高中数学必修五学案 [整书][全套]

人教版高中数学必修五学案【整套】

§1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理(一)
学习目标 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容
及其证明方法(重、难点)；
2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题(重点).

知识点1 正弦定理
1.正弦定理的表示
文字在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外
语言 接圆的直径
符号
abc
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
si n A
＝
sin B
＝
sin C
语言
＝2R
2.正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
abc
(2)sin A＝
2R
，sin B＝
2R
，sin C＝
2R
(R为△ABC外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)
a＋b＋c
abc
＝
sin A
＝
sin B
＝
sin C
.
sin A＋sin B＋sin C
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
【预习评价】
1.正弦定理对任意三角形都适用吗？
1

人教版高中数学必修五学案【整套】
提示 都适用，且比值为2R.
2.正弦定理的主要功能是什么？
提示 实现三角形中边角关系的转化.
知识点2 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【预习评价】
1.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
3
A.
3

2
C.
2

6
B.
3

3
D.
2

ab15103
解析 由于
sin A
＝
sin B
，故＝
sin B
，解得：sin B＝
3
.
3
2
答案 A
a
2.在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则
sin A
＝________.
ab2
解析
sin A
＝
sin B
＝
1
＝4.
2
答案 4

题型一 对正弦定理的理解
【例1】 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边 分别是a，b，c，则下列关于
正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.a＝b?sin 2A＝sin 2B
b＋c
a
C.
sin A
＝
sin B＋sin C
D.正弦值较大的角所对的边也较大
2

人教版高中数学必修五学案【整套】
abc
解析 在△ABC中，由正弦定理得
sin A
＝
sin B
＝
sin C
＝k(k＞0)，则a＝ksin A，b
＝ksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确.
当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，
故B错误.
根据比例式的性质易得C正确.
大边对大角，故D正确.
答案 B
规律方法 根据正弦定理的适用范围和变形公式进行判断.
【训练1】 下列有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦值的比是定值；
④在△ABC中，A∶B∶C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A.1
C.3
B.2
D.4
a
解析 因为正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确；由正弦定理，有
sin A
＝
bc
＝
sin Bsin C
＝2R，因为三角形确定，所以其外接圆半径R为定值，故③正确；
④显然不正确.
答案 A
题型二 已知两角与任意一边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形.
解 ∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
accsin A
10×sin 45°
由
sin A
＝
sin C
得a＝
sin C
＝
sin 30°
＝102.
bccsin B
10×sin 105°
由
sin B
＝
sin C
得b＝
sin C
＝
sin 30°
＝20sin 75°，
3

人教版高中数学必修五学案【整套】
2＋6
∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
4
，
2＋6
∴b＝20×
4
＝52＋56.
规律方法 解决已知两角及一边类型的解题方法：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正 弦定理求另一边，再由三角形内角和定
理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若 所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正
弦定理求另外两边.
3
【训练2】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝
5
，cos
5
B＝
13
，b＝3，则c＝________.
34
解析 在△ABC中，∵cos A＝
5
＞0，∴sin A＝
5
.
512
∵cos B＝
13
＞0，∴sin B＝
13
.
45312
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝
5
×
13
＋
5
×
13
＝
56
65
.
bcbsin C14
由正弦定理
sin B
＝
sin C
，得c＝
sin B
＝
5
.
14
答案
5


π
【例3】 在△ABC中，已知a＝2，c＝6，C＝
3
，求A，B，b.
ac
解 ∵
sin A
＝
sin C
，
26
∴
sin A
＝，
3
2
4

人教版高中数学必修五学案【整套】
2
解得：sin A＝
2
，又∵a＜c，
ππ
C＝
3
，∴A＝
4
.
ππ5π
∴B ＝π－A－C＝π－
4
－
3
＝
12
，
6＋2
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝
4
，
5π
6sin
12
csin B
∴b＝
sin C
＝
π
＝3＋1.
sin
3
π
【迁移】 若把例3中a＝2改为B＝
4
，求A，a，b的值.
ππ5π
解 由三角形内角和定理知A＝π－
3
－
4
＝
12
.
cb
又由正弦定理
sin C
＝
sin B
，
π
6×sin
4
csin B
得b＝
sin C
＝
π
＝2.
sin
3
ac
又由
sin A
＝
sin C
，
csin A
得a＝
sin C
＝
5π
6×sin
12
π
sin
3
＝3＋1.
规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由 三角形中大边对大角，大角对大边的法
则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时
由正弦值可求两个 角，要分类讨论.

课堂达标
5

人教版高中数学必修五学案【整套】
1.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是( )
A＝bsin B
C＝bcsin B
C＝csin A
C＝csin A
abc
解析 由正弦定理
sin A
＝
sin B
＝
sin C
，
得asin C＝csin A.
答案 D
2.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，
B＝ 60°，那么A等于( )
A.135°
C.45°
B.90°
D.30°
3
2×
2
abasin B2
解析 由
sin A
＝
sin B
得sin A＝
b
＝＝
2
，∵0°3
或135°.
又∵a＜b，∴A＜B，∴A＝45°.
答案 C
3.在△ABC中，若BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________.
sin C
解析 由正弦定理得：AB＝
sin A
BC＝2BC＝25.
答案 25
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝ 6，c＝3，
则A＝________．
3
6×
2
bsin C2
解析 由正弦定理，得sin B＝
c
＝
3
＝
2
，
结合b答案 75°
5.在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形.
6

人教版高中数学必修五学案【整套】
ac
解 ∵
sin A
＝
sin C
，
6×sin 45°
3csin A
∴sin C＝
a
＝＝
2
，
2
c>a，即C>A，又0°＜C＜180°，
∴C＝60°或C＝120°.
csin B6sin75°
当C＝60°时，B＝75°，b＝
sin C
＝
sin 60°
＝3＋1；
csin B6sin 15°
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝3－1.
sin Csin 120°
∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.
课堂小结
abc
1.正弦定理的表示形式：
sin A
＝
sin B
＝
sin C
＝2R，或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝
ksin C(k＞0).
2.正弦定理的应用：①已知两角和 任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中
一边的对角，求另一边和两角.
3.利用正弦 定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，
转化为三角函数问题来解决；另一方 面，也可以化角为边，转化为代数问题来解
决.
1.1 余弦定理
学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法(重、难
点)；2.会运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题(重点).

知识点1 余弦定理
文字语言
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos__A，
符号语言 b
2
＝c
2
＋a
2
－2cacos__B，
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos__C
7

人教版高中数学必修五学案【整套】
推论
b
2
＋c
2
－a
2
cos A＝
2bc
，
c
2
＋a
2
－b
2
cos B＝
2ca
，
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab


【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若a
2
＜b
2
＋c
2
，则△AB C是锐角三角形( )
(2)已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是唯一确定.( )
提示 (1)不一定，因为△ABC中，a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐
角三角形.
答案 (1)× (2)√
知识点2 用余弦定理解三角形的问题
利用余弦定理可以解决以下两类问题：
(1)已知两边及其夹角解三角形；
(2)已知三边解三角形.
【预习评价】
1.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )
A.8
C.62
解析 ∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C
?1
?
＝16＋36－2×4×6×
?
－
2
?

??
＝76，
∴c＝76＝219.
答案 D
2.在△ABC 中，若a
2
－c
2
＋b
2
＝ab，则cos C＝________.
B.217
D.219
8

人教版高中数学必修五学案【整套】
解析 ∵a
2
－c
2
＋b
2
＝ab，
∴c
2
＝a
2
＋b
2
－ab.
又∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C，
∴2cos C＝1.
1
∴cos C＝
2
.
1
答案
2



题型一 已知两边及其夹角解三角形
【例1】 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A， B和边c的值
?
6＋26－2
?
?
cos 15°＝
4
，sin 15°＝
4
?
.
??
解 由余弦定理知c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C
6＋2
＝4＋8－2×2×22×
4
＝8－43，
∴c＝8－43＝（6－2）
2
＝6－2.
6－2
2×
4
asin Casin 15°
由正弦定理得sin A＝
c
＝
c
＝

6－2
1
＝
2
，
∵b＞a，∴B＞A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°，
∴c＝6－2，A＝30°，B＝135°.
规律方法 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思 路：一是利用余弦定理
的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.
9

人教版高中数学必修五学案【整套】
(2)用正弦定理求解时 ，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦
定理就不存在这些问题(因为在(0，π)上， 余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦
定理求解较好.
【训练1】 在△ABC中，角A，B ，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，
1
cos(A＋B)＝
3
，则c＝( )
A.4
C.3
B.15
D.17
1
解析 cos C＝－cos (A＋B)＝－
3
.又由余弦定理得c2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝9＋4
?
1
?
－2×3×2×
?
－
3
?
＝17，所以c＝ 17.
??
答案 D

【例2】 在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C.
b
2
＋c
2
－a
2
解 根据余弦定理，cos A＝
2bc

（6＋23）
2
＋（43）
2
－（2 6）
2
3
＝＝
2
.
2（6＋23）（43）
π
∵A∈(0，π)，∴A＝
6
，
a
2
＋b
2
－c
2
（26）
2
＋（6＋ 23）
2
－（43）
2
2
cos C＝
2ab
＝＝
2
，
2×26×（6＋23）
π
∵C∈(0，π)，∴C＝
4
.
ππ
7
∴B＝π－A－C＝π－
6
－
4
＝
12< br>π，
π
7
π
∴A＝
6
，B＝
12
π，C＝
4
.
【迁移1】 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC中各角的度
数.
10

人教版高中数学必修五学案【整套】
解 已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1 )，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得
b
2
＋c
2
－a
2
（6）
2
＋（3＋1）
2
－2
2
2
cos A＝
2bc
＝＝
2
，
2×6×（3＋1）
∵0°a
2
＋c
2
－b
2
2
2
＋（3＋1）
2
－（6 ）
2
1
cos B＝
2ac
＝＝
2
，
2×2×（3＋1）
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
【迁移2】 若三角形三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是( )
A.1∶2∶3
C.1∶2∶3
B.1∶3∶2
D.2∶3∶2
解析 设三角形三边长分别为m，3m，2m(m＞0)，最大角为A，则cos A＝
m
2
＋（3m）
2
－（2m）
2
＝0，
2m·3m
∴A＝90°.
（2m）
2
＋（3m）
2－m
2
3
设最小角为B，则cos B＝＝
2
，
2·2m·3m
∴B＝30°，∴C＝60°.
故三角形三角之比为1∶2∶3.
答案 A
【迁移3】 在△ABC中，已知a
2
＋c
2
＝b
2
＋ac，且sin A∶sin C＝(3＋1)∶2，
求角C.
解 ∵a
2
＋c
2< br>＝b
2
＋ac，a
2
＋c
2
－b
2
＝2accos B.
11

人教版高中数学必修五学案【整套】
1
∴2accos B＝ac，∴cos B＝
2
.
∵0°＜B＜180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
3＋1
sin A
∵
sin C
＝
2
，
∴2sin A＝(3＋1)sin C.
∴2sin(120°－C)＝(3＋1)sin C.
∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝(3＋1)sin C.
∴sin C＝cos C.
∴tan C＝1.∵0°∴C＝45°.
规律方法 已知三角形三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论 求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理
的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求 出第二个角；最后利用三角形的内
角和定理求出第三个角.
题型三 判断三角形的形状
A
b＋c
【例3】 在△ABC中，已知cos
2
2
＝2c
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，
判断△ABC的形状.
b＋c
解 法一 在△ABC中，由cos
2
＝
2c
，
2
A
1＋cos Ab＋c
b
得＝，∴cos A＝
22cc
.
b
2
＋c
2
－a
2b
根据余弦定理，得
2bc
＝
c
.
∴b
2< br>＋c
2
－a
2
＝2b
2
，即a
2
＋ b
2
＝c
2
.
12

