2019版【人教A版】高中数学：必修1课本例题习题改编(含答案)

2019版数学精品资料（人教版）
人教A版必修1课本例题习题改编
< br>1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：
A=
x|x 是4与10的公倍数，x?N
?
，B?
?
x|x?20m,m?N
?
?

改编 已知集合
M?
?
x
??
x< br>?
x
??
x
?
?N
?
且?N
??
，集合
N?
?
x?Z
?
，则（ ）
1 0
?
4
??
40
?
C．
M
A．
M ?N
B．
N?M

?
x
?
N?
?
x?Z
?
D．
M
?
20
?
?
x
?
N?
?
x? N
?
?

?
40
?
?
解：
M?xx?20k,k?N
，
N?xx?40k,k?Z
，故选D .
??
??
2.原题（必修 1第十二页习题1.1B组第一题）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这
样 的集合B有 个.
改编1 已知集合A、B满足A∪B={1，2}，则满足条件的集合A、B有多少对？请一一写出来．
解：∵ A∪B={1，2}，∴集合A，B可以是：?，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}， {1，2}；{2}，
{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}； {1，2}，?．则满足条件的集合A、B有9对.
改编2 已知集合
A
有
n
个元素，则集合
A
的子集个数有 个，真子集个数有 个
解：子集个数有
2
个，真子集个数有
2?1
个
改编3 满足条件
nn
?
1,2
?
A?
?
1,2,3
?
的所有集合
A
的个数是 个
解：3必须在集合
A
里面，
A
的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个.
3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用
C(A)
表示 非空集合
A
中的元素个
数，定义
A?B?
?
?
C( A)?C(B),当C(A)?C(B)
1,2
?
,B?x(x
2
? ax)(x
2
?ax?2)?0
，且,若
A?
?
?
C(B)?C(A),当C(A)?C(B)
??
A?B?1
,则由实数
a< br>的所有可能取值构成的集合
S
= .
1,2
?
得C(A)?2
，而
A?B?1
，故
C(B)?1或C(B)?3
．由
(x?ax)(x?ax?2)?0
解：由
A?
?
22
得
(x?ax)?0或(x?ax?2)?0
．
22
当
C(B)?1
时，方程
(x?ax)(x?ax?2)?0
只有实根
x?0
，这时
a?0
．
2
当
C(B)? 3
时，必有
a?0
，这时
(x?ax)?0
有两个不相等的实根x
1
?0, x
2
??a
，方程
22
(x2
?ax?2)?0
必有两个相等的实根，且异于
x
1
?0, x
2
??a
，有
Δ?a
2
?8?0,
∴
a ??22
，

可验证均满足题意，∴
S??22,0,22
．

4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停
留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
??

解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出 判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，
故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段 加速，后段比前段下降得快， 答案选
C
．
改编2 汽车经过启动、加速行驶、匀速 行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s
看作时间t的函数，其图象可能是 （ ）

解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与 t的函数图
象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A．

?
0,x?0，
5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出 下列函数的图象：（1）F(x)=
?
?
1,x>0;

?
1,x为有理数，
改编 设函数D(x)=
?
则下列结论错误的是( )

?
0,x为无理数，

A．D(x)的值域为{0,1} B． D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数

解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正 确;当x是有理数时,-x也是有理数,且
D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x), 当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),
故D (x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1 =D(x),

当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+ b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但
不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连 续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或
减函数，故D(x)不是单调函数,选项D 正确. 答案：C ．
6.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第十题）改编 已知集合
射

A?
?
1,2,3
?
,B?
?
1,2,3,4
?
．定义映
f:A?B
，则满足点
A(1 ,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))
构成
?ABC
且
A B=BC
的映射的个数为
.
3
解：从
A
到
B
的映射有
4?64
个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且< br>结合图形可以分析得到满足
f(3)?f(1)?f(2)
即可，则满足条件的映射有< br>m?C
4
?C
3
11
AB=BC
，
?12< br>个．
7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为
x?3?x? 8,且x?5
，值域为
（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）
?
y?1?y?2,y?0
?
的一个函数的图像，
如果平面直角坐标系中点P（x,y）
的坐标满足
?3?x?8
，
?1?y?2
，那么其 中哪些点不能在图像
上？
改编 若函数
y?f(x)
的定义域为
x?3?x?8,x?5
，值域为
y?1?y?2,y?0
，则
y?f(x)
的图象可能是（ ）
??
????

