人教版高中数学《排列组合》教案

排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问
题
3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和
解决问题的能力
二、教材分析
1.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得
到一般的结论．
2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方
法比较它们的异同．
三、活动设计
1.活动：思考，讨论，对比，练习．
2.教具：多媒体课件．
四、教学过程正
1．新课导入
随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多 样化，高标
准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完
成，或几个过程 才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问
题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原 理是排列组合的
关键．

2．新课
我们先看下面两个问题．
(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船． 一
天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
板书：图

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3
种走法，每一种走法都可以从甲 地到达乙地，因此，一天中乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m
1
种不同的方法，在第二类办法中有m
2
种不同的方法，??，
在第n类办法中有m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m
1
十
m
2
十?十m
n
种不同的方法．
(2) 我们再看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A
村经B 村去C村，共有多少种不同的走法？
板书：图

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一

种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从
A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有
m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的 方法，??，做第n步有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m
1< br> m
2
?m
n
种不同的方法．
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语
文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上
层取数学书，可以从6本书中 任取一本，有6种方法；第二类办法是
从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加 法
原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．
答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一本 ，可以分成两个步骤
完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有
5种方 法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝30．
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．
练习： 一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古
币各一枚，有多少种不同取法？

例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复
三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位
数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三
位数？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定
百位上的数字，从5个数字中任选一个数字， 共有5种选法；第二步
确定十位上的数字，由于数字允许重复，
这仍有5种选法，第三步确定 个位上的数字，同理，它也有5种
选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5 =125．
答：可以组成125个三位数．
练习：
1、从甲 地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可
走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着 2O张分别标有数
1、2、?、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加
数； 在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、?、9、1O的黄
卡片，从中任抽一张，把上面的数作 为加数．这名儿童一共可以列出

多少个加法式子？
3．题2的变形
4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时
用加法，分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种
方法完成，另有4人会用第二 种方法完成．选出一个人来完成这件工
作，共有多少种选法？
2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3
本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b 2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后
共有多少项？
4．从甲地到乙地 有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；
从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通． 从甲地到
丙地共有多少种不同的走法？
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所
有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
作业：

排列
【复习基本原理】
1.加法原理 做一件事， 完成它可以有n类办法，第一类办法
中有m
1
种不同的方法，第二办法中有m
2
种不同的方法??，第n办
法中有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m
1
+m
2
+m
3
+?m
n

种不同的方法.
2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的方法，??，做第n步< br>有m
n
种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m
1
?m
2
?m
3
???m
n

种不同的方法.
3.两个原理的区别：
【练习1】
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少
种不同的机票？
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一
列出.
【基本概念】
1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(
m?n
)个 元素（这
里的被取元素各不相同）按照
一定的顺序
排成一列，叫做从n个不同
．．．．．
元素中取出m个元素的
一个排列

．．．．

2.
3.
4.
什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
什么叫一个排列？
【例题与练习】
1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？
2.已知a、b、c、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有
排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1. 定义：从n个不同元素中，任取m(
m?n
)个元素的所 有排
m
n
列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号
p
表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2.
p
n
?
p
n
?
4
1
排列数公式：
p
=n(n-1)(n- 2)?(n-m+1)
m
n
；
p
2
n
?
；
p
3
n
?
；
；
计算：
p
= ；
p
= ；
2
5
4
5
p
15
2
= ；
【课后检测】
1. 写出：
① 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的
所有排列；
② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

2.
①
p
计算：
3
100
②
p
③
p
3
6
4
8
?2p
2
8
④
p
12
p
7
12
8

排 列
课题：排列的简单应用(1)
目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公
式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
过程：
一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）
1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；
2．排列数的定义，排列数的计算公式 A
n
?n(n?1)(n?2)
?
(n?m?1)
m
或
A
n
?
m
n!
(n?m)!
（其中m≤n
m,n?Z）
3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1
4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．
二、新授：
例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列——
A
＝5040
7
7
⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040
⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不
同的排法？

