人教版高中数学必修五教学设计 [整书][全套]

人教版高中数学必修五
1.1.1正弦定理
教学目标：
1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三
角 形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般
归纳出正弦定理 ，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正
弦定理解决解斜三角形的两类 基本问题.
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，
增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力.
3．通过学 生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发
现、不畏艰辛的创新品质 ，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣.
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法， 通过平面几何、三角形函数、正弦定
理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证 统一.
教学重点与难点
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用.
教学难点：正弦定理的猜想提出过程.
教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器.
教学过程：
（一）结合实例，激发动机
师生活动：
每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉 吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家
一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？
学生思考片刻，教师引导.
生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似.
师：方法可行吗？
生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行.
师：你有什么想法？
生2：可以再取一个观测点D.
师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？
生2：向前或向后
师：好，模型如图（2）：我们设
?ACB?60?
，< br>?ADB?45?
,CD=10m,那么我们能计算出
AB吗？

生3：由
ABtan45?ABtan30?10
求出AB.
师：很好，我 们可否换个角度，在Rt
?ABD
中，能求出AD,也就求出了AB.在
?ACD中，
已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD，就需要我们来研究三角形中的边角关系.
1
??

人教版高中数学必修五
师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！
生4：直角三角形.
师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？
生5：思考交 流得出，如图4，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

则有
aabbcc
?
，
?
，又
?1?
,
sinAcsinBcsinCc
则
abc
???c

sinAsinBsinC
abc

??
sinAsinBsinC
从而在直角三角形ABC中，
（二）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：那么，在斜三角形中也成立吗？
用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！
但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明
哪？ 前面探索过程对我们有没有启发？
学生分组讨论，每组派一个代表总结.（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生6：思考得出
①在
?ABC
中，成立，如前面检验.
②在锐 角三角形中，如图5设
BC?a
，
CA?b
，
AB?c


作：
AD?BC
，垂足为
D

在
Rt?ABD
中，
sinB?
AD

AB
?AD?AB?sinB?c?sinB

在
Rt?ADC
中，
sinC?
AD

AC
2

人教版高中数学必修五
?AD?AC?sinC?b?sinC

?csinB?bsinC

?
cb
?

sinCsinB
ac
?
< br>sinAsinC
同理，在
?ABC
中，
?
abc
? ?

sinAsinBsinC
③在钝角三角形中，如图6设
?C
为 钝角，
BC?a
，
CA?b
，
AB?c
，作
AD? BC
交
BC
的延长线于
D
.


在
Rt?ADB
中，
sinB?
AD

AB
?AD?AB?sinB?c?sinB

在
Rt?ADC
中，
sin?ACD?
AD

AC
?AD?AC?sin?ACD?b?sin?ACB

?c?sinB?b?sin?ACB

?
cb
?

sin?ACBsinB
ac
?

sinAsinC
同锐角三角形证明可知
?
abc
??
< br>sinAsinBsin?ACB
教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和 它所对角的正弦的比相等，
即
abc
??

sinAsinBsinC
3

人教版高中数学必修五

师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，
那 么同学们能否用向量的知识证明正弦定理？
学生要思考一下.
师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关？
生7：向量的数量积
师：那向量的数量积的表达式是什么？
rrrrrr
生8：
a?b?abcos?a,b?

师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦.
生：利用诱导公式.
uuuruuur
??
师：式子变形为：
CBcos(?A)?CAcos(?B)< br>,
22
师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试！
学生讨论合作，就可以解决这个问题
教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索.
设计意图：经 历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图
让学生体验数学的学习过程 .
（三）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题.
学生：马上得出
在
?ABC
中，
?B?180??A??C?60,
oo
cb
?

sinCsinB
?c?
b?sinC600?sin45?
??200 6m

sinBsin60?
（四）了解解三角形概念
设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
教师：一般地，把三角形的三个角< br>A
、
B
、
C
和它们的对边
a
、
b< br>、
c
叫做三角形的元素，
已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三 角形.
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望.
（五）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题.
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
4

人教版高中数学必修五
bsinA
；
sinB
a
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如
sinA?sinB.
b
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如
a ?
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，
教 师板书的目的是规范解题步骤.
例1：在
?ABC
中，已知∠
A?30?< br>，∠
B?45?
，
a?6
cm，解三角形.
【解析】“已知 三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为
180?
求出第三个角∠C， 再由正弦定理求其他两边.
解：由题意得，∠C=180°-30°-45°=105°
由 正弦定理得，
b?
asinB
?
sinA
6?
1
2
2
2
?62
，
6?2
asinC
4
c???3(6?2)

1
s inA
2
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边长精
6?
确到1cm）.
bsinA28sin40
0
解：根据正弦定理，
sinB???0.8999.

a20
因为
0
0
＜
B
＜
180
0
，所以
B?640
，或
B?116
0
.

（1）当
B?64
0
时，
C?180
0
?(A? B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0< br>，
asinC20sin76
0
c???30
cm
sinA
sin40
0
（2）当
B?116
0
时，
C?180
0
?(A?B)?180
0
?(40
0
?116
0
)?24
0
，
（六）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容.
学生：思考交流，归纳总结.
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（
abc
???2R
）及其证明思想方法.
sinAsinBsinC
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已 知三角形中两
边和其中一边所对的角，求其他元素.
（3）分类讨论的数学思想.


5

人教版高中数学必修五
1.2 应用举例
第1课时 解三角形的实际应用
教学目标
1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)
2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)
教学过程
教材整理1 基线的概念
阅读教材，完成下列问题．
1．定义
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
2．性质
在测量过程中，要根 据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般
来说，基线越长，测量的精确度越高．
教学检测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．( )
(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( )
(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( )
【解析】 (1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．
(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．
(3)×.两个不可到达的点 之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求
得．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 测量中有关角的概念
阅读教材，完成下列问题．
1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平 视线上方
时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1-2-1(1)所示)．
6

人教版高中数学必修五

图1-2-1(1)
2．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时
针方向 向西旋转60°.(如图1-2-1(2)所示)

图1-2-1(2)
教学检测
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东偏北45°的方向就是东北方向．( )
(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．( )
(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北44°方向．( )
【解析】 (1)√，由方向角的定义可知．
(2)√，由仰角与俯角的定义可知．
7

人教版高中数学必修五
(3)×，点Q在点P的南偏西44°.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
类型一 测量距离问题
例1 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝
75°，∠BC D＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．
【精彩点拨】 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角
形．
【解】 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD
＝3 km.

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
∴BC＝
3sin 75°
6＋2
＝.
sin 60°2
在△ABC中，由余弦定理，得AB
2
＝(3)
2
＋
?
＝3 ＋2＋3－3＝5，
∴AB＝5(km)，
∴A，B之间的距离为5 km.
?
6＋2
?
2
－2×3×
6＋2
×cos 75°
?
2
?
2
?
名师指津
三角形中与距离有关的问题的求解策略：
(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个 三角形中，则直接利用正、余弦定理
求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三 角形，再利用正、余弦
定理求解．
(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的 边，分析所解三角形中已知哪
些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
8

人教版高中数学必修五
[再练一题]
1．如图1-2-2，在 河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边
取基线AC，测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离.

图1-2-2
【解】 在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°，
则B＝180°－(A＋C)＝60°，
sin C120sin 75°
由正弦定理，得AB＝AC＝＝20(32＋6)．
sin Bsin 60°
即A，B两点间的距离为20(32＋6)m.
类型2 测量高度问题
例2 (1)如图1-2-3，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知
CD ＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米 B．503米
C．502米 D．50(3＋1)米
9

人教版高中数学必修五

图1-2-3
(2)在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座
塔吊的高是( )
A．20
?
1＋
?
3
?
m B．20(1＋3)m
3
?
C．10(6＋2)m D．20(6＋2)m
【精彩点拨】 (1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否
可解．
(2)解决本题关键是画出示意图．
【解析】 (1)设山高为h，则由题意知CB＝h，D B＝3h，所以3h－h＝100，即h＝
50(3＋1)．
(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20 m，BC＝AD＝20 m.
在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20 m，∴EC＝CD·tan 60°＝203 m，
∴BE＝BC＋CE＝(20＋203)m.选B.
10

人教版高中数学必修五

【答案】 (1)D (2)B
名师指津
解决测量高度问题的一般步骤：
(1)画图：根据已知条件画出示意图．
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相 关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合
运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
[再练一题]
2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图1-2-4所示 ，竖直放置的标杆BC
的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝
1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值.

图1-2-4
11

人教版高中数学必修五
Hh
【解】 由AB＝，BD＝，
tan αtan β
H
AD＝及AB＋BD＝AD，
tan β
得
HhH
＋＝，
tan αtan βtan β
htan α4×1.24
解得H＝＝＝124.
tan α－tan β1.24－1.20
因此电视塔的高度H是124 m.

教学探究 与立体几何有关的测量高度问题
探究1 已知A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测 得山顶C的仰角为45°，
∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平 面的垂足．试画出符合题
意的示意图．
【提示】 用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画
出立体图形，如图所示．
12

人教版高中数学必修五

探究2 在探究1中若要求山高CD怎样求解？
【提示】 由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利 用正弦定理求出AD的长，
然后在Rt△ACD中求出CD.

图1-2-5
例3 如图1-2-5，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在
同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别
是45° 和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
h
【精彩点拨】 利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝3h，然后
tan 30°
在△BCD中利用余弦定理求解．
【解】 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若 设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB
＝30°，则BD＝3h.
在△BCD中，由余弦定理可得
13

人教版高中数学必修五 < br>CD
2
＝BC
2
＋BD
2
－2·BC·BD·cos ∠CBD，
3
即200
2
＝h
2
＋(3h)
2< br>－2·h·3h·，
2
所以h
2
＝200
2
，解得 h＝200(h＝－200舍去)，
即塔高AB＝200米．
名师指津
测量高度问题的两个关注点
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的 问题，因此先要选好所求线段
所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[再练一题]
3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两 观测点，在
甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、 乙两
地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( )
A．1002 m B．400 m
C．2003 m D．500 m
【解析】 由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，
在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD
2
＝BC
2
＋CD
2
－2BC·CDcos
∠BCD，得3h
2
＝h
2
＋500
2
＋500h，解得h＝500(m)．

【答案】 D
当堂检测
1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观
测的仰角为40°，用d
1
，d
2
分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么 有( )
A．d
1
>d
2
B．d
1
2

14

人教版高中数学必修五
C．d
1
>20 m D．d
2
<20 m
【解析】 如图，设旗杆高为h，
hh
则d
1
＝，d
2
＝.
tan 50°tan 40°
因为tan 50°>tan 40°，所以d
1
2
.

【答案】 B
2．如图1-2-6，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝1 00米，从C，D两点测得A点仰
角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )

图1-2-6
A．503米 B．1003米
C．50米 D．100米
【解析】 因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
所以△ADC为等腰三角形，
15

人教版高中数学必修五
所以AC＝DC＝100米，
在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝503米．
【答案】 A
3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出
发点恰好为3 km，那么x的值为( )
A.3 B．23
C．23或3 D．3
【解析】 如图，在△ABC中由余弦定理得

3＝9＋x
2
－6xcos 30°，
即x
2
－33x＋6＝0，解之得x＝23或3.
【答案】 C
4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.
【解析】 过点A作AH⊥BC于点H，
16

人教版高中数学必修五

由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，
则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝2003 m.
故两船距离BC＝BH＋CH＝200(3＋1)m.
【答案】 200(3＋1)
5．如图1-2-7所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到
达对 岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若
此人在地面上选 一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：
∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.