A B C D
解：根据函数的概念，任意一个
x
只能有 唯一的
y
值和它对应，故排除C；由定义域为
?
x?3?x?8,x?5?
排除A、D,选B.
8.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第三题）函数
f(x)?[x]
的函数值表示不超过
x
的最大整数，例
，　3
?
时，写出函数
f(x)
的解析式，并作出函数的图象． 如，
[?3.5]? ?4
；
[2.1]?2
；当
x?
?
?2.5
改编1 对于任意实数
x
，符号
[x]
表示
x
的整数部分，即
[x]
是不超过
x
的最大整数，例如
[2]?2
；
，它在 数学本身和生产实践中有广泛的应用，
[2.1]?2
；
[?2.2]??3
．函数
y?[x]
叫做“取整函数”
则
[log
3
1]?[ log
3
2]?[log
3
3]???[log
3
26]< br>的值为 ．
0１２
３
解：由题意得，∵
3?1
，
3?３
，< br>3?９
，
3?２7
．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故
原式 ＝
2?0?6?1?18?2?42
．
改编2 已知函数
f(x)=x-[x],
其中
[x]
表示不超过实数
x
的最大整数. 若关于
x
的方程
f(x)=kx+k
有三
个不同的实根, 则实数k的取值范围是
.

1
A.[?1,??) ?(,?]???????B.(?1,??]?[,?)?????C.[?,??)?(,1]?????? D.(?,??]?[,1)?

243243342342
解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点
(-1, 0)
的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数
形结合的办法, 可求得直线斜率k的取值范围为
(?1,??]?[,?)
. 答案：B
．









改编3 对 于任意实数x，符号
?
x
?
表示x的整数部分，即
?
x?
是不超过x的最大整数．这个函数
?
x
?
叫
做“取整 函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，
（1）
?
log
2
1
?
+
?
log
2
2
?
+?
log
2
3
?
+
?
log
2
4
?
+……+
?
log
2
1024
?
=
（2）设
f
?
x
?
?
?
?
x?< br>?
x
?
?
?
,x?
?
1,3
?，则
f
?
x
?
的值域为
解：（1）
?
log
2
1
?
=0，
?log
2
2
?
=
?
log
2
3
?
=1，
?
log
2
4
?
=
?
log
2
5
?
=
?
log
2
6
?
=
?
log
2
7
?
=2，
1
2< br>11
43
?
log
2
8
?
=
?log
2
9
?
=……=
?
log
2
1 5
?
=3，
?
log
2
16
?
=
?
log
2
17
?
=……=
?
log
2< br>31
?
=4，……
?
log
2
512
?< br>=
?
log
2
512
?
=……=
?
log
2
1023
?
=9，
?
log
2
1 024
?
=10，
则原式=
1?2?2?2
2
?3?2< br>3
?4?2
4
+
8204.
（2）
x?1,2?
时，x?1,f
?
x
?
?1;x?2,2.5
?时，x?2,f
?
x
?
?4
；
+9?2
9< br>+10
，用“错位相减法”可以求出原式的值为
??????
x?
?< br>2.5,3
?
时，
?
x
?
?2,f
?
x
?
?5;x?3时，
?
x
?
?3,f
?
x
?
?9
；故
x?
?
1,3
?
时
f
?
x
?
的值域为
?
1,4,5,9
?
答案：（1）8204； （2）
?
1,4,5,9
?
．
改编4 函数
f
?
x
?
?
?
?
x
?
x
?
?
?
，x?
?
?2,2
?
的值域为 .
解：当
x?
?
?2,?1
?
时，
?
x
?
??2
，
?2x?
?
2,4
?
,f
?
x
?
?
?
?2x
?
?{2,3,4}
；当
x?
?
?1,0
?
时，< br>?
x
?
??1
，
?x?
?
0,1
?
,f
?
x
?
?
?
?x
?
?{01 ，}
；当
x?
?
0,1
?
时，
?
x
?
?0
，
f
?
x
?
?0
；当
x ?
?
1,2
?
时，
?
x
?
?1
，
2,3,4}
.答案：
{0,1，2,3,4}
.
f
?< br>x
?
?
?
x
?
=1
；当
x=2时，
f
?
x
?
?
?
4
?
=4
；∴值域为
{0,1，
x
2
?1
9.原题（必修1第三十六 页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：
f(x)?
．
x