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——
A
=720
6
6
⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有
A
2
2
种；第二
步 余下的5名同学进行全排列有
A
种 则共有
A
2
2
55
A
5
5
=240种排列方
法
⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有
多少种？
解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同
学中选2位同学站在排头和排尾有
A
种方法；第二步 从余下的5位
2
5
同学中选5位进行排列（全排列）有
A
种方法 所以一共有
A
5
5
2
5
A
5
5
＝
2400种排列方法．
解法二：（排除法）若甲站在排头有
A
种方法；若 乙站在排尾
6
6
有
A
种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有
A
种方法．所以甲不
6
6
5
5
能站在排头，乙不能排在排 尾的排法共有
A
－
2A
＋
A
=2400种．
7
7
6
6
5
5
小结一：对于“在”与“不在”的 问题，常常使用“直接法”
或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．
例2 ： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同 学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的
5个元素（同学）一起进行全排列有
A
种方法 ；再将甲、乙两个同学
6
6
“松绑”进行排列有
A
2
2种方法．所以这样的排法一共有
A
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

6
6
A
2
2
＝1440

解：方法同上，一共有
A
5
5
A
3
3
＝720种．
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有
多少种？
解法一 ：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时
一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所 以可以从其余的5
个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有
A
种方法；将剩下的4< br>2
5
个元素进行全排列有
A
4
4
种方法；最后将甲、 乙两个同学“松绑”进行
排列有
A
2
2
种方法．所以这样的排法一共 有
A
2
5
A
4
A
2
42
＝960 种方法．
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一
共有6个元素，若丙 站在排头或排尾有2
A
种方法，所以丙不能站在
5
5
排头和排尾的排 法有
(A
6
6
?2A
5
)?A
2
?960
52
种方法．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一
共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个
位置选择共有
A
4
1
种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有
A
种
5
5
方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有
A
4
1
＝960种方法．
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例3： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）A
7
7
A
5
A
2
5
2
?A< br>6
?A
2
?3600
62

5
5
解 法二：（插空法）先将其余五个同学排好有
A
种方法，此时他
们留下六个位置（就称为 “空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六

个位置（空）有
A
种方法，所以一共有
A
2
6
5
5
A
6
?3600
2
种方法．
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有A
4
4
种方法，此时他们留下五个“空”，
再将甲、乙和丙三个同学分别 插入这五个“空”有
A
种方法，所以一
3
5
共有
A
4
4
A
5
3
＝1440种．
小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
三、小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法：
⑴ 有特殊元素或特 殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或
特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，
与其他元素排列后，再考虑相 邻元素的内部排列，这种方法称为“捆
绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相
邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，
从而寻求有效的解题途径，这是 学好排列问题的根基．
四、作业：《课课练》之“排列 课时1—3”

课题：排列的简单应用(2)
目的：使学生切实学会用排列数公式 计算和解决简单的实际问
题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多
解 ．
过程：
一、复习：
1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；
2．常见的排队的三种题型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．
3．分类、分布思想的应用．
二、新授：
示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，
如果某女 演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有
多少种不同的排法？
解法一： （从特殊位置考虑）
A
1
9
A
9
?136080
5
9
5

6
9
解法二：（从特殊元素考虑）若选：
5?A
若不选：
A

则共有
5?A
9
5
＋
A
＝136080
6
9
6
10
解法三：（间接法）
A
示例二：
?A
9
?
5
136080
⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，

丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？
略解：甲、乙排在前排
A
42
；丙排在后排
A
4
1
；其余进行全排列
A
．
5
5
所以一共有
A
4
2
A
4
A< br>5
1
5
＝5760种方法．
⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须
排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？
略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e
进行排列有
A
2
2
；
此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有
A
；最后将a, b
2
3
“松绑”有
A
2
2
．所以一共有
A
2
2< br>A
3
A
2
2
2
＝24种方法．
⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求
师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？ < br>略解：（分类）若第一个为老师则有
A
A
3
A
3
33
3
3
A
3
3
；若第一个为学生则有

