘法公式：平方差公式：
(a?b)(a?b)?a?b
；平方差公式：
(a?b)?a?2ab?b
．
立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；立方差公式：
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
；
两数和立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
；
两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
．
3.二次根式：二次根式
a
2
的意义。分母（子）有理化：都乘以有理化因式
4.分式的意义,繁分式。
33223
33223
2222
223 32233
22222
自学评价
：
1．如果
a?b?5
， 且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝______ __.
2．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x<5）
3. 计算：
(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)
．
4． 已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，
a?b?c
=
5．若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x< br>，则
x
的取值范围是_ _ ___；
6．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
222
22
精选题型：
1. 解下列不等式：（1）
x?2?1
（2）
x?1?x?3
＞4．


4222222
2. 计算： （1）
(a?2)(a?2)( a?4a?16)
（2）
(x?2xy?y)(x?xy?y)


3. 已知
x?3x?1?0
，求
x?

2
3
1
的值．
3
x
1
?2(0?x?1)
．
2
x
4 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?


5.设
x?


2?32?3
33
，求
x?y
的值．
,y?
2? 32?3
x
2
?3x?96x?1
x
??
6. 化简：（1） （2）
1?x
x
3
?279?x
26?2x
x?
1
x?
x


记住它，多想它：
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2

(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3< br>
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3


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拓展练习:
1．
解不等式
7．（1）已知
a?b?c?0
，
x?3?x?2?7

求








2．
设
111111
a(?)?b(?)?c(?)
的值． bccaab
11
,y?
，求代数式
3?23?2
x
2
?xy?y
2
的值．
x?y
x?



3．
当
3a
2
5
，
2
x?1?x?1x?1?x?1
求
?
x?1?x?1x?1?x?1
（2）若
x?



8.若
?a?b?2ab??b??a
，则( )
（A）
a?b
（B）
a?b

（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

9.计算
a?
?ab?2b
2
?0(a?0,b?0)
，求
aba
2
?b
2
??
的值．
baab



5?1
42
4．
设
x?
，求
x?x?2x?1
的值．
2



5．
计算
(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z)




6．化简或计算：
(1)
(18?4



(2)
2



1
等于 （ ）
a
（A）
?a
（B）
a

（C）
??a
（D）
?a

11
2
10．解方程
2(x?
2)?3(x?)?1?0
．
xx
1
?
2




13
11

)?
11 ．计算：
?
3
2?3
1?32?4
?
1
?
3?5
?
1
．
9?11
21

?2?(2?5)
2
?
3
5?2





12．试证：对任意的正整数n，有
11
??
1?2? 32?3?4
1
xx?xyx?xy?y
＜
?
(3)
4



．


2
xy?y
xx?yy













?
1
n(n?1)(n?2)
(4)
(a?




b?ababa?b
)?(??)

a?bab?bab?aab
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二 因 式 分 解

知识要点：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：① 提公因式法②运用公式法③分组分解法④十字相乘法⑤一般二次三项式
a
1
a
2
x
2
?(a
1
c
2
?a
2
c< br>1
)x?c
1
c
2
?(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
⑥其他常用
ax
2
?bx?c
型的因式分解：
的因式分解的方法：配方法，拆、添项法
自学评价
：
1．平方差公式 完全平方和公式 完全平方差公式
a
3
?b
3
?

a
3
?b
3
?