图1-2-7
请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．
【解】 第一步：在△AEF中，利用正弦定理，
17

人教版高中数学必修五
得
AEEF
＝，
sin β
sin(180°－α－β)
asin β
解得AE＝.
sin(α＋β)
第二步：在△CEF中，同理可得
asin φ
CE＝.
sin(θ＋φ)
第三步：在△ACE中，利用余弦定理，
得AC＝AE
2
＋CE
2
－2AE·CE·cos γ
＝

a
2
sin
2
β
a
2
sin
2
φ
a
2
sin βsin φcos γ
＋－2.
sin
2
(α＋β)sin
2
(θ＋φ)si n(α＋β)sin(θ＋φ)

18

人教版高中数学必修五
§2.1 数列的概念与简单表示法
教学目标：
了解数列的递推公式，明确递推公 式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数
列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用 意识.
教学重点：
1.数列的递推公式.
2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.
教学难点：
理解递推公式与通项公式的关系.
教学过程：
Ⅰ.讲授新课
我们为什么 要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数
列的问题，学习它，研究它， 主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好
地服务.也就是说，我们所学知识都来源于 实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨
有关数列的问题.
首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.
模型一：自上而下：
第一层钢管数为4；即：1
?
4＝1＋3,
第二层钢管数为5；即：2
?
5＝2＋3
第三层钢管数为6；即：3
?
6＝3＋3,
第四层钢管数为7；即：4
?
7＝4＋3
第五层钢管数为8；即：5
?
8＝5＋3,
第六层钢管数为9；即：6
?
9＝6＋3
第七层钢管数为10；即：7
?
10＝7＋3
若用a
n
表 示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一
数列，即：4，5，6，7 ，8，，9，10，且a
n
＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)
同学们运用每一层的 钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运
用这一关系，会很快捷地求出每一层的 钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.
19

人教版高中数学必修五
模型二：自上而下
第一层钢管数为4；
第二层钢管数为5＝4＋1；
第三层钢管数为6＝5＋1；
第四层钢管数为7＝6＋1；
第五层钢管数为8＝7＋1；
第六层钢管数为9＝8＋1；
第七层钢管数为10＝9＋1.
即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.
若用a
n
表示每一层的钢管数，则a
1
＝4；
a
2
＝5＝4＋1＝a
1
＋1；a
3
＝6＝5＋1＝a
2＋1；
a
4
＝7＝6＋1＝a
3
＋1；a
5
＝8＝7＋1＝a
4
＋1；
a
6
＝9＝8＋1＝a
5＋1；a
7
＝10＝9＋1＝a
6
＋1；
即：a
n< br>＝a
n
－
1
＋1(2≤n≤7，n∈N*)
对于上述所求关 系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这
一关系，咱们把它称为递推关系 ，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式
1.定义
递推公式：如果已知数列{an
}的第1项(或前n项)，且任一项a
n
与它的前一项a
n
－
1
(或前
n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推 公式.
说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a
n
与它的前一项a
n< br>－
1
（或前n项）的关系，
也是给出数列的一种重要方法.
下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.
2.例题讲解
1
例1 已知数列{a
n
}的第1项是1，以后的各项由公式a
n
＝1＋ 给出，写出这个数列的前
a
n
－
1
5项.
113158
解：据题意可知：a
1
＝1，a
2
＝1＋ ＝2，a
3
＝1＋ ＝ ，a
4
＝1＋ ＝ ，a
5
＝ .
a
1
a
2
2a
3
35
例2 已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
2
＝2，a
n
＝3 a
n
－
1
＋a
n
－
2
(n≥3)，试写出 数列的前4项.
解：由已知得a
1
＝1，a
2
＝2，a
3
＝3a
2
＋a
1
＝7，a
4
＝3a
3＋a
2
＝23
Ⅱ.课堂练习
20

人教版高中数学必修五
写出下面数列{a
n
}的前5项.
1.a
1
＝5，a
n
＝a
n
－
1
＋3(n≥2)
解法一：a
1
＝5；a
2
＝a
1
＋3＝8； a
3
＝a
2
＋3＝11；a
4
＝a
3
＋3＝14；
a
5
＝a
4
＋3＝17.
评析：由已知中 的a
1
与递推公式a
n
＝a
n
－
1
＋3( n≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是
递推公式的最基本的应用.
是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？
请同学们再仔细观察此递推公式. 解法二：由a
n
＝a
n
－
1
＋3(n≥2)，得an
－a
n
－
1
＝3
则a
2
－a1
＝3，a
3
－a
2
＝3，a
4
－a
3
＝3，a
5
－a
4
＝3，……，a
n
－
1
－a
n
－
2
＝3，a
n
－a
n
－
1
＝3
将上述n－1个式子左右两边分别相加，便可得a
n
－a
1
＝3(n－1)，即a
n
＝3n＋2(n≥2)
又由a
1
＝5满足上式，
∴a
n
＝3n＋2(n≥1)为此数列的通项公式.
2.a
1＝2，a
n
＝2a
n
－
1
(n≥2)
解法一 ：由a
1
＝2与a
n
＝2a
n
－
1
(n≥ 2)
得：a
1
＝2，a
2
＝2a
1
＝4，a3
＝2a
2
＝8，a
4
＝2a
3
＝16，a< br>5
＝2a
4
＝32.
a
n
解法二：由a
n
＝2a
n
－
1
(n≥2)，得 ＝2(n≥2)，且a
1
＝2
a
n
－
1
a
n
－
1
a
2
a
3
a
4
a
n
则： ＝2， ＝2， ＝2，…… ＝2， ＝2
a
1
a
2
a
3
a
n
－
2
a
n
－
1
若将上述n－1个式子左右两边分别相乘，便可得
即：a
n
＝2
n
(n≥2)，又由a
1
＝2满足上式
∴a
n
＝2
n
(n≥1)为此数列的通项公式.
∴a2
＝2
2
＝4，a
3
＝2
3
＝8，a
4
＝2
4
＝16，a
5
＝2
5
＝32.
1
3.a
1
＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋ (n≥2)
a
n
－
1
1
解：由a
1＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋ (n≥2),
a
n
－
1
1
得a
1
＝1，a
2
＝ a
1
＋ ＝2,
a
1
15
a
3
＝a
2
＋ ＝ ,
a
2
2
a
n
－
＝2
n
1

a
1
21

人教版高中数学必修五
15229
a
4
＝a
3
＋ ＝ ＋ ＝ ,
a< br>3
2510
12910941
a
5
＝a
4
＋ ＝ ＋ ＝
a
4
1029290
Ⅲ.课时小结
这节课我们主要 学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.
另外，还要注意它与通项公式的区 别在于：
1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间< br>的关系.
2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推 公式则
要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他的项.



22

人教版高中数学必修五
2.2 等差数列
教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式 ；能在具
体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导 ，归纳抽象出
等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列
通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数
列相 应问题的研究.
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.
教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公 式解决一些
简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
学法与教学用具
学法：引 导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、
储蓄问题）概括出数组 特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差
数列的通项公式；可以用多种方法对 等差数列的通项公式进行推导.
教学用具：投影仪
教学设想
创设情景
上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以
后会接触得比较 多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习
一类特殊的数列.
探索研究
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样 数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5，____,____,____,____, ……
2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级
23

人教版高中数学必修五
别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.
水库的管理人员为了保证优质鱼 类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如
果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位 降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算
起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成 数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，
8，5.5
我国现行储蓄制度规定银 行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一
期的利息.按照单利计算本利和的公式是： 本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存
入10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
年初本金（元）
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
年末本利和（元）
10 072
10 144
10 216
10 288
10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360.
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；
由学生归纳和概括出，以上四个数 列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常
数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点 ）.
等差数列的概念
24

人教版高中数学必修五
对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，
尝试着给等差数 列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常< br>数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.那 么对于以上四组等差数列，它
们的公差依次是5，5，-2.5，72.
提问：如果在
a
与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差 数列数列，那么A应满足什么
条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
A?
a?b

2由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的
等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前
一项与 后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
看来，
a
2
?a
4
?a
1
?a
5
,a
4
?a
6< br>?a
3
?a
7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

等差数列的通项公式
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我 们接下来要学
习的内容.
⑴我们是通过研究数列
{a
n
}
的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由
同学们根据通项公式的定义，写出这四组 等差数列的通项公式.
由学生经过分析写出通项公式：
① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20
25

人教版高中数学必修五
（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到 这个数列的通项公式是
a
n
?5n

② 这个数列的第一项是48 ，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项
是63（=48+5×3） ，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
?48?5(n?1)
.
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2. 5×2），第
4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是 5.5（=18-2.5×5）由此可以猜
想得到这个数列的通项公式是
a
n
?18?2.5(n?1)
.
④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（ =10172+72），第3项是10216
（=10072+72×2），第4项是10288（=1 0072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由
此可以猜想得到这个数列 的通项公式是
a
n
?10072?72(n?1)
.
⑵那么，如果 任意给了一个等差数列的首项
a
1
和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

所以
a
2
?a
1
?d,


a
3
?a
2
?d,


a
4
?a
3
?d,

……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
a
2
?a
1
?d,


a
3
?a
2
?d?(a
1
?d)?d?a?2d,


a
4
?a
3
?d?(a
1
?2d)?d?a?3d,

……
26

人教版高中数学必修五
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以a
1
为首项，d为公差的等差数列
{a
n
}
的通项公式为：
a
n
?a
1
?(n?1)d

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项
a
1
和公差d，那么这个等差数列的通项< br>a
n
就
可以表示出来了.
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）：
{a
n
}
是等差数列，所以
a
n
?a
n?1
?d,


a
n?1
?a
n?2
?d,


a
n?2
?a
n?3
?d,

……

a
2
?a
1
?d,

两边分别相加得
a
n
?a
1
?(n?1)d,

所以
a
n
?a
1
?(n?1)d

（迭代法）：
{a
n
}
是等差数列，则有
a
n
?a
n?1
?d


?a
n?2
?d?d


?a
n?2
?2d


?a
n?3
?d?2d


?a
n?3
?3d

……

?a
1
?(n?1)d

所以
a
n
?a
1
?(n?1)d

例题分析
例1：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等
27

人教版高中数学必修五
差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中
的 项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义.
解：⑴由
a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，得
a
20
?8?(21? 1)?(?3)??49

⑵由
a
1
=-5，d=-9-（ -5）=-4，得这个数列的通项公式为
a
n
??5?4(n?1)??4n?1,< br>由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立.
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.
例题评述：从该例题中可 以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于
a
n
、
a
1
、d、
n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的
项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就
不是数列中 的项.
例2：某市出租车的计价标准为1.2元km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米 ）
计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘 客需要支付1.2
元.所以，我们可以建立一个等差数列
{a
n
}
来 计算车费.
令
a
1
=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2.那 么当出租车行至14km处时，n=11，
此时需要支付车费
a
11
?11 .2?(11?1)?1.2?23.2(元)

答：需要支付车费23.2元.
例 题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象
出等差数列模型，用 等差数列的知识解决实际问题.
例3：已知数列
{a
n
}
的通项公 式为
a
n
?pn?q,
其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列
一定是等差数列吗？
【解析】判定
{a
n
}
是不是等差数列，可以 利用等差数列的定义，也就是看
a
n
?a
n?1
（n
＞1） 是不是一个与n无关的常数.
解：取数列
{a
n
}
中的任意相邻两 项
a
n
与a
n?1
（n＞1），
28

人教版高中数学必修五
求差得
a
n
?a
n?1
?(pn?q)?[p{n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q]?p

它是一个与n无关的数.
所以
{a
n
}
是等差数列.
这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项
a
1
?p ?q,公差d?p
.由此我们可以知道对于通项公式是形如
a
n
?pn?q< br>的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述： 通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通
项公式是关于正整数n的 一次型函数，那么这个数列必定是等差数列.
随堂练习
“练习”第1题；第2题.
课堂小结
本节主要内容为：
①等差数列定义：即
a
n
? a
n?1
?d
(n≥2)
②等差数列通项公式：
a
n?
a
1
?(n?1)d
(n≥1)
推导出公式：
a
n
?a
m
?(n?m)d



29

人教版高中数学必修五
2.3 等差数列的前n项和
教学目标：
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的 前n项和公式解决一些简单
的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.
教学重点：
等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.
教学难点：
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：
（1）a
n
－a
n< br>－
1
＝d(n≥1)，d为常数.
a＋b
（2）若a，A，b为等差数列，则A＝ .
2
（3)若m＋n＝p ＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
.（其 中m，n，p，q均为正整数）
Ⅱ.讲授新课
随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.
例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下 面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着 多少支铅笔?