3
3
所以一共有2
A
示例三：
A
3
3
＝72种方法．
⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整
数？
略解：
A
1
5
?A
5
?A
5
?A
5
?A
5
?325
2345

⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且
比13 000大的正整数？
解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有
A
3
A
313
种方法；另一类是首位不为1，有
A
4
1
A
44
种方法．所以一共有

A
3
A3
?A
4
A
4
?114
13
14
个数 比13 000大．
3
3
解法二：（排除法）比13 000小的正整数有
A
个，所以比13 000
大的正整数有
A
5< br>5
?A
3
3
＝114个．
示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小
到大排列．
⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？
解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有A
3
5
?60
个，所以第114
个数的千位数应该是“3”，十 位数字是“1”即“31”开头的四位数
有
A
4
2
?12
个 ；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，
所以第114个数的前两位数必然 是“39”,而“3 968”排在第6个位
置上，所以“3 968” 是第114个数．
⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3
796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796
是第95个数．
示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴ 能被25整除的数有多少个？
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
解： ⑴ 能 被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，
末尾为50的四位数有
A
42
个，末尾为25的有
A
A
3
A
3
＝2111
1
3
A
3
个，所以一共有
A
4
1
2
＋
个．
注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00
四种情况．

⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有
A
1
5
A
5
?300
3
个．因为在这300个数中， 十位数字与个位数字的大小关系是“等可
．．
能的”，所以十位数字比个位数字大的有
．．
2
1
A
5
A
5
?150
13
个．
三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问
题的全面性，此外能够借 助一题多解检验答案的正确性．
四、作业：“3＋X”之 排列 练习
组 合 ⑴
课题：组合、组合数的概念
目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．
过程：
一、复习、引入：
1．复习排列的有关内容：
定

义
排

列


点 同排列 式
特 相公
以上由学生口答．
2．提出问题：
示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项
活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有
多少种不同的选法？

示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，
有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定
的顺序“排列”，而示例2只要求选出 2名同学，是与顺序无关的．
引出课题：组合问题．
．．

二、新授：
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个
元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合．
注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：
元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴ 从A
、
B
、
C
、
D四个景点选出2个进行游览；（组合）
⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部
书记．（排列）
2． 组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的
所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数．用
符号
C
表示．
m
n
例如：示 例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，
甲丙，乙丙．即有
C
2
3
?3
种组合．
又如：从A
、
B
、
C
、
D四个景点选出2个进行游览的组合：
AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合 ，即：
C
4
2

?6

在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是
组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么 又如何计算
C
呢？
m
n
3．组合数公式的推导
⑴提问： 从4个不同元素a，b，c
，
d中取出3个元素的组合数
C
4
3是多少呢？
启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3
．．．．．． ．．．
个元素的排列数
A
4
3
可以求得，故我们可以考察一下C
4
3
和
A
4
3
的关系，
如下：
组 合 排列
abc?
??
?
abc,
abd,
acd,
bcd,
bac,bad,
cad,
cbd,
cab,
dab,
dac,
dbc,
acb,
adb,
adc,
bdc,
bca,
bd a,
cda,
cdb,
cba
dba
dca
dcb

abd
acd
bcd

由此可知：每一个组合都对应着6个不同的 排列，因此，求从
4个不同元素中取出3个元素的排列数
A
4
3
，可 以分如下两步：① 考
虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有
C
4
3
个；② 对 每一个
组合的3个不同元素进行全排列，各有
A
种方法．由分步计数原理得：
3
3
A
3
4
＝
C
3
4
?
A
3
3
，所以：
C
3
4
?
A
4< br>A
3
3
3
．
⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列
数
A
，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的
m
n
组合数
C
；② 求每一个 组合中m个元素全排列数
A
，根据分布计
m
n
m
m
数原理得：
A
＝
C
m
n
m
n
?A
m
m

⑶ 组合数的公式：

C
m
n
?
A
n
A
m
m
m
?
n(n?1)(n?2)
?
(n?m?1)
m!

