初中升高中数学衔接最全经典教材

初高中数学衔接教材
典型试题 举一反三
理解记忆 成功衔接

第一部分 如何做好初高中衔接 1-3页

第二部分 现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页

第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页

第四部分 分章节讲解 10-66页

第五部分 衔接知识点的专题强化训练 67-100页

第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都 有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把
高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并 非想象中那么简单易学，
而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时， 又是磕磕碰
碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期” ，
数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学
好 数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的
根源还在于初、 高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、
总结。希望同学们认真吸取前 人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言 在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离
生活很远，似乎很“玄”。确实 ，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是
以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数 学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语
言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很
多老师为 学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，
再看什么。即使是思维 非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自

的思维套 路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维
形式上产生了很大的变 化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展
是渐进的，不是一朝一夕的。这种能 力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成
绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理 论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩
证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学 在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高
一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个； 《立体几何》第一章有基本概念37个，
基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达8 9个之多，并集中在高一第一学
期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十 多课时，辅助练习、
消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了 教与学
的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：
第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，
使新知识 顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，
当知识信息量过大时， 其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结
构，实行“整体集装”。如表格化， 使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到
多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识 方法。第四，要多做总结、归类，建立主
体的知识结构网络。
二 不良的学习状态
1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提
高分数， 初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；
第二，家长望子成龙心 切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用
的“模子”没有了，家长辅导的能力 也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有
很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学 习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，
课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记 ，没听到“门道”。
2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一 、二
时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的
还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，
只要等到高 三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的
同学是大错特错的。有多 少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏
了很多知识再弥补后悔晚矣。
3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难
点，突出 思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一
大本，问题也有一大堆 ；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，
乱套题型，对概念、法则、公式、定 理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加
班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己 另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

4 不重视基础。一些“自我感觉 良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方
法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去 认真演算书写，但对难题很感兴趣，以
显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。 到正规作业或考试中不是
演算出错就是中途“卡壳”。
5 进一步学习条件不具备。高中数学 与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求
都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一 步学习作好准备。高中数学很多地
方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布 与参变量的讨论、，
三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。 有的内
容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学
习的要求。
三 科学地进行学习
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究 科学的学习方法，提高学习效
率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。
1 培养 良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？
良好的学习习惯包括制定 计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系
统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学
习和克服困难 的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过
程中严格要求自己，磨炼学 习意志。
(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课
前把教材 弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
(3)上课是理解 和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，
课前自学过的同学上课更能专心 听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该
记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失 彼。
(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强
化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比
效，一边复习 一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
(5)独立作业是通过自己的 独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学
新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过 程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学
知识由“会”到“熟”。
(6)解决疑难是指对 独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻
遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗 解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做
错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在 解决不了的要请教老师和同学，并要经
常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问 同学获得的东西消化变成

自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。
(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环
节。小 结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、
概括，揭示知识间的 内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，
能对所学知识由“活”到“悟”。
(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师
交流学 习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，
加深和巩固课内所 学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，
激发求知欲与学习热情。
2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。
有的同 学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便
洋洋自得，遇到挫折 又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的
积累过程，决非一朝一夕可以完成 的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能
取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功 扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了
自动化或半自动化的熟练程度。
3 注意研究学科 特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维
能力、空间想象能力以及运用所学知 识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有
高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要 求较高。学习数学一定要讲究“活”，只
看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既 要能钻进去，又要能跳出来，
结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由 厚到薄”的学习
过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一 个
步骤（归纳总结）是少不了的。


第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”


1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”
的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要求，但高中教材许多
化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、 分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是
高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高

< br>中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、
求最大、最小值 ，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与
常用方法。
5．二次函数、二 次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）
在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运 算和难度不大的应用题型，而在高
中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教 材却未安
排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数 后，对
其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌
握。 < br>7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中
这部分内容视为重难 点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和 定理（如平行线分线段比例定
理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

第三部分 初中数学与高中数学衔接紧
密的知识点

1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
)
?
a( a?0
?
(a0?)
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对 值是0，即
a?
?
0

?
?a(a?0)
?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两 个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)??a?x?a
；
|x|?a(a?0)?x ??a
或
x?a

2 乘法公式：
⑴平方差公式：
a?b?(a?b)(a?b)

22

⑵立方差公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑶立方和公 式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b< br>2
)

⑷完全平方公式：
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
，
(a?b?c)
2
?a
2< br>?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc

⑸完全立 方公式：
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3

3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程
ax?b
解的讨论
①当
a?0
时，方程有唯一解
x?
b
；
a
②当
a?0
，
b?0
时，方程无解
③当
a?0
，
b?0
时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次
不等式。
（4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解
集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：
ax
2
?bx?c?0(a?0)

①方程有两个实数根
?