人教版高中数学必修五学案【整套】
∴△ABC是直角三角形.
法二 在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，得b＝2Rsin B，c＝2Rsin
C.
b＋c
b
由cos
2
＝
2c
知，cos A＝
c
.
2
A
sin B
∴cos A＝
sin C
，即sin B＝sin Ccos A.
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sin Ccos A，∴sin Acos C＝0.
∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.
π
∴cos C＝0，∴C＝
2
.
∴△ABC是直角三角形.
规律方法 1.利用三角 形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，
即使用转化的思想解决这类问题，一般有两条 思考路线：(1)化边为角，再进行
三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余弦值符号；(2)化角为 边，再进行代
数恒等变换，求出三条边之间的关系式.
2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
(1)△ABC为直角三角形?a
2
＝b
2
＋c
2
或b
2
＝a
2
＋c
2
或c
2
＝a
2
＋b
2
；
(2 )△ABC为锐角三角形?a
2
＋b
2
＞c
2
且b
2
＋c
2
＞a
2
且c
2
＋a
2
＞ b
2
；
(3)△ABC为钝角三角形?a
2
＋b
2
＜c
2
或b
2
＋c
2
＜a
2
或c
2
＋a
2
＜b
2
.
【训练2】 在△ABC中，已知角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b
2
sin
2
C
＋c2
sin
2
B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状.
解 法一 角化为边.
因为b
2
sin
2
C＋c
2
sin
2
B＝2bccos Bcos C，
13

人教版高中数学必修五学案【整套】
所以b
2
(1－cos
2
C)＋c
2
(1－cos
2
B)＝2bccos Bcos C.
根据余弦定理的推论可得
222
?
2
222?
2
a
2
＋c
2
－b
2
a
2
＋b
2
－c
2
??
a
＋b－c
a
＋c－b
??
－c
2
·
??
＝2bc·
b
2
＋c
2
－b
2
··
2ab
，
2ac< br>2ac
??
2ab
??
[（a
2
＋b
2－c
2
）＋（a
2
＋c
2
－b
2
）]
2
2
即b
2
＋c
2
＝＝a，
2
4a
所以△ABC为直角三角形.
法二 边化为角.
因为b< br>2
sin
2
C＋c
2
sin
2
B＝2bcc os Bcos C，
由正弦定理得sin
2
Bsin
2
C＋si n
2
Csin
2
B
＝2sin Bsin Ccos Bcos C，
即sin Bsin C＝cos Bcos C，cos(B＋C)＝0，
所以B＋C＝90°，
所以△ABC为直角三角形.

课堂达标
1.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝2，则
A＝( )
A.30°
C.60°
解析 ∵a＝7，b＝3，c＝2，
b
2
＋c
2
－a
2
9＋4－7
1
∴由余弦定 理得，cos A＝
2bc
＝＝，
2×3×2
2
又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C.
答案 C
14
B.45°
D.90°

人教版高中数学必修五学案【整套】
2.在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A.1
C.3
B.2
D.4
解析 在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，
AB
2
＝BC
2
＋AC
2
－2AC·BCcos C，
可得：13＝9＋AC
2
＋3AC，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.
答案 A
3.已知a，b，c分别 为△ABC中角A，B，C的对边，且3a
2
＋3b
2
－3c
2＋2ab＝0，
则tan C＝________.
解析 △ABC中，∵3a
2
＋3b
2
－3c
2
＋2ab＝0，
a
＋b－c
1
∴cos C＝
2ab
＝
2ab
＝－
3
，∴sin C＝
222
2
－
3
ab
22sin C
1－cos
2
C＝
3
，故tan C＝
cos C
＝－22.
答案 －22
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，
则B＝________.
a
2
＋c
2
－b
2
1＋3－7
3
解析 cos B＝
2ac
＝＝－
2
，
2×1×3
5
又B∈(0，π)，∴B＝
6
π.
5
答案
6
π
→
·
→
＝－6，5.在△ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，ABACS
△
ABC
＝3，求A和a.
→
·
→
＝－6，所以bccos A＝－6， 解 因为ABAC
又因为S
△
ABC
＝3，所以bcsin A＝6，
15

人教版高中数学必修五学案【整套】
3π
因此tan A＝－1，又04
.
又因为b＝3，所以c＝22.
由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
?
2
?
得a
2
＝9＋8－2×3×22×
?
－
?
＝29，
?
2
?
所以a＝29.
课堂小结
1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理< br>可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐
角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝
角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直
角.
2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.
(2)若已知两边和一边的 对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，
但用正弦定理时要注意不要漏解或多解.

16

人教版高中数学必修五学案【整套】
§1.2 应用举例(一)
学习目标 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题(重点)；
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力(难点).

预习教材P11－12完成下列问题：
知识点一 基线的概念与选择原则
1.基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.
2.选择基线的原则
在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的 精确度.
一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
【预习评价】
1.在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个内角能解出三角形的边长
吗？
提示 不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形的一条边的长.
2.两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？
提示 能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用正、余弦定理求出两点间
的距离.
知识点二 解三角形应用题
解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角
形问题.
(1)解题思路
17

人教版高中数学必修五学案【整套】

(2)基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
②建模：根据已知 条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角
形中，建立一个解三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
【预习评价】
1.如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )

A.γ，c，α
C.c，α，β
B.b，c，α
D.b，α，γ
解析 a，c均隔河，故不易测量，测量b，α，γ更合适.
答案 D
2.一艘船 上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距
82海里，之后它继续沿正北 方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测
得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航速 是________海里小时.( )
A.8(6＋2)
C.16(6＋2)
B.8(6－2)
D.16(6－2)
18

人教版高中数学必修五学案【整套】
解析 由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，
∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.
SAAB
由正弦定理得
sin 105°
＝
sin 45°
，
82AB
即
sin 105°
＝
sin 45°
，
得AB＝8(6－2)，
8（6－2）
因此此船的航速为

1
2
＝16(6－2)(海里小时).
答案 D

题型一 测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离
【例题】 海上A，B两个小岛相 距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视
角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的 距离是( )
A.103 海里
C.52 海里
解析 根据题意，可得下图.
106
B.
3
海里
D.56 海里

在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.
ABBC
由正弦定理可得
sin C
＝
sin A
，
10BC
即＝，
23
22
∴BC＝56(海里).
答案 D
19

人教版高中数学必修五学案【整套】
规律方法 求距离问题时应注意的两点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未 知量，则
把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
【训练】 如 图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在
所在的河岸边先确定一点C，测出A， C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB
＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )

A.502 m
C.252 m
B.503 m
252
D.
2
m
AB50
解析 B＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由
sin 45°
＝
sin 30°
，得AB＝
2
100×
＝502.
2
答案 A



3
【探究1】 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距
2
a km的军事基地C和D处 测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB
＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60° ，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精
锐部队间的距离.

解 法一 ∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°.
20

人教版高中数学必修五学案【整套】
∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
3
∴AD＝CD＝
2
a km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
BDCD
由正弦定理＝，
sin∠BCDsin∠DBC
6＋2
3 ＋3
4
sin∠BCD
3
得BD＝CD·＝
a·
＝
4
a(km).
sin∠DBC
2
2
2
在△ADB中，由余弦定理得
AB
2
＝AD
2
＋BD
2
－2AD·BDcos∠ADB 3＋3
3
2
?
3＋3
?
2
333
2< br>?
＝
4
a
＋
?
－2·
a·a·
＝< br>8
a
，
a
422
?
4
?
6
∴AB＝
4
a km.
6
故蓝方这两支精锐部队间的距离为
4
a km.
法二 在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
BCCD
由正弦定理得
sin 30°
＝
sin 45°
，
CDsin 30°6
则BC＝
sin 45°
＝
4
a，
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
所以△ACD为等边三角形.
因为∠ADB＝∠BDC，
所以BD为正△ACD的中垂线，
6
所以AB＝BC＝
4
a km.
【探究2】 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两
点间距离的方法.
21

人教版高中数学必修五学案【整套】

解 测量者可以在河岸 边选定两点C，D，测得CD＝a，并且在C，D两点分别
测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA＝δ，
在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
AC＝
＝，
sin[180°－（β＋γ＋δ）]sin（β＋γ＋δ）
asin γ
＝
.
sin[180°－（α＋β＋γ）]sin（α＋β＋γ）
asin γ
asin（ γ＋δ）asin（γ＋δ）
BC＝
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算 出A，B两点间的距离
AB＝AC
2
＋BC
2
－2AC·BCcos α.
【探究3】 对于探究题2，给出另外一种测量方法.

解 测量者可以在河岸边选 定点E，C，D，使A，E，C三点共线，测得EC＝a，
ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED ＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，
在△AED和△BEC中，应用正弦定理得
AE＝
bsin γbsin γ
＝，
sin[π－（α＋γ）]
sin（α＋γ）
asin βasin β
＝
.
sin[π－（α＋β）]
sin（α＋β）
BE＝
在△ABE中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离
AB＝

AE
2
＋BE
2
＋2AE×BEcos α.
22

人教版高中数学必修五学案【整套】
规律方法 测量不能到达的两点间的距离的方法及关键
(1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个
重要的方法.
(2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计
算.

课堂达标
1.已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C
两地相距( )
A.10 km
C.105 km
B.103 km
D.107 km
解析 AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BC cos 120°＝700，
∴AC＝107 km.
答案 D
2.某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离
出发点恰好3 km，那么x的值为( )
A.3
C.23或3
B.23
D.3
x
2
＋9－3
解析 由题意画出三角形如图.则∠ABC＝30°，由余弦定理cos 30°＝
6x
，
∴x＝23或3.

答案 C
3.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯
23

人教版高中数学必修五学案【整套】
塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°
C.南偏东10°
B.北偏西10°
D.南偏西10°
解析 灯塔A ，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA
＝50°，则α＝60°－ 50°＝10°，即北偏西10°.

答案 B
4.一艘船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，
行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为
________km.

解析 如图所示，AC＝15×4＝60，
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
60BC
在△ABC中，
sin 45°
＝
sin 30°
，
∴BC＝302.
答案 302
5.如图所示，某观测站C在 城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为
南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车
正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，
这时此车距离A城多少千米？
24

人教版高中数学必修五学案【整套】

解 在△BCD中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝21 km，由余弦定理得
BD
2
＋CD
2
－BC
2
20
2
＋21
2< br>－31
2
1
cos∠BDC＝
＝＝－
2BD·CD7
.
2×20×21
1
∴cos∠ADC＝
7
，∴sin∠ADC＝
43
1－cos
2
∠ADC＝
7
.
在△ACD中，由条件知CD＝21 km，∠BAC＝20°＋40°＝60°，
3114 353
∴sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝
2
×
7
＋
2
×
7
＝
14
.
ADCD
由正弦定理得＝，
sin∠ACDsin∠BAC
2153
∴AD＝×
14
＝15(km).
3
2
故这时此车距离A城15 km.
课堂小结
1.解三角形应用题常见的两种情况
(1)实际问题经抽象概括 后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正
弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问 题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这
时需作出这些三角形，先解够条 件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，
有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解 方程(组)得出所要求的解.
2.测量距离问题包括两种情况
(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.
(2)测量两个不可到达点之间的距离.
第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角 形的问题，用正弦定理即可
解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距 离转
化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点
25

人教版高中数学必修五学案【整套】
与不可到达的点之间的距离问题(如图2).



26

人教版高中数学必修五学案【整套】
§1.2 应用举例(二)
学习目标 1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到
达的物体高度 测量的问题(重、难点)；2.能运用正弦、余弦定理解决测量角度的
实际问题(重、难点).

知识点 相关术语
名称 术语意义
在同一铅直平面内，目标视线与水平 视
仰角与线所成的角中，目标视线在水平视线上
俯角 方的叫做仰角，目标视线在水平视线下
方的叫做俯角

h
设坡角为α，坡度为i，则i＝
l
＝tan__α
图示
坡角 坡面与水平面的夹角
坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比

【预习评价】
1.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能 测
出点C，D间的距离CD和由C点，D点观察A的仰角α，β，即可求建筑物高
度AB.试把 这一问题抽象成数学模型(已知测角仪器的高是h).

提示 问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α，β，m表示AE的
27

人教版高中数学必修五学案【整套】
长，所得结果再加上h.
< br>2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处
一山顶D在西偏 北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北
25°的方向上，仰角为8°，求此 山的高度CD.试把本问题抽象成数学模型.