(n,m?N,且m?n)

?
或
C
n
?
m
n!
m!(n?m)!

⑷ 巩固练习：
1．计算：⑴
C
⑵
C

4
7
7
10
2．求证：
C
m
n
?
m?1
n?m
?C
m?1
n

的值．
x?1
3．设
x?N
?
,
求
C
x?1< br>2x?3
?C
x?1
2x?3
2x?3?
解：由题意可得：
?
?
?
x?1?2x?3
即：2≤x≤4
∵
x?N
?
,
∴x=2或3或4
当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式
值为11．
∴所求值为4或7或11．
4．例题讲评
例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有
多少种不同的分
法？
略 解：
C
2
6
?C
4
?C
2
?90
22

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践
活动小组，问组 成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1
男2女 ，分别有
C
4
3
，
C
100种方法．

2
4
?C
6
1
，
C
1
4
?C6
2
，所以一共有
C
4
3
+
C
24
?C
6
1
+
C
1
4
?C
6
2
＝

解法二：（间接法）
C
3
1 0
?C
6
?100
3

5．学生练习：（课本99练习）
三、小结：
定

义
排

列
组

合
此外，解决实际 问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定
是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 ．
四、作业：课堂作业：教学与测试75课
课外作业：课课练 课时7和8
组 合 ⑵
课题：组合的简单应用及组合数的两个性质
目的：深刻理解排列与组 合的区别和联系，熟练掌握组合数的计
算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应
用问题．
过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
强调：排列——次序性；组合——无序性．

特
点

相
同组合

式
公

2．练习一：
练习1：求证：
C
m
n
?
n
m
3
C
n?1
m?1
． （本式也 可变形为：
mC
C
7
?C
6
32
m
n?nC
n?1
5
m?1
）
练习2：计算：①
C
10
和
C
； ②
7
10
与
C
；③
3
6
C
11
?C
11
4

答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）
3．练习二：
⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少
条？
⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多
少条？
答案：⑴
C
2
10
?45
（组合问题） ⑵
A
2
10
?90
（排列问题）
二、新授：
1．组合数的 性质1：
C
m
n
?C
n
n?m
．
理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ? m
个元素．因
为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ?
m个元素的每一个组合一一 对应，所以从n个不同元素中取出m个
．．．．
元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：
C
n
?C
n
mn?m
．在这里，我 们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对
应”的思想．
证明：∵
C
n? m
n
?
n!
(n?m)![n?(n?m)]!
?
n!m!(n?m)!

又
C
n
?
m
n!
m!(n?m)!
0
∴
C
n
m
?C
n
n?m

注：1? 我们规定
C
n
?1

2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3? 此性质作用：当
m
算简化．
例如：
C
2001
2002
?
n
2
时，计 算
C
n
m
可变为计算
C
n?m
n
，能够使 运
＝
C
2002?2001
2002
＝
C
1
2002
=2002．
或
x?y?n
4?
C
n
?C
n
?x?y
xy

2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白
球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴
C
3
8
?56
⑵
C
3
8
2
7
?21
3
⑶
C
7
?35
3

引导学生发现：
C?C
7
?C
7
2
．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可
以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计
数原理，上述等式成立．
一般地，从
a
1< br>,a
2
,?,a
n?1
这n+1个不同元素中取出m个元素的
组合数是
C
m
n?1
，这些组合可以分为两类：一类含有元素
a1
，一类不含
有
a
1
．含有
a
1
的组 合是从
a
2
,a
3
,?,a
n?1
这n个元素中取 出m ?1个元素
与
a
1
组成的，共有
C
m?1
n
个；不含有
a
1
的组合是从
a
2
,a
3< br>,?,a
n?1
这n个元
m
n
素中取出m个元素组成的，共有
C
个．根据分类计数原理，可以得