这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此 图，大
家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，
利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又
该如何解决 呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
30

人教版高中数学必修五
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？
高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，
第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，
100
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101× ＝5050.
2
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1， 2，3，…，
n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来 表示，
且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差
数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.
设等差数列{an
}的前n项和为S
n
，即S
n
＝a
1
＋a< br>2
＋…＋a
n

把项的次序反过来，S
n
又可写成S
n
＝a
n
＋a
n
－
1
＋…＋a
1
①＋②
?
2S
n
＝(a
1
＋a
n
)＋(a
2
＋a
n
－
1
)＋…＋(a
n
＋ a
1
)
又∵a
2
＋a
n
－
1
＝ a
3
＋a
n
－
2
＝a
4
＋a
n< br>－
3
＝…＝a
n
＋a
1

∴2S
n
＝n(a
1
＋a
n
)
n（a
1
＋a
n
）
即：S
n
＝
2
若根据等差数列{a
n
}的通项公式，S
n
可写为：S
n
=a
1
+(a
1
+d)+…+[a
1
+(n－1 )d]①,把项的次
序反过来，S
n
又可写为：S
n
=a
n
+(a
n
－d)+…+[a
n
－(n－1)d] ②,把①、②两边分别相加，得
n个
???????????????
2S
n
＝
(a
1
?a
n
)?(a
1
?a
n
)?????(a
1
?a
n
)
＝n(a
1＋a
n
)






①

②
n（a
1
＋a
n
）
即：S
n
＝ . < br>2
n（a
1
＋a
n
）
由此可得等差数列{a
n
}的前n项和的公式S
n
＝ .
2
也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
用这个公式 来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S
100
＝
又∵a
n
＝a
1
+(n－1)d,
n（a
1
＋a
n
）n[a< br>1
＋a
1
＋（n－1）d）]n（n－1）
∴S
n
＝ ＝ ＝na
1
＋ d
222
n（a
1
＋a
n）n（n－1）
∴S
n
＝ 或S
n
＝na
1
＋ d
22
有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？
分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，
31
100（1＋100）
＝5050.
2

人教版高中数学必修五
可记为{a
n
}，其中a
1
＝1，a
120
＝120，n＝120.
解：设自上而下各层的 铅笔成等差数列{a
n
}，其中n＝120，a
1
＝1，a
120< br>＝120.
120（1＋120）
则：S
120
＝ ＝7 260
2
答：这个V形架上共放着7 260支铅笔.
下面我们再来看一例题：
等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?
分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公
式求解.
解：设题中的等差数列为{a
n
}，前n项为的S
n
，
由 题意可知：a
1
＝－10，d＝(－6)－(－10)＝4，S
n
＝54
由等差数列前n项求和公式可得：
n（n－1）
－10n＋ ×4＝54
2
解之得：n
1
＝9，n
2
＝－3(舍去)
答：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54.
例题讲解：
例1：在等差数列{a
n
}中，
（1）已知a
2
＋a5
＋a
12
＋a
15
＝36，求S
16

（2）已知a
6
＝20，求S
11
.
【分析】（1）由于 本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a
1
，a
16
，d，但由等差< br>数列的性质，可以直接利用条件求出a
1
＋a
16
的和，于是问题得以 解决.
（2）要求S
11
只需知道a
1
＋a
11
即可，而a
1
与a
11
的等差中项恰好是a
6
，从而问题获 解.
解：（1）∵a
2
＋a
15
＝a
5
＋a12
＝a
1
＋a
16
＝18
16（a
1
＋a
16
）
∴S
16
＝ ＝8×18＝144.
2
（2）∵a
1
＋a
11
＝2a
6

11（a
1
＋a
11
）
∴S
11
＝ ＝11a
6
＝11×20＝220.
2
例2：有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
解 ：解法一：设该数列的首项为a
1
，公差为d，奇数项为a
1
，a
1
＋2d，…其和为S
1
，共
n＋1项；偶数项为a
1
＋d， a
1
＋3d，a
1
＋5d，…，其和为S
2
，共n项
32

人教版高中数学必修五
1
（n＋1）a
1
＋ （n＋1）[（n＋1）－1]2d
2
n＋1
S
1
∴ ＝ ＝ .
S
2
1n
n（a
1
＋d）＋ n（n－1）2d
2
解法二：由解法一知：
（n＋1）（a
1
＋a
2n
＋
1
）n（a
2
＋a
2n
）
S
1
＝ ，S
2
＝
22
S
1
n＋1< br>∵a
1
＋a
2n+1
＝a
2
＋a
2n
∴ ＝
S
2
n
例3：若两个等差数列的前n项和之 比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.
解：解法一：设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，数列{b
n
}的前n项和为T
n.
a
1
＋a
21
b
1
＋b
21则：a
11
＝ ，b
11
＝ ,
22
a
1< br>＋a
21
a
1
＋a
21
·21
227×21＋1
a
11
S
21
4
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
b
11
b
1
＋b
21
T
21
4× b
1
＋b
21
21＋27
3
·21
22
解法二：由题设，令S
n
＝(7n＋1)·nk，T
n
＝(4n＋27)· nk[
由a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝k(14n－6)，得a
11
＝148k，n≥2
b
n
＝T< br>n
－T
n
－
1
＝k(8n－23)，得b
11
＝111k，n≥2,
∴
a
11
148k4
＝ ＝
b
11
111k3
评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{a
n< br>}和{b
n
}的前n项和分别为S
n
和T
n
，
则：
S
2n
－
1
2n－1S
2m
－
1
a
n
a
m
（1） ＝ ；(2) ＝ ·
b
n
T
2n
－
1
b
n
2m－1T
2n－
1
例4：等差数列{a
n
}的前m项和为30，前2m项和为100， 则它的前3m项和为（ ）
A.30 B.170 C.210 D.260
【解析】解法一：取m＝1，则a
1
＝S
1
＝30，a
2
＝S
2
－S
1
＝70 < br>∴d＝a
2
－a
1
＝40，a
3
＝a
2＋d＝70＋40＝110，S
3
＝a
1
＋a
2
＋a< br>3
＝210
解法二：由已知，得
?
?
?
m（m－ 1）
S
m
＝ma
1
＋ d＝30
2

2m（2m－1）
S
2m
＝2ma
1
＋ d＝100
2
102040
解得a
1
＝ ＋
2
，d＝
2

mmm
33

人教版高中数学必修五
3m（3m－1）
∴S
2m
＝3ma
1
＋ d＝210.
2
（a＋a）＝60 ①
?
m
m（a＋a）＝100 ②
解法三：由已知得
?

3m（a＋a）＝2S ③
?
a－a＝a－a ④
1
1
m
2m
13m3m
3m2m2mm
由③－②及②－①结合④，得S
3m
＝210.
解法四：根据上述性质，知 S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
成等差数列.
故S
m
＋(S
3m
－S
2m
)＝2(S
2m
－S
m
),
∴S
3m
＝3(S
2m
－S
m
)＝210.
解法五：∵{a
n
}为等差数列，
∴设S
n
＝a·n
2
＋b·n,
∴S
m
＝am
2
＋bm＝30，S
2m
＝4m
2
a＋2mb＝10 0
得a＝
2010
，b＝
2
mm
∴S
3m
＝9m
2
a＋3mb＝210.
n（n－1）n－1
S
n
解法六：由S
n
＝na
1
＋ d，即 ＝a
1
＋ d
2n2
S
n
S
m
S
2m
S
3m
由此可知数列{ }也成等差数列，也即 ， ， 成等差数列.
nm2m3m
由
S
2m
S
m
S3m
＝ ＋ ，S
m
＝30，S
2m
＝100
2mm3m
∴S
3m
＝210
【答案】C
S
p
－S
q
S
p
＋
q
评述：一般地，对于等差数列{a
m
}中，有 ＝ (p≠q).
p－qp＋q
例5：在a，b之间插入1 0个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.
解：解法一：设插入的10个数依次为x
1
，x
2
，x
3
，…，x
10
，则a，x
1
，x
2
，…，x
10
，b
成等差数列.
令S＝x
1
＋x
2
＋x
3
＋…＋x
10
，需求出首项x
1
和公差d.
∵b＝a
12
＝a
1
＋11d
b－ab－a10a＋b
∴d＝ ，x
1
＝a＋ ＝
11111 1
10a＋b
10×10×99
b－a
∴S＝10x
1
＋ d＝10· ＋ · ＝5(a＋b)
211211
解法二：设法同上，但不求d.依x1
＋x
10
＝a＋b.
34

人教版高中数学必修五
10（x
1
＋x
10
）
∴S＝ ＝5(a＋b)
2
解法三：设法同上，正难则反
12（a＋b）
∴S＝S
12
－(a＋b)＝ －(a＋b)＝5(a＋b)
2
评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用.
例6：在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是
120°，试问它是几边形？
解：设这是一个n边形，则
?
?
S
m
＝n×120
0
＋
n（n－1）
·5
0
＝（n－2）×180
0
2
?

?
120
0
＋（n－1）·5
0
＜180
0
?
?n
2
－25n＋144＝0

?
n＝9
?
?
n＜13
?
所以这是一个九边形.
Ⅲ.课堂练习
课本练习1，2.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:
n（a
1
＋a
n
）n（n－1）
S
n
＝ ＝na
1
＋ d及其获取思路.
22
Ⅴ.课后作业
课本习题.






35

人教版高中数学必修五
2.3 等差数列的前n项和(二)
从容说课
“等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通 项公式
和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会
利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S
n
的最值，学会其常用的数学方法和体现出< br>的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列
的前 n项和公式的认识更为深刻.
通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列 与函数、数列与不
等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和 问题
的思路和方法，体会数学思想方法的运用.
在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经 历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、
交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学 习并能积极地发展自己的能力.
教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.
教学难点 灵活应用求和公式解决问题.
教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等
三维目标
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S
n
的最值.
二、过程与方法
1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；
2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.
三、情感态度与价值观
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活， 又服务于生活的实用
性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.
教学过程
导入新课
36

人教版高中数学必修五
师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.
生 我们上一节课学习了等差数列的前n项和的两个公式：
(1)
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
；(2)
S< br>n
?na
1
?
.
22
师 对，我们上一节课学习了 等差数列的前n项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了
求和问题的一些方法，本节课我们继续围 绕等差数列的前n项和的公式的内容来进一步学习
与探究.
推进新课
［合作探究］
师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同学们将
求和 公式写成关于n的函数形式.
生 我将等差数列{a
n
}的前n项和的公式
S
n
?na
1
?
n(n?1)d
整理、变形得到：
2
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)
n.(*)
22
师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢?
生1 能，(*)式就是关于n的二次函数.
生2 不能，(*)式不一定是关于n的二次函数.
师 为什么?
生2 若等差数列的公差为0， 即d=0时，(*)式实际是关于n的一次函数!只有当d≠0时，(*)
式才是关于n的二次函数.
师 说得很好!等差数列{a
n
}的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函 数.我来问一
下：这函数有什么特征?
生 它一定不含常数项，即常数项为0.
生 它的二次项系数是公差的一半.
……
师 对的，等差数列{a
n
}的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前
n项和为n的一次函数或二次函数，则这数 列一定是等差数列吗?
生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.
师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?
37

人教版高中数学必修五
生 当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以 它的图象是位于一条直线上的离散的点列，
当d≠0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函 数
y?
一群孤立的点.这些点的坐标为(n,S
n
)(n=1，2，3，…) .
师 说得很精辟.
［例题剖析］
例 (课本第45页例4)已知等差数列
5，4
d
2
d
x?(a
1
?)x
的图象上 的
22
24
，3，…
77
的前n项和为S
n
，求使得S
n
最大的序号n的值.
分析:等差数列{a
n
}的前n项和公式可以写成
S
n
?< br>d
2
d
n?(a
1
?)n
，所以S
n
可以看成函数
22
y?
d
2
d
x?(a
1
?)x
(x∈N
*
)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道S
n
关于n的图象是一
22
条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课 本第45页)
师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.
生 它的首项为5，公差为
?
5
.
7
师 对，它的首项为正数，公差小 于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出
现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小， 在这样的情况下，同学们是否会产生新的解
题思路呢？
生 老师，我有一种解法：先求出它的 通项，求得结果是a
n
=a
1
+(n-1)d=
?
540< br>n?
.
77
我令
a
n
?
540
n ?
≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a
8
=0，而a
9
＜0. 从而便可以发现S
7
=S
8
，
77
从第9项和S
n
开始减小，由于a
8
=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的
前7项或8项的和最大.
师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化
情况.
［方法引导］
38

