高中数学回归课本(排列、组合、二项式定理_)

1.排列数公式
0!?1
.
A
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
n！
n
(n?m)！
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．
2.排列恒等式
（1）
A
m1
n
?(n?m?1)A< br>m?
n
（2）
A
m
n
?
n
n?m
A
m
A
mm?1
n?1
（3）
n
?nA
n?1
（4）
nA
n
?A
n?1nmmm?1
nn ?1
?A
n
（5）
A
n?1
?A
n
?mA
n
.
(6)
1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1
.
3.组合数公式
C
m
A
m
n
n(n?1)?
(n?m?1)
n
=
A
m
=
m
1? 2?
?
?m
=
n！
m！?(n?m)！

(
n
∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
4.组合数的两个性质
(1)
C
m
=
C
n?m< br>m
m
n
n
(2)
C
+
C
m?1
n
n
=
C
. 规定
C
0
n?1n
?1
.
5.组合恒等式
（1 ）
C
m
n?m?1
m?1
n
m
C
（2）< br>mmm
n
m?1
n
?
n

C
n
?
n?m
C
n?1
（3）
C
n
?
m
C
n?1
;
（ 4）
?
n
C
r
?1
n
=
2
n （5）
C
r
r
?C
r
r?1
?C
r
r?2
???C
r
n
?C
r
n?1
.
r?0

（6）
C
0
?C
12rn
nn< br>?C
n
???C
n
???C
n
?2
n
.
（7）
C
135024
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
??2
n? 1
.
（8）
C
123n?1
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n2
n
.
（9）
C
r0
?C
r?110r
C
rr
m
C
n m
C
n
?
?
?C
mn
?C
m?n
.
（10）
(C
021222n2
?C
n
n
)? (C
n
)?(C
n
)???(C
n
)
2n
.
6.排列数与组合数的关系
A
m
?m！?C
m
nn
.
7．单条件排列
以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有
A
m?1
n ?1
种；②某（特）元不在某
位有
A
m
?A
m?1
1m?1
nn?1
（补集思想）
?A
n?1
A
n?1
（着眼位置）
?A
m1m?1
n?1
?A
m?1
A
n?1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：< br>k(k?m?n)
个元在固定位的排列有
A
km?k
k
An?k
种.
②浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法< br>有
A
n?k?1k
n?k?1
A
k
种.注：此类问题 常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（
k?h?1
），把它们合
1

在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有
hk
Ah
A
h?1
种.
物体分给
m
个人，物件必须被分完， 分别得到
n
1
，
n
2
，?，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，?，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配
n
nn
方法数共有
N?Cp
?C
p
C
n
?m!?
?n
...
1 2
m
1m
（3）两组元素各相同的插空
小球必分开，有多少种排法？
m
个大球
n
个小球排一列，
当
n?m?1
时，无解 ；当
n?m?1
时，有
A
A
n
m?1
n
n
n
?C
m?1
种排法.
p!m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
（4）(非完全平均分组有归属问 题)将相异的
P(P
1
=n
2
+?n+)
m
个物体 分给
+n
m
个人，物件必须被分完，分
（4）两组相同元素的排列：两组元素 有m个和n个，各
n
组元素分别相同的排列数为
C
m?n
.
别得到
n
1
，
n
2
，?，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，?，
n
m
这
m
个数中分
别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有
N?
n< br>m
n
1
n
2
C
p
?C
p
C .
n
?m!
?n
1
..
m
8．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
m
、
n
个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配方法数共有
N?C
n
mn< br>a!b!c!...

?
p!m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
（5）(非平均分组 无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+?+n
m)
个
物体分为任意的
n
1
，?，且
n
1
，?，
n
m
件无记号的
m
堆，
n
2
，< br>n
2
，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配 方法数有
N?
p!
.
n
1
!n
2
!.. .n
m
!
?C
n
mn?n
?C
n
mn?2 n
(mn)!
.
?
?
?C?C?
m
(n!)n
2n
n
n
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
m
·
n
个物体等分为
无记号或无顺序的
m
堆，其分配方法数共有 nnnnn
C
mn
?C
mn
(mn)!
?n
? C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
.
N??< br>m
m!m!(n!)
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的
P(P1
=n
2
+?n+)
m
个物体分为任意的
+n
n
1
，
n
2
，?，
n
m
件无记号
的
m
堆，且
n
1
，
n
2
，?，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、?
（3）(非平均分组有归属问题 )将相异的
P(P=n
1
+n
2
+?+n
m
)个