提示 问题本质是：如图，已知三棱锥D- ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α，
β，m，γ表示DC的长.



方向1 底部可到达
【例1－1】 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造 型流畅别致，成了
济南的标志和象征.李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标
顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标
顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
解 如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端.
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，
28

人教版高中数学必修五学案【整套】
则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
BDAB
在△ABD中，根据正弦定理，
sin 60°
＝
.
sin∠ADB
AB·sin 60°15.2·sin 60°
∴BD＝
sin 20°
＝
sin 20°
≈38.5(m).
在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38 m.
方向2 底部不可到达
【例1－2】 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得
山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D 点是
点C到水平面的垂足，求山高CD.

解 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
ABAD
由
sin 15°
＝
sin 45°
，
2
800×
2
AB·sin 45°
得AD＝
sin 15°
＝＝800(3＋1)(m).
6－2
4
即山的高度为800(3＋1) m.
规律方法 准确地画出图形 ，将已知数据反映到图形中，从而将测量高度问题转
化为纯粹的数学图形问题，然后再解三角形求解.
【训练】 如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一
29

人教版高中数学必修五学案【整套】
基线AB，AB＝20 m，在A点处测 得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点
的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°， 求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数
字)

解 在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.
1
∴OA＝OP·
＝3h.
tan 30°
在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，
1
∴OB＝OP·
＝h.
tan 45°
在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，
由余弦定理得AB
2
＝OA
2
＋OB
2
－2·OA·OB·cos 60°，
1即20
2
＝(3h)
2
＋h
2
－2×3h×h×
2
，
400
解得h
2
＝
≈176.4，∴h≈13 m.
4－3
即旗杆的高度h约为13 m.

【探究1】 一艘轮船从A 出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，
然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了 402海里到达海岛C.如果下次航行
直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为( )
A.北偏东80°，20(6＋2)
B.北偏东65°，20(3＋2)
C.北偏东65°，20(6＋2)
D.北偏东80°，20(3＋2)
30

人教版高中数学必修五学案【整套】
解析 由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，
AB＝40，BC＝402.
根据余弦定理得
AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB×BC×cos∠ABC＝
2－6
40
＋(402)－2×40×402×
4
＝
22
3 200＋1 6003，∴AC＝20(6＋2).
BCAC
根据正弦定理＝
sin 105°
，∴∠CAB＝45°，
sin∠CAB
∴此船航行的方向和路程(海里)分别为北偏东65°，
20(6＋2).故选C.
答案 C
【探究2】 一艘向正东航行的船，看见正北 方向有两个相距10海里的灯塔恰
好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西3 0°，另一
灯塔在船的北偏西15°，则这艘船的速度是每小时( )
A.5 海里
C.10 海里
B.53 海里
D.103 海里
解析 设两个灯塔分别为C，D，则CD＝10，
由题意，当船在B处时，
∠ABC＝60°，∠CBD＝∠CDB＝15°，
即CD＝BC＝10.
1
在直角三角形CAB中，AB＝BCcos 60°＝10×
2
＝5，
5
则这艘船的速度是
1
＝10海里时，故选C.
2
31

人教版高中数学必修五学案【整套】

答案 C
【探究3】 两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯
塔A在观察站 的北偏东35°，灯塔B在
观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.3a 海里
C.5a 海里
B.7a 海里
D.3a 海里
解析 依题意知∠ACB＝180°－25°－35°＝120°，
在△ABC中，由余弦定理知
AB＝
?
1
?
?
－
2
?
＝7a.
a
＋4a－2·a·2a·
??
22
即灯塔A与灯塔B的距离为7a (海里).故选B.
答案 B
规律方法 与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向 为角，但解决角度
问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出
三角形中已知的边和角，从而利用正、余弦定理将这些边、角联系起来求解.

课堂达标
1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )
A.北偏西34°27′
C.北偏西55°33′
B.北偏东55°33′
D.南偏西34°27′
解析 由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.
答案 A
32

人教版高中数学必修五学案【整套】
2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为
50°，乙 观测的仰角为40°，用d
1
，d
2
分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么
有( )
A.d
1
>d
2

C.d
1
>20 m
B.d
1
2

D.d
2
<20 m
解析 仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d
1
2
.
答案 B
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察
站C的北偏东4 0°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东5°
C.南偏东5°

B.北偏西10°
D.南偏西10°
解析 由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.
∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，
从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
答案 B
4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶 的
俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.
解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)；
3
乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×
3

403
＝
3
(米).
40
答案 203米、
3
3米
5.为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度.
33

人教版高中数学必修五学案【整套】

解 在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m).
15×cos 18.6°
15ATAT
根据正弦定理，
sin 2.8°
＝＝
cos 18.6°
，AT＝
sin 2.8°
.
sin（90°＋18.6°）
塔的高度为AT·sin 21.4°＝
m.
课堂小结
1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些< br>过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题
目条件来选择最佳 的计算方式.
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到
一个可到达点之间的 距离，然后转化为解直角三角形的问题.
3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实 际问题的图形，并在
图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

15·cos 18.6°
sin 21.4°≈106.19(m).即塔高约为106.19
sin 2.8°
·
34

人教版高中数学必修五学案【整套】
§1.2 应用举例(三)——三角形中的几何计算
学习目标 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角 形的计算问题(重点)；
2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用(难点).

知识点 三角形常用面积公式
1
(1)三角形面积公式S＝
2
ah.
(2)三角形面积公式的推广
111
S＝
2
absin__C＝< br>2
bcsin__A＝
2
casin B.
1
(3)S＝
2
r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形.( )
(2)已知三角形的两个内角及一边不能求三角形的面积.( )
2
(3)在△A BC中，A＝45°，c＝1，b＝2，则S
△
ABC
的值为
2
.( )
提示 (2)能.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解.
答案 (1)√ (2)× (3)√


【探究1】 已知△ABC的内 角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b
＝6，B＝120°，则△ABC的面积等于( )
6
A.
2

3
C.
2

62
解析 由正弦定理得
sin 120°
＝
sin C
，
35
B.1
2
D.
2

人教版高中数学必修五学案【整套】
1
∴sin C＝
2
，
∴C＝30°或150°(舍去).
∵B＝120°，∴A＝30°，
113
∴S
△
ABC
＝
2
bcsin A＝
2
×6×2×sin 30°＝
2
.
答案 C
π
4
【探究2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝
3
，cos A＝
5
，
b＝3.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积.
π
4
2π
解 (1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝
3
，cos A＝
5
，所以C＝
3
－A，
3
sin A＝
5
.
3＋43
31
?
2π
?
于是sin C＝sin
?
3
－A
?
＝
2
cos A＋
2
sin A＝
10
.
??
3＋43
3
(2)由(1)知sin A＝
5
，sin C＝
10
，
π
又因为B＝
3
，b＝3，
bsin A6
所以在△ABC中，由正弦定理得a＝
sin B
＝
5
.
3＋4336＋93
116
于是△ABC的面积S＝
2
absin C＝
2
×
5
×3×
10
＝
50
.
【探究3】 若△ABC三边长为a，b，c，面积为S，且S＝c
2
－(a－b)< br>2
，a＋b
＝2，求面积S的最大值.
解 ∵S＝c
2
－( a－b)
2
＝c
2
－a
2
－b
2
＋2ab ＝2ab－(a
2
＋b
2
－c
2
)，
又由余弦定 理得a
2
＋b
2
－c
2
＝2ab·cos C，
∴c
2
－(a－b)
2
＝2ab(1－cos C)，即S＝2ab(1－cos C).
1
又S＝
2
absin C，∴sin C＝4(1－cos C).
36

人教版高中数学必修五学案【整套】
又∵sin
2
C＋co s
2
C＝1，∴17cos
2
C－32cos C＋15＝0，
158
得cos C＝
17
或cos C＝1(舍)，∴sin C＝
17
.
1444
2
∴S＝
2
absin C ＝
17
a(2－a)＝－
17
(a－1)
＋
17
.
4
∵a＋b＝2，∴0＜a＜2.∴当a＝1，b＝1时，S
max
＝
17
.
【探究4】 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B< br>为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，
四边形OACB 的面积最大？

解 设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理，得AB
2
＝1
2
＋2
2
－2×1×2cos α＝5
－4cos α. < br>13
2
1
所以四边形OACB的面积为S＝S
△
AOB
＋S
△
ABC
＝
2
OA·OBsin α＋
4
A B
＝
2
π
?
53353
?
×2×1×sin α＋(5－4cos α)＝sin α－3cos α＋
＝2sin
?
α－
3
?
＋
.
444
??
ππ
由题意知0＜α＜π，所以当α－
3
＝
2
，
5π5π
即α＝
6
，即∠AOB＝
6
时，四边形OAC B的面积最大.
5π
所以当∠AOB＝
6
时，四边形OACB的面积最大.
规律方法 (1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式.
(2)解与 三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注
意发现各元素之间的关系，灵活运 用公式.
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.
题型二 平面图形中线段长度的计算
1
【例题】 如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝
3
，点D在线段BC上.
37

人教版高中数学必修五学案【整套】
3
(1)若∠ADC＝
4
π，求AD的长；
4
(2)若BD＝2DC，△ADC的面积为
3
2，
sin∠BAD
求的值.
sin∠CAD
122
解 (1)在三角形中，∵cos B＝
，∴sin B＝
.
33
ABAD
在△ABD中，由正弦定理得＝
sin B
，
sin∠ADB
π
22
又AB＝2，∠ADB＝，sin B＝
.
43
AB·sin B8
∴AD＝
＝
.
sin∠ADB
3

(2)∵BD＝2DC，∴S
△
ABD
＝2S
△
ADC
，S
△
ABC
＝3S
△< br>ADC
，
4
又S
△
ADC
＝
3
2 ，∴S
△
ABC
＝42，
1
∵S
△
ABC
＝
2
·AB·BC·sin∠ABC，∴BC＝6，
11
∵S
△
ABD
＝
2
AB·AD·sin∠BAD，S
△
ADC＝
2
AC·AD·sin∠CAD，
sin∠BAD
AC
S< br>△
ABD
＝2S
△
ADC
，∴
＝2·
AB< br>，
sin∠CAD
在△ABC中，由余弦定理得：
AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BC·cos∠ABC，∴AC＝42，
sin∠BAD
AC
∴
＝2·
AB
＝42.
sin∠CAD
规律方法 三角形中几何计算问题的解题要点及关键
(1)正确挖掘 图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦
定理，只需通过解三角形，一般问题便 能很快解决.
(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.
38

人教版高中数学必修五学案【整套】
【训练】 如图，在△ABC中，CA＝2，CB＝1，CD是AB边上的中线.

(1)求证：sin∠BCD＝2sin∠ACD；
(2)若∠ACD＝30°，求AB的长.
(1)证明 在△DBC中，由正弦定理得：
BCBD
＝，在△ACD中，
sin∠CDBsin∠BCD
ACAD
由正弦定理得＝，
sin∠CDAsin∠ACD
即BCsin∠BCD＝DBsin∠CDB，
ACsin∠ACD＝ADsin∠CDA.
∵sin∠ADC＝sin∠BDC，
又∵CD是AB边上的中线且AC＝2BC，
∴sin∠BCD＝2sin∠ACD.
(2)解 ∵∠ACD＝30°，由(1)sin∠BCD＝2sin∠ACD＝1，即∠BCD＝90 °，
∴∠ACB＝120°，
由余弦定理AB＝AC
2
＋BC
2< br>－2AC·BCcos∠ACB＝4＋1＋2＝7.