人教版高中数学必修五
师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：
①当等差数列{a
n
}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什
么来求达到最值 时的n的值?
?
a
n
?0
生 S
n
有最大值，可通过
?
求得n的值.
a?0
?
n?1
师 ②当等差数列{a
n
}的首项不大于零 ，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通
过什么来求达到最值时的n的值?
?
a
n
?0
生 S
n
有最小值，可以通过
?
求得n的值.
a?0
?
n?1
［教师精讲］
好!有了这种方法再结合前面的函数 性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题
就有法可依了.主要有两种：
(1)利用a
n
取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；
(2)利用S
n
：由
S
n
?
d
2
d
n?(a< br>1
?)n
利用二次函数求得S
n
取最值时n的值.
22
课堂练习
请同学们做下面的一道练习：
已知：a
n
=1 024+lg2
1-
n
(lg2=0.3 01 0)n∈N
*
.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？
(让一位学 生上黑板去板演)
解：1°
?
?
a
n
?1024?(1? n)lg2?0
10241024
?＜n?
+1
?
3 401＜n＜3 403.
lg2lg2
?
a
n?1
?1024? nlg2＜0
所以n=3 402.
2°S
n
=1 024n+
n(n?1)
(-lg2)，当S
n
=0或S
n
趋近于0时其和绝对值最小，
2
令S
n
=0，即1 024+
n(n?1)
2048
(-lg2)=0,得n =
+1≈6 804.99.
lg2
2
因为n∈N
*
，所以有n=6 805.
(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)
［合作探究］
师 我们大家再一起来看这样一个问题：
39

人教版高中数学必修五
全体正奇数排成下表：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
…… ……
此表的构成规律是：第n 行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后
一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?
师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞 赛和高考中，成为出
题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现 告诉我.
生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有
n(n?1)
个奇数.
2
师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.
生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×
生3 我得到第n行的第一个数是 (n
2
+n-1)-2(n-1)=n
2
-n+1.
师 现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?
生4 我设n
2
-n+1≤2 005≤n
2
+n-1，
解这不等式组便可求出n=45，n
2
-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=
1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.
师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思
路.从整体上把 握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.
课堂小结
本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容?
生1
我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S
n
的最值的方法：
①利用a
n
：当a
n
＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由a
n
≥0，且a
n+1
≤0，求得n的值；当a
n
≤0，
d＞0 ，前n项和有最小值.可由a
n
≤0，且a
n+1
≥0，求得n的值.
n(n?1)
-1=n
2
+n-1.
2
40

人教版高中数学必修五
②利用S
n
：由S
n
=
d
2
d
n+(a
1
-)n利用二次函数求得S
n
取最值时n的值.
22
生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究 ，学习了从整体上把握等差数列
的性质来解决问题的数学思想方法.
师 本节课我们在熟练掌 握等差数列的通项公式和前n项和公式的基础上，进一步去了解了
等差数列的一些性质，并会用它们解决 一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思
想，从而使我们从等差数列的前n项和公式的结构特 征上来更深刻地认识等差数列.
布置作业
课本第46页习题2.3 A组第5、6题.
预习提纲：
①什么是等比数列？
②等比数列的通项公式如何求？
板书设计
等差数列的前n项和(二)
S
n
与函数的联系 例4
求S
n
最值的方法 学生练习
数表问题


41

人教版高中数学必修五
§2.4 等比数列(一)
教学目标
1．理解等比数列的定义．(重点)
2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)
3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 等比数列的定义
阅读教材，完成下列问题．
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这 个数列就叫
做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
a
n
＋
1
＝q(q为常数，q≠0，n∈N
*
)．
a
n
2．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G
2
＝ab.
随手练
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列一定是等比数列．( )
(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．( )
(3)等比数列中的项可以为零．( )
(4)若a，b，c三个数满足b
2
＝ac，则a，b，c一定能构成等比数列．( )
【解析】 (1)×.因为各项均为0的常数列不是等比数列．
(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列．
(3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0.
(4)×.因为等比数列各项不能为0； 若a，b，c成等比数列，则b
2
＝ac，但是反之不成立，
比如：a＝0，b＝0， c＝1，则a，b，c就不是等比数列．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
42

人教版高中数学必修五
教材整理2 等比数列的通项公式
阅读教材，完成下列问题．
1．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{a< br>n
}的第n项a
n
，有公式a
n
＝a
1
q< br>n
1
.这就是等比数列{a
n
}的通项
公式，其中a
1
为首项，q为公比．
2．等比数列与指数函数的关系
a
1
n< br>a
1
x
a
1
等比数列的通项公式可整理为a
n
＝·q，而y＝·q(q≠1)是一个不为0的常数与指数
qqq
a
1
n< br>a
1
x
函数q
x
的乘积，从图象上看，表示数列·q中的各项 的点是函数y＝·q的图象上的孤立
qq
点．
随手练
1．在等比数列{a
n
}中，a
1
＝4，公比q＝3，则通项公式a
n
＝___ _____.
【解析】 a
n
＝a
1
q
n
1＝4·3
n
1
.
【答案】 4·3
n
1
< br>1
2．已知{a
n
}是等比数列，a
2
＝2，a
5< br>＝，则公比q＝________.
4
【解析】 ∵a
2
＝a
1
q＝2，①
1
a
5
＝a
1
q
4
＝，②
4
11
∴②÷①得：q
3
＝，∴q＝.
82
1
【答案】
2
3．在等比数列{a
n
}中 ，已知a
2
＝3，a
5
＝24，则a
8
＝________ __________.
－
－－
－
?
?
?
a1
＝
2
，
?
a
2
＝a
1
q＝ 3，
?
【解析】 由得
?
?
a
5
＝a
1< br>q
4
＝24，
?
?

3
?
q＝2，


3
7
所以a
8
＝×2＝192.
2
【答案】 192
教学探究
类型1
例1 (1)下列数列是等比数列的是( )
A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…
B．－1,1，－1,1，－1，…
43
等比数列的判断与证明

人教版高中数学必修五
C．0,2,4,6,8,10，…
D．a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，…
(2)已知数列{a
n
}的前n项 和S
n
＝2－a
n
，求证：数列{a
n
}是等比数列.
【精彩点拨】 (1)利用等比数列的定义判定．
(2)先利用S
n
与a< br>n
的关系，探求a
n
，然后利用等比数列的定义判定．
【解析】 (1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.
B．由等比数列定义知该数列为等比数列．
C．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．
D．当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列．
【答案】 B
(2)证明：∵S
n
＝2－a
n
，
∴S
n
＋
1
＝2－a
n
＋
1
，
1
∴a
n
＋
1
＝S
n
＋
1
－S
n
＝(2－a
n
＋
1
)－(2－a
n
)＝a
n
－a
n
＋
1
，∴a
n
＋
1
＝a
n
.
2
又∵S
1
＝2－a
1
，
∴a
1
＝1≠0.
1
又由a
n
＋
1＝a
n
知a
n
≠0，
2
∴
a
n
＋
1
1
＝，
a
n
2
∴{a
n
}是等比数列．
名师指津
判断一个数列{a
n
}是等比数列的方法：
(1)定义法：若数列{an
}满足
零)，则数列{a
n
}是等比数列．
(2)等比中项 法：对于数列{a
n
}，若a
2
a
n
＋
2
且a
n
≠0，则数列{a
n
}是等比数列．
n
＋
1
＝a
n
·
(3)通项公式法：若数列{a
n
}的通项公式 为a
n
＝a
1
q
n
1
(a
1
≠0 ，q≠0)，则数列{a
n
}是等比数
列．
[再练一题]
1?
1．已知数列{a
n
}是首项为2，公差为－1的等差数列，令b
n< br>＝
?
?
2
?
a
n
，求证数列{b
n
}是等比数
列，并求其通项公式．
【证明】 由已知得，a
n
＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
－
a
n< br>＋
1
a
n
＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为
a
n
a
n
－
1
44

人教版高中数学必修五
?
1
?
3
－
n
＋
1
b
n
＋
1
?
2
?
1
?
3
－
(
n
＋
1)
－
3＋
n
故＝＝
?

?
2
?
b
n
?
1
?
3
－
n
?
2
?
1
?
－
1
＝
?
?
2
?
＝2，
∴数列{b
n
}是等比数列．
1
?
3
－
1
1
∵b
1
＝
?
?
2
?
＝
4
，
1
?
n
－
1
n
－
3∴b
n
＝
?
?
4
?
×2＝2.
类型2 等比中项
1
例2 (1)等比数列{a
n
}中，a
1
＝，q＝2，则a
4
与a
8
的等比中项是( )
8
11
A．±4 B．4 C．± D.
44
(2) 已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a
2
＋b
2
与b
2
＋c
2
的等比中项．
【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项．
(2)证明(ab＋bc)
2
＝(a
2
＋b
2
)(b
2
＋c
2
)即可．
1
n
－
1
n
－
4
【解析】 (1)由a< br>n
＝·2＝2知，a
4
＝1，a
8
＝2
4
， 所以a
4
与a
8
的等比中项为±4.
8
【答案】 A
(2)证明：b是a，c的等比中项，则b
2
＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a
2
＋b
2
)(b
2
＋c
2
)＝ a
2
b
2
＋a
2
c
2
＋b
4＋b
2
c
2
＝a
2
b
2
＋2a
2
c
2
＋b
2
c
2
，
(ab＋bc)
2
＝a
2
b
2
＋2ab
2
c＋b
2
c
2
＝a
2
b
2
＋2a
2
c< br>2
＋b
2
c
2
，所以(ab＋bc)
2
＝( a
2
＋b
2
)·(b
2
＋c
2
)，即ab＋bc是a
2
＋b
2
与b
2
＋c
2
的等比中项．
名师指津
等比中项应用的三点注意：
Gb
(1)由等比 中项的定义可知＝
?G
2
＝ab?G＝±ab，所以只有a，b同号时，a，b的aG
等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起， 每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后
一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G
2
＝ab(ab>0)．
[再练一题]
2．设等差数列{a
n
}的公差d不为0，a
1＝9d，若a
k
是a
1
与a
2k
的等比中项，则k等于 ( )
A．2
C．6
45
B．4
D．8

人教版高中数学必修五
【解析】 ∵a
n
＝(n＋8)d，又∵a
2
a
2k
，
k< br>＝a
1
·
∴[(k＋8)d]
2
＝9d·(2k＋8)d，解 得k＝－2(舍去)，
k＝4.
【答案】 B
[探究共研型]
探究点 等比数列的通项公式
探究1 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a
1，公比为q的等比数列{a
n
}
的通项公式吗？
【提示】 由等比数列的定义可知：
a
2
＝a
1
q，a
3
＝ a
2
q＝a
1
q
2
，a
4
＝a
3
q＝a
1
q
3
，
a
5
＝a
4
q＝a
1
q
4
… < br>由此归纳等比数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
q
n
1
.
a
n
＋
1
探究2 由等比数列 的定义式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a
1
，公比q表示的通项
a
n
公式吗？能用等比数列中任意一项a
m
及公比q表示a
n
吗？
a
n
＋
1
a
2
a
3
【提示】 由＝q，知＝q，＝q，
a
n
a
1
a
2
a
4
a
n
a
n
－－
＝q，…，＝q，将以上各式两边分别相 乘可得＝q
n
1
，则a
n
＝a
1
q
n1
；
a
3
a
1
a
n
－
1< br>?
a
n
＝a
1
q
n
1
，
?
a
n
n
－
m
由
?
两式相比得＝q， －
m
1
a
m
?
a＝aq
?
m1
－
－

则a
n
＝a
m
·q
nm
，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
例3 (1)在等比数列{a
n
}中，已 知a
2
＋a
5
＝18，a
3
＋a
6
＝9， a
n
＝1，求n；
(2)已知等比数列{a
n
}为递增数列，且a
2
则数列{a
n
}的通项公式
5
＝a
10,
2(a
n
＋a
n
＋
2
)＝5a
n
＋1
，
a
n
.
【精彩点拨】 (1)先由a
2
＋a
5
＝18，a
3
＋a
6
＝9，
列出方程组，求出a
1
，q，然后再由a
n
＝1解出n.
(2)根据条件求出基本量a
1
，q，再求通项公式．
【解】 (1)法一：
4
?
?
a
2
＋a
5
＝a< br>1
q＋a
1
q＝18， ①
因为
?

