2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法教学设计(2)新人教B版

1.1.1集合及其表示方法

集合论是现代数学的一个重要的基 础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，
是学习、掌握和使用数学语言的基础． 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元
素、集合的含义，体现逻辑思考的方法 ，如抽象、概括等．

【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具， 本节可以帮助学生使用集合的语言
简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积 累数学抽象的经验。
【数学抽象】了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;
【数据分析】理解元素与集合的属于和不属于关系;
【数学运算】掌握常用数集及其记法;
【逻辑推理】掌握集合的表示方法；

【教学重点】
1、掌握集合、元素的基本概念
2、学会用描述法表示集合
3、用区间表示集合
【教学难点】
1、集合中元素的三个特征
2、空集的理解
3、记住几种常见的数集符号

由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师 给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出
评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅 读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题
时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．

【新课导入】

在生活与学习中，为了方便，我们经常要 对事物进行分类。例如，图书馆中的书是按照所属学科等分
类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议 论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.



【新课讲授】
一、集合的概念
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进 行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在
一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集）， 组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
集合通常用英文大写字母A，B，C，...表示，集合的 元素通常用英文小写字母a，b，c，...表示。
如果a是集合A的元素，就记作
a∈A，
读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作
a?A，
读作“a不属于A”.
【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么.

【典型例题】
（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0∈A，0.5?A；
（2）如果B是由方程x?=1的所有解组成的集合，则-1∈B，0?B，1∈B
（3）如 果C是平面上与定点O的距离等于定长r（r>0）的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的
圆 O上的每个点P来说，都有P∈C.

【思考与讨论】
现在我们来考虑方程x+1 =x+2的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素。
一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作?.
由空集的定义可得，0??，1??

【小结】

根据集合的概念可知，集合的元素具有以下特点：
（1）确定性：集合的元素必须是确定的.
因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来.
（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。因此，集合 中的任意两个元素必须
都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素.例如 ，由英语单词success（成
功）中的所有英文字母组成的集合，包含的元素只有4个，即s，u， c，e.
（3）无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关。

【尝试与发现】
（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？
（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
（3）不等式x一2>1的所有解能组成一个集合吗？


二、几种常见的数集
有一些数的集合经常要用到，为了方便起见，人们用约定俗成的符号来表示它们.
（1）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N.
值得注意的是，0∈N，即0是自然数集N中的一个元素.
容易看出，如果a∈N，b∈N， 则一定有a+b∈N且ab∈N，但a-b∈N和ab∈N都不一定成立。例如，
1∈N，3∈N，但
1-3=-2?N且??N.
在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N
＋
，或N*
（2）所有整数组成的集合，称为整数集，记作Z
与自然数集N不同的是，如果a∈Z，b∈ Z，则一定有a-b∈Z，但ab不一定成立（请学生自己举例说
明）.
（3）所有有理数组成的集合，称为有理数集，记作Q.
我们知道，凡是能够表示成分数（即 两个整数的商）的数称为有理数。因此，如果a∈Q，b∈Q且b≠
0，则ab∈Q.例如，

3∈Q，12∈Q，且312＝6∈Q.
（4）所有实数组成的集合，称为实数集，记作R.
显然，如果a∈R，b∈R，则a+b∈R，a-6∈ R，ab∈R
当b≠0时，还有ab∈R.
如不特别声明，本书中所有字母表示的数均指实数.
利用集合的符号，可以简化自然语言描述，比如：
“0是整数”可以表示为“0∈Z”；
“π不是有理数”可以表示为“π?Q”；
“如果n是自然数，那么n+1也是自然数”可以表示为“如果n∈N，那么n+l∈N”.

【思考与讨论】
（1）无限循环小数1.99...可以表示成分数吗？
（2）任何一个无限循环小数都是Q中的元素，对吗？






三、列举法
前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合.
把集 合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方
法称为列 举法.
例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为
{0，1}；
又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24组成的集合可用列举法表示为
{1，2，3，4，6，8，12，24}；
再比如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为
{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》｝.

用列 举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.例如，{1，2}与{2，1}表示同一个集合。但是，如果一
个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个
元素作为代表，其他元素用省略号表示.例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为
{0，1，2，3，...，100}.
无限集有时也可用列举法表示.例如，自然数集N可表示为
{0，1，2，3，...，n，...}
值得注意的是，只含一个元素的集合{a）也是一个集合，要将它与它的元素a加以区别，事实上，
a∈{a}.

四、描述法

【思考与讨论】
以下集合用列举法表示方便吗？如果不万便，你觉得可以怎样表示？
（1）满足x>3的所有数组成的集合A；
（2）所有有理数组成的集合Q.
显然 ，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合A中的元素x都具有性质“x是大于3的数”，
而不属于 集合A的元素都不具有这个性质，因此可以把集合A表示为
{x|x是大于3的数}或{x|x>3），
即A={x|x是大于3的数}或A={x|x>3}.
类似地，Q中的每一个元素都具有性 质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，
因此可以把Q表示为Q={x1x是两个 整数的商}或Q={xlx=mn，m∈Z，n∈Z，n≠0）.
上述表示集合的方法中，大括号内竖 线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才
满足的性质.
一般地，如果属 于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有这个
性质，则性质p（ x）称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p（x）表示为
{x|p（x）}.
这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.
例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的
集合 可以表示为

{x|x是一组对边平行且相等的四边形}..
再例如，所有能被3整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为
{x|x=3n，n∈Z）.
类似地，所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为
{x|x=3n+1，n∈N}，
不过这一集合通常也表示为
{x∈N|x=3n+1，n∈Z）.
这就是说，集合{x|p（x）}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为
{x∈I|p（x）}.
【典型例题】
用适当的方法表示下列集合：
（1）方程x（x一1）=0的所有解组成的集合A；
（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.
【思考与讨论】
判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法.
解:(1)因为0和1是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个解，所以
A={0，1）.
(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此
B={（x，y）|x>0，y>0}.

五、区间及其表示
习惯上，如 果a简写为闭区间[1，2].
类似地，如果a集合{x|a集合{x|a≤x
上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.区间可以用数轴形象地表示.例
如，区间[-2，1）可用下图表示，注意图中一2处的点是实心点，而1处的点是空心点.

如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：
实数集R可表示为区间（－∞，+∞）
集合{x|x≥a）可表示为区间[a，+oo）
集合{x|x>a}可表示为区间（a，+oo）
集合{红|x≤a}可表示为区间（－∞，a]
集合{红|x类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示.例如，区间[7，+oo）可以用下图表示





【典型例题】




本节课是高中学生的第一节课，本次课以培养学生学习数学兴趣，树立学生自信心为主要目的。 教师
讲课须生动形象有趣，贴近生活，提高学生学习数学的兴趣；习题须由浅入深，以浅为主，增强学生 学好
数学的自信心，课堂上多提问，培养学生思考能力和专注力，保持课堂的活泼性。