x
2
?1
改编 关于函数
f(x)?l g(x?0)
，有下列命题：①其图象关于
y
轴对称；②当
x?0
时 ，
f(x)
是
x
增函数；当
x?0
时，
f(x)< br>是减函数；③
f(x)
的最小值是
lg2
；④
f(x)
在区间
(?1,0),(2,??)
上是增函
数；⑤
f(x)
无最 大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．
1
x
2
?1
x
2
?1
解：
f( x)?lg
，则当
x?0
时，
u(x)?x?
在
(x?0)
为偶函数，故①正确；令
u(x)?
x
x
x
(0,1)上递减，在
[1,??)
上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．
10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数
f(x)
是偶函数，而且在
(0,??)
上是减
函数，判断
f(x)
在
(??,0)< br>上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

改编 已知定义在
[-2, 2]
上的偶函数
f(x)
在区间
[0, 2]
上是减函数, 若
f(1-m)
?
f(m),
则实数
m
的取值
范围是
.
解：由偶函数的定义,

?
?
f(1?m)?f(|1?m|)
,
又由
f(x)
在区间
[0, 2]
上是减函数, 所以
f(m)?f(|m|)
?
11
????m?
.
.答案：
22
2
0?|m|?|1?m?|??????m?
11.原题 （必修1第四十四页复习参考题A组第四题）已知集合A={x|
x
=1}，集合B={x|a x=1}，若B
?
A，
求实数a的值.
改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B，则实数a等于 。
解：∵A∩B=B ，∴B?A ，A={x|x-a=0}={a}，对于集合B，当a=0时， B=?满足B?A；当a≠0时，
B={}；要使B?A需，解得a=±1；答案：1或-1或0. < br>1?x
2
12.原题（必修1第四十四页复习参考题A组第八题）设
f(x)?
，求证：（1）
f(?x)?f(x)
；（2）
1?x
2
1
f()??f(x)
.
x
改编 设定在R上的函数
f(x)满足：
f(tanx)?
f(2)?f(3)?
11
?f(2012)? f()?f()?
23
?f(
1
，则
cos2x
1
)?

2012
.
1cos< br>2
x?sin
2
x1?tan
2
x
1?x
2
解：由
f(tanx)?
．得
f(x)?
．由所求式子特征考查：
??
1?x
2
cos2x
cos
2
x?sin2
x1?tan
2
x
1
11?x
x
2
?0
．
?f(2)?f(3)?
f(x)?f()??
x1?x
2< br>1?
1
x
2
2
1?
11
?f(2012)? f()?f()?
23
?f(
1
)?0
．
2012

?
?
x
?
x?4
?
,x?0;
1 3.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第四题）已知函数
f
?
x
??
?
求
f
?
1
?
，
xx?4,x?0 .
?
?
?
?
f
?
?3
?
，
f
?
a?1
?
的值.
?
?
x
?
x?a
?
,x?0;
a?0
，改编 已知函数
f
?x
?
?
?
关于
x
的方程
f
?
x
?
?a
有四个不同的根，则实数
a
的
?
?
x
?
x?a
?
,x?0.
取值范围为（ ）A.
?
-?，-4
?
B.
?
-4，0
?
C.
?
-?，-4
?
D.
?
-4，0
?