课堂达标
1.已知△ ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)
2
－c
2
＝4，C＝
120°，则△ABC的面积为( )
3
A.
3

C.3
23
B.
2

D.23
解析 将c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C与(a＋b)
2
－c
2
＝4联立，
39

人教版高中数学必修五学案【整套】
1
解得ab＝4，∴S
△
ABC
＝
2
absin C＝3.
答案 C
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1 ，B＝45°，S
△
ABC
＝2，则△ABC的外接圆直径为( )
A.43
C.52
B.60
D.62
112
解析 ∵S
△
ABC
＝
2
ac·sin B＝
2
c·sin 45°＝
4
c＝2，
∴c＝42，∴b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos 45°＝25，
∴b＝5.
b
∴△ABC的外接圆直径为
sin B
＝52.
答案 C
π
3.在△ABC中，A＝
4
，CD⊥AB，且AB＝3CD，则sin C＝________.
解析 由题意，设CD＝x，则AB＝3x，
π
∵A＝
4
，CD⊥AB，
∴AD＝x，BD＝2x，
由勾股定理可得AC＝2x，CB＝5x，
AC
2
＋CB
2
－AB
2
10
那么：cos C＝＝－
2AC·BC10
，
310
1－cos
2
C＝
10
.
310
答案
10

∴sin C＝
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，
→
·
→
＝________. S
△
ABC
＝2，则BAAC
解析 ∵(3b－c)cos A＝acos C，∴由正弦定理，
可得：3sin Bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C.
40

人教版高中数学必修五学案【整套】
∴3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴3sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sinB.
1
∵sin B≠0，∴cos A＝
3
，
22
又03
.
12
∵S
△
ABC
＝2.∴
2
bcsin A＝
3
bc＝2.
1
∴bc＝3，∵cos A＝
3
，
→
，AC
→
〉＝－
1
. ∴cos〈BA
3
→
·
→
＝bccos〈BA
→
，AC
→
〉＝－1 .
∴BAAC
答案 －1
cos Bb
5.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
cos C
＝－.
2a＋c
(1)求角B的大小；
(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积.
abc
解 (1)由正弦定理
sin A
＝
sin B
＝
sin C
＝2R得：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆半径，
cos Bb
将上式代入已知
cos C
＝－得
2a＋c
cos Bsin B
＝－，
cos C
2sin A＋sin C
即2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0，
即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sin A，
∴2sin Acos B＋sin A＝0，即sin A(2cos B＋1)＝0，
41

人教版高中数学必修五学案【整套】
1
∵sin A≠0，∴cos B＝－
2
，
2
∵B为三角形的内角，∴B＝
3
π.
2
(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝
3
π代入余弦定理
b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B得： 1
??
b
2
＝(a＋c)
2
－2ac－2accos B，即13＝16－2ac
?
1－
2
?
，
??
1 3
∴ac＝3，∴S
△
ABC
＝
2
acsin B＝
4
3.
课堂小结
1.三角形面积计算的解题思路
1
对于此类问题，一般要用公式S＝
2
absin C
11
＝
2
bcsin A＝
2
acsin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造 三角形，转化为
求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理 求出某两边及夹角，再
利用三角形面积公式进行求解.
2.与面积有关的三角形综合问题的解 决思路.选取适当的面积公式，结合正弦、余
弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值 或范围，进而予以解
决.

42

人教版高中数学必修五学案【整套】

§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
学习目标 1.理解数列及其有关概念(难点)；2.理解数列的通项 公式，并会用通
项公式写出数列的任意一项(重点)；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.

知识点1 数列的概念
1.数列与数列的项
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数
列中的每一项都和它的 序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常
也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的 第2项，……，排在第n位的数
称为这个数列的第n项.
2.数列的表示方式
数列 的一般形式可以写成a
1
，a
2
，…，a
n
，…，简记为{ a
n
}.
3.数列中的项的性质：
(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.
【预习评价】
1.数列的项和它的项数是否相同？
提示 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指 这个数列中的某一个确
定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位 置
序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
2.数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？
43

人教版高中数学必修五学案【整套】
提示 数列1，2，3 ，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者
的元素顺序不同，而集合{1，2，3 ，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式
上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.
知识点2 数列的分类
1.按项的个数分类
类别
有穷数列
无穷数列
2.按项的变化趋势分类
类别
递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
含义
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
各项相等的数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
的数列
含义
项数有限的数列
项数无限的数列
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列( )
(2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列( )
提示 (1)中的数列是有穷数列，共有2n项.
(2)题中“由所有的自然数构成的数列”是否递增，取决 于这些自然数排列的顺
序，未必全是递增的，如2，1，3，4，5，…并不是递增数列.
答案 (1)× (2)×
知识点三 数列的通项公式
如果数列{a
n< br>}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式
子叫做这个数列的通项公式.
【预习评价】
44

人教版高中数学必修五学案【整套】
已知下列数列的前4项，你能写出它们的一个通项公式吗？
(1)0，3，8，15，…，a
n
＝________.
1111
(2)－
2
，
6
，－
12
，
20
，…， a
n
＝________.
提示 (1)a
n
＝n
2
－1(n∈N
*
)
(2)a< br>n
＝
（－1）
n
n（n＋1）
(n∈N
*
)

题型一 数列的概念与分类
【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
111
A.1，
2
，
3
，
4
，…
π2π3π

7
，sin
7
，sin
7
，…
111
C.－1，－
2
，－
4
，－
8
，…
D.1，2，3，…，21
?
（3－a）x－3，x≤7，
(2)设函数f (x)＝
?
x
－
6
数列{a
n
}满足a
n
＝f(n)，n∈N
*
，且数列{a
n
}
?
a，x >7，
是递增数列，则实数a的取值范围是( )
?
9
?
A.
?
4
，3
?

??
C.(1，3)
9
B.[
4
，3)
D.(2，3)
解析 (1)中，A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C.
(2)中，结合函数的单调性，要使{a
n
}递增，则应有
3－a>0，
?
?

?
a>1，
?
?a
7
＝（3－a）×7－38
＝a
8
－
6
，
解得2答案 (1)C (2)D
45

人教版高中数学必修五学案【整套】
规律方法 处理数列分类问题的技巧
(1)有穷数列与无穷数列.
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限 项还是无限项.
若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.
(2)数列的单调性 < br>若满足a
n
＜a
n＋1
(n∈N
*
)则是递增数列； 若满足a
n
＞a
n＋1
(n∈N
*
)则是递减数列；
若满足a
n
＝a
n＋1
(n∈N
*
)则是常数列；若a< br>n
与a
n＋1
(n∈N
*
)的大小不确定时，则是
摆 动数列.
【训练】 下列形式中哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列，哪些是无穷数
列？
(1){0，1，2，3，4}；
(2)0，1，2，3，4；
(3)0，1，2，3，4，…；
(4)1，－1，1，－1，1，－1，…；
(5)6，6，6，6，6.
解 (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数 列.其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有
穷数列.

方向1 根据通项公式写数列的项
【例2－1】 根据下面数列{a
n
}的通项公式，写出它的前5项：
(1)a
n
＝
n
；
n＋1
(2)a
n
＝(－1)
n
n.
12345
解 (1)a
1
＝
2
，a
2
＝
3
，a
3
＝
4
，a
4
＝
5
，a
5
＝
6
.
(2)a
1
＝－1，a
2
＝2，a
3
＝－3，a
4
＝4，a
5
＝－5.
46

人教版高中数学必修五学案【整套】
方向2 观察法求数列的通项公式
【例2－2】 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.
(1)－3，0，3，6，9，…；
(2)3，5，9，17，33，…；
(3)2，0，2，0，2，0，…；
115132961
(4)
2
，
4
，－
8
，
16
，－
32
，
64
，….
解 (1)a
1
＝－3＋0×3，a
2
＝－3 ＋1×3，a
3
＝－3＋2×3，a
4
＝－3＋3×3，…，
∴a
n
＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N
*
).
(2)a
1
＝2＋1，a
2
＝4＋1＝2
2
＋1，a3
＝8＋1＝2
3
＋1，a
4
＝16＋1＝2
4
＋1，…，
∴a
n
＝2
n
＋1(n∈N
*
).
(3)a
1
＝1＋1，a
2
＝1－1，a
3
＝1＋ 1，a
4
＝1－1，…，
∴a
n
＝1＋(－1)
n
－
1
(n∈N
*
).
2－32
2
－3
2
3
－3
2
4
－3
(4)a
1
＝－
2
，a
2
＝
2
2
，a
3
＝－
2
3
，a
4
＝
2
4
，…，
2
n< br>－3
∴a
n
＝(－1)
n
2
n
(n∈N*
).
方向3 数列的通项公式的简单应用
1
【例2－3】 已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝(n∈N
*
)，则
n（n＋2）
(1)计算a
3
＋a
4
的值；
1< br>(2)
120
是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.
解 (1)∵a
n
＝
∴a
3
＝
1
， n（n＋2）
1111
＝
15
，a
4
＝
＝24
，
3×54×6
1113
∴a
3
＋a
4
＝
15
＋
24
＝
120
.
1
(2)若
120
为数列{a
n
}中的项，则

11
＝
120
，
n（n＋2）
47

人教版高中数学必修五学案【整套】
∴n(n＋2)＝120，
∴n
2
＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，
1
即
120
是数列{a
n
}的第10项.
规律方法 1.根据数列的前几项求通项公式的思路
(1)统一项的结构，如都化成分数，根式等；
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的
函数关系式；
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)
n
处理符号； < br>(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函
数，如三角函数 等.
2.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项a
n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代
替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
3.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程 .若方程解为正整数，则是
数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.

课堂达标
1.下列叙述正确的是( )
A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C.数列0，1，0，1，…是常数列
48

人教版高中数学必修五学案【整套】
?
?
n
?
?
D.数列
?
n＋1
?
是递增数列
??
??
n
解析 由数列的通项a
n
＝
知， n＋1
n＋1
n1
a
n＋1
－a
n
＝
－＝＞0，
n＋2n＋1
（n＋2）（n＋1）
?
n
?
?
是递增数列，故选D. 即数列
?
n＋1
??
答案 D
2.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( )
A.a
n
＝n
C.a
n
＝n＋2
B.a
n
＝n＋1
D.a
n
＝2n
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a
n
＝n＋1.
答案 B
81524
3.数列－1，
5
，－
7
，
9，…的一个通项公式是( )
n
2
＋n
A.a
n
＝(－1)·
2n＋1
n
2
n＋3
B.a
n
＝(－1)
n
·
2n－1
（n＋1）
2
－1
C.a
n
＝(－1)·
2n－1
n
D.a
n
＝(－1)
n
·
n（ n＋2）

2n＋1
解析 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母是3，5，7，9， 可表示为2n＋1，
分子可调整为1×3，2×4，3×5，4×6，…，故通项a
n
＝(－1)
答案 D
（－1）
n
－
1
·n
4.已 知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝，则a
1
＝______ __；a
n
＋
1
＝________.
2n－1
n
n（n＋2）
2n＋1
.
49

人教版高中数学必修五学案【整套】
（－1）
1
－
1
×1
解析 a
1
＝
＝1，
2×1－1
（－1）
n
＋
1
－
1
（n＋1）（－1）
n
（n＋1）
a
n＋1
＝
＝
.
2（n＋1）－12n＋1
（－1）
n
（n＋1）
答案 1 2n＋1
5.已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝－n
2
＋n＋110.
(1)20是不是{a
n
}中的一项？
(2)当n取何值时，a
n
＝0.
解 (1)令a
n
＝－n
2
＋n＋110＝20，
即n
2
－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，
∴n＝10或－9(舍).
∴20是数列{a
n
}中的一项，且为数列{a
n
}中的第10项.
(2)令a
n
＝－n
2
＋n＋110＝0，
即n
2
－n－110＝0，
∴(n－11)(n＋10)＝0，
∴n＝11或n＝－10(舍)，
∴当n＝11时，a
n
＝0.
课堂小结
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序
也有关. < br>2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程
度可形成一个 数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据所给数列的
50

人教版高中数学必修五学案【整套】
前几项求其通项公式时，需仔细观察分析 ，抓住其几方面的特征：①分式中分子、
分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的 符号特征和绝对
值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.

51

人教版高中数学必修五学案【整套】
§2.1 数列的概念与简单表示法(二)
学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列； 2.理解递推
公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).