2． 分解因式：（1）x
2
－3x＋2= （2）x
2
＋4x－12
（3）
x?(a?b)xy?aby
（4）
xy?1?x?y

32
3．分解因式：
x?9?3x?3x
（2）
2x?xy?y?4x?5y?6

22
22
4．分解因式：
x?2x?1

5．分解因式：
x?5x?3

6．分解因式：
x?22x?3

2
2
2
精选题型：
1.分解因式（1）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （2）
3x?5xy?2y?x?9y?4
．



222
2
?ABC
三边
a
，
b
，c
满足
a?b?c?ab?bc?ca
，试判定
?ABC
的形状 ．



3. 分解因式
1?x?x?x
22
2 2
?
23
2
?
?x
3




4.分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)． 5. 分解因式
a
?
6a?11b?4
?
?b(3b?1)?2




32
6.分解因式
x?3x?4





432
7. 分解因式
2x?3x?5x?3x?2
8. 分解因式
m
2
?5m?3m
2
?5m?2?36





5
9. 分解因式
x?x?1




记住它，多想它：
????
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

a
2
?2ab?b
2
?(a?b)
2
．
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2)

a
3
?b
3
?(a?b)(a
2< br>?ab?b
2
)


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拓展练习:
8.已知
a?b?c?0
，求证：< br>3223
2222
a?ac?bc?abc?b?0
．
1．分解因式
ab(c?d)?cd(a?b)














22
2. 分解因式
x?4mx?8mn?4n



9.

分解因式

2

x?y?2xyx?y?2?xy?1
??????





4
3．分解因式
x?64








10. 分解因式

3222
x?(2a?1)x?(a?2a?1)x?a?1

32
4．分解因式
x?11x?31x?21










3223
5．分解因式
x?4xy?2xy?8y


32

11. 分解因式
x?9x?23x?15









2
6．已知a?b?,ab?2
，求代数式
3
a
2
b?2a
2b
2
?ab
2
的值．






7．现给出三个多项式，












12. 分解因式
x?x?5x?6x?4

432
1
2
x?x?1
，
2
1
2
1
x?3x?1
，
x
2
?x
，请你选择其中两
22
个进行加法运算，并把结果因式分解.












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三 一元二次方程根与系数的关系
知识要点：
1．一元二次方程的根的判断式 2．一元二次方程的根与系数的关系
自学评价
：
1．一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
，用配方法将其变形为：
2
??b
2
?4ac
， （1）当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根：
（2）当Δ 0时，方程有两个相等的实数根：
（3）当Δ 0时，方程没有实数根．
2
2．定理：若方程
ax?bx?c?0 (a?0)的两个根为
x
1
,x
2
，那么：
x
1
?x
2
?

x
1
x
2
?
此定理称为”韦达定理”，其成立的前提是
??0
．
3．特别地：对于二次项系数为 1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其 两根，
由韦达定理可知 x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋ x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0，因此有： 以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方
程（二次项系数为1）是 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x2
＝0．
精选题型：
2
1. 已知关于
x
的一元二 次方程
3x?2x?k?0
，根据下列条件，分别求出
k
的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根
（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．


22
2 . 已知实数
x
、< br>y
满足
x?y?xy?2x?y?1?0
，试求
x
、
y
的值．


2
3 若
x
1
,x2
是方程
x?2x?2007?0
的两个根，试求下列各式的值：
22
(1)
x
1
?x
2
； (2)
11
?
；
x
1
x
2
(3)
(x
1
?5)(x
2
?5)
； (4)
|x
1
?x
2
|
．


4.若 x
1
，x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
－4kx＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数
3
成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理 由；（2）求
2
xx
x
使
1
?
2
－2的值 为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，
?
?
1
，试求
?的值．
x
2
x
1
x
2
k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－


m
2
?0
．5．已知关于x的方程
x?(m?2)x?< br>（1）求证：无论m取什么实数时，这个方
4
2
程总有两个相异实数根；（2） 若这个方程的两个实数根x
1
，x
2
满足|x
2
|＝|x< br>1
|＋2，求m的值及
相应的x
1
，x
2
．


6．若关于x的方程x
2
＋x＋a＝0的一个大于1、另一根小 于1，求实数a的取值范围．

记住它，多想它：如果ax
2
＋bx＋c＝ 0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x2
＝
?
bc
，x
1
·x
2
＝
aa
．这
一关系也被称为韦达定理．以两个数x
1
，x
2
为 根的一元二次方程（二次项系数为1）是x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．

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