高中数学 (1.1集合的含义与表示)示范教案 新人教A版必修1

高中数学 （1.1集合的含义与表示）示范教案 新人教A版必修1
课标要求
1.知识与技能
认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和 理解它们的有
关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力.
2.过程与方法
通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生
体会过程 的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法.
3.情感、态度与价值观
教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高
对数学学习的 兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和
质疑精神,形成锲而不舍 追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.
内容概述
本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用.
本 模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关
系和运算等;然 后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函
数的性质:单调性、最值、 奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个
基本初等函数,继续认识函数,本模块 重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给
出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数 的价值得到体现,也是进一步巩固函数的
概念,更加强了数学应用.
概括地说,本模块的核心 内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,
是贯穿整个高中数学的纽带,是学生 进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块
以函数作为中心,以函数思想作为指导思想.
本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研
究, 也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.
这里把函数作为 整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部.
教学建议
教师,对数学应该有自己深入的 想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也
应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才 能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生.
1.抓住核心,重点突破
由于函数是本模块 的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,
逐步让学生掌握学会函数,更 会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从
实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数 的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试
列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函 数的要素和相同函数的含义,②函数
的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的 概念和判断.教学中应强
调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度.
2.用课本教,而非教课本
《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行) 》的指导下编写的,是数学
学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲 的依据,是数学
教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是 包含
“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发
展目标 的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高

1 < /p>

考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处理新课标课本时 ,
首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说,版本不同,对课程标准的
理解就有不同,其处理的方式也就不同,因此,在教学中,要深入钻研课程标准、课本、学生,
找准三者 的连接点.这样在新课程改革的形势下,课本仅仅是教学的素材,在教学过程中,以
课本为依托,把课本 当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本,最终突破课本,
即变“教课本”为“用课本教” ,树立“用课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生,不要
把课本看得过于神圣.
3.把学生当成学习的主人
独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少.在课 堂上,教师尽量不要大包大
揽,以先知先觉出现,把结论告诉学生,而是推出判断,引导学生独立思考, 并在此基础上进行
合作和交流,努力实现师生的互动,这是课标的要求也是时代发展的必然.
4.强调应用,突出提出、分析和解决问题的能力
数学是美的,这正是数学使人兴趣盎然、乐 此不疲之处.数学的美,有两个方面:一是其中的思
维之美,内在的逻辑和运用逻辑的机智,外在的形式 ,莫不充满着思维之美;另一方面则是它
的作用,它在方方面面的应用.新课标要求强化数学应用,在应 用中,应该特别重视实践能力
和创造能力的培养;在教学中,要重视动手和一题多解的能力.
第一章 集合与函数概念
本章教材分析
通过本章的学习,使学生会使用最基本的 集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图
形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表 达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生
学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流 的能力.通过本章的学习,使
学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻 画函数,为后续
学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要
数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而
发展学生对变量数学的认识,培养学生的抽象概括能力,增强学生应用数学的意识.
课本力求紧密结合 学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,强调从实例出发,
让学生对集合和函数概念有充 分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课
本突出了集合和函数概念的背景教学,这样 比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数
学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和 数学符号进行表达和交流的情境和
机会,并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,用图象表示函数 ,帮助学生借助直观图示
认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处 理数学问题,
这一观点,一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中,渗透了分类讨论思想, 让
学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的.函
数 的表示是本章的主要内容之一,课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),
目的是丰富学 生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.在教学中,既要充分发挥图象的直
观作用,又要适当地引导 学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数
学方法.课本将函数推广到了映射,体 现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念
学习的连续性.
在教学中,要坚持循序 渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着
重从函数的实质上要求理解,而对 定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练
不作提倡,要准确把握这方面的要求,防止拔 高教学.重视函数与信息技术整合的要求,通过
电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术 在函数学习中的重要作用.为了体
现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际情 况,合理地取舍.
本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):