知识点1 数列的函数性质
1.数列可以看成以正整数集N
*
(或它的有限 子集{1，2，…，n})为定义域的函数
a
n
＝f(n)，当自变量按照从小到大的 顺序依次取值时所对应的一列函数值.
2.在数列{a
n
}中，若a
n＋
1
>a
n
，则{a
n
}是递增数列；若a
n
＋
1
n
，则{a
n
}为递减数列；
若 a
n
＋
1
＝a
n
，则{a
n
}为常数列.
【预习评价】
1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还 可
以有哪些方法？
提示 还可以用列表法，图象法.
2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？
提示 联系：若函数f(x)在[1，＋ ∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例
5
如f(x)＝(x－
4
)
2
，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.
区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D?I，对
任意x
1
，x
2
∈I，当x
1
2
时，若f(x
1
)>f(x
2
)，则f(x)在I上单调递减，若f(x
1
)2
)，
则f(x)在I上单调递增，定义中的x
1
，x
2
不能用有限个数值来代替.数列单调性的
定义：只需比较相邻的a
n
与a< br>n＋1
的大小来确定单调性.
知识点2 数列的表示方法
1.数列的递推公 式：如果数列{a
n
}的第1项或前几项已知，并且数列{a
n
}的任一项a
n
与它的前一项a
n
－
1
(或前几项)间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个式
子就叫做这个数列的递推公式.
2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式
52

人教版高中数学必修五学案【整套】
法.
【预习评价】
1.已知数列{a
n
}满足a
1
＝3，a
n＋1
＝2an
＋1，则数列的第5项a
5
＝________，由此
归纳出{an
}的一个通项公式为________，可以求得a
8
＝________.
解析 ∵a
1
＝3，∴a
2
＝2a
1
＋1＝7，a
3
＝2a
2
＋1＝15，a
4
＝2a
3
＋ 1＝31，a
5
＝2a
4
＋
1＝63，
∴a
5< br>＝63.可以看出a
n
＝2
n
＋
1
－1，
∴a
8
＝2
9
－1＝511.
答案 63 a
n
＝2
n
＋
1
－1 511
2.数列的通项公式与递推公式有什么区别？
提示

通项
不同点
要根据某项的序号，直接用代入法
相同点
都可确定一个数列，都可求出数列
的任何一项 公式 求出该项
可根据第1项或前几 项的值，通过
一次或多次赋值逐项求出数列的
项，直至求出所需的项
递推
公式
都可确定一个数列，都可求出数列
的任何一项

题型一 数列的函数特性
?
10
?
n
【例1】 已知数列 {a
n
}的通项公式是a
n
＝(n＋1)
?
11
?
，试问该数列有没有最大
??
项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明 理由.
?
10
?
n
（9－n）
?
11
?
??
?
10
?
n＋1
?
10
?
n
解 法一 a
n＋1
－a
n
＝(n＋2)
?
11< br>?
－(n＋1)
?
11
?
＝，
11
????
53

人教版高中数学必修五学案【整套】
当n＜9时，a
n＋1
－a
n
＞0，即a
n＋1
＞ a
n
；
当n＝9时，a
n＋1
－a
n
＝0，即a
n＋1
＝a
n
；
当n＞9时，a
n＋1
－an
＜0，即a
n＋1
＜a
n
.
则a
1
＜a
2
＜a
3
＜…＜a
9
＝a
10
＞a
11
＞a
12
＞…，
?
10
?
9
故数列{a
n
}有最大项，为第9项和第10项，且a
9
＝a
10
＝10×
?
11
?
.
??
?
?
a
n－1
≤a
n
法二 根据题意，令
?
，
?
?
a
n
≥a
n＋1
?
即
?
，解得9≤n≤10.
?
10
?
n
?
10
?
n＋1
?
（n＋1）
?
?11
?
?
≥（n＋2）
?
?
11
?
?
又n∈N
*
，则n＝9或n＝10.故数列{a
n
}有最大项，为第 9项和第10项，且a
9
＝
?
10
?
9
a
10
＝10×
?
11
?
.
??
规律方法 1.由 于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数
列的相关性质，如单调性、最大值、最小 值等，此时要注意数列的定义域为正整
数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件.
??
?
a
n－1
≤a
n
，
?
a
n－1
≥a
n
，
2.可以利用不等式组
?
找到数列的最大项；利用 不等式组
?
找
??
?
a
n
≥a
n＋1，
?
a
n
≤a
n＋1
，
到数列的最小项.
n
【训练】 已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝
2
(n∈N
*
)，写出其前5项，并判
n＋9
断数列{a
n
}的单调性.
12145
解 当n＝1，2，3，4，5时，a
n
依次为
10
，
13
，
6
，
25
，
34
，
－n
2
－n＋9
n
a
n＋1
－ a
n
＝
－
2
＝
.
222
（n＋1）＋9
n
＋9
[（n＋1）
＋9][n＋9]
n＋1
?
1 0
?
n－1
?
10
?
n
n×
?
1 1
?
≤（n＋1）
?
11
?
????
54

人教版高中数学必修五学案【整套】
?
1
?
237
∵函数f(x)＝－x－x＋9＝－
?
x＋
2
?
＋
4
在[1，＋∞)上单调递减，
??
2
又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)<0，
∴当n＝ 1，2时，a
n＋1
>a
n
，当n≥3，n∈N
*
时，a< br>n＋1
n
，
即a
1
2
< a
3
>a
4
>a
5
>….
∴数列{a
n
}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.

方向1 由递推公式写出数列的项
2a
n
【例2－1】 已知数列{an
}的第一项a
1
＝1，以后的各项由递推公式a
n
＋
1
＝
a
n
＋2
给出，试写出这个数列的前5项.
2a
n
解 ∵a
1
＝1，a
n＋1
＝
，
a
n
＋2
2
∴a
2
＝
＝，
a< br>1
＋2
3
2a
2
1
a
3
＝
＝
2
＝
2
，
a
2
＋2
3
＋2< br>2a
3
2
a
4
＝
＝
1
＝
5
，
a
3
＋2
2
＋2
2a
4
1< br>a
5
＝
＝＝
.
a
4
＋2
2
＋2
3
5
2121
故该数列的前5项为1，
3
，
2
，
5
，
3
.
方向2 由数列的递推公式求通项公式
1
【例2－2】 已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，an
＝a
n
－
1
＋(n≥2)，写出该数
n（n－1）< br>列前5项，并归纳出它的一个通项公式.
55
2a
1
2
2×
3
1
2×
2
2
2×
5

人教版高中数学必修五学案【整套】
解 ∵a
1
＝1，a
n
＝a< br>n－1
＋
1
n（n－1）
(n≥2)，
113
∴a
2
＝a
1
＋
＝1＋
2
＝
2
， < br>2×1
1315
a
3
＝a
2
＋
＝
2
＋
6
＝
3
，
3×2
1517
a
4
＝a
3
＋
＝
3
＋
12
＝
4，
4×3
1719
a
5
＝a
4
＋
＝ ＋＝
.
5×4
4205
3579
故数列的前5项分别为1，，，，
. 2345
2×1－1
3
2×2－1
5
2×3－1
72×4－1
9
2×5－1
由于1＝，
2
＝，
3
＝，
4
＝，
5
＝，
12345
2n－1
1
故数列{a
n
}的一个通项公式为a
n
＝
n
＝2－
n
.
方向3 构造数列法求通项公式
2*
【例2－3】 设{a
n
}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a
2
n
＋
1
－ na
n
＋a
n
＋
1
a
n
＝0(n∈N)，
则它的通项公式a
n
＝________.
22
解析 法一 (累 乘法)：把(n＋1)a
n＋1
－na
n
＋a
n＋1
an
＝0分解因式，得[(n＋1)a
n＋1
－na
n
](an＋1
＋a
n
)＝0.
∵a
n
＞0，∴a
n＋1
＋a
n
＞0，
∴(n＋1)a
n＋1
－na
n
＝0，
a
n＋1
n
∴
a
＝，
n
n＋1
a
2
a
3
a
4
a
n
∴
a
·
a
·
a
·…·
123
a
n－1
n－1
123
＝
2
×
3
×
4
×…×
n< br>，
a
n
111
∴
a
＝
n
.又∵a
1
＝1，∴a
n
＝
n
a
1
＝
n< br>.
1
56

人教版高中数学必修五学案【整套】
a
n＋1
n
法二 (迭代法)：同法一，得
a
＝，
n
n＋1
n
∴a
n＋1
＝a
n
，
n＋1
n－1n－1n－2
∴a
n
＝
n
·a
n－ 1
＝
n
··a
n－2

n－1
n－1n－2n－3
＝
n
···a
n－3

n－1n－2
…
n－1n－2n－3
11
＝
n
· ··…·
2
a
1
＝
n
a
1
.
n －1n－2
1
又∵a
1
＝1，∴a
n
＝
n
.
a
n＋1
n
法三 (构造特殊数列法)：同法一，得
a
＝，
n
n＋1
∴(n＋1)a
n＋1
＝na
n
，
∴数列{na
n
}是常数列，
∴na
n
＝1·a
1
＝1，
1
∴a
n
＝
n
.
1
答案
n

规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤
(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).
(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.
(3)写出一个通项公式并证明.
2.递推公式的常见类型及通项公式的求法
(1)求形如a
n＋1
＝a
n
＋f(n)的通项公式.
57

人教版高中数学必修五学案【整套】
将原来的递推公式转化为a
n＋1
－a
n
＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即a
n
＝a
1
＋(a
2
－a
1
)＋(a
3
－a
2
)＋…＋(a
n
－a
n－1
)＝a
1
＋ f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).
(2)求形如a
n＋1
＝f(n)a
n
的通项公式.
a< br>n＋1
a
2
将原递推公式转化为
a
＝f(n)，再利用累乘法 (逐商相乘法)求解，即由
a
＝f(1)，
n1
a
3
an
a
2
＝f(2)，…，
a
n－1
＝
an
f(n－1)，累乘可得
a
＝f(1)f(2)…f(n－1).
1

课堂达标
1.下列四个命题：
①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；
2345n< br>②数列
3
，
4
，
5
，
6
，…的通项 公式是a
n
＝；
n＋1
③数列的图象是一群孤立的点；
④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列.
其中真命题的个数是( )
A.1
C.3
B.2
D.4
解析 只有③正确.①中，如已知a
n＋2
＝a
n＋1
＋a
n
，
a
1
＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a
n
＝
同，即 二者不是同一数列.
答案 A
2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A.a
n
＝a
n
－
1
＋2(n≥2)
B.a
n
＝2a
n
－
1
(n≥2)
C. a
1
＝2，a
n
＝a
n
－
1
＋2(n≥2 )
58
n＋1
n＋2
，④中－1和1排列的顺序不

人教版高中数学必修五学案【整套】
D.a
1
＝2，a
n
＝2 a
n
－
1
(n≥2)
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推， D中a
1
＝2，a
2
＝4，a
3
＝8，不合题
意.
答案 C
1
3.数列{x
n
}中，若x
1
＝1， x
n
＋
1
＝－1，则x
2 019
等于( )
x
n
＋1
1
A.－1 B.－
2

1
C. D.1
2
1
解析 ∵x
1
＝1，∴x
2
＝－
2
，∴x
3
＝1，
∴数列{x
n
}的周期为2，∴x
2 019
＝x
1
＝1.
答案 D
1
4.已知数列{an
}，对于任意的p，q∈N
*
，都有a
p
＋a
q＝a
p
＋
q
，若a
1
＝
9
，则a36
＝
________.
2
解析 由已知得a
1
＋ a
1
＝a
1＋1
＝a
2
，∴a
2
＝
9
，
48
同理a
4
＝
9
，a
8
＝
9
，
81
∴a
9
＝a
8＋1
＝a< br>8
＋a
1
＝
9
＋
9
＝1，
∴a
36
＝2a
18
＝4a
9
＝4.
答案 4
5.求数列{－2n
2
＋29n＋3}中的最大项.
解 由已知，得
29
?
2
1
?
a
n
＝－2n
＋29n＋3＝－2
?
n－
4
?
＋108
8
.
??
2
29
由于n∈N，故当n取距离
4
最近的正整 数7时，a
n
取得最大值108，
*
∴数列{－2n
2
＋ 29n＋3}中的最大项为a
7
＝108.
课堂小结
59

人教版高中数学必修五学案【整套】
1.{a
n
}与an
是不同的两种表示，{a
n
}表示数列a
1
，a
2< br>，…，a
n
，…，是数列的一
种简记形式.而a
n
只表示数列 {a
n
}的第n项，a
n
与{a
n
}是“个体”与“整体” 的从
属关系.
2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；
④递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a
n
和n之间的关系，即a
n
是
n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值 a
n
；而递推公式则是
间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间 的推导关系，不能
由n直接得出a
n
.