解：当
a?0
时，
y ?f
?
x
?
与
y?a
交点个数为2，不成立；当
a ?0
时，
f
?
x
?
图象如下图，
y?f
?
x
?
a
2
?a?0
，∴
a??4
，选A. 与
y?a
交点个数为4，则
?
4




14.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第五题）证明：（1）若
f
?
x
?
?ax?b
，则
?
x?x
2
f
?1
?
2
?
f
?
x
1
?
?f< br>?
x
2
?
?
x?x
；（2）若
g
?
x
?
?x
2
?ax?b,
则
g
?
12
?
?
2
??
2
?
g
?
x1
?
?g
?
x
2
?
.
?
?
2
?
?
x
1
?x
2
?
2
?
1
?
?
2
?
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
,
则称
f
?
x
?

?
y?a
改编 函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
上有定义 ，若对任意
x
1
,x
2
?
?
a,b
?，有
f
?
在
?
a,b
?
上具有性质
P
.设
f
?
x
?
在
?
1,3
?上具有性质
P
，求证：对任意
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
?
?
1,3
?
，有
?< br>x?x
2
?x
3
?x
4
f
?
14
?
?
1
?
?
4
?
?
f?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?f
?
x
3
?
?f
?
x
4
?
?
?
.
?
?
x
1
?x
2
x3
?x
4
?
2
?
2
?
x
1< br>?x
2
?x
3
?x
4
?
证明：
f< br>??
?f
?
42
??
?
?
?
??
1
?
?
?
?
f
2
?
??
?
?
x
1
?x
2
?
?
2< br>?
?
??
?
x?x
?
?
f
?
34
?
?

?
2
?
?
1
?
11
?
1

?
?
?
fx?fx?fx?fxf
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?f
?
x
3?
?f
?
x
4
?
????
????????< br>?
?
?
1234
??????
2
?
22?
4
15.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第七题）《中华人民共和国个人所得税 》规定，公民全月工
资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳 税所得额．此项税款按下
表分段累计计算：

某人一月份应 交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

改编 2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社
会公开征集意见．草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算．
级 数 全月应纳税所得额 税 率
1
不超过 1500元的部分
5%
2
超过 1500元至4500元的部分
10%
3
超过 4500元至9000元的部分
20%
依据草案规定，解答下列问题：（1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当 纳税多少元？（2）若
某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗 ？若能，请给出该纳税人
的月工薪范围；若不能，请说明理由．
解：（1）李工程师每月纳税 ：1500×5%+3000×10%+500×20%=75+400=475（元）；
（2）设该纳税人的月工薪为x元，则当x≤4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%； 当45 00＜x≤7500
时，由1500×5%+（x-4500）×10%＞8%x，得x＞18750， 不满足条件； 当7500＜x≤10000时，由
1500×5%+3000×10%+（x-750 0）×20%＞8%x，解得x＞9375，故9375＜x≤10000
答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%．
16.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第七题）已知
f
?
x
?
?3
x
，求证：（1）
f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
，
（2）f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?< br>x?y
?
.
改编 给出下列三个等式：
f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
,f
?
x?y
?
?f
?
x
?
f
?
y
?
,f
?
x?y
?
?
中，不满足其中 任何一个等式的是（ ）
A．
f
?
x
?
?3
x
B．
f
?
x
?
?sinx
C．
f
?
x
?
?log
2
x