2

1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.2.1
1.2.1
1.3.1
1.3.2

集合的含义与表示
集合间的基本关系
集合的基本运算
函数的概念
函数的表示法
单调性与最大
奇偶性
本章复习
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
整体设计
约1课时
约1课时
约2课时
约2课时
约3课时
约2课时
约1课时
约1课时
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有 着密切
的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、
概括 等.
值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学
校,可以 利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回
答问题,再由教师给 出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合
作与交流的能力.在处理集合问 题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.
三维目标
1.通过实例了解集合的 含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式
描述具体的问题,提高语言转换和抽 象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌 握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有
关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的 应用意识.
重点难点
教学重点:集合的基本概念与表示方法.
教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
课时安排
1课时
设计方案（一）
教学过程
导入新课
思路1.军训前学校通知:8月15 日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的
对象是全体的高一学生还是个别学生？ < br>在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、
高三 )对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.
思路2.首先教师提出 问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆、举例和互相交流 自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着
教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这 就是我们这一堂课所要学习的内容.
推进新课
新知探究
提出问题

3

①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实,生活中 有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.
那么,大家能不能再举出一 些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用 a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)
班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系? 由此看见元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元
素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结
论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A 的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属
于.
⑤能,是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的, 即任何一个元素要么在这个集合中,要么不
在这个集合中,这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合
的 互异性.
⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发
现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
提出问题
阅读课本P
3
中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号. 活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:
通常情 况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,
类似于110、 119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌
握.
讨论结果：
常见数集的专用符号.
N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);
*
N或N
+
:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);
Z:整数集(全体整数的集合);
Q:有理数集(全体有理数的集合);
R:实数集(全体实数的集合).
提出问题
①前面所说的集合是如何表示的？

4

②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之 外,还能用什么方法表示集
合？
③集合共有几种表示法?
活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.
②教师可以举例帮助引导:
例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大 括号“{}”内,即写出为
{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列 举法.注意：大括号不能缺失;有些集
合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误 解的情况下,亦可用列举法
表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100 },自然数集
N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a与{a}:{a}表示一个集合,该集 合只有一个元素,a表示这个
集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元 素不能出现两次.
又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表 示.可以表示
为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.
③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.
讨论结果：
①方法一(字母表示法) :大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成
的集合记为A等等;
方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.
②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示
集合的方 法叫做列举法;
描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再 画一条
竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表
示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉
竖线和元 素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以
写成{直角三角 形}.
③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.
应用示例
思路1
1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=
1
图象上所有的点
x
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质 ,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对
象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定 性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的< br>确定性,不能构成集合.
答案：B
变式训练
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人
C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
答案：D
2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1
2
在数集{2x,x-x}中,实数x的取值范围是.

5

分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值
范围是{x|x<0或03}.
答案：{x|x<0或03}
点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元
素 不明确,没有判断的标准就不能构成集合.
2.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
2
(2)方程x=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示 解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠
正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入 大括号“{}”内,并用逗号隔开.所
给的集合均是用自然语言给出的.
提示学生注意以下方面:
(1)自然数中包含零;
2
(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x=x的根是x=0,x=1;
(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
2
(2)设方程x=x的所有实数根组成的集合为B,那么
A={0,1}.
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么
C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
点评：本题主要考查集合表示法中的列 举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简
洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容 .
如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地
表示出了集合中的元素,是常用的表示法;
列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2) 明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素
写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.
变式训练
用列举法表示下列集合:
(1)所有绝对值等于8的数的集合A;
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
答案：(1)A={-8,8};
(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:
2
(1)方程x-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
活动：先让学生回顾列举法表示集合的步 骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当
学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法 表示集合时,要用数学符号表示集合元素
的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为1 0法表示集合)
用描述法表示集合时,用一个小写英 文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,
找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数 学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在
2