到组合数的另 一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳
思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3．组合数的 性质2：
C
证明：
C
n
?C
n
mm?1
m
n?1
＝
C
+
C
m
n
m?1
n
．


?
n!
m! (n?m)!
?
?
?
?
n!
(m?1)![n?(m?1) ]!
n!(n?m?1)?n!m
m!(n?m?1)!
(n?m?1?m)n!m!(n?m?1)!
(n?1)!
m!(n?m?1)!
m




∴
C
n?1
＝
C
n
m


?C
n?1

m
+
C
m?1
n
．
注：1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等
于下标比原下标多1而上标 与高的相同的一个组合数．
2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二
项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
4．示例二：
⑴ 计算：
C
⑵ 求证：
C
3
7< br>?C
7
?C
8
?C
9
456

+< br>C
n?2
m
n
m?2
＝
C
+
2C< br>n
m
x?1
13
n?1
m

⑶ 解方程：
C
⑷ 解方程：
C
⑸ 计算：
C
4
0
推广：
C
0
n
?C
13
2x?3

110
3
x?2
x?2
?C
x?2
?
2
x?3
A
x?3

3
?C
4
?C
4
?C
4
?C
4
12
14
和
C
0
5
?C
5
?C
5
?C
5
?C
5
? C
5
nn
12345

?C
n
?C
n?
?
?C
n
n?1
?C
n
?2

5．组合数性质的简单应用：
证明下列等式成立：

⑴ （讲解）
C
⑵ （练习）
C
⑶ < br>C
1
n
2
k
k
k
n?1
?C
n?2
?C
n?3
???C
k?1
?C
k
?C< br>n
kkkk?1
kkkkk?1

?C
k?1
?C< br>k?2
???C
k?n
?C
n?k?1

3n
n
?2C
n
?3C
n
???nC?
n
2
(C
n
?C
n
???C
n
)

01n
6．处理《教学与测试》76课例题
三、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．
四、作业： 课堂作业：《教学与测试》76课
课外作业：课本习题10.3；课课练课时9
组 合 ⑶
课题：组合、组合数的综合应用⑴
目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质， 能够解决一些
较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．
过程：
一、知识复习：
1．复习排列和组合的有关内容：
依然强调：排列——次序性；组合——无序性．
2．排列数、组合数的公式及有关性质
性质1：
C
m
n
?C
n
n?m
性质2：< br>C
0kk?1
m
n?1
＝
C
+
C
m
n
m?1
n

常用的等式：
C
0k
?C
k?1
?C
k
?C
k?1
?1

3．练习：处理《教学与测试》76课例题
二、例题评讲：
例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4

件检查．
⑴ 都不是次品的取法有多少种？
⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？
⑶ 不都是次品的取法有多少种？
解：⑴
C
⑵
C
⑶
C
4
100
4
4
90
?2 555190
13
；
22314
?C
90
?C
1 0
C
90
?C
10
C
90
?C
10
C
90
?C
10
?1366035
?C
10
?C
90
C
10
?C
90
C
10
?C
90
C
10
?C
90
?3921015
41322314< br>；
．
4
100
例2．从编号为1，2，3，?，10，11的共1 1个球中，取出5
个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取
法？
解：分为三类：1奇4偶有
C
偶有
C

5
6
1
6
C
5
4
；3奇2偶有
C
3
6
C
5
2
；5奇1
所 以一共有
C
1
6
C
5
4
+
C
3< br>6
C
5
2
+
C
5
6
?236
．
例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名
青年能胜任德语翻 译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选
5名青年承担一项任务，其中3名从 事英语翻译工作，2名从事德语
翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类：
① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有
C
② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有
C
③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有
C