f
?
x
?
?f
?
y
?
1?f
?< br>x
?
f
?
y
?
.下列选项
D．
f< br>?
x
?
?tanx

x
?
f
?y
，
C
满足解：依据指数函数，对数函数，三角函数的性质可知，
A满足
f
?
x?y
?
?f
??
f
?xyx?
?
?f
???
f
?
y
，
D< br>满足
f
?
x?y
?
?
f
?
x
?
?f
?
y
?
1?f
?
x
?
f
?
y
?
，而
B
不满足其中任何一个等式.
??x
,
a,b?(?1,1)
,求证:（2）
1?x
17.原题（必修1 第八十二页复习参考题A组第八题）已知
f(x)?lg
?
a?b
?
f(a)?f(b)?f
??
.
1?ab
??
改编 定义在(?1,1)
上的函数
f(x)
满足对
?x,y?(?1,1)
,都有
f(x)?f(y)?f
?
?
x?y
?
?
成 立,且当
x?(?1,0)
1?xy
??
时，
f(x)?0
，给出下列命题:①
f(0)?0
；②函数
f(x)
是奇函数；③函数
f(x)
只有一个零点；④
111
f()?f()?f()
,其中正确命题 的个数是（ ）A.1
5112
B.2 C.3 D.4

解：①令
a?b?0
得
f(0)?0
,①正确；②令
y?x
,得
f(x)?f(?x)?f(0)
，
?f(x)
是奇函数，②正 确；③
x?y
x?y
由②
f(x)?f(y)?f(?0
,
?f(x)?f(y)?0
,即
f(x)?f(y)
.
)
.又x?(?1,0),f(x)?0
,令
x?y
,则
1?xy
1? xy
?
11
?
?
5
?
11
?
11 221
?
函数
f(x)
在
(?1,1)
上为减函数，又f(0)?0
,故③正确，④
f()?f()?f
??
?f(),?，
11
511772
?
?
1??
?
?
?
511
?
由③知
f()?f()
.答案：C
18.原题 （必修1第八十三页复习参考题B组第一题）已知集合
A={yy?log
，
,x>1 }
2
x
2
7
1
2
?
1
?
B={y| y?
??
,x>1}
，则
A
?
2
?
1
2
x
B
=（ ）
1
D.
?

2
x
A.
{y| 0 B.
{y| 0 C.
{y|
?
1
?
改编 在平面直角坐标系中，集合
A={
?
x,y
?
y?log
a
x}
，
a?0
且
a?1
，
B={
?
x,y
?
| y?
??
}
?
2
?
设集合
AB
中的所有 点的横坐标之积为
m
，则有（ ）
A.
m?1
B.
m?
?
0,1
?
C.
m?
?
1,2
?
D.
m?
?
2,+?
?

?
1
?
解：由图知
y?log
与
x
y?
a
??
图象交于不同的两点，设为
x
1
、x
2，不妨设
x
1
?x
2
，则
?
2
??
1
?
0?x
1
?1?x
2
，∵
y ?
??
在R上递减，∴
log
a
x
1
?loga
x
2
，当
a?1
时，
?log
a
x
1
?log
a
x
2
，
?
2
?x
x
log
a
(x
1
x
2
)?0，
0?x
1
x
2
?1
;当
0?a?1
时，
log
a
x
1
??log
a
x
2，
log
a
(x
1
x
2
)?0
，0?x
1
x
2
?1
，选
B.
19.原题（必 修1第八十三页复习参考题B组第三题）对于函数
（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实 数a使f（x）为奇函数？
改编1 对于函数f(x)=a+
．
（a
?
R）

2
(x∈R)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单 调减函数；（2）若f（x）
2
x
?1
是奇函数，求a值；（3）在（2）的 条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．
2
x
2
?2
x
1
22
x
2
x
1
x
1
22< br>2?1
＞证明（1）：设
x
1
＜
x
2
，则f （
x
1
）-f（
x
2
）=
x
-
x
=
x
∵-＞0，
x
2
12
1
2?12?1
(2?1)(2?1)
0，
2
2
?1
＞0．即f（
x
1
）-f（
x
2
）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数
（2）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0?a=-1．
（3）由（1）（2）可得f（x ）在R上是单调减函数且是奇函数，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）
≤- f（t-5）=f（-t+5），?2t+1≥-t+5?t≥
x
44
，故所求不等式 f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥}．
33

