高中数学回归课本(圆锥曲线)

回归课本(八)圆锥曲线
一．考试内容：

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.
双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.
抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.
二．考试要求：
(
1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.
(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
(4)了解圆锥曲线的初步应用.
【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点 内容，高考中主要
出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；
③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.
三．基础知识:
(一)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点
F
1
、
F< br>2
的距离的
和大于|
F
1
F
2
|这个条件不 可忽视.若这个距离之和小于|
F
1
F
2
|，则这样的点
不 存在；若距离之和等于|
F
1
F
2
|，则动点的轨迹是线段
F
1
F
2
.
x
2
y
2
ab（
a
＞
b
＞0），
y
2
x
2
2.椭圆的标准方程：
2
?
2
?1
a
2
?
b
2
?1
（
a
＞
b
＞0）.
3.椭圆的 标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果
x
2
项
的分母 大于
y
2
项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，
运用待定系数法求解.
(二)椭圆的简单几何性质
x
2
y
2
1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为
a
2
?
b
2
?1
（
a
＞
b
＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=
?a
和y=
?b
所围成 的
矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆
的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个
A
1
（-a，0）、
A
2
（a， 0）
B
1
（0，-b）、
B
2
（0，b）.
线段
A
1
A
2
、
B
1
B
2
分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和
2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴 长. 所以椭圆和它的对称轴有四
个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴 长的比
e?
c
a
叫做椭圆的离心率.它的值表
示椭圆的扁平程度.0 ＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0
时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比
是常数
e?
c
a
（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线 ：根据椭圆的对称性，
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（
a
＞
b
＞0）的准线有两条，
它 们的方程为
x??
a
2
c
.对于椭圆
y
2
x
2
a
2
?
b
2
?1
（
a
＞
b
＞0）的准线方程，只
x换成y就可以了，即
y??
a
2
要把
c
.
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设F
x
2
y
2
1
（-c，0），
F
2< br>（c，0）分别为椭圆
a
2
?
b
2
?1
（< br>a
＞
b
＞0）的左、
右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条 焦半径长分别为
MF
1
?a?ex
，
MF
2
?a? ex
.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元 素a、b、c、e中有
a
2
=
b
2
+
c
2
、
e?
c
a
两个关系，因此确
定椭圆的标准方程只需两个独 立条件.
4.椭圆的参数方程
x
2
y
2
椭圆< br>?
x?acos
?
a
2
?
b
2
?1
（
a
＞
b
＞0）的参数方程为
?
（θ为参数）.
?
y?bsin
?
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆 上点P的离心角θ与直线

OP的倾斜角α不同：
tan
?
?< br>b
tan
?
；
a
xy
??1
与三角恒等式
22
ab
22
若
MF
1
＜
MF
2
时，动点
M
的轨迹仅为 双曲线的一个分支，又若
MF
1
＞
MF
2
时，轨迹为双曲线 的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义
中应为“差的绝对值”.
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程
2222
xyyx
2. 双曲线的标准方程：
2< br>?
2
?1
和
2
?
2
?1
（a＞0， b＞0）.
cos
2
?
?sin
2
?
?1
相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
92.椭圆
x
2
y
2
?
x?acos
?
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
bsin
?
.
?
y?
5.椭圆的的内外部
1）点
P(x
x
2< br>y
2
（
x
22
0
0
,y
0
)
在椭圆
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
的内部
?
a
2
?
y
0
b
2
?1< br>.
）点
P(x
x
2
y
2
（2
x< br>22
0
y
0
,y
0
)
在椭圆
a2
?
b
2
?1(a?b?0)
的外部
?
a2
?
0
b
2
?1
.
6. 椭圆的切线方程
(1)椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b< br>2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
x
0
x
a
2
?
y0
y
b
2
?1
.
x
2
y
2
（2）过椭圆
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0< br>)
所引两条切线的切点弦
方程是
x
0
xyy
a
2
?
0
b
2
?1
.
3）椭圆
x
2
y
2
（
a
2
?
b
2
?1(a ?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2

