高中《代数》上册教材及

高中《代数》上册教材及
《教参》中数例的商榷
俞书华
众 所周知，教材是教师与学生教与学的重要依据，因此，教材应
具有的科学性与严密性。现就人教版高中数 学（必修）《代数》上册
及《参考》（以下称课本）中，几处值得商榷，教学中值得注意的地
方 ，举例说明如下，供参考。
例1求下列函数的定义域、值域：
（1）
y?3
1
2?x
1
（2）
y?0.7
4

[课本第64页习题五第2题（2）、（4）] 参考书第58页提供的值域答案均为
{yy?R
?
}
以上答案是错误的。
由于
1
1
及均不为0，故值域均应为
{yy?R
?
且y?1}
。
4x
2?x
1
1?x
2
f()??f(x)
。 例 2设
f(x)
，求证：
2
x
1?x
[课本第70页复习参考 题第10题（2）]
参考书第64页提供的解法是：
1
2
1?()1?

1
x
??f()?
1
2
x
1?()1?

x
1
x
2
1
x
2
x
2
? 11?x
2
?
2
????f(x).
x?11?x
2
此题条件不充分，事实上，当x=0时，f(x)有意义，且f（0）=1，
而f（
1
）无意义。建议在本题中，应加上“x≠0”方才严密。
x
例3用sec
?
来表示
?
的其它各三角函数。

[课本第105页习题七第13题（2）]
参考书第117页提供了解答：
cos
?
=
1
tg
?
=
?sec
2
?
?1
（
?
在第一、三象限时取正号，
?
在
sec
?
第二、四象限时取负号，以下各式同）
ctg
?
=
1
?sec
?
?1
2
，
?sec
2
?
?1
sin
?
=

sec
?
csc
?
=
sec
?
?sec
?
?1
2

此题条件不充分，事实上，当
?
=
k?
(k??)
时，sec
?
=±1，而ctg
?
不存在 。
建议在本题中，应加上
?
≠kπ
(k?z)
方才严密。
例4设tga、tg
?
是一元二次方程
?
x
2
?bx?c ?0(a?0,b?0)
的两个
根，求ctg(a+
?
)的值。
[课本第170页例3]
课本上的解法是：
2
在一元二次方程
?
x?bx?c?0中
，?
?0
，由一元二次方程与系数的
关系得：
b

a
c
tga?tg
?
??

a
tga?tg
?
??
而
ctg(a?
?
)?11?tga·ta
?
?

tg(a?
?
)tga?tg
?
由题设，
故

tga

?

tg

?

?

0
代入，得
b

?

0

，

ctg(a?
?
)?
1?( ca)a?cc?a

??
?(ba)?bb
以上解法虽然结果是对的，但求 解过程中，是在a≠c的情况下
tgatg?

?
进行的。事实上，当a=c时，
.

?

1
，tg

(

a

?

?

)
不存在，根本就
c
a
没有什么倒数可求而
ctg(a?
?
)
的值也决不是从
1
中求得的，对于此情况 ，课本
4g(b?
?
)
上没有作出必要的说明。
建议在解本题时，分两种情况
当a≠c时，按课本上的解法
当a=c时，从
?
=1，可得
tga?
a?k
?
?
1x
?ctg
?
?tg(?
?
)
因此，
tg
?
2
xx
?
?
(k?z)
，从而得
ctg(a?
?
) ?ctg(k
?
?)?0

22
(c?a)
来表示
。

b
但无论a≠c与a= c都可以用一个公式
ctg(a?
?
)?


——本文发表于《中学数学教学》