三阶魔方的高级公式第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系

第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系
§3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系
因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,
控制投影变形有各种不同的方法 ,对应于不同的投影.
3.1.2 地图投影变形及其表述
1,投影长度比,等量纬度及其表示式
长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.
投影平面上微分长度:
椭球面上微分长度:
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
q为等量纬度,计算公式为
引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长
相同.
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
q为等量纬度,计算公式为
引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长
相同.
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
q为等量纬度,计算公式为
引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长
相同.
3.1.2 地图投影变形及其表述
引入等量纬度后,投影公式为:
求微分,得:
其中:l = L - L0
3.1.2 地图投影变形及其表述
根据微分几何,其第一基本形式为:
其中:
3.1.2 地图投影变形及其表述
则,长度比公式为:
将 代入上式,得:
3.1.2 地图投影变形及其表述
当A=0°或180 °,得经线方向长度比:
当A = 90°或270 °,得纬线方向长度比:
要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:
3.1.2 地图投影变形及其表述
长度比与1之差,称为长度变形,即:
vm>0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短.
3.1.2 地图投影变形及其表述
2,主方向和变形椭圆
主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两
个方向称为主方向.
性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.
对照第一基本形式,得:
且:
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式,得:
若使:
使长度比为极值的方向:
由三角公式得:
3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得,长度比极值为:
将三角展开式代入得:
因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:
3.1.2 地图投影变形及其表述
不难得出下列关系:
3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和最小长度 比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投
影面上为x1和y1方向,则有:
椭球面上
投影面上
3.1.2 地图投影变形及其表述
3,方向变形与角度变形
某方向(以主方向起始) 投影后为 1,则有:
由三角公式,得:
显然,当 + 1 = 90°或 270 °时,方向变形最大
3.1.2 地图投影变形及其表述
若 与 1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:
顾及:
解得最大变形方向为:
3.1.2 地图投影变形及其表述
两方向 , 所夹角的变形称为角度变形,用 表示.即:
显然,当 + 1 = 90°, + 1 = 270 °或 + 1 = 270°, + 1 = 90 °时,角度变形最
大,最大角度变形可表示为:
3.1.2 地图投影变形及其表述
4,面积比与面积变形
椭球面上单位圆面积为 ,投影后的面积为 ab,则面积变形为:
3.1.3 地图投影的分类
1,按投影变形的性质分类
(1). 等面积投影
a b = 1
(2). 等角投影
a = b
(3). 等距离投影
某一方向的长度比为1.
3.1.3 地图投影的分类
2,按采用的投影面和投影方式分类
(1). 方位投影
投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投
影到平面上.
3.1.3 地图投影的分类
(2). 正轴或斜,横轴圆柱投影
正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影),或相割(割圆柱
投影)
切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成
一组平行直线,经线投影成与纬线正交
的另一组平行直线.
割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线
投影成一组平行直线,经线投影成与纬
线正交的另一组平行直线.
3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.
斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球,
投影圆柱体斜切于圆球进行投影.
(3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上
物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平
面.
根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥
投影,斜圆锥投影.
3.1.3 地图投影的分类
习 题
1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.
2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件 并给出证明.
3. 变形主方向有什么性质
4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件
5. 地图投影按变形性质分哪几类 按投影方式分哪几类
§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件E = G, F = 0,
即:
由第二式解得:
1
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
代入第一式,得:
考虑到导数的方向,开方根得:
再代入 式,得:
1
2
3
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
2
, 式称为Kauchi- Rimann方程,满足该方程的复变函数为解析函数,可
展开成幂级数,即有:
3
其反函数也是复变函数,可以写成:
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯-克吕格投影的条件:
1. 是正形投影
2. 中央子午线不变形
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯投影的性质:1. 投影后角度不变
2. 长度比与点位有关,与方向无关
3. 离中央子午线越远变形越大
为控制投 影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度带或6度带
分带,城市或工程控制网坐标可采用不按3 度带中央子午线的任意带.
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
中央子午线在平面上的投影是 x 轴,赤道的投影是 y 轴,其交点是坐
标原点.
x 坐标是点至赤道的垂直距离;
y 坐标是点至中央子午线的垂直距离,有正负.
为了避免 y 坐标出现负值,其名义坐标加上 500 公里.
为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上加带号N
所以点的横坐标的名义值为
y = N 1000000+500000+y
§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式
3.2.1 高斯投影正算公式
赤 道
因正形投影的导数与方向无关,将投影点坐标在H点展开,得:
3.3.1 高斯投影正算公式
因此,高斯投影级数展开式可表示为:
其各阶导数为:
3.3.1 高斯投影正算公式
将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下:
3.3.1 高斯投影正算公式
为便于编程计算,可将正算公式改写成如下形式:
3.3.2 高斯投影反算公式
在中央子午线投影成的x轴上取点 Xf = x,该点称为底点,用子午弧长
反算公式求得底点的纬度 Bf 和相应的等量纬度qf ,以底点为展开点
进行级数展开,得:
3.3.2 高斯投影反算公式
相应的各阶导数为:
3.3.2 高斯投影反算公式
代入级数展开式,虚实分开得:
4
3.3.2 高斯投影反算公式
将大地纬度展开成等量纬度的级数式
其中:
5
3.3.2 高斯投影反算公式
由 式,得:
4
代入 式,得:
5
3.3.2 高斯投影反算公式
将各系数代入上式,得纬度 B 的反算公式:
3.3.2 高斯投影反算公式
为便于编程计算,可将反算公式改写成如下形式:
3.3.2 高斯投影反算公式
利用高斯投影的正反算公式,亦可进行不同投影带坐标的换带计算.其
计算步骤如下:
1. 根据高斯投影坐标 x, y,反算得纬度B和经度差l;
2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度 L = L0 +l;
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0' ,计算相应的经差:
4. 由高斯投影正算,求得新的高斯投影坐标 x',y'.
习 题
1. 高斯投影的条件是什么
2. 简述高斯投影投影正算公式的推导;
3. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373
L = 121 10 33.2012
计算:1). 该点的3 带和6 带带号;
2). 该点的3 带高斯投影坐标并反
算检核;
§3.4 平面子午线收敛角和长度比
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
平行圈
子午线
沿平行圈纬度不变,求微分得:
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
对高斯投影公式求偏导数,得:
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
代入上式,得:
将 展开成 tg 的级数,得:
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
由此可见, 是经差的奇函数,在 x 轴为对称轴,东侧为正,西侧为负.
子午线收敛角在赤道为0,在两极等于经差 l,其余点上均小于经差 l .
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式.
平行圈
L =常数
L+dl = 常数
P点沿与y轴平行方问微分变动到P 点,子午线收敛角可表示为:
沿y坐标的微分,得:
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
代入子午线收敛角公式,得:
由高斯投影反算公式求出偏导数,得:
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
代入上式子午线收敛角计算公式,得:
将 展开成 tg 的级数,得:
3.4.2 长度比计算公式
由高斯投影长度比的定义式,得:
将前面的偏导数代入上式,得:
开方后得出以大地坐标表示的长度比公式:
3.4.2 长度比计算公式
为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式,反解高斯投影的 y 坐标
正算公式,得:
对上式求平方和四次方,得:
3.4.2 长度比计算公式
代入用大地坐标表示的长度比公式,得:
顾及:
代入上式,得:
可见,长度比是y坐标的偶函数,且只与y坐标有关.
§3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角
3.5.1 高斯投影的距离改化
椭球面上的大地线投影到高斯平面上为曲线,与平面上两点相连的直
线相比, 其微分线段间的差异极小,可表示为:
其中:
3.5.1 高斯投影的距离改化
此弧线与直线间的最大偏角即为方向投影改化,本为二次小项,故此相
对长度差异仅为4次项,相对于距 离测量的最高精度亦可忽略,因此可
认为:

用辛卜生公式数值积分得:
3.5.1 高斯投影的距离改化
将长度比公式
代入上式,得:
3.5.1 高斯投影的距离改化
距离改化 S可表示为:
其中:
在城市及工程应用中测边离中央子午线不会超过45公里,则距离改化
公式可进一步简化为:
3.5.2 高斯投影方向改化
1,高斯投影曲线的形状
高斯投影曲线的形状向 x 轴弯曲,并向两极收敛.
3.5.2 高斯投影方向改化
2,高斯投影方向改化
保角投影前后角度相同,即:
3.5.2 高斯投影方向改化
将球面角超计算公式代入上式,得:
因方向值顺时针方向增加,考虑其正负号后,方向改化公式可表示如下:
上式具有0.1 的 计算精度,适用于三,四等控制网的方向改化计算.改化
公式中的曲率半径可足够近似地取6370km
3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式
A12
T12
习 题
1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373
L = 121 10 33.2012
计算:1). 该点的3 带高斯投影后的中央子午
线收敛角;
2). 该点的3 带高斯投影的长度比.
2. 已知起始点坐标:x3 = 3239387.624 m
y3 = 40446822.368m
起始平面方位角T31=192 37 08.51 ,
距离S31=7619.245m,各方向观测值如下:
1~3:0 00 00.00 2~3:0 00 00.00 3~1: 0 00 00.00
1~2:257 17 47.71 2~1:39 51 12.50 3~2:37 26 36.65
将上述边长和方向归算到高斯平面上.
3
1
2
§3.6 通用横轴墨卡托投影
3.6.1 墨卡托投影
墨卡托投影为等角割圆柱投影,圆柱与椭球面相割于 B0的两条纬线,
投影后不变形.
特性:等角航线在投影平面上为直线.因此,该投影便于在航海中应用.
3.6.2 通用横轴墨卡托投影
简称为UTM,与高斯投影相比,仅仅是中央子午线的尺度比为0.9996,< br>其投影公式如下:
3.6.2 通用横轴墨卡托投影
长度比和子午线收敛角计算公式.
3.6.2 通用横轴墨卡托投影
通用横轴墨卡托投影的反算步骤:
1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标;

2. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度.
3.6.2 通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较
§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球 局部区域中常采用地方独立坐标系,其高斯坐标以往并非由经纬度求
得,而是直接将边长投影到边长 归算的高程基准面(投影面), 再选定
过测区中心附近的坐标纵轴,计算高斯投影边长和方向改正,在 平面上
由起始点坐标,起始方位角来平差计算各控制点坐标 .
§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球
地方独立坐标系的参数:
1. 投影面:一般采用区域的平均高程面;
2. 中央子午线的经度或位置:一般取用过区域中心附近一控制点的经
度,或采用整分或整度的经度.
3. 起始坐标,起始方位角,起始边长.
§3.7 局部区域中的高斯投影及相应的区域性椭球
城市及工程控制网采用地方独立坐标系,边长的投影面是区 域的边长
归算的高程基准面而并不是国家参考椭球面.其高斯坐标所对应的椭
球面应是与投影面 相接近的区域性椭球面,而不是国家参考椭球面.
习 题
1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373
L = 121 10 33.2012
计算:1). 该点的3 带UTM投影坐标;
2). 该点UTM投影的长度变形.