(三)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点
F
1、
F
2
的距离的差的绝对值等于常
数2a（小于|
F
1
F
2
|）的动点
M
的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|
F
1
F
2
|，这一条件可以用“三角形的两边之差小 于第三边”加以理解.
若2a=|
F
1
F
2
|，则动点的轨 迹是两条射线；若2a＞|
F
1
F
2
|，则无轨迹.
ab ab
这里
b
2
?c
2
?a
2
，其中|F
1
F
2
|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系
与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果
x
2
项的系数是 正数，则焦点在x
轴上；如果
y
2
项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双 曲线，a不一定大于
b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设
出标准方程后，运用待定系数法求解.
(四)双曲线的简单几何性质
x
2
y
2
1.双曲线
c
a
2
?
b
2
?1
的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率
e?
a
＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.
2. 双曲线
x
2
y
2
ab
?1
的渐近线方程为
y??
b
x
2
y
2
2
?
2
a
x
或表示为
a
2
?
b
2
?0
.若
已知双曲线的渐近线方程是
y??
m
n
x
，即
mx?ny?0
，那么双曲线的方程
具有以下形式 ：
m
2
x
2
?n
2
y
2
?k，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线 ）距离的比是
x
2
y
2
一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做 双曲线.对于双曲线
a
2
?
b
2
?1
，
它 的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是
x??
a
2< br>c
x?
a
2
c
.双曲线
x
2
y2
和
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)的焦半径公式
PF
a
2
a
2
1
?|e(x?
c
)|
，
PF
2
?|e(
c
?x)|.

4.双曲线的内外部
点
P(x
x
2
y
2
(1)
x
22
0
0
,y
0
)
在双曲线
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)< br>的内部
?
a
2
?
y
0
b
2
?1
.
点
P(x
在双曲线
x
2
y
2(2)
x
22
0
0
,y
0
)
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
a< br>2
?
y
0
b
2
?1
.
5.双曲线的方程与渐近线方程的关系
若双曲线方程为
x
2
y2
x
2
(1）
y
2
b
a
2
?
b
2
?1
?
渐近线方程：
a
2
?
b
2
?0?
y??
a
x
.
(2)若渐近线方程为
y??
b
xy
x
2
y
2
a
x?
a
?
b
?0
?
双曲线可设为
a
2< br>?
b
2
??
.
(3)若双曲线与
x
222 2
a
?
yxy
2
b
2
?1
有公共渐近线， 可设为
a
2
?
b
2
??
（
??0
，焦
点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）.
6. 双曲线的切线方程 < br>线
x
2
(1)双曲
y
2
a
2
?b
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y0
)
处的切线方程是
x
0
x
a
2
?< br>y
0
y
b
2
?1
.
x
2
（2）过双曲线
y
2
a
2
?
b
2
?1(a ?0,b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条 切线的切点
弦方程是
x
0
xyy
a
2
?
0
b
2
?1
.
x
2
y
2
（3）双 曲线
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)
与直线< br>Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B2
b
2
?c
2
.
(五)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点
的轨迹叫抛物线 。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨 迹是过点F且与l垂直的直线，而不
是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
y
2
?2px
、
y
2
??2px
、
x
2
?2py
、
x
2
??2py
.
对于以上四种 方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中
的该项即为一次项；一次项前面是正号则 曲线的开口方向向x轴或y轴的正方
向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中
的p决定的；
（5）准线方程
x??
p
2
；
（6）焦半径公式：抛物线 上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于
四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）： y
2
?2px:PF?x
pp
1
?
2
;y2
??2px:PF??x
1
?
2
x
2
?2p y:PF?y
pp

1
?
2
;x
2
??2py:PF??y
1
?
2
（7）焦点弦长公式：对于过抛物 线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导
出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为 AB，A（x1，y1），
B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x
1+x
2
+p


以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其
它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方
程：x
2
+b x+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，
用判别式法即可；但如果a=0 ，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的
直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
2
4.抛物线
y
2
?2px
上的动点可设为P
(< br>y
?
2
2p
,y
?
)
或
P(2pt ,2pt)或