2

p!
个相等，则其分配方法数有
N?
.
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
11.F (x)=(ax+b)
n
展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和
为
[ f(1)?f(?1)]
；偶数项的系数和为
[f(1)?f(?1)]
；
1
2
1
2
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
p
（p?n
1
+n
2
+?+n
m
）
个物体分给甲、 乙、丙，??等
m
个人，物体必须被分完，
四．高考题回顾
如果指定甲得< br>n
1
件，乙得
n
2
件，丙得
n
3
件 ，?时，则无论
n
1
，
n
2
，?，
n
m< br>等
m
个数是否全相异或不全相异其分配方法数
一、组数问题：
1（2 004年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所
有没有重复数字的5位数中，大于 23145且小于43521的
数共有（ ）. A. 56个 B. 57个 C. 58个 D. 60个
2.（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数
字的八位数 ，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，
而7与8不相邻，这样的八位数共有 个（用数字作答）.
．
3. 从集合{ P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6 ，7，8，
9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每
排中字母Q和数字0 至多只能出现一个的不同排法种数是
________．(用数字作答)．
4.（江西卷）将 9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙
分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140
3
恒有
N?C?C
n
1
p
n
2
p?n
1
...C
n
m
n
m
p!
.
?
n
1
!n
2
!.. .n
m
!
9.二项式定理
0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b

1，2?，n)
. 二项展开式的通项公式
T
r?1
?C< br>n
r
a
n?r
b
r
(r?0，
.二项式系数 具有下列性质：
(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；
(2) 若n为偶数，中间 一项（第＋1项）的二项式系数最
大；若n为奇数，中间两项（第
式系数最大；
01 2n0213
(3)
C
n
?C
n
?C
n
? ????C
n
?2
n
;C
n
?C
n
??? ??C
n
?C
n
?????2
n?1
;

n
2
n?1n?1
和＋1项）的二项
22
C．280 D．840

二、分配问题：
5（2004年全国卷三.文理12 ）将4名教师分配到3所中学
任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）.
A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
6（北京卷）北京《财富 》全球论坛期间，某高校有14名
志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4
人， 每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数
为( )
12
14
4
12
4
8
12
14
4
12
4
8
A.
22
A
6
C
4
B.
1
22
A
6
C
4

2
C.
22
A
6
A
4
D.
2

2A
6
三、几何问题：
9.（2004年北京卷.理7）从长度分别为1, 2,3,4,5的五条线
段中，任取三条的不同取法共有
n
种. 在这些取法中，以取
出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为
m
，则
m
n
等于（ ）. A.
1

10
B.
1

5
C.
3

10
D.
2

5
10. 湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的 任意
124
C
14
C
12
C
8
4
1243
（A）（B）（C）
3
（D）
三个顶点为顶点作三角形， 从中随机取出两个三角形，则
C
14
C
12
C
8
4
A
3
CCC

CAA

A
3
7. （湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6
的电 影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，
且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数 是( )
A．168 B．96 C．72 D．144
这两个三角形不共面的概率p为 （ ）
A．
367376
B．
385
385
C．
192

385
D．
18

385
11（2004年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三
（ ）
个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）.
A. 56 B. 52 C. 48 D. 40
四.二项式定理问题
12. （全国卷Ⅲ）在(x?1)(x+1)
8
的展开式中x
5
的系数是( )
（A）?14 （B）14 （C）?28 （D）28
8. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，
要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不 同的安
排方案种数为（ ）.

4

?
1
?
13. (山东)如果
?
3x?3
2
?
的展开式中各项系数之和为128，
x
??
n< br>19.（04年福建卷.理9）若
(1?2
x
)
9
展开式的第 3项为288，
lim(
则
n??
111
?
2
?? ???
n
x
xx
）的值是（ ）.
1

2
则展开式中
1
的系数是（ ）
x
3
A. 2 B. 1 C.
n
n
n?1
D.
（A）7 （B）
?7
（C）21 （D）
?21

14. 设
n?N
,则
C?C6?C6???C6
?
2

5
1
n
2
n
3
n
2
?