2
＋aq
5
＝9， ②
?
a＋a＝aq
?
3611
－

②
1
由得q＝，从而a
1
＝32.
2
①
?
1
?
n
－
1
＝1， 又a
n
＝1，所以32×
?
2
?
即2
6
n＝2
0
，所以n＝6.
46
－

人教版高中数学必修五
1
法二：因为a
3
＋a
6
＝q(a
2
＋a
5
)，所以q＝.
2< br>由a
1
q＋a
1
q
4
＝18，得a
1
＝32.
由a
n
＝a
1
q
n
1
＝1，得n＝6.
1
2
(2)由2(a
n
＋a
n
＋
2
)＝5a
n
＋
1
?2q
2
－5q＋2＝0?q＝2或，由 a
5
＝a
10
＝a
1
q
9
>0?a
1
>0，又数列
2
{a
n
}递增，所以q＝2.
n429
a
2
5
＝a
10
>0?(a
1
q)＝a
1
q
?a
1
＝q＝2，所以数列{a
n
} 的通项公式为a
n
＝2.
－
名师指津
1．等比数列的通项公式涉 及4个量a
1
，a
n
，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另
外 一个，在这四个量中，a
1
和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a
1
和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已 知条件，建立关于a
1
，q的方程组，求出a
1
，q后再求a
n，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a
1
， 最后求a
n
，这种方法带有一定
的技巧性，能简化运算．
[再练一题]
3．在等比数列{a
n
}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a
5
；
(2)若a
4
＝2，a
7
＝8，求a
n
.
【解】 (1)∵a
5
＝a
1
q
4
，而a
1
＝5，
a
2
q＝＝－3，∴a
5
＝405.
a
1
33
??
?
a
4
＝a
1
q，
?
a
1
q＝2， ①
(2)因为
?
所以
?
6

6
?
a
7
＝a
1
q，
?
??a
1
q＝8， ②


②
3
由得q
3
＝4，从而q＝4，而a
1
q
3
＝2，
①
21
于是a
1
＝
3
＝，
q2
2n－5
3
－
所以a
n
＝a
1
q
n
1
＝2.

当堂检测
1．在等比数列{a
n
}中，若 a
1
＜0，a
2
＝18，a
4
＝8，则公比q等于( )
3
A.
2
2
B.
3
47

人教版高中数学必修五
2
C.－
3
22
D.或－
33
?
?
?
?
a
1
q＝18，
【解析】 由
?
3
解得
?
2
?
?
a
1
q＝8，
?
q＝

a
1
＝27，
3
?

a＝－27，
?
?
1
或
?

2
q＝－.
?
3
?

2
又a
1
＜0，因此q＝－.
3
【答案】 C
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A.b＝3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9
B.b＝－3，ac＝9
D.b＝－3，ac＝－9
【解析】 因为b
2
＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3 ，且a，c必同
号．
所以ac＝b
2
＝9.
【答案】 B 3．在等比数列{a
n
}中，若a
3
＝3，a
4
＝6， 则a
5
＝________.
a
4
6
【解析】 由q＝＝＝2，所以a
5
＝a
4
q＝12.
a
3
3
【答案】 12
4．已知等比数列{a
n
}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a
n
＝________.
【解析】 由已知可知(a＋1)
2
＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a
1
＝4，a
2
＝6，
a
2
63
所以q＝＝＝，
a
1
42
?< br>3
?
n
－
1
. 所以a
n
＝4×
?
2
?
?
3
?
n
－
1
【答案】 4×
?
2
?
912
5．(1)若等比数列{a
n
} 的首项a
1
＝，末项a
n
＝，公比q＝，求项数n；
833
(2)若等比数列{a
n
}中，a
n
＋
4
＝a
4
，求公比q.
19
2
?
n
－
1
－
?
2
?
n
－
1
＝
?
2
?
3
，得n＝4. 【解】 (1)由a
n
＝a
1
·q
n< br>1
，得＝
?
，即
?
3
??
3
?38
?
3
?
(2)∵a
n
＋
4
＝a< br>4
q
(
n
＋
4)
－
4
＝a
4
q
n
，
又a
n
＋
4
＝a
4< br>，∴q
n
＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1.


48

人教版高中数学必修五

49

人教版高中数学必修五
2.5 等比数列的前n项和
教学目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；

3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.
三、情感态度与价值观
1.通过生活中 有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真
的科学态度，培养学生的类比、 归纳的能力；
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学重点
1.等比数列前n项和公式的推导;
2.等比数列前n项和公式的应用.
教学难点 等比数列前n项和公式的推导.
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
教学过程
导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生 知道一些，踊跃发言.
师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格 子里放上4
颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个 格
子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.



师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能
50

人教版高中数学必修五
满足他的要求？
生 各持己见.动笔，列式，计算.
生 能列出式子：麦粒的总数为
1+2+2
2
+…+2
63
=?
师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：
1+2+2
2
+…+2
63
=?
师 我们将各格所放的 麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项
是1，公比是2，求第1个格子到 第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前
64项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：
记S=1+2+2
2
+2
3
+…+2
63
，式中 有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，
中间有62项是对应相等的，作差可以相互 抵消.
课件展示：
S=1+2+2
2
+2
3
+…+2
63
,① < br>2S=2+2
2
+2
3
+…+2
63
+2
6 4
,②
②-①得
2S-S=2
64
-1.
2
64
-1这个数很大，超过了1.84×10
19
，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过
了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
师 国王不假思索 地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是
他不具备基本的数学知识所造成 的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所
要探究的知识.
推进新课
合作探究
师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q
2
+…+q
n
=？
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？
生 q+q
2
+…+q
n
+q
n
+1
.
51

人教版高中数学必修五
生 每一项就成了它后面相邻的一项.
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？
师 生共同探索：
如果记S
n
=1+q+q
2
+…+q
n
,
那么qS
n
=q+q
2
+…+q
n
+q
n
+1
.
要想得到S
n
，只要将两式相减，就立即有(1-q)S
n
=1-q
n
.
师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.
1?q
n
生 如果q≠1，则有
S?
.
1?q
师 当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.
生 如果q＝1，那么S
n
=n.
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：
a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
= ？
教师精讲
师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的 方法，那就
是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.
如果记S
n
=a< br>1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,
那 么qS
n
=a
1
q+a
2
q+a
3
q+… +a
n
q,
要想得到S
n
，只要将两式相减，就立即有(1-q) S
n
=a
1
-a
n
q.
师 再次提醒学生注意q的取值.
如果q≠1，则有
S
n
?
a
1
?a
n
q
.
1?q
师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：
如果记S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n
-1
,
那么qS
n
=a
1
q+ a
1
q
2
+…+a
1
q
n
-1
+ a
1
q
n
,
要想得到S
n
，只要将两式相减，就 立即有(1-q)S
n
=a
1
-a
1
q
n
.
a
1
(1?q
n
)
如果q≠1，则有
S
n
?
.
1?q
52

人教版高中数学必修五
师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.
形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a
1
,q,a
n
,S
n
,n中a
1
,q,a
n
,S
n
四个；后者出现 的
是a
1
,q,S
n
,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列 的前n项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的. 言下之意，就是只有当等比数列
的公比q≠1时，我们才能用上述公式.
师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？
生 独立思考、合作交流.
生 如果q＝1，S
n
=na
1
.
师 完全正确.
如果q＝1，那么S
n
=na
n
.正确吗？怎么解释？
生 正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.
师 对了，这就是认清了问题的本质.
师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：
合作探究
思路一：根据等比数列的定义，我们有：

a
a
2
a
3
a
4
???...?
n
?q
,
a
1
a
2
a
3
a
n?1
再由合 比定理，则得
a
m
?a
n
?a
p
?a
q< br>,
即
S
n
?a
1
?q
,
S
n
?a
n
从而就有(1-q)S
n
=a
1
-a< br>n
q.
(以下从略)
思路二：由S
n
=a
1+a
2
+a
3
+…+a
n
得
S
n< br>=a
1
+a
1
q+a
2
q+…+a
n-1
q=a
1
+q(a
1
+a
2
+…+a
n-1
)=a
1
+q(S
n
-a
n
),
从而得(1-q)S
n
=a
1
-a
n
q.
(以下从 略)
师 探究中我们们应该发现，S
n
-S
n-1
=a
n
是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.
在这个关系式中，n的取值应该满足什么 条件？
生 n＞1.
师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S
n
-S
n-1
=a
n
，n＞1.
53

人教版高中数学必修五
师 综合上面的探究过程，我们得出：
?< br>na
1
,q?1,
?
na
1
,q?1,
?< br>?
或者
?
a
1
?a
n
q
q?1
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
1?q
,q?1
?
1?q
,
?
?例题剖析
例1：求下列等比数列的前8项的和：
(1)
111
,,
,…；
248
1
,q＜0.
243
(2)a
1
=27,a
9
=
合作探究
师生共同分析：
由(1)所给条件，可得
a
1
?
11，
q?
,求n＝8时的和，直接用公式即可.
22
1
中获取求 和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a
9
=a
1
q
8
，
243
由(2)所给条件，需要从
a
9
?
所以由条件可得 q
8
=
以了.
生 写出解答：
a
9
11
=，再由q＜0，可得
q??
，将所得的值代入 公式就可
a
1
243?273
11
[1?()
8
1 1
2
?
255
. (1)因为
a
1
?
,< br>q?
，所以当n＝8时，
S
8
?
2
1
22< br>256
1?
2
(2)由a
1
=27,
a
9< br>?
a
1
1
8
，可得
q?
9
?
，
a
1
243?27
243
11
(1?)
1< br>1640
27243?27
又由q＜0，可得
q??
,于是当n＝8时 ，
S
8
?
.
?
1
3
81
1?( ?)
3
例2：某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增 加10%，
那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？
师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S
n
=30 000
54

人教版高中数学必修五
求n的问题.
生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.
解：根据题意，每年的销售 量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组
成一个等比数列{a
n
}，其中a
1
=5 000,q=1+10%=1.1,S
n
=30 000.
5000(1?1.1
n
)
?30000
,整理得1.1
n
=1.6, 于是得到
1?1.1
两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,
用计算器算得
n?
lg1.6
0.2
≈
≈5(年).
lg1.1
0.041
答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.
练习：
教材，练习第1、2、3题.
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.
2.等比 数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知
道其中的3个，才 能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中
应该根据题意所给的条件，适当 选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第 一位来思考.
布置作业
课本习题A组第1、2、3题.
板书设计
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式
情境问题的推导 一般情形的推导 例1
练习：(学生板演) 例2
练习：(学生板演)





55

人教版高中数学必修五
§3.1 不等关系与不等式
教学目标：
1.了解不等式的性质(重点).
2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)．
教学梳理：
1．不等符号与不等关系的表示：
(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；
(2)不等关系用不等式来表示．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
大于
＞
大于等于
≥
小于
＜
小于
等于
≤
至多
≤
至少
≥
不少于
≥
不多于
≤
思考：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？
[提示] ①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于 或等于b”，其含义是a即若a3．比较两实数a，b大小的依据

思考：x
2
＋ 1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，
比较x
2
＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？
56

人教版高中数学必修五
[提示] 作差：x
2
＋1－2x＝(x－1)
2
≥0，所以x2
＋1≥2x.
4．不等式的性质
名称
性质1(对称性)
性质2(传递性)
性质3(可加性)
推论
性质4(可乘性)
性质5(不等式同向可加性)
性质6(不等式同向正数可乘性)
性质7(乘方性)
式子表达
a>b?ba>b，b>c?a>c
a>b?a＋c>b＋c
a＋b>c?a>c－b
a>b，c>0?ac>bc
a>b，c<0?aca>b，c>d?a＋c>b＋d
a>b>0，c>d>0?ac>bd
a>b>0?a
n
>b
n
(n∈N，n≥1)
a>b>0?
性质8(开方性)
nn
a>b(n∈N，n≥2)
思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？
(1)a>b且c>d则a－c>b－d.
(2)a>b则ac>bc.
ab
(3)a>b>0且c>d>0则>.
cd
(4)a>b>0则a
n
>b
n
.
ab
(5)a>b则
2
>
2
.
cc
[提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，
(1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错．
(2)中当c≤0时，不成立．
53
(3)中例如5>3且4>1，则>是错的，故(3)错．
41
(4) 中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3
1
>2
－－
1< br>显然错，故(4)错．
111
(5)因为
2
>0，所以a·
2
>b·
2
，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．
ccc
教学检测
1．思考辨析
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)若a 57