－2
x
＋b
改编2 已知定义域为R的函数f (x)＝
x
＋
1
是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R， 不等式
2＋a
f(t
2
－2t)＋f(2t
2
－k)<0恒 成立，求k的取值范围．
－1＋b－2
x
＋1
解：(1)因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝
x1
.
2 ＋a2
＋
＋a
1
－＋1
－2＋1
2
又由f(1)＝ －f(－1)知＝－，解得a＝2.
4＋a1＋a
－2
x
＋1
11
(2)由(1)知f(x)＝
x1
＝－＋
x
，易知f(x)在R上为 减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t
2
2
2＋12
＋
＋2
－2t)＋f(2t
2
－k)<0，等价于f(t
2
－2t) <－f(2t
2
－k)＝f(－2t
2
＋k)．因为f(x)是R上的减函数 ，由上式推得t
2
1
－2t>－2t
2
＋k.即对一切t∈R有3t
2
－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
3
解法二：对 一切t∈R有3t
2
－2t－k>0，可转化为k<3t
2
－2t，t∈R， 只要k比3t
2
－2t的最小值小即可，
11
而3t
2
－2 t的最小值为－，所以k<－.
33
e
x
?e
?x
ex
?e
?x
,g(x)?
20.原题（必修1第八十三页复习参考题B组 第四题）设
f(x)?
，求证：（1）
22
?
g(x)
?< br>?
?
f(x)
?
22
?1
；（2）
f(2x )?2f(x)?g(x)
；（3）
g(2x)?
?
g(x)
??
?
f(x)
?
；
22
e
x
?e< br>?x
e
x
?e
?x
,g(x)?
改编1 设f(x)?
，给出如下结论：①对任意
x?R
，有
22
?
g(x)
?
?
?
f(x)
?
22
?1
； ②存在实数
x
0
，使得
f(2x
0
)?2f(x
0
)g(x
0
)
；③不存在实数
x
0
，使得
2
g(2x
0
)?
?
g(x
0
)
?
?
?
f(x)
?
；④对任意
x?R
，有
f(?x )g(?x)?f(x)g(x)?0
；
其中所有正确结论的序号是
22
2

e
x
?e
?x
2
e
x
?e
?x
2
e
2x
?2?e
?2xe
2x
?2?e
?2x
)?()???1
； 解：对于①：?
g(x)
?
?
?
f(x)
?
?(
2 244
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
e
2x
?e
?2x
???f(2x)
，即
?x
0
?R
恒有对于②：
2f(x)g(x)?2?
222
f(2
0
x?)

)f2
0
x(
；
g
22
x()
e
x
?e
?x
2
e
x
?e
?x
2
e
2x
?e
?2x
)?()??g(2x)
，故不存在
x
，使对于③：
?
g(x)
?
?
?< br>f(x)
?
?(
222
g(2x
0
)?
?< br>g(x
0
)
?
?
?
f(x
0
)?
；
22

e
?x
?e
x
e< br>?x
?e
x
e
x
?e
?x
e
?x< br>?e
x
对于④：
f(?x)g(?x)?f(x)g(x)?