6

大括 号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出
这个集合中元素 所具有的共同特征.
2
在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就 是满足方程x-2=0.
在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示 即可;集合中元素
的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集 合的关系符
号“∈”来表示).
22
解：(1)设方程x-2=0的实根为x,它满足条件x-2=0,因此,用描述法表示为
2
A={x∈R|x-2=0}.
方程x-2=0的两个实数根为
2
,
?2
,因此,用列举法表示为
2
A={
2
,
?2
}.
(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10B={x∈Z|10大于10小于20的整数有11,12,13,14,1 5,16,17,18,19,因此,用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
描述法表示集合的步骤 :(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共
同特征;(3)在大括号内先 写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,
在竖线后写出这个集合中元素所具有 的共同特征.并写成A={…|…}的形式.描述法适合表
示有无数个元素的集合.
注意：当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.
思路2
1.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示.
(2)所有素质好的人能否表示为集合?
(3)A={2,2,4}表示是否准确?
(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?
活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:
(1)元素与集合的关系及其符号表示;
(2)集合元素的性质;
(3)两个集合相同的定义.
解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于 (
?
),知3属于集合A,即3∈A,5
不属于集合A,即5
?
A.
(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合.
(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}.
(4)因其元素相同,A与B表示同一集合.
变式训练
2
1.数集{3,x,x-2x}中,实数x满足什么条件?
2
解：集合元素的特征说明{3,x,x-2x}中元素应满足
?
x?3,
?
x?3,
?
x?3,
??
2
?
2
也就是
?
x?0,
即满足x≠-1,0,3.
?
x?x?2x,
即
?
x?3x,
?
3?x
2
?2x,
?< br>x
2
?2x?3?0,
?
x??1,
?
??
11
2
2.方程ax+5x+c=0的解集是{,},则a=________,c=____ ___.
23

7

分析:方程ax+5x+c=0的解集 是{
2
1111
,},那么、是方程的两根,
2323
5
?
11
???,
?
?
23a
得
?
a?-6 ,
那么a=-6,c=-1. 即有
?
?
11c
?
c?-1 ,
?
??,
?
?
23a
答案：6 -1
23.集合A中的元素由关于x的方程kx-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中仅有一个元素,求k的值.
2
解：由于A中元素是关于x的方程kx-3x+2=0(k∈R)的解,
若k=0,则x=
2
,知A中有一个元素,符合题设;
3
若k≠0,则方程为一元二次方程,
9
2
时,kx-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素.
8
9
综上所述k=0或k=.
8
当Δ=9-8k=0即k=
4.2006山东高考,理1定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合
A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为…( )
A.0 B.6 C.12 D.18
分析:∵x∈A,∴x=0或x=1.
当x=0,y∈B时,总有z=0;
当x=1时,
若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.
综上所得,集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12=18.
答案：D
注意：① 判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中
即可.用符号∈,表 示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,
否则没有意义.
②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合.
③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合
就相等,否 则不相等.
2.用列举法表示下列集合:
(1)小于5的正奇数组成的集合;
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
2
(3)方程x-9=0的解组成的集合;
(4){15以内的质数};
(5){x|
6
∈Z,x∈Z}.
3?x
活动：教师指导学生思考 列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元
素,写在大括号内即可.
提示学生注意：
(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;

8

(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;
(5)中3-x是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.
解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};
2
(3)方程x-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};
(4) 15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};
(5)满足
6
∈Z的x有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1 、5、0、6、-3、9,
3?x
故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.
变式训练
用列举法表示下列集合:
2
(1)x-4的一次因式组成的集合;
2
(2){y|y=-x-2x+3,x∈R,y∈N};
2
(3)方程x+6x+9=0的解集;
(4){20以内的质数};
22
(5){(x,y)|x+y=1,x∈Z,y∈Z};
(6){大于0小于3的整数};
2
(7){x∈R|x+5x-14=0};
(8){(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0};
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.
思路分析：用列举法表示集合的关键 是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地
用“,”隔开放在大括号内.
2
解：(1)因x-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2};
22
(2)y=-x-2x+3=-(x+1)+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2 、3、4,
2
故{y|y=-x-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};
22
(3)由x+6x+9=0得x
1
=x
2
=-3,∴方 程x+6x+9=0的解集为{-3};
(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};
(5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1,
22
那么{ (x,y)|x+y=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};
(6){大于0小于3的整数}={1,2};
22
(7)因x+5x-14=0的 解为x
1
=-7,x
2
=2,则{x∈R|x+5x-14=0}={-7, 2};
(8)当x∈N且1≤x<4时,x=1、2、3,此时y=2x,即y=2、4、6, 那么{(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3, 3),(4,2),(5,1),(6,0)}.
点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用 于元素个数有限个并且较少的集合.用列
举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并 用逗号隔开,相同的元素写成
一个.
3.用描述法分别表示下列集合:
2
(1)二次函数y=x图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
(3)不等式x-7<3的解集. 活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？
如何表示 不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.
必要时,教师可提示 学生:

9

(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合 元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,
2
其特征是满足y=x;
(2)集合 中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符
号用x来表示,其特 征是对应的实数绝对值大于6;
(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式 化为x数的特征是满足x22
解：(1)二次函数y=x上的点(x,y)的坐标满足y=x,则
22
二次函数y=x图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x};
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则
数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};
(3)不等式x-7<3的解是x<10,则
不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.
点评：本题主要考查集合的描述法表示. 描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个
的集合.
用描述法表示集合时,集合元素的 代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集
的元素代表符号常用x.集合中元素的公 共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号
表示,必须抓住其实质.
变式训练
用描述法表示下列集合:
(1)方程2x+y=5的解集;
(2)小于10的所有非负整数的集合;
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;
(6)方程组
?
?
x?y?1,
的解的集合;
x-y?1
?
(7){1,3,5,7,…};
(8)x轴上所有点的集合;
(9)非负偶数;
(10)能被3整除的整数.
解：(1){(x,y)|2x+y=5};
(2){x|0≤x<10,x∈Z};
(3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};
(4){x||x|>3};
(5){(x,y)|xy<0};
(6){(x,y)|
?
?
x?y?1
};
?
x-y?1
*
(7){x|x=2k-1,k∈N};
(8){(x,y)|x∈R,y=0};
(9){x|x=2k,k∈N};
(10){x|x=3k,k∈Z}.
知能训练

10

课本P
5
练习1、2.
【补充练习】
1.下列对象能否组成集合:
(1)数组1、3、5、7;
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;
(3)满足3x-2>x+3的全体实数;
(4)所有直角三角形;
(5)美国NBA的著名篮球明星;
(6)所有绝对值等于6的数;
(7)所有绝对值小于3的整数;
(8)中国男子足球队中技术很差的队员;
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.
2.(口答)说出下面集合中的元素:
(1){大于3小于11的偶数};
(2){平方等于1的数};
(3){15的正约数}.
答案：(1)其元素为4,6,8,10;
(2)其元素为-1,1;
(3)其元素为1,3,5,15.
3.用符号∈或
?
填空:
( 1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,
2
______N;
(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5___ ___Z,
2
______Z;
(3)1______Q,0______Q,-3 ______Q,0.5______Q,
2
______Q;
(4)1_____ _R,0______R,-3______R,0.5______R,
2
______R.
答案：
(1)∈ ∈
?

?

?

(2)∈ ∈ ∈
?

?

(3)∈ ∈ ∈ ∈
?

(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈
4.判断正误:
(1)所有属于N的元素都属于N
*
. ( )
(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )
(3)所有不属于N
*
的数都不属于Z. ( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )
(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立. ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
5.分别用列举法、描述法表示方程组
?
?
3x?y?2,
的解集.
?
2x-3y?27

11

解：因
??
3x?y?2,
?
x?3,
的解为
?

?< br>2x-3y?27
?
y?-7.
?
3x?y?2
};
?
2x-3y?27
用描述法表示该集合为{(x,y)|
?
用列举法表示 该集合为{(3,-7)}.
拓展提升
问题:集合A={x|x=a+
2
b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x=0、
1
2?1
、
1
与集合 A
3?2
之间的关系.
活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将 元素x化为a+2b的形式,再判断
a、b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的 特征,那么判断一个元素
是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.
解：由于x=a+b
2
,a∈Z,b∈Z,
∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A.
又
1
2?1
=
2
+1=1+
2
,
当a=b=1时,a+b
2
=1+
2
,∴
1
2?1
∈A.
又
1
3?2
=
3
+
2
, 当a=3,b=1时,a+b
2
=
3
+
2
,而3
?
Z,
∴
1
3?2
?
A.
1
3?2
∴0∈A,
1
2?1
∈A,
?
A.
点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.
课堂小结
本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤.
作业
课本P
11
习题1.1A组2、3、4.
设计感想
集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基
础.由于 集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式
比较容易接受,在设 计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通

12

过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用
合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时
时监控,对学 生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,
以避免出现不必要的混 乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好
学习习惯,最大限度地挖掘学生的学 习潜力是我们教师的奋斗目标.

13