人教版高中数学必修五
(3)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
提示：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2. (2)正确．不等式a≤b表示a确．
(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，
因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不
超过40 吨，用不等式表示为( )
A．T<40
C．T≤40
【答案】C
【解析】限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.
3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则( )
A．ad>bc
C．a－c>b－d
【答案】D
【解析】a，b，c，d的符号未确定，排 除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是
同向不等式，排除C项，故选D项．
4．设m＝ 2a
2
＋2a＋1，n＝(a＋1)
2
，则m，n的大小关系是______ __．
【答案】m≥n
【解析】m－n＝2a
2
＋2a＋1－(a＋1 )
2
＝a
2
≥0.
教学案例
类型1 用不等式表示不等关系
例1 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积
不小于110 m
2
，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系.
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以030－x
?
x
这时菜园的另一条边长为＝
?
15－
2
?
?
(m)．
2
B．ac>bc
D．a＋c>b＋d
B．T>40
D．T≥40
?
15－x
?
，依题意有S≥110，即x
?
15－
x
?
≥110，
因此菜园面积S＝x·
2
?
2
???
故该题 中的不等关系可用不等式表示为
58

人教版高中数学必修五
0?
?
?
?

x
?
1 5－
x
≥110.
?
?
?
2
?
[规律方法 ]
1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等
关系．
2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间
的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量
即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、
不少于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
[跟踪训练]
1．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此
车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可 往返6次，乙型卡车每辆
每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
x＋y≤9，
?
?
10×6x ＋6×8y≥360，
?
0≤x≤4，x∈N，
?
?
0≤y≤7，y ∈N，
x＋y≤9，
?
?
5x＋4y≥30，
即
?
0≤x≤4，x∈N，
?
?
0≤y≤7，y∈N.





类型2 比较两数(式)的大小
例2 已知a，b为正实数，试比较
ab
＋与a＋b的大小.
ba
思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小．
[解]法一：( 作差法)
?
abab
a－bb－a
＋
?
－(a＋b)＝?
－b
?
＋
?
－a
?
＝＋＝
a
??
b
?
b
??
a
?
ba
(a－b)( a－b)(a－b)
2
(a＋b)
＝.
abab
59

人教版高中数学必修五
∵a，b为正实数，
∴a＋b>0，ab>0，(a－b)
2
≥0，
(a－b)
2
(a＋b)
∴
≥0，
ab
当且仅当a＝b时等号成立．
∴
ab
＋
≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．
ba
b a
＋
ab
(b)
3
＋(a)
3
(a＋b)(a＋b －ab)a＋b－ab
法二：(作商法)＝＝＝＝
a＋bab(a＋b)ab(a＋b)ab< br>(a－b)
2
＋ab(a－b)
2
＝1＋
≥1，当且仅当a＝ b时取等号．
abab
∵
∴
ba
＋>0，a＋b>0，
ab
ba
＋
≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．
ab
2
ab
?
a
2
b
2
?
＋
法三：( 平方后作差)∵＝＋＋2ab，(a＋b)
2
＝a＋b＋2ab，
ba
a< br>??
b
ab
?
(a＋b)(a－b)
2
?
2
＋
∴－(a＋b)＝.
ab
a
??
b
∵a>0，b>0，
(a＋b)(a－b)
2
∴
≥0，
ab
又
aba b
＋>0，a＋b>0，故＋
≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．
baba
2
[规律方法]
1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算
性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大
于1，等于1，还是小于1.
[跟踪训练]
2．已知x<1，比较x
3
－1与2x
2
－2x的大小．
[解] (x
3
－1)－(2x
2
－2x)
＝(x－1)(x
2
＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x
2
－x＋1)
60

人教版高中数学必修五
??
＝(x－1)
?
?x－
1
?
＋
3
?
.
?
?
2
?
4
?
因为x<1，所以x－1<0.
2
2
1
3
x－
?
＋>0， 又
?
?
2
?
4
??
所以(x－1)
?
?
x－< br>1
?
＋
3
?
<0.
?
?
2
?
4
?
所以x
3
－1<2x
2
－2x.
类型3 不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2111
∴<<，
3b2
又∵－6a
∴－2<<4.
b
你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因 为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负
111
数，不等号方向改变 ，在本题中只知道－63b2
两边 分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．
2．由－6提 示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充
分利用条件，运用不 等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵－2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要 注意：同向不等式两边可以相加
(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2将－42
61

人教版高中数学必修五
3例3 已知c>a>b>0，求证：
ab
>.
c－ac－b
c－ac－b
cccc
思路探究：①如何证明<？②由<怎样得到<？
ababab
[解] ∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
11
?
ccab
由
a>b>0?
a
<
b
c>0
?
?<，?>.
?
ab
c－ac－b
cc
母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“ c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”证明：>.
ab
1
[证明] 因为a>b>0，所以ab>0，>0.
ab
1111cc
于是a×>b×，即>.由c<0，得>.
ababba ab
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6a
a－b及的取值范围．
b
[解] 因为－6111
所以－10<2a＋b< 19.又因为－3<－b<－2，所以－93b2
a
(1)当0≤a<8时，0≤<4；
b
a
(2)当－6b
a
由(1)(2)得－3<<4.
b
[规律方法]
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一
定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活
准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条
件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题
(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．
(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用
似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出
ac>bd；由a>b，推不出a
2
>b
2
等．

62

人教版高中数学必修五
(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．

[当 堂 达 标·固 双 基]
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分 y高于380分，
体育成绩z超过45分，用不等式组表示为________．
【答案】
{
x≥95y>380z>45


z>45.

【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>” ，所以
{
x≥95，y>380，
11
2．若<<0，则下列不等式：①a＋ b|b|；③aab
个.
【答案】1
1111
【解析】由<<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab >0，所以a＋babab
1
??
1
?<0，得
?
?
a
?
>
?
b
?
，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，
故③错误．
3．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2) (a－4)(填“>”“<”或“＝”)．
【答案】<
【解析】因为(a＋3)(a－5 )－(a＋2)(a－4)＝(a
2
－2a－15)－(a
2
－2a－8)＝ －7<0，所以(a
＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
x
4．若8y
【答案】(2,5)
111
【解析】∵24y2
x
∵8y
a＋bc＋d
5．若bc－ad≥0，bd>0.求证：
≤
.
bd
[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
a＋bc＋d
ac ac
因为bd>0，所以
≤
，所以＋1≤＋1，所以
≤
.
bdbdbd



63

人教版高中数学必修五
§3.2 一元二次不等式及其解法
教学重点
1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
教学难点
理解二次函数90、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
教具准备
多媒体及课件，幻灯片三张
三维目标
一、知识与技能
1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;
2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;
3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感度与价值观
1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;
2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互
转化的，树立 辩证的世界观.
教学过程
导入
师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service
Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.
某同 学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5
元；公司B的 收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以
后每小时减少0.1元 .（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）
64

人教版高中数学必修五
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不 妨一次上网时间总小于17小时，那么，
一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需 费用少？
假设一次上网x小时，则A公司收取的费用为1.5x，那么B公司收取的费用为多少？怎样
得来？
生 结果是
x(35?x)
元，因为是等差数列，其首项为1.7， 公差为-0.1，项数为x的和，即
20
x(x?1)x(35?x)
1.7x?(? 0.1)?.

220
x(35?x)
＞1.5x(0＜x＜17)，整理化 简得不等式x
2
-5x＜0.
20
师 如果能够保证选择A公司比选择B公司所需费用少，则如何列式？
生 由题设条件应列式为
推进新课
师 因此这个问题实际就是解不等式：x
2
- 5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，
它的解法是我们下面要学习讨论的重点.
什么叫做一元二次不等式？
含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二 次不等式，它的一般形式
是ax
2
+bx+c＞0或ax
2
+bx+ c＜0（a≠0）.
例如2x
2
-3x-2＞0，3x
2
-6x＜ -2，-2x
2
+3＜0等都是一元二次不等式.
［教师精讲］
由一元二 次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax
2
+bx+c＞0或ax
2
+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其 相应的一元
二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程< br>的解和对应的一元二次不等式的解集.
如何讨论一元二次不等式的解集呢？
我们知道 ，对于一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b
2
-4ac，它的解按照Δ＞
0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax
2< br>+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三
种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不 等式ax
2
+bx+c＞0或ax
2
+bx+c＜0（a＞0）的
解 集我们也分这三种情况进行讨论.

65

人教版高中数学必修五
（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax
2
+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax
2
+ bx+c=0(a
＞0)有两个不相等的实根x
1
，x
2
（x
1
＜x
2
）,则不等式ax
2
+bx+c＞0（a＞0）的解集是 {x|x＜x
1
，
或x＞x
2
}；不等式ax
2
+ bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x
1
＜x＜x
2
}.
（2 ）若Δ=0，此时抛物线y=ax
2
+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕， 即方程ax
2
+bx+c=0(a
＞0)有两个相等的实根x
1
=x
2
=
?
bb
,则不等式ax
2
+bx+c＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠
?
}；
2a2a
不等式ax
2
+ bx+c＜0（a＞0）的解集是.
(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax
2
+bx +c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax
2
+bx+c=0(a
＞0 )无实根，则不等式ax
2
+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax
2+bx+c＜0（a＞0）的解
集是.
Δ=b
2
-4ac
二次函数
y=ax
2
+bx+c(a＞0)的
图象
ax
2
+bx+c=0的根


x
1
=x
2
=
?

Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
x
1.2
ax
2
+bx+c＞0的解集
ax
2
+bx+c＜0的解集
?b???
?

2a
b

2a
?

{x|x＜x
1
或x＞x
2
}
{x|x
1
＜x＜x
2
}
{x|x≠
?
b
}
2a
R
?

?

对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
［知识拓展］
【例1】 解不等式2x
2
-5x-3＞0.
生 解：因为Δ＞0，2x
2
-5x-3=0的解是x
1
=-
所以不等式 的解集是{x|x＜
?
1
,x
2
=3.
2
1
，或x＞3}.
2
【例2】 解不等式-3x
2
+15x＞12.
生 解：整理化简得3x
2
-15x+12＜0.因 为Δ＞0，方程3x
2
-15x+12=0的解是x
1
=1,x
2
=4，所以
不等式的解集是{x|1＜x＜4}.
【例3】 解不等式4x
2
+4x+1＞0.
生 解：因为Δ=0，方程4x
2
+4x+1=0的解是x
1
=x
2
=
?
【例4】 解不等式-x
2
+2x-3＞0.
66
11
.所以不等式的解集是{x|x≠
?
}.
22

人教版高中数学必修五
生 解：整理化简，得x
2
-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x
2
-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集
是
?
.
师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？
生 归纳如下：
（1）将二次项系数化为“+”：y=ax
2
+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).
（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：
①Δ＞0时，求根x
1
＜x
2
，
?
?
若y＞0,则x?x
1
或x＞x
2
;
?
若y＜0,则x
1
＜x＜x
2
.

?
若y＞0,则x?x
0
的一切实数;
?
②Δ=0时，求根 x
1
=x
2
=x
0
，
?
若y＜0,则x??;

?
若y?0,则x ?x.
0
?
③Δ＜0时，方程无解，
?
（3）写出解集.
师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将
判 断框和处理框中的空格填充完整.
［活动过程］
?
若y＞0,则x?R;
?
若y?0,则x??.


［方法引导］
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的
67

人教版高中数学必修五
理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作 用，激起学生学习的兴趣与勇于探索
的精神.
课堂小结
1.一元二次不等式：含有 一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不
等式，它的一般形式是ax
2
+bx+c＞0或ax
2
+bx+c＜0（a≠0）.
2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.