???
2222
e
?2x
?e
2x
e
2x
?e
?2x
???0
，故正确的有①③④
44
改编2 已知函 数
F
?
x
?
?e
x
满足
F
?x
?
?g
?
x
?
?h
?
x
?
，且
g
?
x
?
，
h
?
x
?
分别是
R
上的偶函数和奇函数，
若
?x?
?
1, 2
?
使得不等式
g
?
2x
?
?ah
?x
?
?0
恒成立，则实数
a
的取值范围是
解：
F
?
x
?
?g
?
x
?
?h
?< br>x
?
?e
x
，得
F
?
?x
?
?g
?
?x
?
?h
?
?x
?
?e
?x
，
即
F
?
?x
?
?g
?
x
?
?h
?
x
?
?e
?x
.
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
，解得
g
?
x
?
?
，
h
?
x
?
?
，
g
?
2x
?
?ah
?
x
?
?0
即得
22
e
2x
?e
?2x
e
x
?e
?x
?22
e
2x
?e
?2x
e
x
?e
?x
x?x
?a?0
，参数分离得
a?x?x
?
，因为
?e?e?
x?xx?x
22
e?ee ?ee?e
e
x
?e
?x
?
22
x?x
x ?x
?22e?e?
e?e?2
时取等号，
x
的解满足（当且仅当， 即
x?xx?x
e?ee?e
??
2
?
1,2
?< br>），所以
a?22
.
改编3 已知定义在R上的奇函数
f
?
x
?
和偶函数
g
?
x
?
满足：
f
?
x
?
+g
??
x?
x
，则
e
2
n
g
?
1
?
g
?
2
?
g
?
2
2
?
?
f
?
2
n
?
g
?
2
n?1
?
?
. < br>解：∵
f
?
x
?
+g
?
x
?
?e
,
f
?
x
?
和
g
?
x?
分别为R上的奇函数和偶函数,
x
∴
f
?
?x?
+g
?
?x
?
??f
?
x
?
+g
?
x
?
?e
，
?x
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
,g(x)?
∴
f (x)?
，∴
f(2x)?2f(x)?g(x)
，
22
∴
2
n
g
?
1
?
g
?
2
?
g
?
2
2
?
?
f
?
2
n
?
g
?
2
n?1
?
?
2
n
f< br>?
1
?
g
?
1
?
g
?
2< br>?
g
?
2
2
?
?
f
?
1< br>?
f
?
2
n
?
g
?
2
n? 1
?
=
2e
1
?
2
.
f
?1
?
e?1
f(p)?f(q)
?0
恒成
p?q
21.原题（必修1第八十八页例1）求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点的个数.
改编 已知函数
f(x)?lnx?ax?6
,若在区间(2,3)内任意两个实数
p,q(p?q)
,不等式
立，且在区间（2，3）内有零点，则实数
a的取值范围为( )
解：由题可得
y?f(x)
在（2，3）递增，故< br>f
?
(x)?
1
1
?a?0
在（2，3）恒成立，< br>?a?-
,又
f(x)
在(2,3)
3
x
f(2) ?ln2?2a?6?0,f(3)?ln3?3a?6?0,
内有零点，由零点存在性定理有又
1
1111
a??
.
?2?ln3?a?3?ln2
.答案：(2?ln3,3?ln2)

3
3232

22.原题（ 必修1第九十页例2）借助计算器或计算机用二分法求方程
2
x
?3x?7
的 近似解（精确度0.1）.
改编 为了求函数
f(x)?2
x
?3x?7
的一个零点，某同学利用计算器得到自变量
x
和函数
f(x)
的部分
对应值（精确度0.1）如下表所示
x

f(x)

1.25
－0.8716
1.3125
－0.5788
1.375
－0.2813
1.4375
0.2101
1.5
0.32843
1.5625
0.64115
则方程
2
x
?3x?7
的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3
解：通过 上述表格得知函数唯一的零点
x
0
在区间
(1.375,1.4375)内,故选C.
23.原题（必修1第九十五页例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种
方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天 比前一天多回报10
元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选 择哪种投资方案？
改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下 ：方式一：每天到该
商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每 天比前一天多10元；
方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 若商场的奖品总价值不
超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下， 你认为哪种领奖方式让
领奖者受益更多？
解：设促销奖的领奖活动为
x
天， 三种方式的领取奖品总价值分别为
f(x),g(x),h(x)
。
则
f( x)?40x
；
g(x)?10?20?30?10x?5x
2
?5x
；
h(x)?0.4?0.4?2?0.4?2
2
??0.4?2
x?1
?0.4?2
x
?0.4

要使奖品总价值不超过600元，则 < br>?
f(x)?600
?
x?15
?
g(x)?600
?
x
2
?x?120?0
??