P
(x
2
o
,y
o
)
，其中
y
o
?2px
o
.

b
2
4ac?b
2
)?
5.二次函数
y?ax?bx?c?a(x?< br>(a?0)
的图象是抛物线：
2a4a
b4ac?b
2
b4a c?b
2
?1
,)
；
,)
；（1）顶点坐标为
(?
（2）焦点的坐标为
(?
2
(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y< br>2
)
2
或
AB?(1?k
2
)(x
2?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?t an
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
?
y?kx?b
2a4a2a4a
（3）准线方程是
y?
4ac?b
2
?1
4a
.
6.抛物线的内外部
(1)点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的内部
?y?2px(p?0)
.
点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)< br>的外部
?y?2px(p?0)
.
(2)点
P(x
220
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的内部< br>?y??2px(p?0)
.
点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y??2p x(p?0)
.
(3)点
P(x
22
0
,y
0< br>)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0).
点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物 线
x?2py(p?0)
的外部
?x?2py(p?0)
.
(4) 点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
x?2 py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
??2py(p?0)
的外部
?x
2
??2py(p?0)
.
7. 抛物线的切线方程
(1)抛物线
y
2
?2px
上一点
P( x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p (x?x
0
)
.
（2）过抛物线
y
2
?2px< br>外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程 是
y
2
0
y?p(x?x
0
)
.（3）抛物线y?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的
条件是
pB
2
?2AC
.
(六).两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程x
2
y
2
a
2
?k
?
b
2< br>?k
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
.
当
k?min{a
2
,b
2
}
时,表示 椭圆; 当
min{a
2
,b
2
}?k?max{a
2,b
2
}
时,表示
双曲线.
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?

?
F(x,y)?0
消去y得到
ax
2
?bx?c?0
，
??0
,
?
为直线
AB
的倾斜 角，
k
为直线的斜率）.
(八).圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴 对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
A
2
?B
2
,y?
A
2
?B
2
)?0
.

四．基本方法和数学思想
1.椭圆焦半径公式：设P（x
0
,y
0
）为椭圆
x
2
y
2
2
?
2
?1
（a>b>0）上任一点，焦
ab
点为F
1
(-c,0 ),F
2
(c,0),则
PF
1
?a?ex
0
,P F
2
?a?ex
0
（e为离心率）；
2.双曲线焦半径公式：设P （x
0
,y
0
）为双曲线
x
2
y
2
a
2
?
2
?1
（a>0,b>0）上任一点，
b
焦点为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),则:
（1）当P点在 右支上时，
PF
1
?a?ex
0
,PF
2
??a? ex
0
；
（2）当P点在左支上时，
PF
1
??a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
；（e为离心率）；
另 ：双曲线
x
2
?
y
2
a>0,b>0）的渐进线方程为x
2
y
2
a
2
b
2
?1
（< br>a
2
?
b
2
?0
；
3.抛物线焦半径公式 ：设P（x
0
,y
0
）为抛物线y
2
=2px(p>0)上 任意一点，F为焦
点，则
PF?x
0
?
p
2
p2
；y=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，
PF??x
0
?2
；
4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；
5.共渐进线
y??
b
x
2
y
2
a
x
的双曲线标准方程为a
2
?
b
2
?
?
(
?
为参数 ，
?
≠0）；
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别
为 A(x
1
，y
1
)、B(x
2
,y
2
)， 则弦长
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
2
)?4x
1
x
2
]