68

人教版高中数学必修五
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
教学目标：
1.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2.经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想.
教学重点
把不等式（组）所表示的平面区域画出来；
教学难点
实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域.
教学过程：
导入新课
前一节课我们共同学习了二元一次不等式（组）的一些基本概念，并且从一个具体的一
元二次 不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，总结一元二
次不等式表示的区域 的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）
与平面区域两者之间的联系，下 面请同学回忆上述内容.
一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直 线Ax＋By＋C＝0
的某一侧所有点组成的平面区域.
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同 一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只
需在此直线的某一侧取一个特殊点( x
0
，y
0
)，由Ax
0
＋By
0
＋ C的正、负就可判断Ax＋By＋C
＞0表示直线哪一侧的平面区域.当C≠0时，我们常把原点作为这 个特殊点去进行判断.
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判
断.
推进新课
例题剖析
例1：画出不等式x+4y＜4表示的平面区域.
解 ：先画直线x+4y-4＝0(虚线)，把原点(0，0)代入x+4y-4＝0－4＜0，因为x+4y-4＜ 0，说明
原点在要求的区域内，不等式x+4y-4＜0表示的平面区域与原点在直线x+4y-4=0 的一侧，
即直线x+4y-4=0的左下部分的平面区域.
69

人教版高中数学必修五

在确定这两个点集的交集时，要特别注意其 边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是
实点还是空点.
例2：用平面区域表示不等式组
?
?
y＜－3x?12,
的解集.
?
x＜2y
【解析】由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一 次不等式组表示
的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部
分.
解：不等式y＜-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；不等式x＜2y表 示直线
y?
区域.取两个区域重叠的部分，下图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.
x
上方的
2

例3：某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后,他得到了下面的数
据表格：(以班级为单位)
学段
初中
高中
班级学生数
45
40
配备教师数
2
3
硬件建设万元
26班
54班
教师年薪万元
2人
2人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.
师若设开设初中班x个,高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在20~30之间,所以应该有< br>什么样的限制?
答：20≤x+y≤30.
考虑到所投资金的限制,又应该得到什么?
答：26x+54y+2×2x+2×3y≤1 200,即x+2y≤40.另外,开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0.把上面四个
70

人教版高中数学必修五
不等式合在一起,得到
?
20?x?y?30,
?
x?2y?40,
?

?
x?0,
?
?
?
y?0.
用图形表示这个限制条件,请同 学完成.
得到图中的平面区域(阴影部分).

例4：一个化肥厂生产甲、乙两种 混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，
硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原 料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐4
吨，硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式,并画出
相应的平面区域.
若设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则应满足什么样的条件?
?
4x?y?10,
?
18x?15y?66,(*)
?
答：满足以下条件< br>?

x?0,
?
?
?
y?0.
在直角坐标系 中完成不等式组(*)所表示的平面区域.

课堂练习
画出下列不等式组表示的平面区域的面积.
71

人教版高中数学必修五
?
y＜x,
?
(1)
?
x?2y?4,

?
y??2.
?

?
x＜3,
?
2y?x ,
?
(2)
?
?
3x?2y?6,
?
?
3 y＜x?9.

【答案】(1)

(2)

方法引导
上述过程分为思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，目的是分散难点，层层递进，突
出重点， 只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出正确解答.
课堂小结
1.处理实际问题，关键之处在于从题意中建立约束条件，实际上就是建立数学模型.这样
解题时，将所 有的约束条件罗列出来，弄清约束条件，以理论指导实际生产需要.
2.在实际应用中，由二元一次不 等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的
方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同 ，即由不等式组表示这些平面区域的公共
区域.





72

人教版高中数学必修五
3.3.2 简单的线性规划问题
教学目标
知识与技能

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
过程与方法
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生
“建模”和 解决实际问题的能力;
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
情感态度与价值观
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于 用“数”研究“形”，但
同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.
教学难点 难点是把实际问题转化 为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际
问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数 ，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节
教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将 实际问题数学化、代数问题几何
化.
教学过程
导入新课
前面我们学习了 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，
请同学们回忆一下.
推进新课
合作探究
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.
例如，某工厂用A 、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗
时1小时，每生产一件乙产品使 用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得
16个A配件和12个B配件，按每天工作8小 时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
73

人教版高中数学必修五
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？
?
x?2y?8,
?
4x?16,
?
?
由已知条件 可得二元一次不等式组：
?
4y?12,

?
x?0,
?< br>?
?
y?0.
如何将上述不等式组表示成平面上的区域？
师 图中 阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P
（x,y）在上述平面区 域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产 一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利
润最大？
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？
生 则z=2x+3y.
师 这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是
多少？
教师精讲
师 把z=2x+3y变形为
y??
2121
x?z,这是斜率为
?
，在y轴上的截距为z的直线.当z
3333
变化时可以 得到什么样的图形？在上图中表示出来.
生 当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）
师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线
y??
2 1
x?z
，
33
74

人教版高中数学必修五 < br>这说明，截距
z21
可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线
y? ?x?z
与表示
3
33
z
最大时，z取最大值，因此，问题
3
不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距
转化为当直线
y??
21
x?z
与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，
33
z
最大.
3
21
x?z
经过直线x=4与直线x+2y-8=0 的交点M（4，2）时，
33
使直线经过P时截距
由图可以看出，当直线
y? ?
截距
z14
最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件， 乙产品2件时，工
33
厂可获得最大利润14万元.
知识拓展
再看下面的 问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示
的 平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l
0
:2x+y=0.
然后，作 一组与直线l
0
平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l
0
），从而观察t值的变
化：t=2x+y∈［3,12］.
?
x?4y??3,< br>?
若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件
?
3x?5y?25,求t的最大值和最小值.
?
x?1.
?
分析：从变量x、y所满足的条 件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，
不等式组则表示这些平面区域的公共区域 ABC.
作一组与直线l
0
平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直 线l
0
），
从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.
(1) 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l
0
：2x+y=0上.作一组与直线l
0
平行的直线（或平行移 动直线l
0
)l:2x+y=t,t∈R.
可知，当l在l
0
的右 上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.
而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线
75

人教版高中数学必修五
l
2
所对应的t最大，以经过 点A（1，1）的直线l
1
所对应的t最小.所以
t
max
=2×5 +2=12,t
min
=2×1+3=3.

(2)

(3)

合作探究
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约 束条件，由于这组约束条件都是关于x、
y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变
量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是 关于x、y的一次解析式，所以
又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求线性目 标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
例如：我们刚才研究的就是求 线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的
问题，即为线性规划问题.
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上
述问题 中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使
目标函数取得最 大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
76

人教版高中数学必修五
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设t=0，画出直线l
0
.
3.观察、分析，平移直线l
0
，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
布置作业
1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500< br>元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100
千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多
可生产多少千克产品？
【解析】将已知数据列成下表：

成本
运费
产品
甲原料（吨）
1 000
500
90
乙原料（吨）
1 500
400
100
费用限额
6 000
2 000


解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则
?
x?0,
?
y?0,
?

?
1000x ?1500y?6000,
?
?
?
500x?400y?2000,
z=90x+100y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：

12
?
x?,
?
2x?3y?12,
?
?
7由
?
得
?

20
5x?4y?20.
?
?
y?.
?
7
?
令90x+100y=t，作直线:90x+10 0y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，
77

人教版高中数学必修五
当90x+100y=t过点M（
1220< br>,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.
77
1220
+100×=440.
77
由此得出t的值也最大， z
max
=90×
答：工厂每月生产440千克产品.
2.某工厂家具车间 造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一
张A、B型桌子分别需要1小 时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1
小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超 过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子
分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B 型桌子各多少张，才能获得利润最
大？

解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，
?
x?2y?8,
?
则
?
3x?y?9,

?
x?0,y?0.
?
目标函数为z=2x+3y.
作出可行域：
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.
解方程
?
?
x?2y?8,
得M的坐标为（2，3）.
?
3x?y?9,
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.
板书设计
简单的线性规划问题
例
课堂小结
78

人教版高中数学必修五


79

人教版高中数学必修五
a＋b
3.4 基本不等式：ab≤
2
学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基
本不等式证明简单的不等式及比 较代数式的大小(重
点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问
题(重点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a
2
＋b
2
≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．
思考：如果a>0， b>0，用a，b分别代替不等式a
2
＋b
2
≥2ab中的a，b，可得到怎 样
的不等式？
[提示] a＋b≥2ab.
a＋b
2．基本不等式：ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
a＋b
思考：不等式a
2
＋b
2
≥2ab与ab≤
成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
2
a＋b
[提示] 不同，a
2
＋b
2
≥2ab成 立的条件是a，b∈R；ab≤
成立的条件是a，b均为
2
正实数．
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab；
2
(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2< br>a＋b
a＋b
?
思考：
≥ab与
?
2
?2
?
≥ab是等价的吗？
[提示] 不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
4．用基本不等式求最值的结论
80

人教版高中数学必修五
s
(1)设x，y为正实数，若x＋y ＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最小值为2xy.
2
(x＋y)
2
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝p时，和x＋y有最大值为.
4
5．基本不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数．
(2)求积x y的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是
否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和 (积)的最值时，一般要确定
哪个量为定值？
[提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的
最大值，要确定和为定值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a
2
＋b
2
≥2ab，a＋b≥2ab均成立．( )
(2)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．( )
(3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.( )
2
(4)函数f(x)＝x
2
＋
2
的最小值为22－1.( )
x＋1
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________.
【答案】400
2
【解析】因为x，y都是正数，且x＋y＝40，所以xy≤
?
时取等号．
x＋y
?
?
2
?
＝400，当且仅当x＝y＝20
3．把总长为16 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m
2
.
【答案】16
【解析】设一边长为x m，则另一边长可表示为(8－x)m，
2
则面积S＝x(8－x)≤
?
x ＋8－x
?
当且仅当x＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，
?
2
?
＝16，
都为4 m时面积取到最大值16 m
2
.]
4．给出下列说法：
1
①若x∈(0，π)，则sin x＋
≥2；
sin x
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2lg a·lg b；
81

人教版高中数学必修五
4
x＋
?
≥4.
③若x∈R且x≠0，则
?
?< br>x
?
其中正确说法的序号是________.
【答案】①③
【解析】①因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0,1]，
所以①成立；②只有在lg a>0，lg b>0，
即a>1，b>1时才成立；
44
x＋
?
＝|x|＋
??
≥2
③
?
?
x
??
x< br>?
?
4
?
＝4成立．
|x|·
?
x
?
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型1 利用基本不等式比较大小
例1 已知02＋b
2,
2ab中哪一个最大？
[解] 法一：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab，a
2
＋b
2
≥2ab，
所以四个数中最大的数应为a＋b或a
2
＋b
2
.
又因为0所以a
2
＋b
2
－(a ＋b)＝a
2
－a＋b
2
－b＝a(a－1)＋b(b－1)<0，
所以a
2
＋b
2
所以a＋b最大．
1
法二：令a＝b＝，
2
1111
则a＋b＝1,2ab＝1，a
2
＋b
2
＝，2ab＝2××＝，
2222
11115
再令a＝，b＝，a＋b＝＋＝，
28288
2ab＝2
111
×＝，
282
所以a＋b最大．
a＋b
[规律方法] (1)在使用基本不等式ab≤
2
a≥0，b≥0时，要注意不等式的双向性.
2< br>a＋b
?
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤
?
?
2
?
；
②从右到左：常使用a＋b≥2r(ab).
(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.
(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法， 但要使特殊值具有一般性.
[跟踪训练]
1
1．(1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b
2
(b≠0)，则m， n之间的大小关系是________.
a－2
82

人教版高中数学必修五
a＋b
1
(2)若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．
22
【答案】(1)m>n (2)P11
【解析】(1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以
a－2a－2
m≥2
1
(a－2)·＋2＝4，由b≠0，得b
2< br>≠0，
a－2
所以2－b
2
<2，n＝22－b
2
<4，综上可知m>n.
(2)因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，
1
所以Q＝(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；
2
a＋b
1
Q＝(lg a＋lg b)＝lga＋lgb＝lgab22
所以P类型2 利用基本不等式证明不等式
例2 已知a，b，c为不全相等的正实数．
求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca.