?
解得
x?11,x?N

?
?
x
?
h(x)?60 0
?
2?1501
??
?
x?N
?
x?N
又
f(10)?400

g(10?)

0h(10?55)
，故
g(10)?h(10)?f(10)

409.
答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.
24.原题（必修1第一百一十二页复习参考习A组第七题）改编1 已知线段
AB
的 长为
4
,以
AB
为直
径的圆有一内接梯形
ABCD
，若椭圆以
A、B
为焦点，且经过点
C、D
，求椭圆的离心率的范围． 解：梯形
ABCD
为圆内接梯形，故其为等腰梯形，设
?ABC?
?，则在
Rt?ABC
中，
AC?4sin
?
BC,?4cos< br>?

D
C
由椭圆的定义知
2a?AC?CB?4(sin?
?cos
?
)

?
1
A
B
2c4
?
离心率
e?
2a4(si
?
n?c
?os)
2sin
?
(?
?
4
，其中

)

2
??
?
?
?(,)
，所以
2s in(
?
?)?(1,2)
，故椭圆离心率
e?(,1)

424
2
改编2 已知线段
AB
的长为
4
,以< br>AB
为直径的圆有一内接梯形
ABCD
，若椭圆以
A、B
为焦 点，
且经过点
C、D
，那么当梯形的周长最大时，求该椭圆的离心率．
解： 梯形
ABCD
为圆的内接梯形，故其为等腰梯形，设
?ABC?
?
， 则在
Rt?ABC
中，
AC?4sin
?
BC,?4cos
?
，
CD?4?8cos
2
?
f(
?
)??8co s
2
?
?8cos
?
?8
，
?
?(,)< br>
42
故当
cos
?
，则梯形的周长
D
C< br>??
A
B

1
???
?,即
?
?? (,)
时，周长
f(
?
)
最大，即最大周长为
2342f()?10
，此时，由椭圆的定义知
2a?AC?CB?2(3?1)
，所以此 时的椭圆的离心率
3
?
e?
2c4
??3?1
．
2a
2(3?1)
3
25.原题（必修1第一百一十三页复习参考习A组第九题）某公 司每生产一批产品都能维持一段时间的
市场供应，若公司本次新产品生产开始x月后，公司的存货量大致 满足模型
f
?
x
?
??3x?12x?8
，
那么下 次生产应在多长时间后开始？
改编 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，在存货量 变为0的前一个月，公司进行下
次生产。若公司本次新产品生产开始月
x
后，公司的存 货量大致满足模型
f
?
x
?
??2x?6x?20
，那3
么下次生产应在 月后开始．
解：
f
?
1
?
?24?0,f(2)?16?0,f(3)??16?0
，所以应该在两个月后进行生产．
26.原题（必修1第一百一十三页复习参考习B组第一题） 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴
表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的< br>供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？（图略）
改编1 某地一年的气温Q（t ）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的
平均气温为10℃，令G（t ）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象
表示，则正确的应该是




10?c
（ ）
G(t)
G(t)
10?c
10?c

G(t)

t
6
12
O
6
12
t
O 6 12
t O






10?c




解：A
O
图（1）
A
B
G(t)
G(t)
10?c
12
6 t t
O 6 12
C
D
改编2 为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格
a
与其前三个月的市场收购价格有关，
且使
a
与其前三个月的市场收购价格之 差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价
格：
月份
价格（元担）
1
68
2
78

C．71元
3
67
4
71

D．72元
5
72
6
70
7

（ ） 则7月份该产品的市场收购价格应为
A．69元
解：C
B．70元