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游戏计算公式四年级数学高斯求和讲解

作者:高考题库网
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2020-09-15 17:21
tags:高斯公式

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四年级数学高斯求和讲解

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一
道题让同学们计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算 出答案等于
5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小
高斯把这道题巧算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地
适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一
项称为首项,最后一项 称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差
数列,后项与前项之差称为公差。例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;
(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中(1)是首项为1,末项为100,公差为 1的等差数列;(2)是
首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
例1 1+2+3+…+1999=?
分析与解 :这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是
1999,共有1999个数。由 等差数列求和公式可得
原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。

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注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是
否构成等差数列。
例2 11+12+13+…+31=?
分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项 是11,末项
是31,共有31-11+1=21(项)。
原式=(11+31)×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了 然的,这时就需
要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到
项数=(末项- 首项)÷公差+1,
末项=首项+公差×(项数-1)。
例3 3+7+11+…+99=?
分析与解:3,7,11,…,99是公差为4的等差数列,
项数=(99-3)÷4+1=25,
原式=(3+99)×25÷2=1275。
例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
解:末项=25+3×(40-1)=142,
和=(25+142)×40÷2=3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差
数列求和有关的问题。
例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米
2
,边长是1根
火 柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由
多少根火柴棍摆成?


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分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及
所用火柴数目如下表:

由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差
数列。
解:(1)最大三角形面积为
(1+3+5+…+15)×12
=[(1+15)×8÷2]×12
=768(厘米
2
)。
(2)火柴棍的数目为
3+6+9+…+24
=(3+24)×8÷2=108(根)。
答:最大三角形的面积是768厘米
2
,整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子 里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,
将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从 盒子里拿出二只球,将每只球
各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各< br>变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?
分析与解:一只球变成3只球,实 际上多了2只球。第一次多了2只球,
第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十 次后,多

2×1+2×2+…+2×10
=2×(1+2+…+10)
=2×55=110(只)。
加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
综合列式为:

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(3-1)×(1+2+…+10)+3
=2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。



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