60

人教版高中数学必修五学案【整套】
§2.2 等差数列(一)
学习目标 1.理解等差数列的定义(重点)；2.会推导等差数列的通项公式，能运
用等差数 列的通项公式解决一些简单的问题；3.掌握等差中项的概念，深化认识
并能运用(重、难点).

知识点1 等差数列的概念
从第2项起
条件
结论
有关概念
每一项与它的前一项的差等于同一个常数
这个数列就叫做等差数列
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列是等差数列.( )
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数
列.( )
(3)数列{a
n
}满足a
n＋1
－a
n
＝1(n ＞1)，则数列{a
n
}是等差数列.( )
提示 (2)差都是同一个常数.
(3){a
n
}不是等差数列，忽略了第1项.
答案 (1)√ (2)× (3)×
知识点2 等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
a＋ba＋b
注意 根据等差中项的定义，a，A，b成等差数列，则A＝
2
；反之，若A＝
2
，
a＋b
也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b 的等差中项?A＝
2
.
【预习评价】
1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
61

人教版高中数学必修五学案【整套】
A.5
C.3
解析 由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
答案 C
B.±5
D.±3
2.等差数列{a
n
}中，a
2
＝－4，a1
＝－7，则a
3
为________.
解析 由于{a
n< br>}为等差数列，a
2
＝－4，a
1
＝－7，则2a
2
＝a
1
＋a
3
，解得：a
3
＝
－1.
答案 －1
知识点三 等差数列的通项公式
如果等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，那么它的通项公式是a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
上述公式中有4个变量，a
1
，d，n，a
n
，在4个变量中已知其中的三个便可求出
其余的一个，即“知三求一”.其作用为：
(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；
(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的
任一项； < br>(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列
中的项及是第几 项.
【预习评价】
1.等差数列{1－3n}，公差d等于( )
A.1
C.－3
B.3
D.n
解析 ∵a
n
＝1－3n，∴a
1
＝－2，a
2
＝－5，
∴d＝a
2
－a
1
＝－3.
答案 C
2.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为a
n
＝________.
解析 由题知，a
1
＝－3，d＝2，a
n
＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
62

人教版高中数学必修五学案【整套】
答案 2n－5

题型一 等差数列的通项公式及应用
【例1】 (1)若{a
n
}是等差数列，a
15
＝8，a
60
＝20，求a
75
.
(2)已知递减等差数列{a
n
}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的 通项公
式，并判断－34是该数列的项吗？
解 (1)设{a
n
}的公差为d.
64
a＝
?
1
?
?
15
，
?
a
15
＝a
1
＋14 d＝8，
由题意知
?
解得
?

4
?
?a
60
＝a
1
＋59d＝20，
?
?
d＝15
.
644
所以a
75
＝a
1
＋74d＝< br>15
＋74×
15
＝24.
?
?
a
1＋a
2
＋a
3
＝18，
(2)依题意得
?
< br>?
?
a
1
·a
2
·a
3
＝66，< br>?
?
3a
1
＋3d＝18，
∴
?

?
（a
1
＋2d）＝66，
?
a
1
·（a
1
＋d）·
?
?
a
1
＝11，
?
?
a
1
＝1，
解得
?
或
?
∵数列{a
n< br>}是递减等差数列，
??
?
d＝－5
?
d＝5.
∴ d<0.故取a
1
＝11，d＝－5.
∴a
n
＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝－5n＋16.
令a
n
＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{a
n
}的第10项.
规律方法 1.求等差数列通项公式的步骤

63

人教版高中数学必修五学案【整套】
2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d
四个参数 a
1
，d，n，a
n

知a
1
，d，n求a
n

知a
1
，d，a
n
求n
“知三求一”
知a
1
，n，a
n
求d
知d，n，a
n
求a
1

【训练1】 已知{a
n
}为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.
(1)a
3
＝5，a
7
＝13；
(2)前三项为：a，2a－1，3－a.
解 (1)法一 设首项为a
1
，公差为d，则
??
?
a
3
＝a< br>1
＋2d＝5，
?
a
1
＝1，
?
解得
?

??
?
a
7
＝a
1
＋6d＝13，
?
d＝2.
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝1＋( n－1)×2＝2n－1.
a
7
－a
3
13－5
法二 ∵d＝
＝
4
＝2，
7－3
∴a
n
＝a
3
＋(n－3)d＝5＋(n－3)×2＝2n－1.
(2)∵a，2a－1，3－a是等差数列的前三项，
∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1).
5
解得a＝
4
，
1
∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝
4
.
511
∴a< br>n
＝a
1
＋(n－1)d＝
4
＋(n－1)×
4＝
4
n＋1.
题型二 等差中项及其应用
64

人教版高中数学必修五学案【整套】
1
【例2】 (1)2－1与的等差中项为________.
2－1
111
(2)已知
a
，
b
，
c
成等差数列.
b＋ca＋ca＋b
求 证：
a
，
b
，
c
也成等差数列.
2－1＋
(1)解析 由题知，等差中项为
2－1＋2＋1
＝＝2.
2
答案 2
2
1
2－1

111
(2)证明 因为
a
，
b
，
c
成等差数列，
211
所 以
b
＝
a
＋
c
，即2ac＝b(a＋c).
b＋ca＋bc（b＋c）＋a（a＋b）
因为
a
＋
c
＝
ac
c
2
＋a
2
＋b（a＋c）
＝
ac
a
2
＋c
2
＋2ac
＝
ac
2（a＋c）
2
＝
b（a＋c）
2（a＋c）
＝，
b
b＋ca＋ca＋b
所 以
a
，
b
，
c
成等差数列.
规律方法 1.等差中项的计算
(1)条件：若A是a与b的等差中项.
a＋b
(2)计算公式：A＝
2
.
65

人教版高中数学必修五学案【整套】
2.等差中项法判定等差数列
(1)条件：2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N
*
).
(2)结论：{a
n
}是等差数列.
【训练2】 已知 a，b，c成等差数列，证明a
2
(b＋c)，b
2
(c＋a)，c
2
(a＋b)也成
等差数列.
证明 因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.
又a
2
(b＋c)＋c
2
(a＋b)－2b
2
(c＋a)
＝a
2
c＋c
2
a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a
2
c＋c
2
a－2abc＝ac(a＋c－2b)
＝0，
所以a
2
(b＋c)＋c
2
(a＋b)＝2b2
(c＋a).
故a
2
(b＋c)，b
2
(c＋a) ，c
2
(a＋b)成等差数列.

【探究1】 已知数列{a
n< br>}是等差数列，设b
n
＝2a
n
＋3，求证：数列{b
n}也是等
差数列.
证明 因为数列{a
n
}是等差数列，可设其公差为 d，则a
n＋1
－a
n
＝d.
从而b
n＋1
－b
n
＝(2a
n＋1
＋3)－(2a
n
＋3)＝2(a
n＋1
－a
n
)＝2d.
它是一个与n无关的常数，
所以数列{b
n
}是等差数列.
【探究2】 若a
n
＝7
n
＋
2
，b
n
＝lg a
n
，证明{b
n
}为等差数列.
证明 b
n＋1
－b
n
＝lg a
n＋1
－lg a
n

＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7.
所以数列{b
n
}是等差数列.
66

人教版高中数学必修五学案【整套】
?
a
n
?
＋
【探究3】 已知a
1
＝2， 若a
n
＋
1
＝2a
n
＋2
n1
，证明?
2
n
?
为等差数列，并求{a
n
}的
??< br>通项公式.
证明 由于a
n＋1
＝2a
n
＋2
n
＋
1
， < br>a
n＋1
a
n
2a
n
＋2
n
＋1
a
n
所以
n1
－
2
n
＝－
2
n

n
＋
1
＋
22
＝1，
?
a
n
?
∴
?
2
n
?
是以
??
1为首项，1为公差的等差数列.
a
n
∴
2
n
＝1＋(n－1)×1＝n.
∴a
n
＝n·2
n
.
规律方法 1.定义法判定等差数列
(1)条件：a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N
*)或a
n
－a
n－1
＝d(常数)(n＞1，n∈N
*
).
(2)结论：{a
n
}是等差数列.
(3)应用范围：通常用于解答题.
2.通项公式法判定等差数列
(1)条件：数 列{a
n
}的通项公式满足一次函数关系式a
n
＝kn＋b(k，b是常数) .
(2)结论：{a
n
}是等差数列.
(3)应用范围：通常用于选择、填空题.

课堂达标
1.已知等差数列 {a
n
}的通项公式a
n
＝3－2n，则它的公差d为( )
A.2
C.－2
B.3
D.－3
解析 由等差数列的定义，得d＝a
2
－a
1
＝－1－1＝－2.
答案 C
67

人教版高中数学必修五学案【整套】
2.已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A.30°
C.90°
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.
答案 B
3.下列命题中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a
2
， b
2
，c
2
成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log< br>2
a，log
2
b，log
2
c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等 差数列，则2
a
，2
b
，2
c
成等差数列
解析 ∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.
答案 C
4.已知3＋1与3－1的等差 中项为a，等差数列{a
n
}的通项为a
n
＝3n＋1，公差
为d， 则a＋d＝________.
3＋1＋3－1
解析 a＝
＝3，d＝3，
2
所以a＋d＝3＋3.
答案 3＋3
5.在等差数列{a
n< br>}中，已知a
6
＝12，a
18
＝36，求通项公式a
n.
?
?
a
1
＋5d＝12，
解 由题意可得
?
解得d＝2，a
1
＝2.
?
?
a< br>1
＋17d＝36.
∴a
n
＝2＋(n－1)×2＝2n.
B.60°
D.120°
68

人教版高中数学必修五学案【整套】
课堂小结
1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)a
n
＋
1< br>－a
n
＝d(d为常数，n∈N
*
)?{a
n
}是等 差数列；
(2)2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋
2
(n∈N
*
)?{a
n
}是等差数列； < br>(3)a
n
＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
*
)?{a
n
}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
2 .由等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d可以看出，只要知道首项 a
1
和公差d，
就可以求出通项公式，反过来，在a
1
，d，n，a
n
四个量中，只要知道其中任意三
个量，就可以求出另一个量.

69

人教版高中数学必修五学案【整套】
§2.2 等差数列(二)
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质(重点)；2.能运用
等差数列的性质解决有关问题(难点).