?1?
1
k
2
?y
2
?y
1
?(1?
1
k
2
)?[(y
1?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]
,这里体现了解析几何
“设而不求”的解题思想；
7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为2b
2
，焦准距为p=
b
2
，抛物线的通径为
a
c
2p，焦准距为p; 双曲线
x
2
y
2
?
2< br>?1
（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;
a
2
b
8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax
2
+Bx
2
＝1；
9.抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（ x
1
,y
1
）、B(x
2
,y
2
),则< br>有如下结论：（1）
AB
＝x
1
+x
2
+p;（2） y
1
y
2
=－p
2
，x
1
x
2< br>=
p
2
4
;
10.过椭圆
x
2
y
2
2
?
2
?1
（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则< br>ab
AB?2a?e(x
1
?x
2
)
，过右焦点的弦
AB?2a?e(x
1
?x
2
)
；
11.对于y
2
=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（
y
2
0
2p
，y
0
）,以简化计算;
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问 题常用代点相减法，设A(x
1
，y
1
)、
B(x
222
,y
2
)为椭圆
xy
a
2
?
b2
?1
（a>b>0）上不同的两点，M(x
0
,y
0
)是AB的中点，则
K
AB
K
OM
=
?
b
2
x
2
y
2
b
2
a
2
；对于双曲 线
a
2
?
（a>0，b>0），类似可得：K
b
2
?1
AB
.K
OM
=
a
2
；
对于y
2
=2px(p≠0)抛物线有K
AB
＝
2p
yy

1
?
2
13.求轨迹的常用方法：
（1）直接法：直接通过建立x 、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的
最基本的方法；
（2）待定系数法：所 求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可
先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定 系数，代回所列
的方程即可；
（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖 于另一动点Q(x
1
,y
1
)的
变化而变化，并且Q(x
1
,y
1
)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示
x
1、y
1
，再将x
1
、y
1
带入已知曲线得要求的轨迹方 程；
（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线
的定义直接 写出方程；
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动
点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消
去参数得普通方程。
五．高考题回顾
一、利用圆锥曲线的定义求相关距离：
（04年全国卷一.文理7）椭圆
x
2
1.

4
? y
2
?1
的两个焦点为F
1
、F
2
，过F
1
作
垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则
|
u
PFuuur
2
|
=（ ）.
A．
3
2
B．
3
C．
7
2
D．4
2.
（04年 辽宁卷.9）已知点
F
1
(?2,0)
、
F
2
(2 ,0)
，动点P满足
|PF
2
|?|PF
1
|?2
.
当点P的纵坐标是
1
2
时，点P到坐标原点的距离是（ ）.
A．
6
2
B．
3
2
C．
3
D．2
3.
（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3
.若它的一条准线与抛
物线
y
2
?4x
的准线重合， 则该双曲线与抛物线
y
2
?4x
的交点到原点的距离
是 A．2
3
+
6
B．
21
C．
18?122
D．21
二、利用方程思想讨论直线与圆锥曲线的公共点： < br>4.（04年全国卷一.文理8）设抛物线y
2
=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q
的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）.
A．
[?
1
2
,
1
2
]
B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
5.
（上海）过抛物线
y
2
?4x
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
它们的横 坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
6.（山东卷）设直线
l:2x?y?2?0
关于原点对称的直线为
l
?
，若
l
?
与椭圆

x
2
?
y
2
4
?1
的交点为A、B、， 点
P
为椭圆上的动点，则使
?PAB
的面积为
1
2
的点
P
的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
三、熟练运用圆锥曲线的几何性质解题：
7.（04年 全国卷二.理15）设中心在原点的椭圆与双曲线
2x
2
?2y
2
= 1有公共
的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .
x
2
y
2
8.
（04年天津卷.文5理4）设P是双曲线
a
2
?
9
?1
上一点，双曲线的一条
渐近线方程为
3x?2y?0,F
1
、F
2
分别是双曲线的左、右焦点，若
|PF
1
|?3
，
则
|PF
2
|?
（ ）A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
9.
(全国卷III)设椭圆的 两个焦点分别为F
1
、
、F
2
，过F
2
作椭圆长轴 的垂线交椭
圆于点P，若△F
1
PF
2
为等腰直角三角形，则椭圆的 离心率是（ ）
（A）
2
2
（B）
2?1
2
（C）
2?2
（D）
2?1

x
2
y
2
10.
（江苏 卷）(11)点P(-3,1)在椭圆
a
2
?
b
2
?1(a ?b?0)
的左准线上.过点P
且方向为a=(2,-5)的光线,经直线
y
=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的
离心率为 ( )
( A )
3
3
( B )
1
3
( C )
2
2
( D )
1
2