??b?4ac?0

2
?
??0
?
②方程有两根同号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?a
?
?
??0
?
③方程有两根异号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?
a
?
④韦达定理及应用：
x
1
?x
2
??
2
1
2
2
2
bc
,x
1
x
2< br>?

aa
2
?b
2
?4ac
?
< br>x?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2,
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
aa
322
x
1
3
?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
)?(x
1
?x
2
)
?
(x?x)?3x
1
x
2
?
12
??

8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的
数 轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量
y
,
x
间的 关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常数，
k
不等
于0）的形式，则称
y
是
x
的一次函数。②当
b
=0时， 称
y
是
x
的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量
x
与对应的因变量
y
的值分别作为点的横坐标与纵坐标 ，在直角坐
标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0 时，则经1、2、
4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、3象限。
④当
k
?
0时 ，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?
0时，y
的值随
x
值的增大而减少。
（4）二次函数：
b
b
2
4ac?b
2
,

)?
① 一般式：
y?ax?bx?c?a(x?
(
a?0
)，对称轴是
x? ?
2a
2a4a
2
b4ac?b
2
（－,)
； 顶 点是
2a4a
②顶点式：
y?a(x?m)
2
?k
(
a?0
)，对称轴是
x??m,
顶点是
?
?m,k
?；
③交点式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)(
a?0
)，其中（
x
1
,0
），（
x
2
,0
）是抛物线与x轴的
交点
（5）二次函数的性质
①函 数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x??
②
a?0
时，在对称轴 （
x??
b
对称。
2a
bb
）左侧，
y
值随
x
值的增大而减少；在对称轴（
x??
）
2a2a
b
4ac?b
2
右侧；
y
的值 随
x
值的增大而增大。当
x??
时，
y
取得最小值
2a
4a
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
bb< br>）左侧，
y
值随
x
值的增大而增大；在对称轴（
x??
）
2a2a
b
4ac?b
2
右侧；
y
的值随x
值的增大而减少。当
x??
时，
y
取得最大值
2a
4a
9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折 叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那
么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图 形上关于对称轴对称的两点
确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内 ，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互
相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这 个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的

每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10 平面直角坐标系
（1）在平 面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做
x
轴或横轴，铅 直的数轴叫做
y
轴或纵轴，
x
轴与
y
轴统称坐标轴，他们的 公共原点
O
称为
直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设
M(x
1
,y
1
)
，
M
?
(x< br>2
,y
2
)
是直角坐标系内的两点，
①若
M
和
M'
关于
y
轴对称，则有
?
?
x
1< br>??x
2
。
?
y
1
?y
2
②若< br>M
和
M'
关于
x
轴对称，则有
?
?
x
1
?x
2
。
y??y
?
12
?
x
1
??x
2
。
?
y
1
??y
2
③若
M
和
M'
关于原点对称，则有
?
?
x
1
?y
2
④若
M
和
M'
关于直线y?x
对称，则有
?
。
y?x
?
12
⑤若< br>M
和
M'
关于直线
x?a
对称，则有
?
11 统计与概率：
（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成
A?10
的形式，其 中
A
大于等于1小于10，
N
?
x
1
?2a?x< br>2
?
x
2
?2a?x
1
或
?
。 < br>?
y
1
?y
2
?
y
1
?y
2
N
是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体 中的不同部分，扇形的
大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计 图中，每
部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。
（3） 各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计
图：能清楚反映事物 的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百
分比。
（5）平均数： 对于
N
个数
x
1
,x
2
,
算术平均数，记 为
x
。
（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算 这组数据的平
均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。
（7）中位数与众数：①
N
个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间
,x
N，我们把
1
(
x
1
?x
2
?
N
?x
N
)叫做这个
N
个数的

两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这
个组数据的众数。③优劣 比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，
因此在现实生活中常用，但容易受极 端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不
能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果 重复次数大致相等时，众数往往没有特别
的意义。
（8）调查：①为了一定的目的而对考察对 象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对
象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个 体。②从总体中抽取部分个体进行
调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总 体的一个样本。③抽
样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力 ，物力
和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样
时要主要样本的代表性和广泛性。
（9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出 现的次数与总次数的比值
为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制 频数分布直
方图。
（10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。② 方差是各个数据与
平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数 据的
极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。
（11）事件的可能性：①有些事情我 们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些
事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不 可能事件；必然事件和不可能事件都是确
定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为 不确定事件。③一般来说，
不确定事件发生的可能性是有大小的。
（12）概率：①人们通常 用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能
事件发生的可能性。②游戏对双方 公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率
为1，记作
P
（必然事件）< br>?1
；不可能事件发生的概率为
0
，记作
P
（不可能事件）< br>?0
；
如果A为不确定事件，那么
0?P(A)?1