[解] ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2ab>0，
b＋c≥2bc>0，
c＋a≥2ca>0，
∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca.
[规律方法]
1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本 不等式的“题眼”，
可尝试用基本不等式证明．
2．利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
[跟踪训练]
83

人教版高中数学必修五
1
??
1
??
1
?
2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 求证：
?
?
a
－1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥8.

[证明] 因为a，b，c为正实数，
且a＋b＋c＝1，
1－ab＋c
2bc1
所以－1＝＝
≥
.
aaaa
12ac12ab
同理，－1≥，－1≥.
bbcc
上述三个不等式两边均为正，
1
??
1
??1
?
2bc2ac2ab1
－1－1－1
≥相乘得
?
· ·＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
?
a
??
b
??c
?
abc3
类型3 基本不等式的实际应用
例3 如图3-4-1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他
各面用钢筋网围成．

图3-4-1
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积
最大？
(2)要使每间虎笼面积为24 m
2
，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎
笼的钢筋网总长最小？
思路探究：①已知a＋b为定值，如何求ab的最大值？②已知ab为定值，如何求a＋b
的最 小值？
[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
84

人教版高中数学必修五
法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，
27
∴26xy≤18，得xy≤，
2
27
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
2
??
?
2x＋3y＝18，
?
x＝4.5，
?
由解得
?

?
2x＝3y，
?
??
y＝3.

故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
3
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
2
3
∵x>0，∴9－y>0，
2
∴03
3
9－y
?
y＝(6－y)·S＝xy＝
?
y.
?
2
?
2
∵0∴6－y>0，
2< br>3
?
(6－y)＋y
?
27
∴S≤·
2
?< br>2
?
＝
2
.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，
可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
??
?
2x＝3y
?
x＝6，
由
?
，解得
?

?
xy＝24
?
??
y＝4.

故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
24
法二：由xy＝24，得x＝.
y
16
?
96
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6
?
?
y
＋y
?
≥6×2< br>y
16
·y＝48.
y
16
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
y
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如
85

人教版高中数学必修五
图3-4-2所示．池外圈建造单价为每米20 0元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底
建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计， 且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使
总造价最低，并求出最低造价．

400400400
[解] 设污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝(2x＋2·)·2 00＋2×250·＋80×400
xxx
900
900900
x＋
?
＋32 000≥400×2x·＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x＝，即x＝30 ＝400
?
x
??
xx
时取等号．
40
故污水池的长为30米、宽为米时，最低造价为56 000元.
3
类型4 利用基本不等式求最值
[探究问题]
1．由x
2
＋y
2
≥2xy
x
2
＋y
2
x
2
＋y
2
知xy≤
，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是吗？能
22
说x
2
＋y
2
的最小值为2xy吗？
提示： 最值是一个定值(常数)，而x
2
＋y
2
或2xy都随x，y的变化而变化， 不是定值，故
上述说法均错误．要利用基本不等式
方可使用．
2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：
1
“因为y＝x＋≥2
x
111
x·
＝2，当且仅当x＝，即x
2
＝1时“＝”号 成立，所以y＝x＋的最
xxx
a＋b
＋
≥ab(a，b∈R
)求最 值，必须保证一端是定值，
2
小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？
1提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能
x
为正 ，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x
1
＋
≥2
x
111
x×
＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”，y ＝x＋的最小值是2；当x<0时，y
xxx
1
－x－
?
≤－2＝－
?
x
??
最大值是－2.
?
－
1
?
＝－2，当且仅当x＝
1
，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋
1
的
(－x)·
?
x
?
xx
x
2
＋43．已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以吗？为什么？
x
x
2
＋4
4
“解：∵y＝
＝x＋
≥2
xx
4
x·
＝4，
x
x
2
＋4
∴当x≥3时，y＝的最小值为4.”
x
86

人教版高中数学必修五
提示：不可以，因为在利 用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符
合基本不等式的结构特征，但是必须符合“ 正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略
4
了等号成立的条件，即“＝”号不成立 ．本问题可采用y＝x＋的单调性求解．
x
51
例4 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
4
4x－5
11
(2)已知022
2x
(3)已知x>0，求f(x)＝
2
的最大值；
x＋1
19
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值.
xy
思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．
11
(1)4x－2＋＝4x－5＋＋3.
4x－54x－5
11
(2)x(1－2x)＝·2x·(1－2x)．
24
2x2
(3)
2
＝.
1
x＋1
x＋
x
19
?
(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
?
?
x
＋
y
?
.
5
[解] (1)∵x<，∴5－4x>0，
4
1
1
∴y＝4x－2＋＝－
?
5－4x＋
5－4x
?
＋3≤－2＋3＝1，
??
4x－5
1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
5－4x
故当x＝1时，y
max
＝1.
1
(2)∵00，
2
2
11
?2x＋1－2x
?
111
∴y＝×2x(1－2x)≤×
44
?
2
?
＝
4
×
4
＝
16
，
1
11
0?
，即x＝时，y
max
＝. ∴ 当且仅当2x＝1－2x
?
2
??
416
2x2
(3)f( x)＝
2
＝.
1
x＋1
x＋
x
1
∵x> 0，∴x＋
≥2
x
1
x·
＝2，
x
21
∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
2x
87

人教版高中数学必修五
19
(4)∵x>0，y>0，＋＝1，
xy
19
?
y9 x
＋
(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16， ∴x＋y＝
?
?
x y
?
xy
y9x19
当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取 等号．
xyxy
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)
min
＝16. < br>51
母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x>，求函数f(x)＝4x－2＋的值 域．
4
4x－5
5
[解] ∵x>，∴4x－5>0，
4
113
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝.即x＝时，等号成立．f( x)
2
4x－54x－5
的值域为[5，＋∞)．
51
2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x<，求f(x)＝4x－2＋的最值如何求解？
4
4x－5
11
[解] 由f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3
4x－54x－5
5
①当x>时，4x－5>0
4
1
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5
4x－5
1
当且仅当4x－5＝时等号成立
4x－5
3
即x＝时f(x)
min
＝5.
2
5
②当x<时，4x－5<0.
4
1
1
f(x )＝4x－2＋＝－
?
5－4x＋
5－4x
?
＋3≤－2＋3＝1
??
4x－5
1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立．故当x＝1时， f(x)
max
＝1.
5－4x
[规律方法] 利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含 “1”的式子，将“1”代入后再利
用基本不等式求最值.
(2)构造法：
2①构造不等式：利用ab≤
?
a＋b
?
?
2
?
，将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，
将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不
88

人教版高中数学必修五
等式求最值.
(3)函数法：若利用基本不 等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将
要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性 求最值.
易错警示：利用基本不等式求函数最值，一定要判断等号何时成立.

[当 堂 达 标·固 双 基]
1．若0ab＋log
b
a≥________.
【答案】2
【解析】因为0 a
b>0，log
b
a>0，
所以log
a
b＋log
b
a＝log
a
b＋
1< br>≥2
log
a
b
1
log
a
b·＝2. < br>log
a
b
当且仅当log
a
b＝log
b
a即a＝b时取“＝”．
2．已知a，b∈R，若a
2
＋b
2
＝1 ，则ab有最________值为________；若ab＝1，则a
2
＋b
2< br>有最________值为________.
1
【答案】大 小 2
2
11
【解析】由a
2
＋b
2
≥2ab可知，当a
2
＋b
2
＝1时，ab≤，故ab有最大值为；
22
当ab＝1时 ，a
2
＋b
2
≥2，a
2
＋b
2
有最小值 2.
3．若032
?
【答案】
?
0，

4
??
【解析】由00，
故x(3－2x)＝
11
2x＋(3－2x)
32
·2x(3－2x)≤·＝，
24
22
3
当且仅当x＝时，上式等号成立．
4
32
所以04
4．建造一个容积为8 m
3
，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120
元m
2,
80元m
2
，那么水池的最低总造价为________元.
【答案】1 760
【解析】设池底一边长为x m，总造价为y元．
4
?
x＋
4
?
＋480(x>0)．
2x＋2×
?
×则y＝4×120＋2
?
80＝320
x
???
x
?
4
因为x＋
≥2
x
4
x·
＝4，
x
89

人教版高中数学必修五
4
当且仅当x＝即x＝2时取等号，
x
所以y
min
＝480＋320×4＝1 760(元)．
1
5．已知函数f(x)＝x＋.
x
(1)已知x>0，求函数f(x)的最小值．
(2)已知x<0，求函数f(x)的最大值．
(3)已知x∈[2,4]，求f(x)的最值．
1
[解] (1)∵x>0，∴f(x)＝x＋
≥2.当且仅当x＝1时等号成立．
x
∴f(x)的最小值为2.
1
?
1
?
－x＋< br>(2)∵x<0，∴f(x)＝x＋＝－
－x
?
≤－2.当且仅当x＝－1时等 号成立．
x
?
∴f(x)的最大值为－2.
(3)设2≤x
1
2
≤4，
1
1
x
2
＋
?
则f(x
1
)－ f(x
2
)＝x
1
＋－
?
x
2
?
x
1
?
＝
(x
1
－x
2
)(x
1
x
2
－1)
.
x
1
x
2
因为2 ≤x
1
2
≤4，
所以x
1
－x
2< br><0，x
1
x
2
－1>0，x
1
x
2
>0.
所以f(x
1
)－f(x
2
)<0，即f(x
1
)2
)．
5
所以f(x)在[2,4]上是单调增函数．在x＝2时，f(x)有最小值；
2
17
当x＝4时，f(x)有最大值.
4



90

人教版高中数学必修五
2.2 等差数列
教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式 ；能在具
体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导 ，归纳抽象出
等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列
通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数
列相 应问题的研究.
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.
教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公 式解决一些
简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
学法与教学用具
学法：引 导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、
储蓄问题）概括出数组 特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差
数列的通项公式；可以用多种方法对 等差数列的通项公式进行推导.
教学用具：投影仪
教学设想
创设情景
上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以
后会接触得比较 多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习
一类特殊的数列.
探索研究
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样 数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5，____,____,____,____, ……
2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级
91

人教版高中数学必修五
别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.
水库的管理人员为了保证优质鱼 类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如
果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位 降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算
起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成 数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，
8，5.5
我国现行储蓄制度规定银 行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一
期的利息.按照单利计算本利和的公式是： 本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存
入10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
年初本金（元）
10 000
10 000
10 000
10 000
10 000
年末本利和（元）
10 072
10 144
10 216
10 288
10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360.
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；
由学生归纳和概括出，以上四个数 列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常
数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点 ）.
等差数列的概念
92

人教版高中数学必修五
对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，
尝试着给等差数 列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常< br>数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.那 么对于以上四组等差数列，它
们的公差依次是5，5，-2.5，72.
提问：如果在
a
与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差 数列数列，那么A应满足什么
条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
A?
a?b

2由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的
等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前
一项与 后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
看来，
a
2
?a
4
?a
1
?a
5
,a
4
?a
6< br>?a
3
?a
7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

等差数列的通项公式
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我 们接下来要学
习的内容.
⑴我们是通过研究数列
{a
n
}
的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由
同学们根据通项公式的定义，写出这四组 等差数列的通项公式.
由学生经过分析写出通项公式：
② 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20
93

人教版高中数学必修五
（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到 这个数列的通项公式是
a
n
?5n

② 这个数列的第一项是48 ，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项
是63（=48+5×3） ，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
?48?5(n?1)
.
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2. 5×2），第
4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是 5.5（=18-2.5×5）由此可以猜
想得到这个数列的通项公式是
a
n
?18?2.5(n?1)
.
④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（ =10172+72），第3项是10216
（=10072+72×2），第4项是10288（=1 0072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由
此可以猜想得到这个数列 的通项公式是
a
n
?10072?72(n?1)
.
⑵那么，如果 任意给了一个等差数列的首项
a
1
和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

所以
a
2
?a
1
?d,


a
3
?a
2
?d,


a
4
?a
3
?d,

……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
a
2
?a
1
?d,


a
3
?a
2
?d?(a
1
?d)?d?a?2d,


a
4
?a
3
?d?(a
1
?2d)?d?a?3d,

……
94