11.
（湖南卷）已知双曲线
x2
a
－
y
2
2
b
2
＝1（a＞0，b ＞0）的右焦点为F，右准
线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为
a
2
2
（O为原点），则两条渐近线
的夹角为 （ ）A．30? B．45? C．60? D．90?
四、利用圆锥曲线的定义解答相关三角形问题：
12(04年湖 北卷.理6）已知椭圆
x
2
y
2
16
?
9
?1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，点
P
在椭圆上，若P、F
1
、F
2
是一个直角三角形的三个项点，则点
P
到
x
轴的距离
为（ ）.
A.
9
5
B. 3 C.
97
9
7
D.
4

x
2
13.
（山东卷）设双曲线
y
2
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点为
F
，右准线
l
与< br>两条渐近线交于P、
Q
两点，如果
?PQF
是直角三角形，则双曲线的 离心率
14.（04年福建卷.文理4）已知F
1
、F
2
是椭 圆的两个焦点，过F
1
且与椭圆长轴
垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2
是正三角形，则这个椭圆的离心率
是（ ）.
A.
2
3
B.
323
3
C.
2
D.
2
五、利用圆锥曲线中的焦半径公式解题：

（04年重庆卷.文10）已知双曲线
x
2
y
2
15.a
2
?
b
2
?1,(a?0,b?0)
的左，右焦点分
别为
F
1
,F
2
,点P在双曲线的右支上，且
|P F
1
|?4|PF
2
|
,则此双曲线的离心率e
的最大值为 ( ).
A.
4
3
B.
5
3
C.
2
D.
7
3

16. （04年湖南卷.理16）设F是椭圆
x
2
7
?
y
2
6
?1
的右焦点,且椭圆上至少有21< br>个不同的点
P
1
(i?1,2,3?),
使
FP
1< br>FP
2
FP
3
,L
组成公差为d的等差数列,则d
的 取值范围为 .
六.轨迹问题.
17.（江西卷）以下四个关于圆锥曲线 的命题中：①设A、B
非零常数，
|
u
PA
uur
|?|< br>u
PB
uur
为两个定点，k为
|?k
，则动点P的轨迹为双 曲线；
②过
u
定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若
O P
uur
?
1
uuuruuur
2
(OA?OB),
则动点P的轨迹为椭圆；
18.

(重庆卷)
已知
A
?
?
1
2
?
?
1
2
,0
?
?
?
，B是圆F：
?
?
?
x?
?
2
?
?
?y
2
?4
(F为圆心)上
一动点，线段AB的垂直 平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为

19.
（上海）直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足
OP?OA=4。
于6,则点P的轨迹方程是
则点P的轨迹方程是 ．
六.课本中习题归纳
圆锥曲线,