五.课本中习题归纳
一.分类计数原理与分步计数原理
1.书架的第1层放有4本 不同的计算机书,第2层放有3本
不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有 种不同的取法;
(2)从书架的第1,2,3,层各取1本,有 种不同的取法;
2.一种号码锁有6个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10
个数字,这6个拨号盘可以组成 个六位数字号码.
3.要从甲,乙,丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有
种不同的选法.
4.乘积
(a
1
?a
2
?a3
)(b
1
?b
2
?b
3
?b
4)(c
1
?c
2
?c
3
?c
4
?c< br>5
)
展开后共
有 项.
5.用1,5,9,13中任意一个作分子,4,8,12,16中任意一个数作
分母,可构造 个不同的分数;可构造 个不同的真分
5
15. （湖南卷）在（1＋x）＋（1＋x ）
2
＋……＋（1＋x）
6
的展开式中，x项的系数是 .（用数字作答）
16.（04年天津卷.理15）
若
(1?2x)
20 04
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?????a
2004
x
2004
(x?R)
，
2则
(a
0
?a
1
)?(a
0
?a
2< br>)?(a
0
?a
3
)?????(a
0
?a
2004
)
= .
17. （04年福建卷.文9）已知
(x?
a
)
8
展开式常数项为1120,
x
其中实数
a
是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）.
A.
2
8
B.
3
8
C. 1或
3
8
D. 1或
2
8

18.（04 年上海卷.9）若在二项式
(x?1)
10
的展开式中任取一
项，则该项的系 数为奇数的概率是 .（结果用分数是
表示）

数;可构造 个不同的假分数.
6.(1)在平面直角坐标系内,横 坐标与纵坐标均在
A?{0,1,2,3,4,5}
内取值的不同点共有 个.
共有 种不同的送法.
10.某信号兵用红,黄,白3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上
表示信号,每次可以任挂1面,2面或3面,并且不同的顺序表
示不同的信号,则一共可以表示 种不同的信号.
11.用0到9这10个数字,可以组成 个没有重复数字的
三位数;可以组成 个没有重复数字的三位偶数;可以组
成 个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数.
12.由数字1,2,3,4,5可以组成 个没有重复数字,并且比
2005大的正整数.
13.(1)7个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有 种排法;
(2) 7个人站成一排,如果甲不站在正中间,有 种排法;

(3) 7个人站成一排,如果甲,乙2人必须站在两端,有 种排法;
(4) 7个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端,
有 种排法;
(5) 7个小孩子站成两排,其中3个女孩站在前排,4个男孩站
在后排,有 种排法;
(6) 7个小孩子站成两排,其中前排站3人,后排站4人,有 种排法.
(2)在平面直角坐标 系内,直线
y?kx?b
的斜率在集合
内取值,截距在集合
C?{2,4,6 ,8}
内取值,这样不同
B?{1,2,5,}
的直线共有 条.
7 .(1)4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,
每人限报其中的1个运动队,则有 种不同的报名
方法.
(2)3个班分别从5个风景点中选择1处游览,则有 种
不同的选法.
二.排列 组合 二项式定理
8.某年全国足球甲级(A组)联赛 共有14队参加,每队都要与
其余各队在主,客场分别比赛1次,共进行 场比赛.
9.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,
共有 种不同的送法;
(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,

6
14
.(1)从4个风景点中选出2个安排游览
,有 种不同的方法;

(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览
顺序,有 种不同的方法.
15.(1)
平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有 条;
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段
共有 条.
16.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有 种取法;

(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 种取法;
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含有黑球,有 种取法.
种币值.
20.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.
(1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法;
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有 种选
法;
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,
有 种选法;
(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法.
21.
(x?a)
12
的展开式中的倒数第四项的系数是220,则
a?
;常数项等于 .
17.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产
品中任意抽出3件.
(1)一共有 种不同的抽法;(2)抽出的3件中恰1件是次
品的抽法有 种;
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 种.
12345
18.计 算:(1)
C
5
0
?C
5
?C
5
?C5
?C
5
?C
5
?

22.
(x?)
9
的展开式中
x
3
的系数是 ;
(
式的中间一项是 .
1
x
x3
12
?)
的展开
3
x
23.
(xy?yx)
15
的展 开式的中间两项系数的和等
于 .
(2)
C
2
2
?C
3
2
?C
4
2
?C
52
?C
6
2
?C
7
2
?
;
135
(3)
C
5
0
?C
5
2
?C
5
4
= (4)
C
5
= .
?C
5
?C
5
19.1圆,2圆,5圆,10圆的人民币各2张 ,一共可以组成

7