3
4
3
4
2
4
C
3
1
2
；
C
3
；
C
3
2
．

所以一共有
C
2
4
C
3
2
+
C
3
4
C
3
+
C
4
C
3
1 32
＝42种方法．
例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲
不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
解法一：（排除法）
C2
6
C
4
?2C
5
C
4
?C
4
C
3
?42
21211

解法二：分为两类：一类为 甲不值周一，也不值周六，有
C
4
1
C
4
2
；另一类为甲不值周一，但值周六，有
C
42种方法．
例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不
同的送书方法？
解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一
个元素有
C
种方法；第二 步将5个“不同元素（书）”分给5个人有
2
6
2
4
C
3< br>2
．所以一共有
C
4
1
C
4
2
+< br>C
2
4
C
3
2
＝
A
5
5< br>种方法．根据分步计数原理，一共有
C
2
6
A
5
5< br>＝1800种方法．
变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？
变题2： 5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同
．
的送书方法？
变题3： 5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同
．
的送书方法？
答案：1．
5
6
?15625
； 2．
A
5
6
?720
； 3．
C
5
6
?6
．
三、小结：1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质；
2．组合的应用：分清是否要排序．
四、作业：《3+X》 组合基础训练
《课课练》课时10 组合四

组 合 ⑷
课题：组合、组合数的综合应用⑵
目的：对排列组合知识有一个系统的了解，掌握排列组合一 些常
见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组
合问题．
过程：
一、知识复习：
1．两个基本原理；
2．排列和组合的有关概念及相关性质．
二、例题评讲：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本；
⑵ 分为三份，每份两本；
⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解：⑴ 根据分步计数原理得到：
C
2
6
C
4
C< br>2
?90
2
6
22
种．
2
⑵ 分给甲、乙 、丙三人，每人两本有
CC
4
C
2
2
种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二
步再将这三份分给甲、乙、丙三 名同学有
A
种方法．根据分步计数原
3
3
理可得：
C
2
6
CC
2
4
2
2
?xC
3
3
，所以
x?
C
6
C
4
C
2
A3
3
222
?15
．因此分为三份，每份两
本一共有15种方法 ．

注：本题是分组中的“均匀分组”问题．
．．．．
⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有
C
1
6
C< br>5
C
3
?60
1
6
2
23
种方法．
33
⑷ 在⑶的基础上在进行全排列，所以一共有
C
法．
C
5
C
3
A
3
?360
种方
⑸ 可以分为三类情况：①“2、2、2型”即⑴中的分配情况，
有
C
1
2
6
C
4
C
2
?90
33
22
种方法；② “1、2、3型”即⑷中的分配情况，有
型”，有
C
4
6
C
6
C
5
C
3
A
3
?360
种方法；③“1 、1、4
2
A
3
?90
3
种方法．所以
一共有90 +360+90＝540种方法．
例2．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一 共有
A
4
4
种方法，
再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但 无需要进行排列）有
C
5
种方法．根据分步计数原理，一共有
A
4< br>C
5
3
4
3
＝240种方法．
例3．⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种
不同的放法？
⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法
有多少种？
解：⑴ 根据分步计数原理：一共有
4
4
?256
种方法．
⑵（捆绑法）第 一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一
起看成一个元素有
C
4
2种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个
将球放入有
A
4
3
种方法．所以一共有
C
4
2
A
4
3
＝144种方法 ．
例4．马路上有编号为1，2，3，?，10的十盏路灯，为节约用

电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的
两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯
方法？
解：（插空法） 本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中
插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为
C
3
6
?20
种方法．
例5．九张卡片分别写着数字0，1，2，?，8， 从中取出三张排
成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个
三位数？
解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有
2(A
方法；②若不取6，则有
C
2(A
8
?C
2
C
7
C
7)
2111
1
7
2
8
?C
2
C
7
C
7
)
111
种
A
7
2
种方 法．根据分类计数原理，一共有
+
C
1
7
A
7
2< br>＝602种方法．
三、小结：