知识点1 等差数列与一次函数
1.等差数列的图象
等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋( n－1)d＝dn＋(a
1
－d)，当d＝0时，a
n
是关于n的
常 数函数；当d≠0时，a
n
是关于n的一次函数，点(n，a
n
)分布在以d 为斜率的
直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.
2.公差d与斜率
等差数列{ a
n
}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，
即d＝
a
n
－a
1
(n≥2，n∈N
*
).
n－1
【预习评价】
1.已知(1，1)，(3，5)是等差数列{a
n< br>}图象上的两点，则a
n
＝________.
解析 根据等差数列与一次函 数的关系可知，公差d＝k＝
5－1
3－1
＝2.又知a
1
＝1，< br>所以a
n
＝2n－1.另外，由于等差数列的通项公式就是一次函数的解析式，所以本< br>a
n
－1n－1
题还可以直接由直线方程的两点式求得，即＝，所以a
n
＝2n－1.
5－13－1
答案 2n－1
2.d＝
a
n
－a
1
n－1
，d＝
a
n
－a
mn－m
，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义
吗？
提示 等差数 列通项公式可变形为a
n
＝dn＋(a
1
－d)，其图象为一条直线上孤立的
一系列点，(1，a
1
)，(n，a
n
)，(m，a
m)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故
70

人教版高中数学必修五学案【整套】
a
n
－a
1< br>两点(1，a
1
)，(n，a
n
)连线的斜率d＝.当两点为(n，a
n
)，(m，a
m
)时，有d＝
n－1
a
n
－a
m
.
n－m
知识点2 等差数列的性质
1.若{a
n
}，{b
n
}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数 列
{c＋a
n
}
{c·a
n
}
{a
n
＋a
n
＋
k
}
{pa
n
＋qb
n
}
2.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即
a
1
＋a
n
＝a
2
＋a
n
－
1
＝a
3
＋a
n
－
2
＝….
3.下标性质：在等差数列{a
n
}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
*
)，则a
m
＋ a
n
＝a
p
＋a
q
.
特别的，若m＋n＝2p( m，n，p∈N
*
)，则有a
m
＋a
n
＝2a
p< br>.
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若数列{a
n
}为等差数列，则a
n＋1
＝a
n－1
＋2d，n＞1，且n∈ N
*
.( )
(2)若{a
n
}为等差数列，且m＋n＝p(m ，n，p∈N
*
)，则a
m
＋a
n
＝a
p
( )
(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差数列且其公差为原数列公
差的两倍.( )
提示 (2)∵{a
n
}为等差数列，m＋n＝p，
∴a
m< br>＋a
n
＝a
1
＋(m－1)d＋a
1
＋(n－1)d
＝2a
1
＋(m＋n－2)d.
∴a
p
＝a
1
＋(p－1)d.
结 论
公差为d的等差数列(c为任一常数)
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N
*
)
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
71

人教版高中数学必修五学案【整套】
∴a
m
＋a
n
≠a
p
.
答案 (1)√ (2)× (3)√

题型一 等差数列与一次函数的关系
【例1】 已知数列{ a
n
}的通项公式a
n
＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数
列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
解 取数列{a
n
}中任意相 邻两项a
n
和a
n－1
(n＞1)，
求差得a
n
－a
n－1
＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{a
n
}是等差数列.
由于a
n
＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a
1
＝p＋q，公差d＝p.
规律方法 判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)从递推公式上看，a
n＋1
－a< br>n
＝d(d为常数，n∈N
*
)?{a
n
}是等差数列； < br>(2)从任意连续三项关系上看，2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋ 2
(n∈N
*
)?{a
n
}是等差数列；
(3)从通项公 式代数特点上看，a
n
＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
*
)?{a
n
}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：其中 某连续
三项不成等差数列；存在n∈N
*
，a
n＋1
－a
n
的结果不等于同一个常数等.
【训练1】 在等差数列{a
n
}中，ar
＝s，a
s
＝r(r≠s，r，s∈N
*
)，则a
r
＋
s
＝________.
解析 由等差数列与一次函数的关系可知，点( r，s)与(s，r)是一次函数y＝－x
＋(r＋s)图象上的两点，并且数列{a
n
}的所有点都分布在这个一次函数的图象上，
所以当x＝r＋s时，y＝0，即a
r＋s＝0.
答案 0
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 已知{a
n
}为等差数列，a
4
＋a
7
＋a
10
＝30，则 a
3
－2a
5
的值为( )
72

人教版高中数学必修五学案【整套】
A.10
C.15
B.－10
D.－15
解析 法一 设等差数列{a
n
}的公差 为d，则30＝(a
1
＋3d)＋(a
1
＋6d)＋(a
1
＋9d)
＝3a
1
＋18d，即a
1
＋6d＝10.而a
3
－2a
5
＝(a
1
＋2d)－2(a
1
＋4d)＝ －a
1
－6d＝－10.
法二 由等差数列的性质知30＝a
4
＋ a
7
＋a
10
＝3a
7
，则a
7
＝10. 而a
3
－2a
5
＝a
3
－(a
3
＋a7
)＝－a
7
＝－10.
答案 B
规律方法 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a
1
，d的方程(组) ，确定a
1
，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号， 若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，
q，r∈N
*
)，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
＝2a
r
.
【训练2】 在等差数列{a
n
}中，若a
5
＝a，a
10
＝b，则a
15
＝________.
解析 设数列{a
n
}的公差为d.
?
?
a
5
＝a
1
＋4d＝a，
法一 由题 意知
?
解得
?
?
a
10
＝a
1
＋ 9d＝b，
?
?
b－a
?
d＝
5
，
9a－ 4b
a
1
＝
5
，

9a－4bb－a
∴a
15
＝a
1
＋14d＝
5
＋14×
5
＝2 b－a.
a
10
－a
5
b－a
法二 d＝
＝
5
，
10－5
b－a
∴a
15
＝ a
10
＋5d＝b＋5×
5
＝2b－a.
法三 ∵a
5< br>，a
10
，a
15
成等差数列，∴a
5
＋a
15
＝2a
10
.
∴a
15
＝2a
10
－a
5
＝2b－a.
答案 2b－a
73

人教版高中数学必修五学案【整套】

【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首
尾 两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
2222
?
?
（a－ 3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝94，
?

?
?
（a－3d）（a＋3d）＋18＝（a－d）（a＋d），
又因为是递增数列，所以d>0，
73
所以解得a＝±，d＝
22
，
此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
【迁移1】 若本例改为：已知三 个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和
为18，平方和为116，求这三个数.
解 法一 设这三个数为a，b，c，则由题意得
2b＝a＋c，
?
?
?
a＋b＋c＝18，
解得a＝4，b＝6，c＝8.
?
?
a
2< br>＋b
2
＋c
2
＝116，
这三个数为4，6，8.
法二 设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得
?
?
（a－d）＋a＋（a＋d）＝18， ①
?

222
?
?
（a－d）＋a＋（a＋d）＝116， ②
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4，6，8.
【迁移2】 已知单调递增 的等差数列{a
n
}的前三项之和为21，前三项之积为231，
求数列{a
n
}的通项公式.
解 法一 根据题意，设等差数列{a
n
}的前三项分别 为a
1
，a
1
＋d，a
1
＋2d，则
74

人教版高中数学必修五学案【整套】
?
?
a
1＋（a
1
＋d）＋（a
1
＋2d）＝21，
?

?
?
a
1
（a
1
＋d）（a
1
＋2d） ＝231，
??
?
3a
1
＋3d＝21，
?
a1
＝3，
?
?
a
1
＝11，
即
?解得
?
或
?

???
?
a
1
（a
1
＋d）（a
1
＋2d）＝231，
?
d＝4
?
d＝－4.
?
?
a
1
＝3，
因为数列{a
n
}为单调递增数列，所以
?
从而等差数列{a
n
}的通项公式为 a
n
?
?
d＝4，
＝4n－1.
法二 由于数列{an
}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题
??
?
（a－d）＋a＋（a＋d）＝21，
?
?
3a＝21，
?
a＝7 ，
意得
?
即
?
解得
?
或
22
?? ?
?
（a－d）a（a＋d）＝231，
?
a（a
－d）＝231，
?
d＝4
?
?
a＝7，
?

?
?
d＝－4.
?
?
a＝7，
由于数列{a
n
}为单调 递增数列，所以
?
从而a
n
＝4n－1.
?
?
d＝4，
规律方法 等差数列项的常见设法：
(1)通项法： 设数列的通项公式，即设a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
(2)对称 项设法：当等差数列{a
n
}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差
为d向两 边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{a
n
}
的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别
设项：…，a－3 d，a－d，a＋d，a＋3d，….
对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设 法设出这个数列，
则其各项和为na.
题型四 等差数列的实际应用
【例4】 有 一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销
售.甲商场用如下方法促销：买一台 单价为780元，买两台单价为760元，以此
类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但 每台最少不低于440元；
75

人教版高中数学必修五学案【整套】 乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场
购买花费较少？
解 设某单位需购买电视机n台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a
n
}，
a
n
＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由a
n
＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n).
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机台数少于 10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机
10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台 数多于10台时，到甲商场
购买花费较少.
规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细 阅读材料，认真理解题
意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题 ；
③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还
原，即将所求 结果还原到实际问题中.
76

人教版高中数学必修五学案【整套】
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【训练3】 《 九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各
节的容积成等差数列，上面4节的容积共 3升，下面3节的容积共4升，则第5
节的容积为( )
A.1升
47
C.
44
升
67
B.
66
升
37
D.
33
升
解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数 列{a
n
}，其首项为a
1
，公差为
d，
?
?< br>a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝3，< br>?
?
4a
1
＋6d＝3，
由条件得
?
即?

??
?
a
7
＋a
8
＋a
9
＝4，
?
3a
1
＋21d＝4，
13
a＝
?
?
1
22
，
67
解得
?
所以a
5
＝a
1
＋4d＝
66
.
7
d＝
?
?
66
，
答案 B

课堂达标
1.在等差数列{a
n
}中，a
1
＝2，a3
＋a
5
＝10，则a
7
等于( )
A.5
C.10
解析 法一 设等差数列的公差为d，
则a
3
＋a
5
＝2a
1
＋6d＝4＋6d＝10，
所以d＝1，a
7
＝a
1
＋6d＝2＋6＝8.
法二 由 等差数列的性质可得a
1
＋a
7
＝a
3
＋a
5＝10，又a
1
＝2，所以a
7
＝8.
答案 B
1
2.在等差数列{a
n
}中，若a
2
＋a
4
＋a< br>6
＋a
8
＋a
10
＝80，则a
7
－
2
a
8
的值为( )
A.4

B.8
D.14
B.6
77

人教版高中数学必修五学案【整套】
C.8 D.10
解析 由 a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
1 0
＝5a
6
＝80，∴a
6
＝16，
1111
∴ a
7
－
2
a
8
＝
2
(2a
7－a
8
)＝
2
(a
6
＋a
8
－a8
)＝
2
a
6
＝8.
答案 C
3.已知等 差数列{a
n
}满足a
1
＋a
2
＋a
3
＋ …＋a
101
＝0，则有( )
A.a
1
＋a
101
>0
C.a
3
＋a
99
＝0
解析 ∵a
1
＋a
2
＋…＋a
101
＝0，
又∵a1
＋a
101
＝a
2
＋a
100
＝a
3
＋a
99
＝…＝2a
51
，
∴a
51
＝0＝a
3
＋a
99
.
答案 C
4.在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＋2a
8
＋a
15
＝96，则2a
9
－a
10
＝________ .
解析 ∵a
1
＋2a
8
＋a
15
＝4a
8
＝96，∴a
8
＝24.
∴2a
9
－a
10
＝a
10
＋a
8
－a
10
＝a
8
＝24.
答案 24
5.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.
解 设 这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
?
?
（a－3d）＋（ a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，
?

?
?
（a－d） （a＋d）＝40，
?
?
4a＝26，
∴
?

22
?
?
a
－d＝40.
1313
?
?
a＝< br>2
，
?
?
a＝
2
，
解得
?
或
?

33
??
?
d＝
2
?
d＝ －
2
.
∴这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
课堂小结
B.a
2
＋a
101
<0
D.a
51
＝51
78

人教版高中数学必修五学案【整套】
1.在等差数列{a
n
}中，当m≠n时，d＝
还可变形为a
m
＝a
n
＋(m－n)d.
a
m
－a
n
，利用这个公式很容易求出公差，
m－n
2.等差数列{a
n
}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数
列仍然是等差数列.
3.等差数列{a
n
}中，若m＋n＝p＋q，则a
n
＋a
m
＝a
p
＋a
q
(n，m，p，q∈N*
)，特别
地，若m＋n＝2p，则a
n
＋a
m
＝2a
p
.
4.在等差数列{a
n
}中，首项a
1
与公 差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问
题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a< br>1
，d的关系列方程组求
解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.

79

人教版高中数学必修五学案【整套】
§2.3 等差数列的前n项和(一)
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路(重点)；2.经 历公式的推
导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、
归纳 、反思；3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中三个求另外两个 (重、难点).

