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高中数学电子书——数列、函数的极限

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 17:42
tags:高中数学课本

昆山市高中数学-高中数学李永乐数学部分



数列的极限
我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
⑴、数列:若按照一定的法则,有第一个数a
1
,第二个数a
2
,…,依次排 列下去,使得
任何一个正整数n对应着一个确定的数a
n
,那末,我们称这列有次序的 数a
1
,a
2
,…,a
n
,…
为数列.数列中的每 一个数叫做数列的项。第n项a
n
叫做数列的一般项或通项.
注:我们也可以把数列 a
n
看作自变量为正整数n的函数,即:a
n
=
体正整数
⑵、极限:极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
例:我们可通过作圆的内接正多边形,近似求出圆的面积。
设有一圆,首先作圆内接正六边形 ,把它的面积记为A
1
;再作圆的内接正十二边形,其
面积记为A
2
;再作圆的内接正二十四边形,其面积记为A
3
;依次循下去(一般把内接正6×2
n -1
,它的定义域是全
边形的面积记为A
n
)可得一系列内接正多边形的面积 :A
1
,A
2
, A
3
,…,An,…,它们就构成
一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形的边数无限增加时,An也无限接近某一确定
的数值( 圆的面积),这个确定的数值在数学上被称为数列A
1
,A
2
,A
3
,…,An,… 当n→∞(读
作n趋近于无穷大)的极限。
注:上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
⑶、数列的极限:一 般地,对于数列
论其多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时的一切
就称常数a是数列< br>记作:
的极限,或者称数列

收敛于a .

才能表达出与 a无限接近
来说,若存在任意给定的正数ε(不
不等式都成立,那末
[来源: ]注:此定义中的正数ε只有任意给定,不等式
的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有 关的,它是随着ε的给定而选定的。
⑷、数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下 面我们再给出它的一
个几何解释,以使我们能理解它。数列极限为a的一个几何解释:将常数a及数列< br>



在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的ε邻域即开 区间
(a-ε,a+ε),如下图所示:

因不等式与不等式

等价,故当n>N时,所有的点都落在
开区间(a -ε,a+ε)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
注:至于如何求数列的极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论。
⑸、数列的有界性 :对于数列
则称数列
,若存在着正数M,使得一切都满足不等式││≤M,
是有界的, 若正数M不存在,则可说数列
收敛,那末数列一定有界。
是无界的。
定理:若数列
注:有界的数列不一定收敛,即:数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。
例:数列 1,-1,1,-1,…,(-1),… 是有界的,但它是发散的。
n+1
函数的极限
[来源: ]
前面我们学习了数列的极限,已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取 1→∞
内的正整数,若自变量不再限于正整数的顺序,而是连续变化的,就成了函数。下面我们来
学习函数的极限.
函数的极值有两种情况:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点 x
0
,如果
在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道 函数的极值的情况,
那么函数的极限如何呢 ?
下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!
⑴、函数的极限(分两种情况)
a):自变量趋向无穷大时函数的极限
定义:设函数
使得对于适合不等式
,若对于任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在着正数X,
的一切x,所对应的函数值

都满足不等式



那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限,记作:
下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下:
数列的极限的定义 函数的极限的定义
存在函数
存在数列与常数A,任给一正数
与常数A,任给一
正数ε>0,总可 找到一正数X,对于适合
ε>0,总可找到一正整数N,对于n>N的所有
的一切x,都满足< br>都满足<ε则称数列
敛于A记:
,当x→∞时收


函数

当x→∞时的极限为A,记:
[来源:]


从上表我们发现了什么 ??试思考之
[来源:]
b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.
例:函数 ,当x→1时函数值的变化趋势如何?函数在x=1处无定义.我们
知道对实数来讲,在数轴上任何一个 有限的范围内,都有无穷多个点,为此我们把x→1时函
数值的变化趋势用表列出,如下图:

从中我们可以看出x→1时,
或说:只要
→2.而且只要x与1有多接近,就与2有多 接近.
<δ时满足与2只差一个微量ε,就一定可以找到一个δ,当
<δ定义:设函数在某点x
0
的某个去心邻域内有定义,且存在数A,如果对任意给定的
<δ时,
。 < br><ε则称函数当ε(不论其多么小),总存在正数δ,当0<
x→x
0
时存在极 限,且极限为A,记:
注:在定义中为什么是在去心邻域内呢?这是因为我们只讨论x→x
0< br>的过程,与x=x
0
出的
情况无关。此定义的核心问题是:对给出的ε,是否存 在正数δ,使其在去心邻域内的x均



满足不等式。
有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A,其证明方法是怎样的呢?
a):先任取ε>0;
b):写出不等式<ε;
<δ,若能;
<δ时,<ε成立,因
c):解不等式能否得出去心邻域0<
d):则对于任给的ε>0,总能找出δ,当0<

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