圆锥曲线与直线
1(1)已知两个定点
F
1
(?4,0)
,
F
2
(4,0)
,且
MF
1
?MF
2
=10,则点
M
的轨迹方
程是 .
(2) 已知两个定点
F
1
(?4,0)
,
F
2
(4,0)
,且
MF
1
?MF
2
=8, 则点
M
的轨迹方
程是 .
(3) 已知两个定点
F
1
(?4,0)
,
F
2
(4,0)
,且
MF
1
?MF
2
=6, 则点
M
的轨迹方
程是 .
2两焦点分别为
F
1
(0,?2)
,
F
2(0,2)
,且经过点
(?
3
,
5
22
)的椭圆方程
是 .
3若椭圆
x
2
y
2
100
?
36
?1
上一点P到焦点
F
1
的距离等于6,则点P到另一个焦点
F
2
的距离是
4
?
ABC的两个顶点A,B的坐标分别是
(?6,0)
,
(6,0)
,边AC ,BC所在直线的斜
率之积等于
?
4
9
,则顶点C的轨迹方程是 .
5点P是椭圆
x
2
5
?
y
2
4
?1
上一点,以点P以及焦点
F
1
,
F
2
为顶点 的三角形的面
积等于1,则点P的坐标是 .
6椭圆
16x
2
?25y
2
?400
的长轴与半短轴的和等于 , 离心率等
于 , 焦点的坐标是 ,顶点的坐标
是 ,准线方程是 ,左焦点到右准
线的距离等于 .
x
2
7椭圆25
?
y
2
16
?1
上一点P到左焦点的距离等于3, 则点P到左准线的距离
是 ,则点P到右准线的距离是 .
8(1) 已知两个定点
F
1
(?4,0)
,
F
2
(4,0)
,动点P到
F
1
,F
2
的距离的差的绝 对值等
(2) 已知两个定点
F
1
(?4,0)
,
F2
(4,0)
,动点P到
F
1
,F
2
的距离的 差的绝对值等
于8,则点P的轨迹方程是
(3) 已知两个定点
F
1
(?4,0)
,
F
2
( 4,0)
,动点P到
F
1
,F
2
的距离的差的绝对值等于10, 则点P的轨迹方程是
9已知曲线C的方程 是
x
2
2?m
?
y
2
m?1
?1
,
(1)若曲线C是圆,则
m
的取值范围是 ;
(2)若曲线C是椭圆, 则
m
的取值范围是 ;
(3)若曲线C是双曲线, 则
m
的取值范围是 .
10椭圆
x
2
y
2
25
?
9
?1
与双曲线
x
2
?ay
2
?a
有相同的焦点,则
a
的取值范围
是 .
11
?
AB C的两个顶点A,B的坐标分别是
(?6,0)
,
(6,0)
,边AC,BC 所在直线的
斜率之积等于
4
9
,则顶点C的轨迹方程是 .
12双曲线
9x
2
?16y
2
?144
的实轴 长与虚半轴长的和等于 , 离心率等
于 ,焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 ,
准线方程是 ,渐近线的方程 ,两渐近
线的夹角等于 ,右支上一点P到左焦点的距离等于10,则它到右准线的距
离等于 点P到两渐近线的距离的和等于 .
13与椭圆
x
2
49
?
y
2
24
?1
有相同的焦点,且离心率为
5
4< br>的双曲线的方程
是 .
14点M与点F
(4, 0)
的距离比它到直线:
x?5?0
的距离小1,则点
M
的轨迹方< br>程是 .
15抛物线
y
2
?6x
的焦点的坐标是 , 准线方程
是 .
16设直线
l
经过抛物线
y
2
?4x
的焦点,与抛物线相交于A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
两点,
(1)
x
1
x
2
= ;(2)
y
1
y
2
= ;(3)若直线
l
的斜率为1,则
AB
=

uuuvuuuv
(4)
OA?OB
= .
2
17抛物线
y?12x
上与焦点的距离等于9的点的坐标
是 .
18正
?
OAB的三个顶点均在抛物线
y?2px(p?0)
上 ,O为原点,则
?
OAB
的面积等于 .
19方程
x?4x?1?0
的两个根可分别作为
A,一椭圆和一双曲线的离心率 B,两抛物线的离心率
C,一椭圆和一抛物线离心率 D,两椭圆的离心率
2
2
x
2
y
2
??1
的两个焦点,点P在椭圆上,且
F
1
P?F
2
P
. 20设
F
1
,F
2
椭圆
4520
(1)
?
F
1
PF
2
的面积等于 , (2) 点P的坐标
是 .
21直线
x?2y?2?0
与椭圆
x?4y?4
相交于A,B两点,则
22
A B
= .
22已双曲线的离心率为2,则它的两条渐近线所成的锐角等
于 .
23如果直线
y?kx?1
与双曲线
x?y?4
没有公共点,则
k
的取值范围
是 .
24过抛物线
y?2p x(p?0)
的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,自A,B
向准线作垂线, 垂足分别为
A,B
,则
?AFB
= .
25一 动圆与圆
x?y?6x?5?0
外切,同时与圆
x?y?6x?91?0
内切 ,
求动圆圆心的轨迹方程.

2222
''
2
22
''