知识点1 数列a
n
与前n项和S
n
的关系
1.数列的前n项和的概念 一般地，我们称a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
为数列{a
n
}的前n项和，用S
n
表示，即S
n
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
.
2.数列的通项a
n
与前n项和S
n
的关系
当n≥2时， 有S
n
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋an
，S
n
－
1
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
－
1
，所以S
n
－S< br>n
－
1
＝a
n
；
当n＝1时，a
1
＝S
1
.
?
S
1，n＝1，
综上可得a
n
＝
?

?
S
n
－S
n
－
1
，n≥2.
【预习评价】
1.利用 数列的前n项和S
n
求数列的通项公式时，能不能直接运用S
n
－S
n－1
＝a
n
求解？
提示 不能.因为当n＝1时，S
1
－S
0
没有意义.
2.已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n
2
，怎样求a
1
，a
n?

提示 a
1
＝S
1
＝1；
当 n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝n
2
－(n－1)
2
＝2n－1，
又n＝1时也适合上式，所以a
n
＝2n－1，n∈N
*
.
知识点2 等差数列的前n项和公式
1.等差数列的前n项和公式
80

人教版高中数学必修五学案【整套】
已知量
求和公式
首项、末项与项数
n（a
1
＋a
n
）
S
n
＝
2
首项、公差与项数
n（n－1）d
S
n
＝na
1
＋
2
n（ a
1
＋a
n
）
2.两个公式的关系：把a
n
＝a< br>1
＋(n－1)d代入S
n
＝中，就可以得到S
n
2
n（n－1）
＝na
1
＋d.
2
【预习评价】
1.高斯 用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速
求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还
是偶数项怎么办？
提示 不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回
避这个问题：设 S
n
＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又S
n
＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2S
n< br>＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
n（n＋1）
∴2S
n
＝n(n＋1)，∴S
n
＝. 2
2.能否用“倒序相加法”求首项为a
1
，公差为d的等差数列{a
n
}的前n项和S
n
呢？
提示 由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与 首末两项“等距离”的两项
之和等于首项与末项的和.即a
1
＋a
n
＝a
2
＋a
n－1
＝a
3
＋a
n－2
＝… .“倒序相加法”
可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
S
n
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n－1
＋a
n

＝a
1
＋(a
1
＋d)＋(a
1＋2d)＋…＋[a
1
＋(n－2)d]＋[a
1
＋(n－1)d]；
S
n
＝a
n
＋a
n－1
＋a
n－2
＋…＋a
2
＋a
1

＝a
n
＋(a
n< br>－d)＋(a
n
－2d)＋…＋[a
n
－(n－2)d]＋[a
n
－(n－1)d].
81

人教版高中数学必修五学案【整套】
两式相加，得2S
n
＝(a
1
＋a
n
)×n， < br>n（a
1
＋a
n
）
由此可得等差数列{a
n
}的前n项和公式：S
n
＝.
2
根据等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d，
n（n－1）
代入上式可得S
n
＝na
1
＋d.
2
知识点3 等差数列前n项和的性质
1.若数列{a
n
}是公差 为d
?
S
n
?
d
??
的等差数列，则数列
n
也是等差数列，且公差为
2
.
??
2.若S
m
，S
2m
，S
3m
分别为{a
n
}的前m项，前2m项，前 3m项的和，则S
m
，S
2m
－
S
m
，S
3m
－S
2m
也成等差数列，公差为m
2
d.
a
n
S
2n
－
1
3.设两个等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
，则
b
＝.
n
T
2n
－
1
4.若等差数列的项数为2n，则S< br>2n
＝n(a
n
＋a
n
＋
1
)，
S
偶
－S
奇
＝nd，
S
偶
a
n
＋
1
＝.
S
奇
a
n
5.若等差数列的项数为2n＋ 1，则S
2n
＋
1
＝(2n＋1)a
n
＋
1
，
S
偶
n
S
偶
－S
奇
＝－a
n
＋
1
，＝.
S
奇
n＋1
【预习评价】
1.数列{a
n
}为等差数列，它的前n项和为S
n
，若S
n＝(n＋1)
2
＋λ，则λ的值是( )
A.－2
C.0
B.－1
D.1
解析 等差数列前n项和S
n
的形式为S
n
＝an
2
＋bn，∴
λ
＝－1.
答案 B
a
5
5S
9
2.设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若
a
＝
9
，则
S
＝( )
35
A.1 B.－1
82

人教版高中数学必修五学案【整套】
C.2
解析 由于S
2n－1
＝(2n－1)a
n
，则，
S
9
9a
5
95
S
5
＝
5a
3
＝
5< br>×
9
＝1.
答案 A
1
D.
2


题型一 数列的前n项和S
n
与通项a
n
之间的关系
1
【例1】 已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
＝na< br>1
＋n(n－1)d(d为常数).求证：数列
2
{a
n
}是 等差数列.
1
证明 根据S
n
＝na
1
＋
2
n(n－1)d，
a
n＋1
＝S
n＋1
－S
n

1
1
??
na＋
?
＝(n＋1)a
1
＋
2
( n＋1)[(n＋1)－1]·d－
1
2
n（n－1）d
?

??
＝a
1
＋nd.①
当n＞1时，
a
n
＝S
n
－S
n－1

1
1< br>??
＝na
1
＋
2
n(n－1)d－
?
（n －1）a
1
＋
2
（n－1）（n－2）d
?

??
＝a
1
＋(n－1)d，
当n＝1时，a
1
＝S
1
，适合此式.
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d(n∈N
*
). < br>∴a
n＋1
－a
n
＝(a
1
＋nd)－[a
1
＋(n－1)d]＝d(常数)，对任意n∈N
*
成立.
∴数列{a
n
}是等差数列.
规律方法 已知前n项和S
n
求通项a
n
，先由n＝1时，a
1
＝S
1
求得a
1
，再由n≥2
时，a
n
＝S
n
－S
n－1
求a
n
，最后验证a
1
是否符合a
n
，若符合则统一用一 个解析式表
示.
83

人教版高中数学必修五学案【整套】
1
【训练1】 已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
＝n< br>2
＋
2
n，求这个数列的通项公式.这
个数列是等差数列吗？如果是， 它的首项与公差分别是什么？
解 根据S
n
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
n－1
＋a
n
可知S
n－1
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
n－1
(n＞1)，
当n＞1时，a
n
＝S
n
－S
n－1

1
11
??
＝n
2
＋
2
n－
?
（n －1）
2
＋
2
（n－1）
?
＝2n－
2
， ①
??
13
当n＝1时，a
1
＝S
1
＝1
2
＋
2
×1＝
2
，也满足①式.
1
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n－
2
.
3
由此可见：数列{a
n
}是以
2
为首项，2为公差的等差数列.
题型二 等差数列前n项和的有关运算
【例2】 在等差数列{a
n
}中，
53
(1)a
1
＝
6< br>，a
n
＝－
2
，S
n
＝－5，求n和d；
(2)a
1
＝4，S
8
＝172，求a
8
和d.
?
53
?
－
?
n
n（a
1
＋a< br>n
）
?
?
62
?
解 (1)由题意得，S
n
＝
＝
2
＝－5，解得n＝15.
2
531
又a
15
＝
6
＋(15－1)d＝－
2，∴d＝－
6
.
1
∴n＝15，d＝－
6
.
8（a
1
＋a
8
）8（4＋a
8
）
(2)由已知 得S
8
＝
＝＝172，
22
解得a
8
＝39，
又∵a
8
＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a
8
＝39，d＝5.
规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值.
84

人教版高中数学必修五学案【整套】

(2)利用等差数列的性质解题.

【训练2】 在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
6
＝10，S
5< br>＝5，求a
8
和S
10
；
(2)已知a
3
＋a
15
＝40，求S
17
. < br>4
?
S
5
＝5a
1
＋
5×
d＝5，
2
(1)
?
解得a
1
＝－5，d＝3.
?
a
6
＝a
1
＋5d＝10，
解
∴a
8
＝a
6
＋2d＝10＋2×3＝16，
10×9< br>S
10
＝10a
1
＋
2
d＝10×(－5)＋5×9 ×3＝85.
17×（a
1
＋a
17
）17×（a
3＋a
15
）
17×40
(2)S
17
＝
＝＝< br>2
＝340.
22

【例3】 (1)设S
n
是等 差数列{a
n
}的前n项和，已知a
2
＝3，a
6
＝11， 则S
7
等于( )
A.13
C.49
B.35
D.63
S
n
7na
5
(2)等差数列{a
n< br>}与{b
n
}的前n项和分别是S
n
和T
n
，已知< br>T
＝，则
b
等于( )
n＋3
n5
2
A.7 B.
3

7021
C.
13
D.
4

S
n(3)已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n＋1(n∈N
*
)，其前n项和为S
n
，则数列{
n
}
的前10项的和为 ________.
777
解析 (1)S
7
＝
2
(a< br>1
＋a
7
)＝
2
(a
2
＋a
6)＝
2
(3＋11)＝49.
85

人教版高中数学必修五学案【整套】
a
1
＋a
9< br>2
a
5
S
9
7×9
21
(2)
b< br>＝＝
T
＝＝
4
.
5
b
1
＋b9
9
9＋3
2
n（3＋2n＋1）
(3)∵S
n
＝
＝n(n＋2).
2
S
n
∴
n
＝n＋2，
S
n
∴数列{
n
}是以首项为3，公差为1的等差数列，
10×9
S
n
∴{
n
}的前10项和为10×3＋
2
×1＝75.
答案 (1)C (2)D (3)75
【迁移1】 已知两个等差数列{ a
n
}与{b
n
}的前n(n>1)项和分别是S
n
和T< br>n
，且S
n
∶
a
9
T
n
＝(2n＋ 1)∶(3n－2)，求
b
的值.
9
a
9
2a
9
a
1
＋a
17
S
17
解 法一
b
＝
2b
＝＝＝
T

9917
b
1
＋b
17
b
1
＋b
17
2
×17
2×17＋1
355
＝＝＝
.
3×17－2
497
法二 ∵数列{a
n
}，{b
n
}均为等差数列，
∴S
n
＝A
1
n
2
＋B
1
n，T
n
＝A
2
n
2
＋B
2
n.
S
n
2n＋1
又
T
＝，
n
3n－2∴令S
n
＝tn(2n＋1)，T
n
＝tn(3n－2)，t≠0，且t ∈R.
∴a
n
＝S
n
－S
n－1

＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n≥2)，
a
1
＋a
17
2
×17
86

人教版高中数学必修五学案【整套】
b
n
＝T
n
－T
n－1

＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)
＝t(6n－5)(n≥2).
a
n
t（4n－1）4n－1
∴
b
＝＝，
nt（6n－5）6n－5
a
9
4×9－1
355
∴
b< br>＝＝＝
.
9
6×9－5
497
【迁移2】 已知两个等差数 列{a
n
}与{b
n
}的前n项和分别是S
n
和T
n
，且a
n
∶b
n
S
9
＝(2n＋1)∶(3n－ 2)，则
T
＝________.
9
解析 ∵{a
n
}，{b
n
}均为等差数列，
S
9
9a
5
2×5＋1
11
则
T
＝
9b
＝＝
.
95
3×5－2
13
11
答案
13

规律方法 等差数列前n项和运算的几种思维方法
n（a
1
＋a
n
）
(1)整体思路：利用公式S
n
＝
，设法求出整体a
1< br>＋a
n
，再代入求解.
2
(2)待定系数法：利用S
n是关于n的二次函数，设S
n
＝An
2
＋Bn(A≠0)，列出方程S
n
S
n
组求出A，B即可，或利用
n
是关于n的一次 函数，设
n
＝an＋b(a≠0)进行计算.
(3)利用S
n
，S
2n
－S
n
，S
3n
－S
2n
成等差数列 进行求解.

课堂达标
1.在等差数列{a
n
}中，S
10
＝120，那么a
1
＋a
10
的值是( )
A.12
C.36
B.24
D.48
10（a
1
＋a
10
）
解析 S
10
＝
＝5(a
1
＋a
10
)＝120，
2
87